EJERCICIOS DE REFUERZO EN MATEMÁTICA

1. Junio

2. Áreas
Ulises afirmó que si el área
del cuadrado sombreado es 1,
entonces las áreas de los otros
polígonos son 1 , 2 y 2 .
¿Cuál es cuál? ¡Explique!
1. Sabemos que el área del cuadrado sombreado es 1. Determine el área de
cada una de los otros polígonos. Los vértices de los polígonos son puntos
de la retícula. ¡Explique cómo encontró estas áreas!
2. a. Dibuje un cuadrado de área 8.
b. Dibuje dos polígonos diferentes, cada una de área 7. Los vértices de
los polígonos son puntos de la retícula.
1
2
1
2

3. 3. a. Dibuje un triángulo de área 2 y un triángulo de área 4.
b. Dibuje tres rectángulos: uno de área 3, otro de área 4 y otro de área 5.
Los vértices de los polígonos son puntos de la retícula.
4. a. Dibuje tres pentágonos: uno de área 2 , otro de área 3 y otro de
área 4.
b. Dibuje dos hexágonos tales que el área del primero sea doble del área
del segundo.
Los vértices de los polígonos son puntos de la retícula.
1
2
1
2

4. Camino
En el arreglo de la izquierda se debe
trazar un camino desde A hasta B,
continuo y sin cruces.
Los números fuera del arreglo indican
por cuántas casillas, en cada fila y en
cada columna, pasa el camino.
¡Trace este camino!
Desafío 1
Trace un camino desde A hasta B
en el arreglo. Tenga en cuenta las
condiciones dadas.
Esta es la solución al
problema planteado.
¡Verifíquelo!

5. Desafío 2
Trace un camino desde A hasta B
en el arreglo. Tenga en cuenta las
condiciones dadas.
Desafío 3
Trace un camino desde A hasta B
en el arreglo. Tenga en cuenta las
condiciones dadas.
Desafío 4
Trace un camino desde A hasta B
en el arreglo. Tenga en cuenta las
condiciones dadas.

6. Alimento para Caballos
“Si dos caballos requieren 30 cuartos de avena
(equivalentes a un cuarto de tonelada) para 365
días, ¿cuántos cuartos de avena requerirán 11
caballos para 73 días?
El siguiente problema se encuentra en la Aritmética de William
Braid, un libro escrito a mano por él mismo.
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics

7. Árbol Sabio
Completa el siguiente árbol sabio compuesto por cinco palabras:
cuatro horizontales de tres, cinco, siete y nueve letras y una palabra
vertical en el centro compuesta de diez letras.
Las cuatro palabras horizontales se leen de izquierda a derecha y la
vertical, de arriba a abajo. Las palabras buscadas corresponden a las
descripciones dadas.
Agente físico que hace
visible los objetos
De corta extensión
o duración
Que carece de claridad,
orden o precisión
Que tiene el primer
lugar en importancia
Así se llama en geografía a la
extensión o área de un territorio

8. Logikubo
Estas son las fichas del
juego del Logikubo. Cada
una se identifica con un
color diferente.
Con estas nueve fichas
es posible formar una gran
cantidad de figuras.
El desafío es reconstruir
la figura que se presenta a
continuación y crear otras
con las cuales pueda retar
a sus compañeros.

9. Mate en Dos Jugadas
1. Observe el tablero de la
izquierda. El turno de jugar es de
las blancas y en dos jugadas darán
jaque mate al Rey negro. La
primera jugada es la que se indica
con la flecha.
¿Cómo continúan las negras?
________________________
________________________
¿Cómo dan mate las blancas?
_________________________
_________________________
2. Observe el tablero de la
derecha. El turno de jugar es de
las blancas y en dos jugadas darán
jaque mate al Rey negro.
¿Cómo?
¡Explique las jugadas!
__________________________
__________________________
__________________________
__________________________
__________________________

10. 1
2 3
4
5
6
1
2 3
4
Tetraedro
8
Formato Inicial: 1: √ 2
7 3 - 6

11. 11
10
12
9
13
14

12. Tercer Nivel
Programación de Bodas
En la cartelera de la parroquia del barrio se encuentra el listado de las bodas
que se celebrarán la próxima semana. Con la ayuda de las siguientes pistas
complete los datos de estas bodas.
PISTAS:
1. Camila se casará el jueves. Leonardo se casará a las 6:00 p.m.
2. Julián es el novio de Cristina. El matrimonio del sábado será a las 5:30 p.m.
3. Milena se casará a las 6:30 p.m. La boda del viernes será a las 7:00 p.m.
4. La boda de Fabián será el domingo. Camilo no es novio de Sandra.
5. La boda del lunes no será a las 5:00 p.m. Diana no es la novia de Juan.
6. Camilo se casará el sábado. Fabián no es el novio de Sandra.
7. Leonardo se casará el lunes.

13. Cuarto Nivel
Programación de Bodas
En la cartelera de la parroquia del barrio se encuentra el listado de las bodas
que se celebrarán la próxima semana. Con la ayuda de las siguientes pistas
complete los datos de estas bodas.
PISTAS:
1. Santiago se casará el domingo. Camilo se casará el sábado.
2. Diana se casará a las 7:00 p.m. El matrimonio de Sergio será el viernes pero
no a las 5:00 p.m.
3. La ceremonia del jueves será a las 6:00 pm. Tomás es el novio de Milena.
4. Fabián se casará a las 6:30 p.m. Santiago se casará a las 5:30 p.m.
5. La ceremonia del martes no será a las 7:30 pm. Juan no es el novio de Tatiana.
6. Sandra no es quien se casará a las 5:00 pm. Cristina no se casará el domingo.
7. Camila se casará el lunes. Tatiana se casará el viernes.
8. Fabián se casará el martes.

14. Victorino ubicó las fichas de arriba, una en cada casilla vacía del
arreglo de abajo, como se muestra.
¿Qué resultado obtuvo Victorino? (Ten en cuenta el orden de
las operaciones.)
Cien
1. Cuando Victorino quiso repetir el ejercicio, pero
ahora con las fichas de la derecha, lo hizo de la
siguiente manera:
2. Complete el arreglo de abajo ubicando las
fichas de la derecha, una en cada casilla
vacía, para obtener una expresión correcta.
Como se observa, las fichas quedaron mal ubicadas. Cambie de posición dos
de estas fichas para obtener el resultado correcto.

15. 3. Complete el arreglo de abajo ubicando las
fichas de la derecha, una en cada casilla vacía,
para obtener una expresión correcta.
4. Complete el arreglo de abajo ubicando
las fichas de la derecha, una en cada
casilla vacía, para obtener una
expresión correcta.
5. Complete el arreglo de abajo ubicando
las fichas de la derecha, una en cada
casilla vacía, para obtener una
expresión correcta.
6. Complete el arreglo de abajo ubicando las fichas de
la derecha, una en cada casilla vacía, para obtener
una expresión correcta.

16. Anécdotas Edificantes
Antes de continuar con el tema centrado
en los adelantos tecnológicos y científicos de
los muiscas (Mhuyscas), quisiera detenerme
un poquito en esto de las “Puertas (portales)
Dimensionales”. La literatura de anticipación
y ciencia−ficción, así como el cine y los
comics, nos han mostrado “realidades”
relacionadas con la posibilidad de la
existencia de culturas extraterrestres de
altísimos adelantos tecnológicos. También
hemos asistido a fenómenos para nosotros
inexplicable que, de alguna manera, nos
afectan así que no los aceptemos o lo
hagamos muy calladamente. He aquí una
muestra: Muchos de los lectores recordarán
que, según el Calendario de los Mayas, el 21
de Diciembre de 2012 habría un cambio
definitivo en el planeta Tierra, ocasionado
por una inversión de su campo magnético. El
Dr. E. Barrios, historiador, antropólogo e
investigador hispano−mexicano, quien
también es Ajq´ij Maya (sacerdote
ceremonial del Clan del Águila de la cultura
Maya) aclara que las fechas del solsticio de
invierno de 20121, no marcaban el fin del
mundo, como mucha gente llegó a creer. La
humanidad como tal continuará pero de un
modo un poco diferente. Quizá desde hace
un poco más de cuatro años –según los
Mayas− hemos tenido la oportunidad de ser
«más humanos», dice el sacerdote. La NASA
(Agencia Aeroespacial de EEUU) explicó en
ese entonces, el porqué no se “acabó el
mundo”. Según ellos, todo fue un error
desde el principio. “El calendario Maya no
terminaba el 21 de diciembre de 2012 y no
hubo profecías mayas que predijeran el fin
del mundo en esa fecha”, acota el doctor en
radioastronomía John Carlson, Director del
Centro de Arqueoastronomía de la NASA. En
el lenguaje de los académicos mayas, 13
“Bak tunes”2 transcurrieron entre el
comienzo del mundo y el 21 de diciembre de
2012. “Se trata de un intervalo significativo
en la teología maya, pero no destructivo.
Esta fecha es de convergencia", dijo en ese
entonces Carlson, quien es un experto en el
estudio de galaxias distantes. Dejo aquí el
interrogante de que los científicos de la
NASA para nada desautorizaron las creencias
ni la tecnología Maya.
Pero, volvamos a “Las puertas (portales)
dimensionales”. El religioso Duquesne citado
en la bibliografía de la Dra. Escribano,
escribió entre otras obras, Disertación sobre
el Calendario Jeroglífico de los Moscas, El
Anillo astronómico de los Moscas y El Origen
de los Números. Aquí Moscas hace
referencia a los Muiscas (Mhuysqas como los
Preguntas; Inquietudes; Dudas; Respuestas Contextualizadas; Hipótesis.
1 El solsticio corresponde a los primeros días de
una estación, mientras que el equinoccio marca los
días finales de la misma.
2 Un Bak Tune es una unidad de tiempo que
tiene una duración de un poco más de 394 años.
¿PUERTAS DIMENSIONALES EN
SANTUARIOS CHIBCHAS?
Segunda Parte

