resumen de la teoría de numeros

1. Cap´
ıtulo 1
Teor´ Aditiva y Combinatoria de
ıa
N´ meros
u
En este cap´
ıtulo trataremos algunos problemas aditivos en la teor´ de n´meros
ıa u
con cierto sabor combinatorio.
¿Qu´ podemos decir acerca del tama˜o de un conjunto A ⊂ [1, N ] de enteros
e n
con la propiedad de que sus elementos no satisfacen una ecuaci´n determinada?
o
La respuesta a esta pregunta en cada una de las siguientes ecuaciones repre-
senta un problema central en la teor´ combinatoria de n´meros.
ıa u
1. x + y = z + w (Conjuntos de Sidon)
2. x + y = 2z (Conjuntos sin progresiones aritm´ticas)
e
3. x + y = z (Conjuntos libres de sumas )
Se define el conjunto suma de dos conjuntos A y B como
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
De manera m´s general se define
a
A1 + · · · + Ak = {a1 + · · · + ak : ai ∈ Ai }.
Los conjuntos productos se definen de manera an´loga.
a
Muchos problemas de la teor´ de n´meros se pueden plantear en t´rminos de
ıa u e
los conjuntos suma.
1

2. 2 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
Por ejemplo la conjetura de Goldbach afirma que P + P = {6, 8, 10, ..., 2n, ...}
donde P es el conjunto de los primos impares. El teorema de Lagrange que vimos
en una secci´n anterior afirma que S + S + S + S = {0, 1, 2, 3, ..n, ..} donde S =
o
2
{k : k ≥ 0}.
El estudio de todos estos problemas nos permiten ilustrar los diferentes m´to-
e
dos, combinatorios, anal´ıticos y probabil´
ısticos que aparecen con frecuencia en la
teor´ aditiva combinatoria de n´meros.
ıa u
Empezaremos con los m´todos de criba que han permitido resolver muchos
e
problemas.
1.1. M´todos de criba
e
Supongamos que queremos construir una tabla formada por todos los n´meros
u
primos menores que un cierto entero positive x.
Empezaremos escribiendo todos los enteros menores que x. Como un entero
compuesto debe ser divisible por por un primo menor o igual que su ra´ cuadrada,
ız
el procedimiento a seguir consistir´ en ir tachando todos aquellos que sean divisibles
√ a
por alg´n primo menor que x. Los n´meros que sobrevivan a esta criba, los no
u u √
tachados, ser´n aquellos primos comprendidos entre x y x.
a
Este simple ejercicio es conocido como la criba de Erat´stenes.
o
Desde un punto de vista m´s general, el m´todo de la criba trata de contar el
a e
n´mero de t´rminos de una sucesi´n no divisibles por ning´n primo perteneciente a
u e o u
un conjunto determinado de ellos.
Dada una sucesi´n A de enteros positivos, y una sucesi´n B de primos; por
o o
S(A; B, z) designaremos al n´mero de elementos de la sucesi´n A no divisibles por
u o
ning´n primo p ∈ B, p ≤ z.
u
Si definimos
P (z) = p,
p<z, p∈B
tenemos que
S(A; B, z) = #{a : a ∈ A, (a, P (z)) = 1}.
Recordemos la funci´n µ de M¨bius y una de sus propiedades
o o

1 si n = 1

µ(n) = (−1)k , n = p1 · · · pk


0 si p2 | n para alg´n n
u

3. ´
1.1. METODOS DE CRIBA 3
Ahora podemos escribir
S(A; B, z) = 1= µ(d) = µ(d) 1.
a∈A a∈A d|(a,P (z)) d|P (z) a∈A, d|a
(a,P (z))=1
Si definimos Ad = {a ∈ A : a ≡ 0 (m´d d)} entonces
o
S(A; B, z) = µ(d)|Ad |.
d|P (z)
Veamos algunos ejemplos:
√
Ejemplo 1. Si A = {n ≤ x}, B = {p : p primo} y z = x nos encontramos
ante el ejemplo m´s sencillo de la criba de Erat´stenes
a o
√ √
S(A; B, x) = π(x) − π( x) + 1.
√
Hemos de a˜adir el 1, que no es divisible por ning´n primo menor que
n u x pero que
tampoco es primo.
x
Observando que, en este caso, |Ad | = d
obtenemos la denominada f´rmula
o
de Legendre.
√ x
π(x) − π( x) + 1 = µ(d) .
√ d
d|P ( x)
Ejemplo 2. Consideremos ahora la sucesi´n A = {(2n − 1)(2n + 1) : n <
√ o
x/2}, B = {p : p > 2} y z = x. Si (2n − 1)(2n + 1) no es divisible por ning´n
√ u
primo menor que x, entonces 2n − 1 y 2n + 1 son primos simult´neamente y nos
a
encontramos ante una pareja de primos gemelos.
√ √
S(A; B, x) = #{p : x < p < x, p + 2 primo}.
√
Es decir, S(A; B, x) = π2 (x) + O(x1/2 ), donde π2 (x) cuenta el n´mero de primos
u
gemelos menores que x.
La conjetura sobre la existencia d infinitos primos gemelos es una de las m´s
a
famosas en la Teor´ de los N´meros. En esta secci´n demostraremos un teorema
ıa u o
debido a Viggo Burn: La suma de los inversos de los primos gemelos es convergente.
Ejemplo 3. Dado un n´mero positivo par N , consideremos la sucesi´n A =
u √ o
{n(N − n) : n < N }, B = {p > 2} y z = N . Por las mismas razones que en

