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1. DOMINIO Y RECORRIDO
DE FUNCIONES
UNIDAD I
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.3.2
J. Pomales / noviembre 2009

2. OBJETIVOS
REPASAR:
Conceptos básicos de la teoría de conjuntos y
notación de intervalo
Gráficas, dominio y recorrido de las funciones:
lineal
racional
cuadrática
cúbica
raíz cuadrada
raíz cúbica
logarítmica
DETERMINAR EL DOMINIO Y RECORRIDO
DE UNA FUNCIÓN

3. INFORMACIÓN IMPORTANTE
Los vídeos de esta presentación sirven para
reforzar lo discutido en clase.
Si bajas esta presentación a tu
computadora, sólo los podrás ver en los
enlaces (TOCA AQUÍ) siempre y cuando
estés conectado a la Internet.
Si los mismos no funcionan
adecuadamente podrás ir al final de la
presentación (REFERENCIAS) y conseguir
las direcciones de todos ellos.

4. REPASANDO
CONCEPTOS

5. TEORÍA DE
CONJUNTOS
CONCEPTOS BÁSICOS

6. Matemático alemán, se le
atribuye junto al inventor
Dedekind, la teoría de
conjuntos, que es la base de
las matemáticas modernas.
GEORG CANTOR (1845-1918)
Fue el primero en formalizar la
noción de infinito bajo la forma
de los números transfinitos
(cardinales y ordinales).
GEORG CANTOR
DEDEKIND

7. CONJUNTO:
Es una agrupación o colección de
objetos bien diferenciados que tienen
alguna propiedad en común.
Es toda colección de elementos que
pertenecen a una categoría bien
definida.
DEFINICIÓN

8. ELEMENTO:
Ente (objetos, números, etc.) que
pertenece o es miembro de un conjunto
Nos parece razonable identificar
algunos símbolos que podrían ser
utilizado a través de esta lección. Estos
símbolos nos facilitan la comunicación.
Veamos algunos de ellos.
DEFINICIÓN

9. ALGUNOS SÍMBOLOS USADOS EN
TEORÍA DE CONJUNTOS Y LÓGICA
es elemento de
intersección
{ } conjunto vacío
no es elemento de
Ø conjunto nulo
unión
⇒
infinito negativo infinito positivo
∈
∩
∉
∪
∞
−
⇔
∞
si y sólo si entonces
∀ para todo conjunto de #s reales
∨
∧ y ó
el conjunto de... { | } el conjunto de todos los
elementos ... tales que...
{ , }
R ó
I ℜ

10. FINITO:
Tiene un número conocido de
elementos
INFINITO:
Aquellos en que no se puede
determinar la cantidad de elementos
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

11. Los conjuntos se escriben con letras
mayúsculas y los elementos en
minúscula.
EXTENSIÓN: A = {a, e, i, o, u}
Cuando se describe cada elemento
del conjunto
COMPRENSIÓN: A = {x | x es una vocal}
Cuando se enuncian las
propiedades que deben tener
sus elementos
FORMA PARA DENOTAR CONJUNTOS

12. IGUALDAD: Si A = {1, 2} y B = {2, 1}
A = B
Si cada elemento del conjunto A está en
el conjunto B y viceversa
SUBCONJUNTO: Si A = {1} y B = {2, 1}
A ⊂ B
Si todo elemento del conjunto A
se encuentra en el conjunto B
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

13. Si A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3}
UNIÓN: A U B = {1, 2, 3, 4, 6}
Es la creación de un nuevo conjunto
donde se incluyen todos los elementos
de A y B, sin repetir elementos.
INTERSECCIÓN: A ∩ B = { 2 }
Es la creación de un nuevo conjunto
donde se incluye solamente
los elementos comunes.
OPERACIONES DE CONJUNTOS

