Este documento presenta tres tipos de factorización de matrices: 1) Factorización LU descompone una matriz A en producto de una matriz triangular inferior L y una matriz escalonada superior U. 2) Factorización LDU es similar a LU pero extrae los elementos diagonales de U en una matriz diagonal D. 3) Factorización QR descompone una matriz A en producto de una matriz con columnas ortonormales Q y una matriz triangular superior invertible R.

1. Factorización
Capítulo 8

2. 8. Factorización
8.1 Factorización LU
8.2 Factorización LDU
8.3 Factorización QR

3. Factorización LU
Sea A una matriz de m % n, A se puede factorizar
en la forma LU
A = LU
Donde L es matriz triangular inferior de m % m y
U es una matriz escalonada de m % n. Si esta
factorización existe, se llama factorización LU o
descomposición LU

4. Ejemplo
Determinar la factorización LU de la matriz A
 2 3 −1 4 1
 −6 −6 5 −11 −4 
A= 
 4 18 6 14 −1
 
 −2 −9 −3 4 9
2 3 −1 4 1 1 0 0 0
0  −3 1 0 0
3 2 1 −1
U=  L= 
0 0 0 2 1 2 4 1 0
   
0 0 0 0 3  −1 −2 5 1

5. Ejemplo
Usar la factorización LU para resolver el sistema
A x = b si:
 4 −2 1  11   4 −2 1   1 0 0  4 −2 1 
A =  20 −7 12  ; b = 70  A =  20 −7 12 =  5 1 0 0 3 7  = LU
    
   
 −8 13 17  17   −8 13 17   −2 3 1 0 0 −2
    
   
Ax = LUx = b Ux = y
Ly = b  4 − 2 1   x1   11 
 1 0 0   y1  11  0 3 7   x 2  =  15 
 5 1 0   y2  = 70 
    
     0
 0 − 2   x3   − 6 
   
 − 2 3 1   y3 
   1 7 
 
x = (1, − 2, 3)
y = (1 1, 1 5 , − 6 )

6. Factorización LDU
La factorización A = LDU se refiere a la situación en la
que L es una matriz triangular inferior (como en LU), D
es una matriz diagonal y U es una matriz triangular con
unos en la diagonal. Basta sacar como factores los elemen-
tos diagonales de U de la factorización LU para obtener
las matrices D y U.

7. Ejemplo
Hallar la factorización LDU de la matriz A
 1 3 2  1 0 0 1 3 2 
A =  2 5 6  ; L =  2 1 0  ; U =  0 −1 2 
     
 −3 −2 7 
   
 −3 −7 1  
0 0 27 
Para factorización LDU:
1 3 2  1 0 0  1 3 2 
0 −1 2  ⇒ D = 0 −1 0  ; U = 0 1 −2 
     
0 0 27 
  0 0 27 
  0 0 1 
 

8. Factorización QR
Si A es una matriz m % n con columnas linealmen-
te independientes, entonces A puede factorizarse
en la forma
A = QR
En la que Q es una matriz con columnas ortonor-
males y R es una matriz triangular superior inver-
tible.
R = Q TA

9. Ejemplo
Encontrar la factorización QR de A
1 1 0
1 −1 0
A =  
1 1 1
 
1 1 1
u1 = v1 = (1,1,1,1);
v2 ⋅ u1
u2 = v 2 − u1 = (1 2, −3 2,1 2,1 2);
u1 ⋅ u1
v3 ⋅ u1 v ⋅u
u3 = v 3 − u1 − 3 2 u2 = (−2 3,0,1 3,1 3);
u1 ⋅ u1 u2 ⋅ u2

10. Ejemplo (continuación)
 u1 u2 u3 
Q= 
 u1 u2 u3 
1
 
3 − 6 2
  1 1 
 2 6 3   
R = QT A = 0
1 − 3  3
 3

2 2
0  3 
Q=   
1 3 6   6
  0 0
2 6 6   6 

1 3 6 
 
2 6 6 