Algunos artículos recopilados para colocar en el periódico mural de alguna Institución Educativa...

1. EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS
Enseñar a resolver problemas está íntimamente ligado a lo que llamamos
“enseñar a pensar”, que es, ciertamente, la tarea más difícil de la labor docente,
aunque muchas veces estos fracasos se relacionan con la falta de un método
adecuado y la ausencia de unas instrucciones precisas sobre el método a
emplear.
Como premisas fundamentales para resolver un problema, podemos plantear las
siguientes:
a) Existencia de un interés, lo que significa enfrentarnos a problemas con un cierto
atractivo.
b) La posibilidad de diversos métodos de resolución, lo que permite una discusión
abierta de las ventajas e inconvenientes de cada uno.
c) Tener deseos de resolver el problema, lo que significa estar dispuestos a
aceptar el reto.
George Pólya, en su libro Cómo plantear y resolver problemas, establece un
programa de actuación ante los problemas matemáticos. Para él, un problema se
resuelve correctamente si se siguen los siguientes pasos:
1. Comprender el problema.
2. Concebir un plan para descubrir la solución.
3. Ejecutar el plan y verificar el procedimiento.
4. Comprobar el resultado.
George Polya
El mejor premio que podemos esperar es la satisfacción del problema resuelto, de
haber conseguido encadenar razonamientos que nos han llevado a la respuesta
correcta y de adquirir, con éxito, las técnicas apropiadas en la resolución de otros
problemas de características similares.
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

2. HE AQUÍ ALGUNOS PROBLEMAS PARA PENSAR…
¿Puede ser cierta la siguiente frase?
Anteayer yo tenía 33 años, y el año que viene cumpliré 36.
En caso de que sea cierta, ¿qué día es hoy y cuál es el día de mi cumpleaños?
Dos hermanos echaron una carrera de 100 metros. El mayor ganó por 3 metros,
es decir, cuando el mayor llegó a la meta, el menor había recorrido 97 metros.
Volvieron a echar la carrera, pero ahora el hermano mayor empezó tres metros por detrás
de la línea de salida. Suponiendo que los dos corrieron como la primera vez, ¿quién ganó
esta carrera?
Seis jóvenes se apuntaron a un curso de teoría de números. Con el propósito de
recordar más fácilmente sus nombres, el profesor los sentó en el orden siguiente:
• Lulú Nogués
• Aldo Sastre
• Edit Resnik
• Rucucu Atrogno
• Eric Incorto
• Emilse Ischia
¿Cuál es el sistema que usó?
Mi padre tiene 44 años. Mi perro, 8. Si mi perro fuese humano, tendría 66 años de
edad. ¿Qué edad tendría mi padre si fuera perro? ¿Cuántos años sumarían mi padre
y mi perro si ambos fueran humanos?
Juego con el celular
Convertido en uno de los elementos centrales de la cultura contemporánea, el
celular se incorporó a nuestras vidas no sólo como un teléfono móvil. Su tamaño
más pequeño ha ganado en prestaciones y hoy nos sirve de cámara fotográfica,
reproductor de música, grabador de voz, libreta de apuntes, juego electrónico,
agenda, calculadora y reloj, además de permitirnos hablar por teléfono, mandar
mails, SMS y navegar en la red.
En ocasiones de soledad colectiva que compartimos durante un viaje es
aprovechado para un encuentro privado con nuestro “celu”. Es una acción
contagiosa, alcanza que una persona saque su aparatito del bolsillo para que el
resto repitamos el ritual buscando en el bloquecito luminoso vaya a saber qué
secretos.
Pero no es nuestra intención desatar sentimientos tecnofóbicos. Si viajamos
apretados, no tenemos crédito ni para un mensaje y no da para escuchar música,
proponemos usar el celular como soporte para pensar el siguiente problema:
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

3. Langford en el celu
He aquí una versión del problema de Langford en compañía del celular.
Mostremos en la pantalla del celular el número 112233 y ahora reordenémoslo de
modo tal que entre dos unos haya un solo número, entre los dos dos haya dos
números y entre los dos tres haya tres números. ¿Sale fácil no?
Ahora escribamos 11223344 en la pantalla y empecemos a mover los números
para que respete una ley como en el caso anterior, en este caso entre los dos
cuatros deben quedar cuatro números.
¿Vamos bien? Ahora es tiempo de partir de 1122334455 y luego de
112233445566 y analizar la unicidad de las soluciones encontradas (si es que se
encuentran)
El empleo del celular se limita aquí a servir de
pizarrón de bolsillo que, a diferencia del lápiz
y el papel que requieren las dos manos, se usa
con una, y funciona en la oscuridad. Ésa es
una inesperada ventaja evolutiva de nuestro
pulgar. Hace millones de años, los primates
que no tenían un pulgar en oposición no sólo
recogían menos fruta y se privaban del uso de
herramientas; tampoco podían enviar un SMS;
quedaban aislados, y sucumbían.
UN PROBLEMA DE ÁRBOLES
En un terreno de forma cuadrada, un propietario quiere construir una casa. En
dicho terreno están plantados 15 árboles a una misma distancia (como se aprecia
en la figura). ¿Cómo dividir el terreno en 5 partes de igual forma y tamaño, de
modo que cada una de esas partes contenga el mismo número de árboles?
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

