¿Qué es la demostraciónmatemática?By JC
Ejemplos
Ejemplo 11 3 ? 5 7 ?11 31 ?
1 3 4• La suma de dos números impares es par.5 7 1211 31 42
Conjetura• En matemáticas, el concepto de Conjetura serefiere a una afirmación que se suponecierta, pero que no ha sido pr...
• Si se demuestra la veracidad de unaconjetura, esta pasa a ser considerada unteorema de pleno derecho y puede utilizarsec...
1 3 4 5 7 12• La suma de dos números impares es par.11 31 42
• ¿Es necesario hacer cada caso para todas lasparejas de números impares?• ¿Es posible hacerlo?• ¿Cómo se puede justificar...
• Demostración intuitiva
7 11+Suma=18
• Demostración general
• ¿Cómo se escribe un número par, en general?• ¿Un impar?2 1n2n
2 1n 2 1m2 1 2 1n m 2 2 2n m2 1n mn m2k
• La suma de dos números impares es par.• ¿Qué se puede decir de la suma de dosnúmeros pares?
Ejemplo 2• La suma de los ángulos internos
• ¿Cuánto miden los ángulos internos de lospolígonos regulares?• Afirmación: Los ángulos internos de unpolígono regular so...
180º180º4 2 180º2180º 90º4
Suma=4 180º 360º=4 180º 2 180º2 180º90º4=2 180º
180º180º4 2 180º2180º 90º4Suma=4 180º 360º=4 180º 2 180º2 180º90º4=2 180º
Teorema de Pitágoras• Cut the Knot• 99 demostraciones• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml• 364 demostracio...
• Afirmación: Los ángulos internos de unpolígono regular son iguales entre sí.• ¿Es cierto?
• Afirmación: En un triángulo isósceles losángulos adyacentes a la base son iguales.
• Afirmación: En un triángulo isósceles losángulos adyacentes a la base son iguales.• ¿Será cierto?• Tarea: Demostrarlo
Discusión
Discusión• Este tipo de demostración se debeprincipalmente a los griegos (siglo VII a. C.) ysu mayor expositor es el famos...
Discusión• Los griegos consideraron a las matemáticascomo un cuerpo de conocimiento absoluto endonde los hechos matemático...
Discusión• Los griegos evitaron la situación en la que lavalidez de los resultados dependía de laexperiencia, la intuición...
Discusión• ¿Se debe demostrar todo?• ¡No es necesario!• Incluso los matemáticos profesionales aceptanhechos sin demostraci...
Discusión• En la antigüedad, la evidencia empírica erasuficiente para demostrar un hecho.• Podemos utilizar la palabra Jus...
Discusión• Actualmente, la justificación sigue siendoparte de la vida cotidiana en las pequeñas ograndes sociedades.
Discusión• Sin embargo, con el desarrollo de lasmatemáticas, la justificación de algún hechoha evolucionado en términos de...
Discusión• En matemáticas, existen diferentes tipos dedemostración:• Por contradicción o reducción al absurdo• Por inducci...
Conjeturas• En matemáticas, el concepto de Conjetura serefiere a una afirmación que se suponecierta, pero que no ha sido p...
Conjeturas• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturóque:• Todo número par mayor que 2 puedeescribirse como suma de dos núm...
• Conjetura débil:• Todo número impar mayor que 5 puedeexpresarse como suma de tres númerosprimos.
Conjeturas• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:• Si n es un número entero mayor que2, entonces no existen números ...
Conjeturas• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjeturade Fermat.• La conjetura de Fermat se convirtió enTeorema:• Último ...
Discusión• ¿Es posible demostrar todo?
Discusión• Han existido muchos intentos.
Discusión• Los Elementos de Euclides.• René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole,Gottlob Frege y Giuseppe Peano
Discusión• Bertrand Russel y Alfred N. Whitehead• 1910
DiscusiónPágina 77:Suma aritméticade cardinales.
Discusión• Se demuestra que: 1+1=2• Vol I. Pág. 379
Discusión• ¿Es posible demostrar todo?• ¡No es posible!
Discusión• En 1931, Kurt Gödel demostró que esto no eraposible.• ¡Las matemáticas sonincompletas!
Discusión• Gödel demostró que:• En los Principia Mathematica podía existir unaproposición que al mismo tiempo fueseverdade...
Discusión• Esto ocurriría con cualquier sistemaaxiomático, con cualquier tipo de matemáticasexistente ahora o que fuese a ...
Discusión• Teorema de Gödel:A cada clase k w-consistente y recursiva deformulae corresponden signos de clase rrecursivos, ...
Discusión• Teorema de Gödel:Toda formulación axiomática de teoría de losnúmeros incluye proposiciones indecidibles.
Discusión• En suma: Gödel estableció que en cualquiersistema (en cualquier ciencia, en cualquierlengua, en cualquier mente...
Entonces, ¿qué es demostrar?Fin...
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¿Qué es demostrar?

  1. 1. ¿Qué es la demostraciónmatemática?By JC
  2. 2. Ejemplos
  3. 3. Ejemplo 11 3 ? 5 7 ?11 31 ?
  4. 4. 1 3 4• La suma de dos números impares es par.5 7 1211 31 42
  5. 5. Conjetura• En matemáticas, el concepto de Conjetura serefiere a una afirmación que se suponecierta, pero que no ha sido probada nirefutada hasta la fecha.
  6. 6. • Si se demuestra la veracidad de unaconjetura, esta pasa a ser considerada unteorema de pleno derecho y puede utilizarsecomo tal para construir otras demostracionesformales.
  7. 7. 1 3 4 5 7 12• La suma de dos números impares es par.11 31 42
  8. 8. • ¿Es necesario hacer cada caso para todas lasparejas de números impares?• ¿Es posible hacerlo?• ¿Cómo se puede justificar este hecho paratodos los casos?