17. denomina la Dra. Escribano). En la Segunda
Parte de Investigaciones semiológicas sobre
la lengua Mhuysqa, “Descifrado de los
Números del Calendario Lunar”, aparece en
una nota de referencia una cita de Duquesne
sobre las geometrías, preservadas
religiosamente por los Mhuysqas en su
código−forma, enfocadas en una época
mítica y gloriosa. El estudioso curita afirma
en la tal referencia, que posee un manuscrito
que, según él, contiene una auténtica
revolución del tiempo.
El documento muestra el esquema
detallado de una pequeña piedra –como de
jaspe negro, tersa y de forma pentagonal. El
primer lado –más largo que los otros−
contiene una figura en relieve de una rana
(iesúa zihita –animal sagrado para los
chibchas−) con más cola y sin patas (¿un
renacuajo?), sobre un plano limitado por
cuatro líneas. Más adelante hay una figura
en forma de culebrilla en cuyo dorso hay dos
líneas iguales paralelas. En el segundo lado
hay grabado un sapo presto a brincar sobre
un plano limitado por cuatro líneas como las
del primer lado. En el tercero hay una línea
gruesa en forma de dedo señalado con tres
líneas gruesas transversales y, en medio del
dorso, una prominencia como una nariz,
señalada por los lados con dos puntos
opuestos, uno en cada lado. El cuarto lado
tiene otra línea gruesa, pero no en el centro
sino al lado del plano del lado. El quinto es
como los dos anteriores, conservando el
centro como el primer lado. En una de las
caras del pentágono hay un círculo cortado
por un segmento, en el que hay un dibujo de
doble línea en ángulo obtuso. En la otra
cara, hay un círculo menor en cuyo centro
hay un punto, y está cortado por un
segmento de cuyos extremos parten dos
líneas que se unen hacia afuera formando
ángulo. En la misma cara hay una figura de
culebrilla en cuyo dorso hay dibujadas dos
Enrique Guzmán
líneas paralelas y en cuya cabeza aparece un
ángulo agudo y en la cola un triángulo
partido por una línea más gruesa. Como se
sabe, la serpiente −culebrilla− es un símbolo
universal del tiempo. El triángulo es
sinónimo de “nupcias” (en este caso del Sol
y la Luna) realizadas a través de la
inmensidad del tiempo. Para el religioso, el
ideograma es una “llave”. Bueno, ¿Y qué
puerta se abre con una llave de estas
características? Según el experto en
“Relatividad”, Kip Stephen Thorne (asesor
del guión de la película de Christopher Nolan,
“Interestelar”), hay agujeros de gusano –en
lugares desapercibidos− cuya función es
servir de canales para viajar en el tiempo.
¿Creía el Gringo que algunos caciques
sagrados Mhuysqas tenían una llave especial
que incrustaban en determinada pared de la
caverna de un santuario para viajar
instantáneamente a otro lejano
–interespacial o no− y encontrarse con otro
líder de su categoría y alcurnia? ¡Averígüelo,
Vargas¡ Russ se llevó el secreto a la tumba.
En ninguno de los documentos que me legó
vuelve a hacer referencia de su preocupación
respecto a la relación entre los santuarios
chibchas y los santuarios pitagóricos. Pero la
cuestión es indiscutiblemente interesante. El
curita Duquesne explica que los elementos
de su manuscrito (pentágono, sapo, rana,
línea gruesa, serpiente alargada, líneas
paralelas, planos limitados, un dedo, una
nariz, líneas gruesas transversales, puntos
opuestos, circulo cortado por segmento
(distintivo pitagórico), ángulo obtuso,
círculos más pequeños, ángulos, serpientes
pequeñas, triángulos (otro atributo
pitagórico)) son símbolos del número
HIKSQA, el cinco (sagrado como el GÜETA /
el veinte) de los Mhuysqas, y que es el ciclo
lunar o círculo del tiempo (¿para viajar en el
tiempo?). ¡Vaya hipótesis¡ Habrá que
esperar otra ENTREGA.