4. 4 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
√
el ejemplo anterior, si n(N − n) no es divisible por ning´n primo menor que N ,
u
entonces n y N − n son primos y su suma es N . Es decir,
√ √
S(A, B, N ) = #{N = p + q : p, q > N , p, q, primos} = r(N ) + O(N 1/2 ),
donde r(N ) es el n´mero de representaciones de N como suma de dos primos.
u
Despu´s de estas primeras dosis de optimismo que pueden dar la impresi´n de
e o
que el m´todo de la criba lo soluciona casi todo, nos enfrentaremos a los numerosos
e
inconveninetes que tiene el ponerlos en pr´ctica.
a
Recordemos la f´rmula
o
S(A; B, z) = µ(d)|Ad |.
d|P (z)
Si el cardinal de A es A, intentaremos aproximar |Ad | por ω(d) |X| de tal manera
d
que ω sea una funci´n multiplicativa y que rd = |Ad | − ω(d) X sea lo m´s peque˜o
o d
a n
posible.
Si ahora sustituimos en la f´rmula anterior obtenemos
o
µ(d)ω(d)
S(A, B, z) = X + µ(d)rd
d
d|P (z) d|P (z)
ω(p)
=X 1− + µ(d)rd .
p<z,
p
d|P (z)
p∈B
El t´rmino principal es relativamente f´cil de estimar utilizando las f´rmulas de
e a o
Mertens. Sin embargo, el t´rmino de error tiene demasiados sumandos y la can-
e
celaci´n que pudiera haber es casi imposible de aprovechar.
o
Interesa, entre otras cosas, que z sea lo m´s peque˜a posible. Observemos que
a n
si z2 ≤ z1 entonces S(A; B, z1 ) ≤ S(A; B.z2 ). Por ello es mucho m´s f´cil conseguir
a a
cotas superiores que inferiores.
Necesitaremos el lema siguiente, una consecuencia inmediata de las f´rmulas
o
de Mertens.
Lema 1.1.1. Para todo entero k = 0 tenemos la estimaci´n
o
k 1
(1.1) 1− .
k<p<x
p (log x)k
Demostraci´n. Tomando logaritmos tenemos
o
k k k2
(1.2) log 1− =− +O = −k log log x + O(k)
k<p<x
p k<p<x
p k<p<x
p2

5. ´
1.1. METODOS DE CRIBA 5
por la f´rmula de Mertens.
o
Este primer teorema nos familiarizar´ con la notaci´n y nos dar´ una cota
a o a
superior no trivial de los primos menores que x.
Teorema 1.1.2.
x
π(x) .
log log x
√
Demostraci´n. Si A = {n : n ≤ x} y B = {p} entonces S(A; B, x) = π(x) +
√ o
O( x), como vimos anteriormente.
√ √
Tambi´n, si z ≤ x tenemos que S(A; B, z) ≤ S(A; B, x. Aproximamos Ad
e
por |Ad | = x = x − x . Entonces ω(d) = 1 para todo d y rd = −{x/d}. Luego,
d d d
1
S(A; B, z) ≤ x 1− + 1.
p<z
p
d|P (z)
Haciendo k = 1 en el lemma 1.1.1 tenemos que
1 1
1− .
p<z
p log z
Por otra parte el n´mero de divisores de P (z) es 2π(z)
u 2z . Luego,
x
π(x) + 2z + x1/2 .
log z
x
Eligiendo z = log x obtenemos π(x) log log x
.
Este teorema es mucho menos preciso que el teorema del n´mero primo e
u
incluso que el teorema de Chebychev. Esto es debido a que el z elegido es mucho
√
m´s peque˜o que x.
a n
Los diferentes m´todos de criba consisten en acotar d|P (z) por otro tipo de
e
funciones que hagan m´s peque˜o el t´rmino del error y permitan elegir z m´s
a n e a
grande.
1.1.1. Criba de Viggo Brun
Lema 1.1.3.
(1.3) ≤ µ(d) ≤ µ(d).
d|n d|n d|n
ν(d)≤2k+1 ν(d)≤2k

6. 6 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
Demostraci´n. Si n = 1, las tres sumas son iguales. Sea ν(n) = v. Entonces
o
v
µ(d) = (−1)m .
m
d|n
ν(d)=m
Si definimos
k−1
v
σk (n) = µ(d) = (−1)m ,
m=0
m
d|n
ν(d)≤k−1
v−1
demostraremos que σk (n) = (−1)k−1 k−1
y por lo tanto el lema.
Lo haremos por inducci´n sobre k. Para k = 1 es obvio. Aplicando la hip´tesis
o o
de inducci´n tenemos
o
v v v−1
σk+1 (n) = (−1)k + σk (n) = (−1)k + (−1)k−1
k k k−1
v v−1 v−1
= (−1)k − = (−1)k
k k−1 m
En el siguiente teorema veremos c´mo se utiliza la criba de Brun en el problema
o
de los primos gemelos.
Teorema 1.1.4. La suma de los inversos de los primos gemelos es convergente.
Demostraci´n. Lo que demostraremos es que
o
x
π2 (x) (log log x)2 .
log2 x
Despu´s de esto la suma la podemos estimar de la manera siguiente:
e
∞ ∞
1 1 1
π (2k+1 )
k 2
p, p+2 primos
p k=0 2k <p≤2k+1
p k=0
2
p,p+2 primos
∞ 2 ∞
1 2k+1
log (k + 1) log2 k
< +∞.
k=0
2k (k + 1)2 k=1
k2
Sea A = {(2n √ 1)(2n + 1) : n ≤ x/2}, B = {p : √ > 2}. Seg´n hemos
− √ p u
visto antes, S(A; B, x) = π2 (x) + O( x). Luego si z ≤ x, tenemos π2 (x)
√
S(A; B, z) + O( x).

7. ´
1.1. METODOS DE CRIBA 7
Por otra parte, utilizando el teorema anterior, podemos escribir
S(A; B, z) = 1= µ(d) ≤ µ(d)
a∈A a∈A d|(a,P (z)) a∈A d|(a,P (z)
(a,P (z))=1 ν(d)≤2k
= µ(d) 1= µ(d)|Ad |,
d|P (z) a∈A d|P (z)
ν(d)≤2k d|a ν(d)≤2k
para un k que elegiremos m´s adelante.
a
La cantidad |Ad | es el n´mero de enteros n ≤ x/2 que satisfacen la congruencia
u
(2n − 1)(2n + 1) ≡ 0 (m´d d). Como µ(d) = 0 y d es impar tenemos que
o
|Ad | = #{n : n ≤ x/2, 2n − 1 ≡ 0 (m´d d1 ), 2n + 1 ≡ 0 (m´d d2 )}
o o
d1 d2 =n
x τ (d)
= + O(1) = + O(τ (d)),
d1 d2 =d
2d 2d
donde τ (d) = n´mero de divisores de d.
u
Sustituyendo arriba tenemos
x µ(d)τ (d)
S(A; B, z) ≤ +O τ (d) .
2 d
d|P (z) d|P (z)
ν(d)≤2k ν(d)≤2k
El t´rmino de error se puede calcular de la siguiente manera. Si ν(d) = r entonces
e
τ (d) = 2r y
2k 2k
r π(z) π r (z)
τ (d) = 2 ≤ 2r ≤ π 2k (z)22 .
r=0
r r=0
r!
d|P (z)
ν(d)≤2k
Por otra parte, la suma del t´rmino principal la podemos escribir
e
µ(d)τ (d) µ(d)τ (d) µ(d)τ (d)
= −
d d d
d|P (z) d|P (z) d|P (z)
ν(d)≤2k ν(d)≥2k+1
2 µ(d)τ (d)
= 1− − .
2<p<z
p d
d|P (z)
ν(d)≥2k+1

