1. Integral Definida
Notación Sigma
Es una suma de términos cuyos términos son naturales o algebraicos concernientes a
una expresión, se puede generalizar a un tamaño de inérvalos precisos, incrementándose
siempre en una unidad. Ésta se puede representar como la suma de los primeros
términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se
denomina de la letra griega (sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de "suma”).
La notación sigma es de la siguiente manera:
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede
comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el
inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá
a la variable.
Propiedades:

2. Suma Superior e Inferior
Área bajo la curva
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa
en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de
polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma
nos dará un valor aproximado del área real.
Integral Definida
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1,
2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F
desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la
integral.
Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos que F(bk)
es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del rectángulo de
tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar
cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el
intervalo dado [a, b].

3. Propiedades de la Integral Definida
Si f(x) y g(x) son dos funciones continuas en el intervalo de integración [a,b] y k una
constante cualquiera:
a) Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
b) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
c) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.
d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales
(Propiedad de linealidad)·
e) Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como
una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. Teorema del Valor Medio
Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor
dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho
valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.
Para una función continua en el cerrado , existe un valor en dicho
intervalo, tal que1
Demostración
Dado que la función es continua en el cerrado , posee un valor máximo en
dicho intervalo para algún , que llamaremos y también un
valor mínimo en el mismo intervalo: , para algún . Es
decir y . Si consideramos
las áreas de los rectángulos con base y altura ó tendremos la siguiente
desigualdad:
Lo que implica:
De donde se deduce que debe existir algún para el cual la función alcanza
el valor de la integral , es decir:
El teorema no especifica como determinar , pero resulta que coincide con el
valor medio (promedio) de la función en el intervalo .

5. Teorema Fundamental del Calculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que
toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella
misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis
matemático o cálculo.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre por
Si f es continua en [a,b]
Entonces F es derivable en y .
Segundo teorema fundamental del cálculo
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función
primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces
Integración por Sustitución o por Cambio de Variable
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de
la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una
nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Ejemplo: