tarea de rectas

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA
FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
TEMA: Asignación Rectas, Planos y Superficies
CURSO: Cálculo 2
DOCENTE: Dra. Gionvanna Ilia García Tejada
INTEGRANTES:
❖ Huarsaya Mendoza, Karen Madeleine
❖ Usca Bravo, Yessica Fanny
❖ Vilca Chusi, Franklin Alexis
1B AREQUIPA -
PERÚ
2020

2. 2
4
RECTA PLANOS Y SUPERFICIES
I. Resuelva las siguientes preguntas referidas a rectas en R3
1. Hallar el valor de n, si L1 || L2 , los puntos (2-n,-3),(2,1) ∈ a L1 y L2 : (n − 2)x − 2y = 7n
2. Sean las rectas L1 : [(x, y) − (3,− 2)] .(− 1,− 3) = 0 y L2 : x=-t ; y=-1+2t ; determine la
ecuación general de la recta L que pasa por los puntos (9, k) ε L1
Solución:
y (n, 5) ε L2 .
Reemplazamos los puntos que pertenecen a L1 y L2 en sus respectivas rectas para hallar
k y n .
L1 : [(x,y) − (3,− 2)] .(− 1,− 3) = 0 L2 : x=-t ; y=-1+2t
[(9, k) − (3,− 2)] .(− 1,− 3) = 0 − x =
y+1
= t
(6, k + 2) − (1,− 3) = 0 − 2x = y + 1
− 6 − 3k − 6 = 0
− 3k = 12
− 2n = 6
n =− 3
k =− 4
Teniendo los dos puntos
pendiente.
m =
y 1 −y 2
x1
−x2
(− 3, 5) y ((9,− 4) de la recta se puede determinar su
−4−5 9 −3
m = 9+3
=− 12
= 4
Utilizamos el modelo punto pendiente para encontrar la ecuación general.
(y − y1 ) = m (x − x1)
(y − 5) = −3
(x + 3)
4y − 20 =− 3x − 9
4y + 3x − 11 = 0 (Ecuación general)

3. 1
2
3. El punto Q = (a, b) pertenece a la recta L : 3x + 2y − 5 = 0 y equidista de las
rectas L1 : x + 2y − 12 = 0 y L2 : x + 2y + 6 = 0 halle la distancia del punto Q a la recta
L3 : (b − 2a)x + (3a − 2b)y − 6 = 0
d(Q, L ) =
|1(a) + 2(b) −12|
√1+4
d(Q, L ) =
|1(a) + 2(b) +6|
√1+4
|a + 2b − 12| = |a + 2b + 6|
a + 2b
a + 2b
− 12= -( a +
− 3 = 0
2b + 6 )
como Q pertenece a L :
3(a) + 2(b) − 5 = 0
Se opera con ambas ecuaciones:
3(a) + 2(b) − 5 = 0
(a + 2b − 3 = 0)(− 1)
2a − 2 = 0
a = 1
b = 1
L3 : x − y + 6 = 0
|1(1) +1(−1) +6|
d(Q, L3 ) = √2
= 6/√2
4.
5. Determine la ecuación general de la recta L de pendiente no negativa que pasa por la
intersección de L1 : p = (3, 5) + t (− 1,1) y L2 : p = 3y − x = 4 , cuya distancia del punto
(1,-1) a la recta L
Solución:
es 4.
Convertimos a su forma general para poder
hacer sistema de ecuaciones y encontrar el
punto de intersección.
L1 : p = (3, 5) + t (− 1, 1)
L1 :

4. Además nos indican que la pendiente es
no negativa, es decir que puede ser
mayor o igual a 0.
Además la distancia de P(1,-1) a la recta L
es 4.