8. 8 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
Para estimar la ultima suma utilizaremos la siguiente desigualdad:
´
r
1
µ(d)τ (d) 1 2<p<z p
≤ 2r ≤ 2r .
d d r!
d|P (z) d|P (z)
ν(d)=r ν(d)=r
1
Por las f´rmulas de Mertens sabemos que
o 2<p<z p ≤ log log x + C para una con-
stante universal C. Entonces
∞
µ(d)τ (d) (2 log log z + 2C)r
≤
d r=2k+1
r!
d|P (z)
ν(d)≥2k+1
∞
2e log log z + 2eC r
≤ .
r=2k+1
r
Hemos utilizado la desigualdad r! > (r/e)r , que se puede probar por inducci´n
o
n
observando que (1 + 1/n) < e para todo n.
Si elegimos k = [4e log log z + 4eC] + 1, la suma se puede mayorizar por
1 1
2−2k ≤ 8e log 2
≤ .
(log z) (log z)8
Sustituyendo obtenemos
x 2 x
π2 (x) ≤ 1− + 8 + π 2k (z) + O(x1/2 ).
2 2<p<z p log z
Si ahora tomamos z = x1/(4k) y utilizamos las estimaciones
x 2 1
π(x) y 1−
log x 2<p<z
p log2 z
obtenemos
x
π2 (x) (log log x)2 .
log2 x
1.2. Conjuntos de Sidon
1.2.1. Preliminares
Dado un grupo G decimos que A ⊂ G es un conjunto de Sidon si todas las
diferencias a − a : a, a ∈ A son distintas. Representaremos por rA (x) y dA (x) al

9. 1.2. CONJUNTOS DE SIDON 9
n´mero de representaciones de n de la forma
u
(1.4) x = a+a, a, a ∈ A
(1.5) x = a−a, a, a ∈ A
respectivamente.
Un conjunto de Sidon es por tanto aquel tal que dA (x) ≤ 1 para todo x ∈
G, x = 0 o de otra manera, aquel tal que rA (x) ≤ 2 para todo x ∈ G.
De manera m´s general, dados dos conjuntos A, B, definimos rA+B (x) como el
a
n´mero de representaciones de x de la forma x = a + b, a ∈ A, b ∈ B. Observemos
u
que
(1.6) rA+B (x) = |A||B|
x
ya que
rA+B (x) = #{(a, b), a + b = x, a ∈ A, b ∈ B}
x x
= #{(a, b), a ∈ A, b ∈ B} = |A||B|
Recientemente se ha acu˜ado el t´rmino energ´ aditiva de A y B para la suma
n e ıa
2
(1.7) rA+B (x) = rA−A (x)rB−B (x).
x x
2
La igualdad es debido a que la suma x rA+B (x) cuenta el n´mero de cuadruplas
u
(a, b, a , b ) tales que a + b = a + b , que coincide con el n´mero de cuadruplas tales
u
que a − a = b − b, que es precisamente el valor de la suma x rA−A (x)rB−B (x).
En el caso A = B, las identidades (1.6) y (1.7) se traducen simplemente en
x rA+A (x) = x rA−A (x) = |A|2 y x rA+A (x) = x rA−A (x). Recuperando la
2 2
notaci´n anterior, rA = rA+A y dA = rA−A , tenemos
o
(1.8) rA (x) = dA (x) = |A|2
x x
2
(1.9) rA (x) = d2 (x).
A
x x
1.2.2. Cotas superiores
La cota superior m´s ingenua para el tama˜o de un conjunto de Sidon A ⊂
a n
[1, N ] es consecuencia de la observaci´n
o
|A|2 = dA (0) + dA (n) ≤ |A| + 2N − 2,
1≤|n|≤N −1

10. 10 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
de donde √
|A| ≤ 2N + 1/2.
Teorema 1.2.1. Si A ⊂ [1, N ] es un conjunto de Sidon entonces
|A| ≤ N 1/2 + N 1/4 + 1/2.
Demostraci´n. Sea B = [0, l] con l =
o n(|A| − 1) . Utilizando (1.6), (1.7) y la
desigualdad de Cauchy obtenemos
2
2 2
(|A||B|) = rA+B (n) ≤ |A+B| rA+B (n) = |A+B| rA−A (n)rB−B (n).
n∈A+B n n
La ultima suma est´ acotada por
´ a
rA−A (0)rB−B (0) + rB−B (n) ≤ |A||B| + |B|2 − |B|.
n=0
De donde
|A| − 1
|A|2 ≤ |A + B| 1 +
|B|
|A| − 1
≤ (N + l) 1 +
l+1
N (|A| − 1)
≤ N +l+ + |A| − 1
l+1
≤ N + 2 N (|A| − 1) + |A| − 1
√
= ( N + |A| − 1)2 .
√ √
Por lo tanto |A| − N ≤ |A| − 1. Escribiendo |A| = N + cN 1/4 + 1/2 y elevando
√ √
al cuadrado tenemos c2 N + cN 1/4 + 1/4 < N + cN 1/4 − 1/2, que no se satisface
si c ≥ 1.
En una secci´n posterior veremos que el t´rmino N 1/2 en esta cota superior es
o e
´ptimo.
o
1.2.3. Conjuntos de Sidon. Construcciones.
La construcci´n m´s ingenua de un conjunto de Sidon consiste en empezar con
o a
a1 = 1, a2 = 2, y una vez construidos a1 , . . . , an−1 , a˜adir el menor entero positivo
n