14. La manera tradicional de representar conjuntos
es utilizando un diagrama de Venn.
REPRESENTACIÓN PICTÓRICA
DE LOS CONJUNTOS
El rectángulo
representa el
conjunto universal,
cualquier otro
conjunto dentro de
él se representa
con círculos.
U

15. ¿Puedes identificar que representan
los siguientes diagramas?
REPRESENTACIÓN PICTÓRICA
DE LOS CONJUNTOS
S
A B
B
A∪ B
A∩
S
A B
(Da un clic sobre el diagrama para ver la respuesta)

16. INTERVALOS
CONCEPTOS BÁSICOS

17. Espacio o distancia existente entre
dos momentos o puntos.
Conjunto de los valores que toma
una magnitud entre dos límites
dados.
DEFINICIÓN DE INTERVALO

18. -
∞ y ∞ representan números infinitos.
El número que se escribe a la izquierda en el
intervalo siempre tiene que ser el menor.
El corchete indica que el número en ese
extremo del intervalo se incluye en el
conjunto. Si en su lugar usas paréntesis, el
número no se incluye.
Cuando en el extremo del intervalo aparezca
-
∞ y ∞, siempre usas el paréntesis en ese
lado.
ALGUNOS ASPECTOS IMPORTANTES
DE LOS INTERVALOS

19. Algunas formas:
notación de desigualdad
notación de intervalo
notación de conjuntos
gráfica
Veamos todos los casos posibles,
con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo:
REPRESENTACIÓN DE LOS
INTERVALOS

20. REPRESENTACIÓN DE LOS
INTERVALOS CUANDO a ≤ b
[ ]
( )
( ]
[ )
( )
[ )
( )
( ]
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
,
,
,
,
,
,
,
,
∞
∞
∞
∞
−
−
Notación de
Intervalo Gráfica
¿Qué incluye?
a y b y todos los
números entre ambos
todos los reales entre a y
b pero sin ellos
todos los reales entre a y
b y al número b pero NO
incluye a
todos los reales entre a y
b y al número a pero NO
incluye b
todos los reales mayores
que a pero NO incluye a
todos los reales mayores
o iguales que a
todos los reales menores
que b pero NO incluye b
todos los reales menores
o iguales que b
x
x
x
x
a b
a b
a b
a b
x
x
x
x
a
a
b
b
Tipo
Cerrado
Abierto
Semiabierto
Semiabierto
Abierto
Cerrado
Abierto
Cerrado
Notación de
desigualdad
b
x
b
x
a
x
a
x
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
≤
<
≥
>
<
≤
≤
<
<
<
≤
≤

21. GRÁFICAS DE LAS
FUNCIONES:
LINEAL, CUADRÁTICA, RACIONAL,
CÚBICA, RAÍZ PAR, RAÍZ IMPAR,
LOGARÍTMICA

22. Hace varios meses estudiamos:

Dominio (D)

proyección de los puntos hacia el eje de x

Recorrido (R)

proyección de los puntos hacia el eje de y

Ambos se pueden representar utilizando
notación de:

Conjuntos

Intervalo
DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA
FUNCIÓN EN UNA GRÁFICA

23. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
1
)
( +
= x
x
f FUNCIÓN LINEAL
D: f
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
x
x
R: f
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
y
y
Todas las gráficas presentadas aquí son
infinitas a menos que se diga lo contrario.
GEOGEBRA

24. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
1
)
( 2
−
= x
x
f FUNCIÓN CUADRÁTICA
D: f
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
x
x
R: f
)
,
1
[ ∞
−
}
1
|
{ −
≥
y
y
GEOGEBRA
¿Cuál es el proceso para calcular el vértice
máximo o mínimo de una parábola?

25. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
1
)
( 3
+
= x
x
f FUNCIÓN CÚBICA
D: f
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
x
x
R: f
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
y
y
GEOGEBRA

26. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
x
x
f 1
)
( = FUNCIÓN RACIONAL
D: f
)
,
0
(
)
0
,
( ∞
∪
−
∞
}
0
,
|
{ ≠
ℜ
∈ x
x
x
R: f
)
,
0
(
)
0
,
( ∞
∪
−
∞
}
0
,
|
{ ≠
ℜ
∈ y
y
y
GEOGEBRA
En esta gráfica, ¿qué representan
los ejes con respecto a la función?

27. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
x
x
f =
)
( FUNCIÓN RAÍZ PAR
D: f
)
,
0
[ ∞
}
0
|
{ ≥
x
x
R: f
Si estamos trabajando con los números reales,
¿por qué el radicando no puede ser negativo?
)
,
0
[ ∞
}
0
|
{ ≥
y
y
GEOGEBRA

28. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
3
)
( x
x
f = FUNCIÓN RAÍZ IMPAR
D: f
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
x
x
R: f
Si estamos trabajando con los números reales,
¿por qué aquí el radicando puede ser negativo?
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
y
y
GEOGEBRA

29. GRÁFICAS DE FUNCIONES SUS
DOMINIOS Y RECORRIDOS
x
x
f ln
)
( = FUNCIÓN LOGARÍTMICA
D: f
)
,
0
( ∞
}
0
|
{ >
x
x
R: f
Recuerda: lo que está después de log o ln
(logaritmo natural) se llama argumento
)
,
( ∞
−
∞
}
|
{ ℜ
∈
y
y
GEOGEBRA

30. DOMINIO Y RECORRIDO
DE UNA FUNCIÓN

31. Función
Relación que asigna a cada valor de
la variable independiente ( x ) un solo
valor de la variable dependiente ( y )
Prueba de la línea vertical
Será función si al trazar líneas
verticales sobre su gráfica sólo la
toca en un punto (cada línea trazada)
DATOS SOBRE UNA FUNCIÓN

32. DOMINIO: Es el conjunto de valores que
puede tomar la variable independiente “ x ”,
que hacen un “ y ” real.
Se puede representar: D: f
RECORRIDO: Es el conjunto de valores que
puede tomar la variable dependiente “ y ”,
partiendo de los valores de “ x ” .
Se representa R: f ó Im f
DEFINICIONES

33. Si la función está graficada sólo
debes proyectar los puntos hacia el
eje de x.
De no tener la grafica de la
función, debes recordar el
comportamiento de ella en esa
función.
RECOMENDACIONES PARA
IDENTIFICAR EL DOMINIO

34.  En funciones racionales la asíntota
vertical te ayudará a identificar el
dominio
 Identifica los valores que provocan
no tener números reales o que no
definan la operación.
 Para lograr esto sólo debes cumplir
con las siguientes leyes que
llamaremos inviolables
RECOMENDACIONES PARA
IDENTIFICAR EL DOMINIO

35. Asegúrate de cumplirlas siempre:
Nunca dividirás entre cero.
El radicando de una raíz de índice
par debe ser mayor o igual que
cero.
El argumento del logaritmo tiene
que ser mayor que cero.
LEYES INVIOLABLES
Veamos algunos ejemplos de las
LEYES INVIOLABLES

36. Determina el dominio para
NUNCA DIVIDIRÁS ENTRE CERO
(Aplica a funciones racionales)
3
2
)
( −
= x
x
f
Fíjate que tenemos una función
con denominador que varía con x
lo que en algún momento
podríamos tener un denominador
con cero.
Esto violaría la ley.

37. Determina el dominio para
NUNCA DIVIDIRÁS ENTRE CERO
(Aplica a funciones racionales)
Para verificar si esto ocurre igualamos
el denominador a cero y resolvemos
para x.
Eso era lo que hacíamos para buscar
la asíntota vertical, que en este caso
me ayudará a identificar su dominio.
3
2
)
( −
= x
x
f

38. Hacemos esto para cumplir con la ley:
NUNCA DIVIDIRÁS ENTRE CERO
DOMINIO para 3
2
)
( −
= x
x
f
3
0
3
)
(
0
3
=
=
−
+
=
−
x
x
x
Este valor
debemos excluirlo
del dominio de la
función f
Como
éste será el único valor
excluido, el dominio será la
unión de los intervalos
f
de
Dominio
3∉
VÍDEO DOMINIO DE FUNCIÓN RACIONAL
VÍDEO POR INTERNET
3
-
∞ ∞
)(
D: f = (-
∞,3) U (3,∞)
¿Qué relación tiene este valor con la
asíntota vertical?

39. Determina el dominio para
EL RADICANDO DE UNA RAÍZ DE ÍNDICE
PAR DEBE SER MAYOR O IGUAL QUE
CERO. (Aplica a funciones con raíz par)
1
2
)
( −
= x
x
f
2
1
1
2
0
1
)
(
2
0
1
2
≥
≥
≥
−
+
≥
−
x
x
x
x
El valor de la x debe ser
mayor o igual que ½ , para
que cumpla con esta ley.
Si x fuera un número
menor que ½, f(x) no sería
real. Sería imaginario.
Por lo tanto,
D: f = [½,∞)
VÍDEO DOMINIO FUNCIÓN RAIZ PAR
VÍDEO POR INTERNET

40. Determina el dominio para
Por lo tanto,
D: f = (-5,∞)
EL ARGUMENTO DEL LOGARITMO
TIENE QUE SER MAYOR QUE
CERO. (Aplica a funciones logarítmicas)
)
5
log(
)
( +
= x
x
f
5
0
5
−
>
>
+
x
x
El valor de la x debe
ser mayor que -5,
para que cumpla con
esta ley.
GEOGEBRA, EXCEL o en la calculadora gráfica. >>
<< Recuerda que puedes hacer la gráfica de todas las funciones en:

41. Si la función está graficada sólo
debes proyectar los puntos hacia el
eje de y.
De no tener la grafica de la
función, debes recordar el
comportamiento de ella en esa
función.
RECOMENDACIONES PARA
IDENTIFICAR EL RECORRIDO

42.  En funciones racionales la asíntota
horizontal te ayudará a identificar
el recorrido
RECOMENDACIONES PARA
IDENTIFICAR EL RECORRIDO
Veamos el recorrido de
los ejemplos anteriores
Repasa las
Asíntotas

43. Como es una función racional debemos
calcular su asíntota horizontal (si existe)
RECORRIDO para 3
2
)
( −
= x
x
f
En este caso n < m, es decir
y = 0, por lo que su asíntota
horizontal es el eje x
Por lo tanto,
R: f = (-
∞,0) U (0,∞)

44. Partimos del dominio de esta función que en
este caso fue ½. Lo sustituimos en x y
simplificamos:
RECORRIDO para 1
2
)
( −
= x
x
f
Por lo tanto,
R: f = [0,∞)
0
0
1
1
1
)
(
2
)
( 2
1
2
1
=
=
−
=
−
=
f

45. El recorrido es similar para todos los
casos con logaritmos:
RECORRIDO para )
5
log(
)
( +
= x
x
f
Por lo tanto,
R: f = (-
∞,∞)

46. OTROS VIDEOS
PARA REFORZAR EL TEMA
IDENTIFICANDO EL DOMINIO
Y RECORRIDO EN GRÁFICAS
CALCULANDO EL DOMINIO
EN FUNCIONES
TOCA AQUÍ
PARA VÉRLO A TRAVÉS
DE INTERNET
TOCA AQUÍ
PARA VÉRLO A TRAVÉS
DE INTERNET
DOMINIO Y RECORRIDO DE
FUNCIONES EN GRÁFICAS
TOCA AQUÍ
PARA VÉRLO A TRAVÉS
DE INTERNET
TOCA AQUÍ TOCA AQUÍ
TOCA AQUÍ
CALCULANO EL DOMINIO
EN FUNCIONES 2
TOCA AQUÍ
PARA VÉRLO A TRAVÉS
DE INTERNET
TOCA AQUÍ