5. L1 : x + y − 8 = 0
L2 : 3y − x − 4 = 0
4y − 12 = 0
y = 3
x = 5
El Punto de intersección es (5,3)
Lo cual según el gráfico la distancia de 4
estaría a la altura de y=3. además que
contiene al punto (5,3)
Porlotanto L : y −3=0
6.Determine la ecuacion simetrica de la recta que pasa por la intersección de las rectas;
L1; (x,y)=(1,2) + t(2,-1) L2: x=2-r ; y=-3/2 -r/2
x=1+2t L2: 2-x=(2y+3)/-1
y=2-t 0=2y-x+5
(x-1)/2=2-y x-5=-x+5
0=2y+x-5 x=5 ; y=0
y forma con los ejes coordenados en el primer cuadrante un triángulo de área de 5
unidades cuadradas.
5y/2=5 a=(0,2) L: (y-2)/-2=x/5
y=2 b=(5,0)

6. 2
2
3
y
3
= 7
7. Encuentre la ecuación general de la recta que pasa por la intersección de las rectas
y
S1 :− x
+ =
1
y S2 : x = 2 + 6t ; y =− 10 − 7t y forma con los ejes coordenados, en el
tercer cuadrante, un triángulo de área 25.
Solución:
Encontramos las ecuaciones generales de las rectas S1 y S2 luego realizamos un sistema
de ecuaciones para encontrar la intersección entre las dos rectas.
Ecuación general de la recta S1 y S2 . Sistema de ecuaciones de S1 y S2 .
S1 :− x
+ =
1
− 3(2y − 3x = 6)
2y − 3x = 6 6y + 7x =− 46
S2 : x = 2 + 6t ; y =− 10 − 7t
x−2
6
−(y −10)
= t
− 6y + 9x =− 18
6y + 7x =− 46
7x − 14 =− 6y − 60
6y + 7x =− 46
16x =− 64
x =− 4
Reemplazamos en la ecuación
encontrar y .
S1 para
2y − 3(− 4) = 6
y =− 3
Punto de intersección: (− 4,− 3)

7. 2
2
= 1
− = 1
3
2 3
Como la recta L forma con los ejes coordenados, en el tercer cuadrante, un triángulo de
área 25 u2
decimos que:
A = a.b
25 = a .b
50 = a.b
Utilizaremos la ecuación segmentaria y reemplazamos el punto de intersección.
x
y −4b−50
a
+ b
= 1 ( 3 ) .b = 50
−4
+ −3
= 1 2b2
+ 25 b + 75 = 0
a b
−4b− 3a
a.b
− 4b − 3a = 50
(b + 5) . (2b + 15) = 0
b1 =− 5 ; a 1 =− 10
a = −4b−50 b2 =− 15
; a 2 =− 20
ab = 50
Al reemplazar b1 ; a 1 y
la recta L.
Ecuación 1
b2 ; a 2 en la ecuación segmentaria se hallarán dos ecuaciones
Ecuación 2
−x
−
y
=
1
−x
−
y
= 1
10 5 20 15
3 2
x + 2y + 10 = 0 −3x
20
2y
15
9x − 8y + 60 = 0
8. Halle la ecuación general de la recta L que pasa por los puntos (2b − a, a + b)
y (b, a + 1) si la recta L1 : (x − 2y + 1)b + (3x − 2)a = 20 es perpendicular a
L2 : 3x + 2y = 21 en el punto (a,b); luego calcule la distancia del punto Q (b,a) a la
recta L Solución: Como L1

8. y L2 son
perpendic
ulares el
producto
de sus
pendiente
s es -1

9. 2
1 2b
Pendiente de L : m1 =
−(b + 3a)
Pendiente de L2 : m2 = −3
(b + 3a) (−3)
m1.m2 = 2b 2
= − 1 = 9a = b
(a,b) pertenece a L2 : 3x + 2y = 21
L2 :
L2 :
3(a) + 2(b) = 21
3(a) + 2(9a) = 21
a = 1, b = 9
Punto de L : (17, 10) y (9, 2)
Pendiente de L : m = 1
L : (y − 9) = 1(x − 2)
L : x − y − 7 = 0 Ecuación general
Q = (9, 1)
d(Q, L ) =
|1(9) +1(− 1) −7|
= √2/2
√2
9.
10. Una recta L pasa por el punto A (1,k) y es perpendicular al vector v = (k + 1, 5) ;
halle los valores de “k ” tales que B (-1-k, 7) esté sobre L .
Solución:
A(1, k) y B(− 1 − k,7) ∈ L
Hallaremos el vector director (w) de la Como L es perpendicular al vector v, su
recta L en base a los puntos A y B vector director (w) también lo es.
brindados por el problema. w ⊥ v ⇒ w.v = 0
w = B − A
w = (− 1 − k − 1, 7 − k)
w = (− 2 − k, 7 − k)
(− 2 − k,7 − k) . (k + 1, 5) = 0
k2
+ 8k − 33 = 0
(k − 3) (k + 11)
⇒ k =3 k =−11
11.Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares tales que L1 pasa por (1,3) y (3,7); L2 pasa
por (-5,2)
Hallar la intersección de ambas rectas:
L1 y=mx+b m=2 L2; y=mx+b m=-1/2