11. 1.2. CONJUNTOS DE SIDON 11
an tal que an = ai − aj + ak , 1 ≤ i, j, k ≤ n − 1. Los primeros t´rminos de esta
e
sucesi´n, conocida como sucesi´n de Mian-Chowla, son los siguientes:
o o
1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290...
Se desconoce c´mo crece realmente esta sucesi´n aunque como a lo m´s hay
o o a
3 3
(n − 1) enteros prohibidos para an siempre es cierto que an ≤ (n − 1) + 1, lo que
nos permite seleccionar un conjuno de Sidon en {1, . . . , n} con n1/3 elementos por
lo menos.
Una construcci´n m´s ingeniosa se basa en el hecho de que el conjunto de los
o a
primos es un conjunto de Sidon multiplicativo; es decir, todos los productos pq son
distintos. Con esta observaci´n comprobaremos que el conjunto
o
2n n
A= ap = log p , p ≤ , p primo
log n 2 log n
es un conjunto de Sidon A ⊂ {1, . . . , n}, que tendr´ tantos elementos como primos
a
n
haya menores que 2 log n .
Supongamos que ap + aq = ar + as , {p, q} = {r, s}. Entonces podemos escribir
2n (log p + log q − log r − log s)
log n
2n log r 2n log s 2n log p 2n log q
= log n
+ log n
− log n
− log n
,
donde {x} indica la parte fraccionaria de x. Como |{x} + {y} − {z} − {v}| ≤ 2 para
cualesquiera n´meros reales x, y, z, v tenemos que
u
pq log n
log ≤ .
rs n
Pero por otro lado tenemos (supongamos que pq > rs)
pq pq − rs 1 1 log n
log = log 1 + ≥ log 1 + ≥ > ,
rs rs rs 2rs n
obteniendo as´ una contradicci´n.
ı o
El teorema del n´mero primo, |{p ≤ x, √ primo }| ∼ x/ log x, nos permite ver
u p
que A es un conjunto de Sidon con ∼ n1/2 /( 2 log3/2 n) elementos.1
1
Ruzsa explot´ esta idea para construir la sucesi´n infinita de Sidon m´s densa que se conoce
o o a
hoy en d´
ıa.

12. 12 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
1.2.4. Conjuntos de Sidon en grupos
La rica estructura de algunos grupos nos va a permitir construir los conjuntos
finitos de Sidon m´s densos que se conocen.
a
En las tres construcciones que presentamos a continuaci´n p es siempre un
o
primo impar y g es una ra´ primitiva en Fp . Los tres ejemplos se pueden representar
ız
gr´ficamente (ver figuras m´s adelante) y el lector puede recrear su vista observando
a a
que no existen cuatro puntos formando un paralelogramo.
La construcci´n del ejemplo 3, en particular, nos permitir´ construir, despu´s
o a e
de unas observaciones sencillas, un conjunto de Sidon en {1, . . . , n} con ∼ n1/2
elementos.
Ejemplo 1.2.2. El conjunto de Sidon m´s sencillo que se conoce es el conjunto de
a
p elementos
A = {(x, x2 ), x ∈ Zp } ⊂ Zp × Zp .
Ejemplo 1.2.3. A Golomb se debe el conjunto de Sidon de p − 2 elementos
A = {(x, y), g x + g y = 1} ⊂ Zp−1 × Zp−1 .
Ejemplo 1.2.4. Welch descubri´ el conjunto de Sidon de p − 1 elementos
o
A = {(x, g x ), 0 ≤ x < p − 1} ⊂ Zp−1 × Zp .
Dejamos como ejercicio comprobar que los tres conjuntos de los ejemplos an-
teriores son de Sidon.

13. 1.2. CONJUNTOS DE SIDON 13
r r r r r r
r r r
rr r r
r r r r r
r r r r r rr
Zp Zp−1 r r r Zp rr
r
r r rr r r
r r r r r r
rr r r r
Zp Zp−1 Zp−1
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
Los isomorfismos entre grupos transforman conjuntos de Sidon en conjuntos
de Sidon. Es decir, si φ : G → G es un isomorfismo entre los grupos G y G , y A
es un conjunto de Sidon en G entonces el conjunto φ(A) = {φ(a), a ∈ A} es un
conjunto de Sidon en G . Basta observar que
φ(a) + φ(b) = φ(c) + φ(d) =⇒ φ(a + b − c − d) = 0
y por lo tanto a + b = c + d. Pero como a, b, c, d pertenecen a un conjunto de Sidon
entonces {a, b} = {c, d}, por lo que {φ(a), φ(b)} = {φ(c), φ(d)}.
En particular, el isomorfismo natural φ : Zp−1 × Zp → Z(p−1)p definido por
φ(a, b) = x donde x es el elemento de Z(p−1)p tal que x ≡ a (m´d p − 1) y x ≡ b
o
(m´d p), transforma, mediante el teorema chino del resto, el conjunto de Sidon del
o
ejemplo 3 en el conjunto de Sidon
(1.10) A = {(p − 1)(x − g x )p + x, 1 ≤ x ≤ p − 1} ⊂ Zp(p−1) ,
donde (y)p es el menor resto positivo congruente con y (m´d p).
o
Aunque hay otras dos construcciones cl´sicas de conjuntos de Sidon en grupos
a
de la forma Zm , ´sta, debida a Ruzsa, es la m´s sencilla de describir.
e a
Veamos c´mo podemos utilizar este conjunto para construir conjuntos de Sidon
o
en nuestro conjunto original {1, . . . , n}.
Los enteros en {1, . . . , m} que representan los elementos de un conjunto de
Sidon en Zm forman en particular un conjunto de Sidon en {1, . . . , m}. Como
sabemos de la existencia de conjuntos de Sidon en Zm con ∼ m1/2 para valores
particulares de m, por ejemplo para los de la forma m = p(p − 1) con p pri-
mo, buscaremos el primo pi tal que pi (pi − 1) ≤ n < pi+1 (pi+1 − 1). Si llamamos
F (n) = m´x{|A|, A ⊂ [1, n], A Sidon}, claramente,
a
F (n) F (pi (pi − 1)) pi
√ ≥ ≥ →1
n pi+1 (pi+1 − 1) pi+1
por el teorema del n´mero primo.
u