47. RESUMEN
Estudia este documento
http://www.scribd.com/doc/11835298/RESUMEN-DOMINIO-Y-RECORRIDO-DE-FUNCIONES

53. PRÁCTICA

54. PRÁCTICA

55. PRÁCTICA
Sacada de:
http://www.chipola.edu/instruct/math/ClassMaterials/1033%2
04th%20edition/Unit%203/ch%207%20sect%202%20and
%203%20domain%20range%20061.doc

56. EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Halla el dominio y recorrido
2
5
)
(
)
4
6
)
(
)
3
5
)
(
)
2
15
)
(
)
1
−
=
+
=
=
−
=
x
x
f
x
x
f
x
f
x
x
f
3
5
2
)
(
)
6
)
(
)
5
2
7
1
2
+
−
=
= +
+
x
x
x
f
x
f x
x
D: f = (-∞,∞) R: f = (-∞,∞)
D: f = (-∞,∞) R: f = 5
D: f = [-6,∞) R: f = [0,∞)
D: f = (-∞,2) U (2,∞)
R: f = (-∞,0) U (0,∞)
D: f = (-∞,-7) U (-7,∞)
R: f = (-∞,2) U (2,∞)
D: f = (-∞,∞) R: f = [-.125,∞)
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución

57. SOLUCIÓN:
15
)
(
)
1 −
= x
x
f
Como esta función
es lineal estará
definida en todos los
números reales.
Por lo tanto,
D: f = (-∞,∞)
R: f = (-∞,∞)
Si dibujas su gráfica la
misma será:

58. SOLUCIÓN:
5
)
(
)
2 =
x
f
Por lo tanto,
D: f = (-∞,∞)
R: f = 5
Recuerda, cuando la
función es constante
el dominio será
infinito pero su
recorrido o alcance
será siempre el
mismo.
Si dibujas su gráfica
la misma será así:

59. SOLUCIÓN:
6
)
(
)
3 +
= x
x
f
Por lo tanto,
D: f = [-6,∞)
R: f = [0,∞)
Cuando la función es una raíz
par, el radicando debe ser
mayor o igual que cero.
6
0
6
−
≥
≥
+
x
x
Así que debemos
resolver:

60. SOLUCIÓN:
2
5
)
(
)
4 −
= x
x
f
Por lo tanto,
D: f = (-∞,2) U (2,∞)
R: f = (-∞,0) U (0,∞)
Cuando la función es racional,
el denominador no puede ser
cero. Así que debemos resolver:
2
0
2
)
(
0
2
≠
≠
−
+
≠
−
x
x
x
Asíntotas: Vertical: x = 2 Horizontal: y = 0
La asíntota horizontal
es y = 0 por que n < m

61. 7
1
2
)
(
)
5 +
+
= x
x
x
f
SOLUCIÓN:
Por lo tanto,
D: f = (-∞,-7) U (-7,∞)
R: f = (-∞,2) U (2,∞)
Como el denominador no puede
ser cero, resolvemos:
7
0
7
−
≠
≠
+
x
x
Asíntotas: Vertical: x = -7 Horizontal: y = 2
La asíntota horizontal me
dará la clave para el
recorrido. Como n = m,
dividimos los coeficientes
principales:
2
1
2
=
=
y
y

62. SOLUCIÓN:
Como tiene solución real y es cuadrática
podemos decir que su dominio será:
4
1
5
4
1
4
5
)
2
(
2
)
3
)(
2
(
4
)
5
(
)
2
(
2
5
2
4
2
2
2
±
−
+
−
−
−
+
=
±
=
±
−
=
±
−
=
x
x
x
x a
ac
b
a
b
3
5
2
)
(
)
6 2
+
−
= x
x
x
f
x = 1.5 ó x = 1
Utilizando la fórmula
cuadrática verificamos si
tiene solución real
Al tener su coeficiente principal
+ la parábola abre hacia arriba
con un punto mínimo. Éste
será el límite del recorrido.
25
.
1
4
5
)
2
(
2
5
2
=
=
−
=
−
=
−
x
x
x a
b
125
.
3
25
.
6
125
.
3
3
)
25
.
1
(
5
)
25
.
1
(
2
3
5
2
)
(
2
2
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
=
y
y
y
x
x
x
f
D: f = (-∞,∞)
De acuerdo al cómputo
anterior el recorrido será:
R: f = [-
.125,∞)
Mira su gráf