10. 7
7 1
12
y=2x+b y=-x/2+b
b=1 b=-1/2
y=2x+1 y=-x/2 -1/2
2x+1=(-1-x)/2
x=-⅗
y=-⅕
12. Dada la recta L : P = (3,− 5) + t(7,12), t ε R ,halle la ecuación de la recta L1 que
pasa por (2,-2) y es perpendicular a la recta L.
Solución:
Hallamos la pendiente L la cual está dada por el vector director.
v = (7, 12)
m = 12
cómo L y L1 son perpendiculares el producto de sus pendientes es -1.
m.m1 =− 1
12
. m =− 1
m1 = −7
El vector director de L1 es v1 = (− 12,7)
Como se tiene un punto de L1
Ecuación vectorial:
L1 : P = (2,− 2 ) + t (− 12,7)
y su vector director , reemplazamos y encontramos la
-

11. 4
= t
=
13. Sea la recta L1 : x = 2 − 3t, y =− 1 + 4t, t ∈ R Determinar las ecuaciones vectorial y
general de la recta L2 que pasa por el punto (3,0) y es perpendicular a la recta L1
Solución:
x = 2 − 3t
y =− 1 + 4t
X −2
−3
Y +1
= t
Y
+1
4
−2
−3
4x + 3y − 5 = 0
L1 : m = − 4/3 , como L1 y L2 son perpendiculares el producto de sus pendientes es -1
L2 : m = 3/4
Como L2 pasa por (3,0), Hallamos la ecuación:
L2 : (y − 0) = 3/4(x − 3)
Ecuación general de L2 : 3x − 4y − 9 = 0
Ecuación vectorial de L2 : p = ( 3, 0) +
14.
t( 4, 3)
15. Sea la recta de ecuación L1 : (4, 5) [(x,y) − (− 7, 9)] = 0 , determinar las ecuaciones
vectorial y general de la recta L2 que es paralela a L1 y que contiene al punto
P = (4,− 1) .
Solución:
Nos dan la ecuación normal de la recta L1 por tanto su vector normal es (4,5),
Para hallar la ecuación de L2 necesitamos su vector director, y como nos indican que L1 || L2
hallaremos su vector director por rotación del vector (4,5).
Entonces el vector director de L2 será v = (− 5, 4) y su punto de paso será P0 = (4,− 1)
Ecuación Vectorial Ecuación General
L 2 :(x ,y )=(4,−1)+t (−5,4) L2 : x = 4 − 5t ⋀ y =− 1 + 4t
⇒ x −4
=
y
+1
−5 4
4x − 16 =− 5y − 5

12. L2 :4x +5y −11=0

13. 3
3 1
4
4
16.La pendiente de la recta L: P=(0,3)+t(a,b); es igual a la distancia entre las rectas:
L1: (x-2)/3=(4-y)/-4 ; L2: x=-1+3r , y=1+4r
(x+1)/3=(y-1)/4
-4x+8=12-3y ; 4x+4=3y-3
0=4x-3y+4 ; 0=4x-3y+7
m= ⅗
17. Sea la recta L1 : x =− 3t ; y = 4t − 1, t ε R , determinar las ecuación vectorial y
general de la recta L1 que pasa el punto (-1,3) y es perpendicular a la recta L .
Solución:
Desarrollamos la ecuación de recta para encontrar su pendiente.
L1 : x =− 3t ; y = 4t − 1
−(x−2)
=
y +1
= t
3 4
4x + 3y − 5 = 0
m = −4
como L1 y L son perpendiculares el producto de sus pendientes es -1.
−4
.m =− 1
m1 = 3
Como se tiene el punto (-1,3) de L1 , hallamos las ecuaciones:
L1 : (y − 3) = 3
(x + 1)
Ecuación general:
L1 : 3x − 4y + 15 = 0
Ecuación vectorial:
L1 : p = (− 1, 3) + t(4,3)