4. Extraña pareja
¿Qué sorprendente, escandalosa y osada relación hay entre la física y la
matemática? Una es una ciencia natural, y se refiere a las cosas que existen,
mientras que la otra es una ciencia formal, que prescinde, en teoría, de la
necesidad de un mundo al que se le aplique.
La física describe el universo; la matemática, el pensamiento; y hasta hay quienes
le niegan siquiera ese mínimo contacto con la realidad material.
Algo tienen en común esas dos ciencias: ninguna de ellas es exacta. La física
perdió esa categoría con el advenimiento de la mecánica cuántica y su principio de
incertidumbre; y la matemática lo hizo a partir de Kurt Gödel, y sus ideas de
incompletitud e indecidibilidad. Sin embargo, y a pesar de esos hechos irrefutables
de la historia reciente, el conjunto de la física y la matemática se conoce en
muchos ámbitos como el de las ciencias exactas; justamente lo que no son. Y
donde se acepta que eso ya no les cuadra, se inventó lo de ciencias duras, lo que
requiere costosas e incómodas explicaciones. ¿En qué sentido son duras? ¿En
sus procedimientos de validación? ¿Duras de entender? ¿Duras de matar?
¿Duras de corazón?
El hecho es que esas ciencias forman un dúo indisoluble, a pesar de sus
profundas diferencias de origen y de objeto de estudio. ¿No hay, acaso, mucha
gente que da clases de física y matemática, con la misma naturalidad que si las
diera de química y biología, o de historia y geografía? Si tantos y tantas enseñan
física y matemática a la vez ¿por qué no abundan, en cambio, profesores y
profesoras de política y equitación; inglés y artes marciales, economía y música, o
geodesia y filosofía?
Algo profundo y desconocido une a los integrantes de esta célebre pareja. Galileo
Galilei dijo que el universo es un libro abierto ante nuestros ojos, escrito en lengua
matemática. Cualquiera sea la inmensa distancia epistemológica, hay entre esas
ciencias una atracción sin límites; se buscan una a la otra con frenesí, y cuando se
encuentran, como en la palanca de Arquímedes, la relatividad de Einstein o la
cuántica de Heisenberg, se arrojan con desenfreno una sobre otra, y se dan un
festín como si no hubiera un mañana.
Mientras subsista ese misterio, disfrutemos la inexactitud de las ciencias.
Q.e.d., Quod erat demonstrandum, es una expresión latina que significa:
lo que se quería demostrar
Tiene su origen en la frase griega όπερ έδει δείξαι (óper édei deíjai), que usaron muchos matemáticos, entre ellos
Euclides y Arquímedes, para señalar que habían alcanzado la demostración que buscaban.
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

5. Cortar la torta entre tres comensales
Le propongo pensar el siguiente problema. Hay una torta y tres personas
dispuestas a comerla. Ninguno quiere comer menos que los otros. Y no hay forma
de “medir” para saber con exactitud cómo generar tres porciones iguales, por lo
que hay que elaborar una estrategia que permita que los tres queden satisfechos.
¿Cómo hacer?
Este problema, que parece totalmente irrelevante, puede adquirir impensada
actualidad. Por ejemplo, si tres países se disputan una porción de tierra, ¿cómo
hacen para dividirla de manera tal que no se genere un conflicto entre ellos?
También puede suceder que haya que distribuir una herencia entre tres personas
y lograr que la operación deje contentos a todos.
Estoy seguro de que usted puede aportar más y mejores ejemplos.
Pero lo que surge de estos casos es que lo que parece totalmente inocuo e
irrelevante en realidad sólo lo es en el contexto de tener que cortar una torta, ya
que, en otro escenario y en otras condiciones, tener una estrategia que satisfaga a
todos los involucrados ya no es algo tan trivial. Y aunque mucha gente no lo
perciba, elaborar esa estrategia también es hacer matemática.
El problema de la torta es un clásico dentro de la matemática. Hay mucha
literatura escrita y soluciones de diferente tipo. Yo voy a presentar sólo una de
ellas, que no es necesariamente la mejor.
Es sólo una de las tantas que se conocen. Y, por supuesto, no es una idea mía,
sino una respuesta que circula desde hace mucho tiempo.
Antes de dejarla/o que reflexione, quiero proponerle –para empezar– que piense
un problema un poco más sencillo. Algo muy parecido al planteo original, sólo que
en lugar de suponer que hay tres personas para comer, se trata, en principio, sólo
de dos. Es decir, hay que dividir la torta en dos porciones que dejen contentos a
los comensales.
La idea es tratar de cortarla de manera que la división sea “justa”, en el sentido de
que ninguno de los dos tenga nada para objetar. ¿Cómo hacer? La solución es
relativamente sencilla. (¿Quiere pensarla por su lado?)
La idea es que uno de los dos comensales se ocupe de cortarla en dos partes y el
otro decida con cuál de las dos porciones se queda. Ésta parece una solución
justa, equitativa: “Uno corta, el otro elige”.
Ahora vuelvo al problema original: si en lugar de dos comensales hay que
distribuirla entre tres, sin que ninguno pueda reclamar nada, ¿cómo conviene
hacer?
Acá la/lo dejo pensar a usted. Se trata entonces de elaborar una estrategia que
deje contentos a todos. No es fácil. Pero tampoco imposible.
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