63. SOLUCIÓN:
-.125
1.25
D: f = (-∞,∞)
R: f = [-
.125,∞)
3
5
2
)
(
)
7 2
+
−
= x
x
x
f

65. Asíntota Horizontal
• Si n < m ,
• entonces y = 0 es la ecuación de la asíntota
horizontal, es decir , el eje de x.
• Si n = m ,
• entonces
es la ecuación de la asíntota horizontal.
• Si n > m ,entonces no hay asíntota horizontal
y procedemos a verificar si existe una asíntota
oblicua.
)
(
)
(
x
q
de
principal
e
coeficient
x
p
de
principal
e
coeficient
a
a
m
n
y =
=

66. Asíntota Oblicua
• Si el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador (n > m)
procedemos a dividirlo
)
(
)
(
)
(
)
(
x
R
x
Q
x
q
x
p
+
=
cociente de
la división
(resultado)
residuo de
la división
(sobrante)

67. Asíntota Oblicua
• Si R(x) = 0, no tiene asíntota oblicua
• Si R(x) ≠ 0, la asíntota oblicua es dada
por la ecuación Q(x) = ax + b que
corresponde al cociente (resultado) de la
división.
• Recuerda que si una función tiene
asíntota horizontal, no podrá tener
asíntota oblicua y viceversa.

68. Asíntota Vertical
• Simplifica la función
• Igualar el denominado a cero y
resolver.
• El resultado obtenido es la asíntota
vertical.
• Una función no continua puede tener más
de una asíntota vertical o ninguna.

69. DICCIONARIO DE MATEMÁTICAS. Traducción por Jesús
María Castaño. Editorial Norma
FUNCIONES: DOMINIO Y RANGO. Calculus100. Alexis.
http://www.youtube.com/watch?v=694clGRG-a4
PRECÁLCULO. Waldo Torres, Publicaciones
Puertorriqueñas
PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett,
Ziegler, Byleen, McGraw Hill
TEORÍA DE CONJUNTOS. Marcos A. Fatela.
http://www.scribd.com/doc/7484397/2-Teoria-de-
Conjuntos
TEORÍA DE CONJUNTOS. Artículo obtenido en
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_conjuntos
REFERENCIAS

70. MAT 1033 – Section 7.2 and 7.3 - Domain and Range. Rescatado
de la Internet:
http://www.chipola.edu/instruct/math/ClassMaterials/1033%204th
%20edition/Unit%203/ch%207%20sect%202%20and
%203%20domain%20range%20061.doc
VÍDEOS:
http://es.youtube.com/watch?v=I0f9O7Y2xI4
http://es.youtube.com/watch?v=sbvSBH2Mo20&feature=channel_page
http://es.youtube.com/watch?v=I0f9O7Y2xI4&feature=channel_page
http://es.youtube.com/watch?v=Uk5N1WPk4g&feature=channel_page
http://es.youtube.com/watch?v=PD9SH9qzVXQ&feature=channel_page
http://es.youtube.com/watch?v=L4VPbenA1Qw&feature=channel_page
REFERENCIAS
GEOGEBRA
http://www.geogebra.org/cms/

71. Para otras presentaciones y temas
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CURSO:
FUNCIONES Y MODELOS
11m
o
Grado
Juan A. Pomales Reyes
Esc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel
Distrito Escolar de Naguabo
http://juanpomales.blogspot.com/