14. 14 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
1.3. Aplicaciones de los conjuntos de Sidon
Los conjuntos de Sidon m´s interesantes son aquellos que |A| =
a |G| − δ con
δ peque˜o. El siguiente teorema va a tener muchas aplicaciones.
n
Teorema 1.3.1. Sea A un conjunto de Sidon en un grupo G con |A| = |G| − δ.
Entonces, para todo B, B ⊂ G tenemos
|A|
(1.11) #{(b, b ) ∈ B × B , b + b ∈ A} = |B||B | + θ(|B||B |)1/2 |G|1/4 ,
|G|
1/2
con |θ| ≤ 1 + 2 m´x{0,δ}|B|
a
|G|
.
Demostraci´n. Empezaremos demostrando la siguiente desigualdad:
o
2
|A||B| |G| − |A|2
(1.12) rA−B (e) − ≤ |B|(|A| − 1) + |B|2 .
x∈G
|G| |G|
Para hacerlo utilizamos las igualdades (1.6) y (1.7)) y obtenemos
2
|A||B| |A|2 |B|2
(1.13) rA−B (e) − = rB−B (e)rA−A (e) − .
x∈G
|G| x∈G
|G|
Como A es un conjunto de Sidon entonces
(1.14) rB−B (x)rA−A (x) = |A||B| + rB−B (x)rA−A (x)
x∈G x=0
≤ |A||B| + rB−B (x) = |A||B| + |B|2 − |B|.
x=0
La desigualdad (1.12) se sigue de (1.13) y (1.14).
Asumimos que |B| ≤ |B | y observemos que
|B||B ||A| |A||B|
#{(b, b ) ∈ B × B , b + b ∈ A} − = rA−B (b ) − .
|G| b ∈B
|G|
Ahora aplicamos la desigualdad de Cauchy, la desigualdad 1.12 y la hip´tesis |A| =
o
|G|1/2 − δ.
2
|A||B| |G| − |A|2
rA−B (b ) − ≤ |B | |B|(|A| − 1) + |B|2
b ∈B
|G| |G|
δ(2|G|1/2 − δ)
= |B ||B| |G|1/2 − δ − 1 + |B|
|G|
m´x(0, δ)|B|
a
≤ |B||B ||G|1/2 1+2
|G|

15. 1.3. APLICACIONES DE LOS CONJUNTOS DE SIDON 15
En los tres ejemplos de conjuntos de Sidon en grupos finitos que hemos visto,
todos ellos satisfacen δ ≤ 1.
Corolario 1.3.2. Si A ⊂ G es un conjunto de Sidon con |A| = |G| − δ y B ⊂ G
es un subgrupo, entonces
|A||B|
|A ∩ B| = + θ|G|1/4 ,
|G|
1/2
donde |θ| ≤ 1 + 2 m´x(0,δ)|B|
a
|G|
.
Demostraci´n. Observemos que cada elemento de A ∩ B se puede escribir como
o
b + b , b, b ∈ B de exactamente |B| maneras. As´ que
ı
#{(b, b ) ∈ B × B : b + b ∈ A}
|A ∩ B| =
|B|
y despu´s aplicamos el teorema 1.3.1.
e
Como veremos, la estrategia consiste en elegir el conjunto de Sidon A y los
conjuntos B y B seg´n el problema.
u
1.3.1. Ecuaciones en Fq
Empezamos con un ejemplo sencillo.
Teorema 1.3.3. Sean A1 , A2 , A3 , A4 ⊂ Fq y sea T = |A1 ||A2 ||A3 ||A4 |. Entonces, el
n´mero de soluciones de la ecuaci´n x1 + x2 = (x3 + x4 )2 en Fq es
u o
T
(1.15) S= +θ qT , |θ| ≤ 1.
q
Demostraci´n. Consideramos el conjunto de Sidon A = {(x, x2 ) : x ∈ Fq } y los
o
conjuntos B = A2 × A4 y B = A1 × A3 . Observemos que S = |{(b, b ) ∈ B × B :
b + b ∈ A} y aplicamos el teorema 1.3.1.
Teorema 1.3.4. Sean X1 , X2 , X3 , X4 ⊂ F∗ y sea T = |X1 ||X2 ||X3 ||X4 |. Para todo
q
λ = 0 escribimos Sλ para el n´mero de soluciones de x1 x2 − x3 x4 = λ. Entonces
u
tenemos que
T
Sλ = + θ T q, |θ| ≤ 1 + o(1).
q

16. 16 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
Demostraci´n. Consideramos el conjunto de Sidon A = {(log x, log(x − λ) : x =
o
0, λ} y B = log X1 × log X3 , B = log X2 × log X4 . Es claro que Sλ = {(b, b ) ∈
B × B : b + b ∈ A}. Y ahora aplicamos el teorema 1.3.1.
En particular, si |X1 ||X2 ||X3 ||X4 | p3 ambas congruencias tiene soluci´n.
o
Teorema 1.3.5. Sean X1 , X2 ⊂ F∗ y X3 , X4 ⊂ Fq y pongamos T = |X1 ||X2 ||X3 ||X4 |.
q
Para todo λ escribimos Sλ para el n´mero de soluciones de x1 x2 + x3 + x4 = λ. En-
u
tonces tenemos,
T
Sλ = + θ T q, |θ| ≤ 1 + o(1).
q
Demostraci´n. Consideramos el conjunto de sidon A = {(x, g x − λ)} y los conjuntos
o
B = X1 × log X3 y B = X2 × log X4 .
1.3.2. Estimaciones suma-producto en Fq
Garaev demostr´ el siguiente resultado utilizando sumas trigonom´tricas. Aqu´ lo
o e ı
haremos de una manera m´s sencilla como corolario del teorema (1.3.1).
a
Teorema 1.3.6. Sean A1 , A2 ⊂ F∗ y A3 ⊂ Fq . Entonces
q
|A1 |2 |A2 ||A3 |
|A1 A2 ||A1 + A3 | m´ |A1 |q,
ın
q
Demostraci´n. Consideremos el conjunto de Sidon A = {(x, log x) : x = 0} y los
o
conjuntos B = (A1 + A2 , log A1 + log A3 ) and B = (−A2 , − log A3 ).
Hay |A1 ||A2 ||A3 | pares (b, b ) ∈ B × B de la forma
(b, b ) = ((a1 + a2 , log a1 + log a3 ), (−a2 , − log a3 )) , ai ∈ Ai .
Todos ellos son distintos y b + b = (a1 , log a1 ) ∈ A. Entonces
#{(b, b ) ∈ B × B , b + b ∈ A} ≥ |A1 ||A2 ||A3 |.
ahora aplicamos el teorema 1.3.1 y obtenemos
|A1 + A2 ||A1 A3 ||A2 ||A3 |
|A1 ||A2 ||A3 | ≤ +O |A1 + A2 ||A1 A3 ||A2 ||A3 |q ,
q
que implica la desigualdad del teorema.