  9. 9. • Demostración intuitiva
  10. 10. 7 11+Suma=18
  11. 11. • Demostración general
  12. 12. • ¿Cómo se escribe un número par, en general?• ¿Un impar?2 1n2n
  13. 13. 2 1n 2 1m2 1 2 1n m 2 2 2n m2 1n mn m2k
  14. 14. • La suma de dos números impares es par.• ¿Qué se puede decir de la suma de dosnúmeros pares?
  15. 15. Ejemplo 2• La suma de los ángulos internos
  16. 16. • ¿Cuánto miden los ángulos internos de lospolígonos regulares?• Afirmación: Los ángulos internos de unpolígono regular son iguales entre sí.
  17. 17. 180º180º4 2 180º2180º 90º4
  18. 18. Suma=4 180º 360º=4 180º 2 180º2 180º90º4=2 180º
  19. 19. 180º180º4 2 180º2180º 90º4Suma=4 180º 360º=4 180º 2 180º2 180º90º4=2 180º
  20. 20. Teorema de Pitágoras• Cut the Knot• 99 demostraciones• http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml• 364 demostraciones
  21. 21. • Afirmación: Los ángulos internos de unpolígono regular son iguales entre sí.• ¿Es cierto?
  22. 22. • Afirmación: En un triángulo isósceles losángulos adyacentes a la base son iguales.
  23. 23. • Afirmación: En un triángulo isósceles losángulos adyacentes a la base son iguales.• ¿Será cierto?• Tarea: Demostrarlo
  24. 24. Discusión
  25. 25. Discusión• Este tipo de demostración se debeprincipalmente a los griegos (siglo VII a. C.) ysu mayor expositor es el famoso Euclides consu libro Los Elementos.
  26. 26. Discusión• Los griegos consideraron a las matemáticascomo un cuerpo de conocimiento absoluto endonde los hechos matemáticos se establecíanpara cada caso sin excepción.
  27. 27. Discusión• Los griegos evitaron la situación en la que lavalidez de los resultados dependía de laexperiencia, la intuición o suposicionesimplícitas de cualquier individuo.
  28. 28. Discusión• ¿Se debe demostrar todo?• ¡No es necesario!• Incluso los matemáticos profesionales aceptanhechos sin demostración.
  29. 29. Discusión• En la antigüedad, la evidencia empírica erasuficiente para demostrar un hecho.• Podemos utilizar la palabra Justificación parareferirnos a una comprobación con base en laevidencia empírica.
  30. 30. Discusión• Actualmente, la justificación sigue siendoparte de la vida cotidiana en las pequeñas ograndes sociedades.
  31. 31. Discusión• Sin embargo, con el desarrollo de lasmatemáticas, la justificación de algún hechoha evolucionado en términos de lacomprobación axiomática que ha dado lugar ala Demostración matemática.
  32. 32. Discusión• En matemáticas, existen diferentes tipos dedemostración:• Por contradicción o reducción al absurdo• Por inducción• Ejemplos y Contra-ejemplos
  33. 33. Conjeturas• En matemáticas, el concepto de Conjetura serefiere a una afirmación que se suponecierta, pero que no ha sido probada nirefutada hasta la fecha.
  34. 34. Conjeturas• Christian Goldbach (1690-1764) conjeturóque:• Todo número par mayor que 2 puedeescribirse como suma de dos números primos.• Data: 17422 2 4 5 3 8 11 3 147 3 10
  35. 35. • Conjetura débil:• Todo número impar mayor que 5 puedeexpresarse como suma de tres númerosprimos.
  36. 36. Conjeturas• Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:• Si n es un número entero mayor que2, entonces no existen números enteros x, y yz, tales que se cumpla la igualdad:• Data: 1637n n nx y z
  37. 37. Conjeturas• Andrew Wiles en 1995, demostró la conjeturade Fermat.• La conjetura de Fermat se convirtió enTeorema:• Último Teorema de Fermat
  38. 38. Discusión• ¿Es posible demostrar todo?
  39. 39. Discusión• Han existido muchos intentos.
  40. 40. Discusión• Los Elementos de Euclides.• René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole,Gottlob Frege y Giuseppe Peano
  41. 41. Discusión• Bertrand Russel y Alfred N. Whitehead• 1910
  42. 42. DiscusiónPágina 77:Suma aritméticade cardinales.
  43. 43. Discusión• Se demuestra que: 1+1=2• Vol I. Pág. 379
  44. 44. Discusión• ¿Es posible demostrar todo?• ¡No es posible!
  45. 45. Discusión• En 1931, Kurt Gödel demostró que esto no eraposible.• ¡Las matemáticas sonincompletas!
  46. 46. Discusión• Gödel demostró que:• En los Principia Mathematica podía existir unaproposición que al mismo tiempo fueseverdadera e indemostrable.
  47. 47. Discusión• Esto ocurriría con cualquier sistemaaxiomático, con cualquier tipo de matemáticasexistente ahora o que fuese a existir en elfuturo.
  48. 48. Discusión• Teorema de Gödel:A cada clase k w-consistente y recursiva deformulae corresponden signos de clase rrecursivos, de modo que ni v Gen r ni Neg (vGen r) pertenecen a Flg (k) (donde v es lavariante libre de r)
  49. 49. Discusión• Teorema de Gödel:Toda formulación axiomática de teoría de losnúmeros incluye proposiciones indecidibles.
  50. 50. Discusión• En suma: Gödel estableció que en cualquiersistema (en cualquier ciencia, en cualquierlengua, en cualquier mente) existenaseveraciones que son ciertas pero que nopueden ser comprobadas.
  51. 51. Entonces, ¿qué es demostrar?Fin...

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