18. Matemática Visual
El sólido de la figura se construyó utilizando cubos unitarios de color blanco.
¿Cuántos cubos se necesitaron?
¿Cuántas caras tiene este sólido?
Luego se pintaron todas sus caras de color azul. Al secarse, se volvió a
descomponer el sólido en cubos unitarios.
¿Cuántos cubos quedaron completamente blancos?
¿Cuántos cubos tienen exactamente una cara azul?
¿Cuántos cubos tienen exactamente dos caras azules?
¿Cuántos cubos tienen exactamente tres caras azules?

19. Consejosde Grandes Empresarios
“Los líderes sobresalientes salen de su
camino para potenciar la autoestima de su
personal. Si las personas creen en sí
mismas, es increíble lo que pueden lograr.”
Para asegurar un alto nivel de compromiso de
los trabajadores, Walton trataba a todos como
socios e implementaba metas para los
trabajadores de bajo rendimiento para que
entre todos se ayudaran.
“Comprométete a triunfar y sé entusiasta.”
Sam Walton estaba decidido a hacer lo que fuera
necesario para realizar sus sueños. Solía ir a
trabajar a las 4:00 a.m. para revisar los
informes de venta del día anterior y pensar un
poco antes de que llegaran los demás
ejecutivos.
“Si no confías en tus trabajadores y no
dejas que sepan lo que está ocurriendo,
ellos sentirán que no los consideras
realmente socios.”
Todos los que laboran contigo merecen saber lo
que ocurre en la empresa. Cuando hay secretos
vienen los rumores y es ahí cuando la gente
desconfía de su líder.
“Creo haber superado cada una de mis
deficiencias personales por la pasión al
trabajo. No sé si naciste con esa pasión,
pero se puede aprender porque se
necesita.”
Cuando algo te apasiona, no te debería costar
trabajo aprender todo lo que puedas sobre eso.
Entre más informado estés, más fácil será hacer
realidad tu idea.
“Controla tus gastos mejor que tus
competidores. Es ahí donde siempre
puedes encontrar tu ventaja competitiva.”
No te compares con la competencia, pero sí
asegúrate de tener en orden tus gastos.
“Las expectativas altas son la llave para
alcanzarlo todo.”
Una mente positiva puede llegar muy lejos. No
estamos diciendo que te ilusiones sin sustento,
pero es importante que creas que tu idea es
capaz de superar fronteras.
“Ve con buen humor tus fracasos y no los
tomes muy en serio.”
No te obsesiones con la idea del fracaso. Todos
los empresarios exitosos pasaron por eso alguna
vez y lo que aprendieron les dio una lección que
nunca olvidarán.
“Recuerda que las dos palabras más
importantes para que el cliente vuelva son:
‘satisfacción garantizada."
Esto tiene que ver con la calidad. Crea una
relación de confianza con tu consumidor y hazle
saber que estás ahí por si surge algún problema
o inquietud.
“Supera las expectativas de tus
consumidores. Dales lo que quieren y un
poco más.”
El cliente no sólo busca un producto de calidad,
también quiere una experiencia completa y muy
pocas marcas toman esto en cuenta. Tu meta
debe ser lograr que la persona salga feliz
después de su compra.
“Nada contra la corriente.”
Recorre el camino al revés. Si todos están
haciéndolo de una manera, hay una buena
posibilidad de que encuentres un espacio si
haces exactamente lo opuesto. Lo último que
Walton escuchó fue que una ciudad con menos
de 50,000 habitantes no podía mantener una
tienda de ofertas por mucho tiempo.
Sam
Walton
Fundador de
Walmart y
Sam's Club

20. "Un hombre se debe
parecer a su sombra."