17. 1.3. APLICACIONES DE LOS CONJUNTOS DE SIDON 17
1.3.3. Sucesiones de Sidon infinitas
Nuestro conocimiento sobre las sucesiones infinitas de Sidon es mucho m´s a
escaso. No se sabe, ni siquiera de una manera aproximada, cu´l es el crecimiento
a
m´s lento que puede llegar a tener una sucesi´n de Sidon. Utilizaremos el t´rmino
a o e
“sucesi´n de Sidon”para referirnos a conjuntos de Sidon infinitos.
o
La sucesi´n de las potencias de dos es una sucesi´n de Sidon porque claramente
o o
j k j k
2 + 2 = 2 + 2 =⇒ {j, k} = {j , k }. Es natural preguntarse por sucesiones de
Sidon con un crecimiento m´s lento, por ejemplo de tipo polin´mico.
a o
¿Para que valores de k la sucesi´n A = {nk , n ≥ 1} es una sucesi´n de Sidon?
o o
Seguramente el lector ya haya observado que el problema es equivalente a
decidir si la ecuaci´n
o
x k + y k = uk + v k
tiene soluciones no triviales y que entonces es por lo menos tan dif´ como el
ıcil
ultimo teorema de Fermat. Se sabe que para k = 2, 3, 4 la ecuaci´n anterior s´ tiene
´ o ı
soluciones y se conjetura que no las tiene para k ≥ 5. Sin embargo no se conoce
ning´n polinomio p(x) para el cual la sucesi´n A = {p(n), n ≥ 1} sea de Sidon.
u o
La manera de medir el tama˜o de sucesiones infinitas es por medio de la funci´n
n o
contadora de la sucesi´n, A(n) = |{a ≤ n, a ∈ A}|. A la vista de lo que ya hemos
o
visto para conjuntos finitos, tenemos que, si A es una sucesi´n de Sidon, entonces
o
A(n) ≤ n1/2 + n1/4 + 1,
por lo que parece natural preguntarse si existe alguna sucesi´n de Sidon A tal que
o
1/2
A(n) n . Es decir, si existe una sucesi´n que tenga un crecimiento parecido al
o
de la sucesi´n de los cuadrados.
o
Erd˝s demostr´ que no existe tal sucesi´n. M´s concretamente, demostr´ que
o o o a o
si A es una sucesi´n de Sidon infinita entonces
o
A(n)
l´ inf
ım < ∞.
n→∞ n/ log n
¿Para que valores de α existe una sucesi´n de Sidon A con A(n)
o nα ?
Conjetura 1.3.7 (Erd˝s). Para todo
o > 0, existe una sucesi´n de Sidon A con
o
1
−
A(n) n2 .
La sucesion de Mian-Chowla definida al principio de la secci´n 2 satisface
o
1/3
A(n) ≥ n . Ruzsa en 1998 demostr´ la existencia de una sucesi´n de Sidon infinita
o o

18. 18 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
con √
2−1−o(1)
A(n) > n .
El t´rmino o(1) refleja una cantidad que tiende a cero cuando n tiende a
e
infinito.
1.4. La conjetura de Erd˝s-Turan
o
¿Existe alguna sucesi´n infinita de enteros no negativos A tal que rA (n) es
o
constante para todo n suficientemente grande, pongamos n ≥ n0 ?
La respuesta es que no. Los analistas apreciar´n sin duda el siguiente argu-
a
a
mento de Dirac. Sea la funci´n f (z) = a∈A z , |z| < 1. Entonces
o
f 2 (z) = z a+a = rA (n)z n .
˜
a,a ∈A n≥0
Observando que rA (n) = 2rA (n) − 1 si n = 2a para alg´n a ∈ A y rA (n) = 2rA (n)
˜ u ˜
en otro caso, podemos escribir
f 2 (z) = 2 rA (n)z n − z 2a .
n≥0 a∈A
Si asumimos que rA (n) = C para todo n ≥ n0 , obtenemos la igualdad
z n0
f 2 (z) + f (z 2 ) = 2 rA (n)z n + 2 rA (n)z n = P (z) + 2C ,
0≤n<n0 n≥n0
1−z
donde P (z) es un polinomio de grado n0 − 1.
Cuando z → −1 la parte de la derecha tiende a P (−1) + C(−1)n0 < ∞ y la
parte de la izquierda diverge ya que f 2 (z) > 0 y f (z 2 ) → f (1) = ∞, obteniendo una
contradicci´n.
o
Imponer la condici´n de que rA (n) sea constante para n suficientemente grande
o
puede parecer muy exigente y el resultado de Dirac era previsible.
¿Y si s´lo pedimos, por ejemplo, que 1 ≤ rA (n) ≤ 1000?
o
Aqu´ es donde hace su aparici´n una de los problemas m´s importantes en la
ı o a
teor´ aditiva de n´meros.
ıa u
Conjetura 1.4.1 (Erd˝s-Tur´n). Si rA (n) ≥ 1 para todo n ≥ 1, la funci´n rA (n)
o a o
no est´ acotada uniformemente en n.
a
Si alg´n lector decide intentar demostrar esta conjetura, deber´ hacer primero
u ıa
los ejercicios 1.8.7 y 1.8.9.

19. 1.5. CONJUNTOS SUMA Y PRODUCTO 19
1.5. Conjuntos suma y producto
Es f´cil ver que si A es una progresi´n aritm´tica de n´meros enteros entonces
a o e u
|A + A| = 2|A| − 1. Un poco m´s dif´ es ver que las progresiones aritm´ticas son
a ıcil e
los unicos conjuntos donde se da la igualdad.
´
Teorema 1.5.1. Si A y B son conjuntos de enteros entonces |A+B| ≥ |A|+|B|−1.
Adem´s, la igualdad se da si alguno de los dos conjuntos tiene un s´lo elemento o
a o
si los dos conjuntos son progresiones aritm´ticas con la misma diferencia.
e
Demostraci´n. Sean a1 < · · · < aj y b1 < · · · < bk los elementos de A y B respecti-
o
vamente. Es claro que
b1 + a1 < b1 + a2 < · · · < b1 + aj < b2 + aj < · · · < bk + aj .
Entonces tenemos por lo menos j + k − 1 = |A| + |B| − 1 elementos diferentes en
esta colecci´n de elementos de A + B.
o
Para ver el resultado inverso, pongamos las dos sucesiones ordenadas de ele-
mentos de A + B
b1 + a1 < b1 + a2 < b1 + a3 < · · · < b1 + aj < b2 + aj < · · · < bk−1 + aj < bk + aj
b2 + a1 < b2 + a2 < · · · < b2 + aj−1 < b3 + aj−1 < · · · < bk + aj−1
En la primer sucesi´n ya hay j + k − 1 elementos. Si A + B no tiene m´s elementos
o a
que estos, los elementos de la segunda sucesi´n tienen que estar en la primera.
o
Pero como b1 + a1 y bk + aj no pueden estar en la segunda, luego necesariamente
b1 +a2 = b2 +a1 , . . . b1 +a3 = b2 +a2 , ..., b1 +aj = b2 +aj−1 . Es decir, ai+1 −ai = b2 −b1
para todo i = 1, . . . , j −1. Luego A es una progresi´n aritm´tica de diferencia b2 −b1 .
o e
De la misma manera demostramos que B tiene que ser una progresi´n aritm´tica de
o e
diferencia a2 −a1 . Pero como a2 −a1 = b2 −b1 concluimos que A y B son progresiones
aritm´ticas de la misma diferencia.
e
Por otra parte el tama˜o de A+A es m´ximo cuando todas las sumas a+a son
n a
distinta; es decir, cuando A es un conjunto de Sidon. En ese case |A + A| = |A|(|A|−1) .
2
De la misma manera que hemos hecho para los conjuntos suma se puede ver
(ver ejercicios) que 2|A| − 1 ≤ |AA| ≤ |A|(|A|−1) y que la cota superior se alcanza
2
cuando A es una progresi´n geom´trica.
o e
Erd˝s y Szemeredi conjeturaron que el conjunto suma y el conjunto producto
o
no pueden ser simultaneamente peque˜os. M´s concretamente conjeturaron que para
n a
todo > 0 se tiene que |A+A|+|AA| |A|2− . Este problema est´ a´n sin resolver.
a u
El mejor resultado se debe a Solymosi. Es consecuencia inmediata del siguiente
teorema:

20. 20 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
Teorema 1.5.2 (J. Solymosi, 6 de Junio de 2008). Para todo conjunto A de n´meros
u
reales,
|A|4
|AA||A + A|2 ≥ .
4 log2 |A|
En particular,
|A|4/3
m´x{|A + A|, |AA|}
a
(log |A|)1/3
Demostraci´n. La energ´ multiplicativa de A se define como
o ıa
E(A) = |{(a, a ); aa = λ}|2 = |{(a, a ); a/a = λ}|2
λ λ
La igualdad se debe que E(A) cuenta el n´mero de cuadruplas (a1 , a2 , a3 , a4 ) tales
u
que a1 a2 = a3 a4 , que es igual al n´mero de cuadruplas tales que a1 /a3 = a4 /a2 .
u
Mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
|A|2 = |{(a, a ); aa = λ}| ≤ |AA|1/2 E(A)1/2 ,
λ∈AA
obtenemos que
|A|4
(1.16) E(A) ≥ .
|AA|
Si definimos las rectas lλ : y = λx podemos escribir
E(A) = |lλ ∩ (A × A)|2 ≤ 22j #{lλ : 2j−1 < |lλ ∩ (A × A)| ≤ 2j }
λ 0≤j≤log2 |A|
Existe entonces un j y un m tales que
E(A)
(1.17) m = #{lλ : 2j−1 < |lλ ∩ (A × A)| ≤ 2j } ≥ 2−2j .
log2 |A|
Sean 0 = λ0 < λ1 < · · · < λm las pendientes de las rectas correspondientes, donde
hemos a˜adido la recta y = 0. La observaci´n clave es que para cada dos rectas
n o
consecutivas lλi , lλi+1 , todas las sumas (x, y) + (x , y ), (x, y) ∈ lλi , (x , y ) ∈ lλi+1 son
distintas (ver dibujo) y adem´s todas ellas son distintas de las que se obtienen con
a
otras dos rectas consecutivas. Adem´s todas las sumas est´n en (A + A) × (A + A).
a a
Entonces
m−1
(1.18) |A + A|2 ≥ (lλi ∩ (A × A)) + lλi+1 ∩ (A × A)
i=0
m−1
(1.19) = |lλi ∩ (A × A)||lλi+1 ∩ (A × A)| ≥ m22j−2 .
i=0

21. 1.5. CONJUNTOS SUMA Y PRODUCTO 21
De (1.17) y (1.18) obtenemos
E(A) ≤ 4|A + A|2 log2 |A|
que junto con (1.16) nos da la primera afirmaci´n del teorema.
o
lλi+1
¡
¡
¡
¡
¡
¡ ¨r ∈ (A + A) × (A + A)
¨¨
A ¡ ¨¨
¡ ¨¨ ¨ lλi
¡ ¨¨
¨¨
¡ ¨
q q ¨
¨¨
¡ ¨¨
¡ ¨¨
¡ ¨¨
¡ ¨
¨
¨
¡
lλ0
A
|A|4/3
Para demostrar la segunda, simplemente observar que si |A + A| (log |A|)1/3
|A|4/3
entonces la primera parte del teorema nos da |AA| (log |A|)1/3
.
1.5.1. Estimaciones suma-producto en Fp
Teorema 1.5.3. Sea A un subconjunto de Fp . Entonces
1 |A|4
|AA||A + A| ≥ m´ |A|p,
ın
3 p
Demostraci´n. Escribamos log A = {y : g y ∈ Ai }. Es claro que | log A| = |A|.
o
Consideramos el conjunto de Sidon A = {(x, g x ) : x ∈ Zp−1 } ⊂ Zp−1 × Fp y
el conjunto B = (log A + log A, A + A).
Es claro que {(log a, a) : a ∈ A1 } ⊂ B + e para todo e ∈ (− log A) × (−A)
y que {(log a, a) : a ∈ A} ⊂ A. Entonces |A ∩ (B + e)| ≥ |A| para todo e ∈
(− log A) × (−A).
Supongamos que |AA||A + A| 1 |A|p. Como |A| = p − 1, |G| = p(p − 1) y
3
|B| = |A1 A2 ||A1 + A3 | tenemos que
|A||B| |AA||A + A| 2|A|
|A ∩ (B + e)| − ≥ |A| − ≥
|G| p 3