6. ALGUNAS CITAS
 Alguien preguntó a Einstein qué armas se usarían en la III Guerra Mundial.
Einstein contestó: No lo sé, pero sí sé las que se usarán en la IV: piedras y
palos.
 Dios existe, ya que las matemáticas son consistentes, y el Diablo existe, ya
que no podemos probar eso (A. Weyl).
 En 1688 la Universidad de Cambridge designó a Isaac Newton como su
representante en el Parlamento de Inglaterra. Parece que no fue una buena
elección: en todo su mandato, la única intervención conocida de Newton fue
para pedir que se abriera una ventana.
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

7. Teniendo en cuenta de que, la
distancia de la tierra a la luna
es 384 400 km y pensando en
que queremos cubrir esta
distancia, con un papel que
se dobla sucesivamente por la
mitad, cuyo grosor inicial es
de 0,1 cm, la ecuación que
muestra el número “n” de veces
que habría que doblar este
papel para alcanzar la luna es:
Supongo que habréis escuchado alguna vez el mito de que
no se puede doblar una hoja de papel más de 7 veces. Si
aún no lo habéis intentado, probadlo, veréis que no hay manera.
Eso es debido a que cada vez que doblas el papel, su
tamaño se reduce a la mitad y su grosor se duplica, hasta el
punto de ser físicamente imposible doblarlo después de 6 o
7 pliegues.
En SoyPlastic vi un video de National Geographic donde
construyen una hoja de papel de 400 metros cuadrados que
pesaba cerca de 40 kilos, bajo la teoría de que cuando más
grande es la hoja de papel, más pliegues se pueden hacer.
Así consiguen doblarlo hasta 10 veces, ….
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

8. LOS NÚMEROS Y SU SIGNIFICADO
1. El padre, la unificación el
corazón.
2. La dualidad, la madre, actuar
con calma.
3. La creación, hacer las cosas
bellas.
4. Estabilidad materialista.
5. Intuición basada en cosas
tangibles.
6. Amor – Sexo – Separaciones.
7. Victoria con muchas luchas.
8. Justicia y paciencia.
9. Soledad para obtener
beneficios personales.
10.Cambios positivos y negativos.
Indica que nada es estable.
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos

9. En Europa de la edad media,
multiplicaban empleando un
método hindú perfeccionado por
los árabes. Los egipcios para efectuar, la
6a 5a 4a
845 x 326 = 275 470 multiplicación, recurrieron ellos a las
2 2 8 1 4 1 5 3a
duplicaciones, sucesivas, las cuales
4 2 5 3
eran adecuadamente seleccionadas y
7 1 1 2a
6 2
8 0 sumadas después.
5 4 2 3 6
1a
8 4 0
4 7 0
32 x 27
1…………. 32 16…………. 512
2…………. 64 8…………. 256
4…………. 128 2…………. 64
8…………. 256 1…………. 32
16………. 512 27…………. 864
Para obtener el resultado final
sumaban oblicuamente los
Los egipcios dividían duplicando y tomando mitades.
resultados parciales.
105  16
1 vez 16 ….. 16 32 2
2 veces 16 ….. 32* 64 4
Los hindúes utilizaron ya la
4 veces 16 ….. 64* 8 1/2 notación a/b para indicar la
8 veces 16….. 128 1 1/16
105 6 9
división, la cual figura en el libro de
1/2 veces 16….. 8* 16
1/4 veces 16….. 4 Aritmética, de Leonardo de Pisa
1/8 veces 16….. 2 (1175 - 1250). También los árabes
1/16 veces 16….. 1*
indicaron la división por medio de
fracciones. Pero un libro publicado
1er. Paso 2do. Paso 3er. Paso en 1669. Fue RAHN quien empleo
el signo  para indicar la división.
Se necesitan buscar los números que en la 2da.
El actual signo que usamos (:) fue
columna sumen 105. Luego la suma de los introducido por LEIBNITZ en 1684.
correspondientes número de la columna de la
izquierda, nos da el cociente buscado o sea 6 9
16
Recopilado por Jenner Huamán Callirgos