22. 22 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
para todo e ∈ (− log A) × (−A). As´ que
ı
2 2
|A||B| 2|A| 4
|A ∩ (B + e)| − ≥ = |A|4
e∈G
|G| 3 9
e∈(− log A)×(−A)
El Lemma ?? implica que
4 4 |B|2 |B||A| 4
|A| ≤ (p − 2)|B| + (p − 2)|B| + p|B|
9 p 3 3
y obtenemos el resultado.
1.6. Conjuntos libres de sumas
Se dice que un conjunto est´ libre se sumas si ning´n elemento del conjunto
a u
puede escribirse como suma de dos elementos del mismo conjunto. Por ejemplo el
conjunto de los n´meros impares es un conjunto libre de sumas. El objeto de esta
u
secci´n es demostrar el siguiente teorema
o
Teorema 1.6.1. Todo conjunto de enteros A contiene un subconjunto S ⊂ A libre
de sumas con al menos |A|/3 elementos.
Demostraci´n. Metamos A en un Zp con p ≡ 1 (m´d 3). Para cada x ∈ F∗ , consid-
o o p
eremos el conjunto xA = {xa, a ∈ A} como subconjunto de Zp . Para todo conjunto
I que no contiene al 0, tenemos que
1 1 1
E(|xA ∩ I|) = I(ax) = I(ax) = |A||I|.
p − 1 x∈F∗ a∈A p − 1 a∈A x∈F ∗ p−1
p p
1
Por lo tanto existe un x tal que |xA ∩ I| ≥ p−1
|A||I|.
Vamos a ver que si I = [ p−1 , 2(p−1) ) entonces el conjunto S = {a ∈ A, xa ∈ I}
3 3
es libre de sumas. Es claro que I es libre de sumas en Zp , por lo que xA ∩ I tambi´ne
lo es.
Si S no fuera libre de sumas, existir´ a, a , a ∈ S tal que a = a + a . En
ıan
particular, xa ≡ xa + xa (m´d p), contradiciendo lo dicho anteriormente.
o
1.7. Un problema de Erd˝s
o
Decimos que un conjunto A = {1 ≤ a1 · · · ak } es de Erd˝s si todas las
o
sumas de elmentos distintos de A son distintas. El conjunto de las potencias de dos
es un ejemplo.

23. 1.8. EJERCICIOS DE ESTE CAP´
ITULO 23
Erd˝s se pregunt´ por una cota inferior para ak (en funci´n de k). La sucesi´n
o o o o
i−1 1 k
ai = 2 , i = 1, . . . , k muestra que la cota no puede ser mayor que 2 2 . De hecho
se conocen construcciones ligeramente mejores con ak = c2k para alg´n c 1/2.
u
k
Erd˝s ha conjeturado que ak
o 2 . La cota inferior que vamos a demostrar aqu´ es
ı
pr´cticamente lo mejor que se sabe salvo por la constante 3.
a
Teorema 1.7.1. Si A = {1 ≤ a1 · · · ak } es un conjunto de Erd˝s entonces
o
2k
ak ≥ √3k .
Demostraci´n. Sea Xi la variable aleatoria que toma los valores ai and −ai con
o
probailidad 1/2. Es claro que E(Xi ) = 0 y E(Xi2 ) = a2 . Consideremos la varaible
i
X = X1 + · · · + Xk .
k k
2
E(X ) = E(Xi Xj ) = E(Xi2 ) + E(Xi Xj ) = a2
i
i,j i=1 i=j i=1
k
Por una parte es claro que i=1 a2 ≤ ka2 . Por otra,
i k
E(X 2 ) = s2 P(X = s)
s
donde s recorre todos los posibles valores que puede tomar X. Observar que cada
uno de esos valores se toma con la misma probabilidad 2−k (por ser un conjunto de
Erd˝s) y que todos ellos tienen la misma paridad, pongamos que son todos impares.
o
Entonces
E(X 2 ) ≥ 2−k · 2 (2j − 1)2 ≥ 22k /3.
1≤j≤2k−1
De las cotas superior e inferior para E(X 2 ) obtenemos la desigualdad.
1.8. Ejercicios de este cap´
ıtulo
1.8.1. Demostrar que si A ⊂ [1, N ] y dA (n) ≤ s para todo n = 0 entonces |A| ≤
(sN )1/2 + (sN )1/4 + 1/2.
1.8.2. Demostrar que si A es un conjunto g-Sidon en un grupo abeliano de orden
N entonces
|A| ≤ (2g − 1)(N − 1) + 1.
1.8.3. Encontrar un conjunto de Sidon de 8 elementos en {1, . . . , 35} y demostrar
que no existe ninguno con 9 elementos.

24. 24 CAP´
ITULO 1. TEOR´ ADITIVA Y COMBINATORIA DE NUMEROS
IA ´
1.8.4. Para cada primo p ≡ 1 (m´d 4) definimos 0 φp π/4 como el argumento
o
del entero gaussiano a + bi tal que a2 + b2 = p. Demostrar que el conjuno A =
{[pφp ], p ≡ 1 (m´d 4), p ≤ N } es un comjunto de Sidon en {1, . . . , N } con
o
1/2
N / log N elementos.
1.8.5. Demostrar que los tres conjuntos descritos en los ejemplos 1,2,3 son de Sidon.
1.8.6. Demostrar que si φ : G → G es un isomorfismo entre grupos y A es un
conjunto de Sidon en G, entonces φ(A) es un conjunto de Sidon en G .
1.8.7. Demostrar que la conjetura de Erd˝s-Turan no es cierta en Z (en lugar de
o
N).
1.8.8. Demostrar que existe un conjunto infinito de enteros A tal que dA (n) = 1
para todo entero n distinto de n.
1.8.9. Demostrar que la conjetura de Erd˝s-Turan no es cierta si en lugar de rA (n)
o
consideramos
rA (n) = #{(a, a ) : a + 2a = n, a, a ∈ A}
hallando una sucesi´n A de n´meros no negativos tal que rA (n) = 1 para todo n ≥ 0.
o u
1.8.10. Demostrar que si A ⊂ Zp es un conjunto libre de sumas, entonces |A| ≤
(p − 1)/3.
1.8.11. Sean A y B conjuntos de enteros con m´s de un elemento cada uno. De-
a
mostrar que |AB| ≥ |A| + |B| − 1 y que la igualdad es cierta s´lo cuando A y B son
o
progresiones geom´tricas de la misma raz´n.
e o
1.8.12. Sea λ · A = {λa : a ∈ A}. Demostrar que |A + 2 · A| ≥ 3|A| − 2 y que la
igualdad es cierta s´lo cuando A es una progresi´n aritm´tica.
o o e
1.8.13. Sean A1 , A2 ⊂ F∗ y A3 ⊂ Fq . Demostrar que
q
|A1 |2 |A2 ||A3 |
|A1 A2 ||(A1 + 1)A3 | m´
ın(|A1 |q, ).
q
1.8.14. Demostrar que si p 2n4 entonces la ecuaci´n de Fermat en Fq , xn + y n =
o
n
z tiene soluciones no triviales.
1.8.15. Sea g una ra´ primitiva. Demostrar que para todo x ∈ Zp se tiene que
ız
x ≡ g − g (m´d p) para algunos 0 ≤ y, z ≤ 2p3/4 .
y z
o