14. 5
=
1
2
=
22. 9x^2-〖4y〗^2+54x-8y-36z+41=0
18. la distancia del punto Q : (0,− 1/5) a la recta L1 : X
−1
Y
+3
12
es igual a la pendiente
de la recta L : (x,y = (3,− 7)
Solución:
+ t(2,m), t ∈ R determine el valor de m + 1/m.
L1 : 12x + 5y − 27
d(Q, L ) =
|12(0) + (−5)(−1/5) − 27|
= 2
√144 + 25
L : x = 3 + 2t, y =− 7 + tm
Se iguala t, para hallar la ecuación general:
mx − 2y − 3m − 14 = 0
Pendiente de L = m/2
Como d(Q, L1 ) = m/2
m
= 2 = m = 4
m +1
m
4 +1
4 = 5/4
19.
20. La dirección del vector ues 37°. Si u es paralelo a la recta L : ax + by − 5 = 0 y la
7 7
distancia del punto P (1,-3) a la recta L es
Solución:
2 (d (P; L) = 2 ) . Hallar a2 − b .

15. II. Indique el nombre de la superficie y trace la gráfica de las siguientes ecuaciones,
haga uso del Geogebra.
1.
2. 9x2 − 4y2 + 54x − 8y − 36z + 41 = 0

16. = +
Paraboloide hiperbólico
3. 3y2 + 2z2 − 3x + 18y − 4z + 29 = 0
3(y − 3)
2
+ 2(z − 1)
2
− 3x = 0
X
2
(Y −3)
2
2
(Z − 1)
2
3 PARABOLOIDE ELÍPTICO

18. 4.
5. 2x2
− 8y2
+ 2z2
− 4x + 16y + 2 = 0

19. Hiperboloide de 2 hojas
6.

20. (x + 3)
2
+
(Y −1)
+
7. x2 + y2 + z2 − 4x + 6y − 8z − 81 = 0
Esfera
8. 36x2
+ 9y2
+ 4z2
+ 216x − 18y − 8z + 301 = 0
2 2 2
36(x + 3) + 9(y − 1) + 4(z − 1) − 36 = 0
2
(Z −1)
2
4 9
= 1 ELIPSOIDE

22. 9.
10. x2 − 2y2 − z2 − 4x + 8y + 8z − 10 = 0
Hiperboloide de 1 hoja
11.

23. − − 5
12. − 20x2
+ 15y2
+ 12z2
+ 120x + 60 y − 24z − 49 = 0
2 2 2
20(x − 3) − 15(y + 2) + 12(z − 1) − 60 = 0
(x −3)
2
3
(y +2)
2
4
(z −1)
2
= 1 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

24. − −
13. x2 − 2y2 + 8z2 + 4x + 8y − 32z + 36 = 0
2 2 2
(x + 2) − 2(y − 2) + 8(z − 2) + 8 = 0
(Y −2)
2
4
(x +2)
2
8
(Z −2)
2
1
= 1 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
14.
15. . x2
+ 2(x + 3y − 2z) + 1 =− 4 − y
2
− z2

25. Esfera
16.

26. +
(y + 5)
2
−
(x+2)
−
(z −1)
17. Dadas las ecuaciones generales de las superficies:
25x2
+ 4y2
+ 100x − 24y − 200z + 136 = 0; x2
− 9y2
+ 3z2
+ 4x − 90y − 6z − 209 = 0
Grafique en un mismo eje de coordenadas e identifique el sólido formado por la
intersección de las superficies.
25x2
+ 4y2
+ 100x − 24y − 200z + 136 = 0
25(x − 2)
2
+ 4(y − 3)
2
+ 100(z − 1)
2
− 100 = 0
(x−2 )
2
4
4(y −3)
2
3
+ (z − 1)
2
= 1 ELIPSOIDE
x2
− 9y2
+ 3z2
+ 4x − 90y − 6z − 209 = 0
9(y + 5)2
− (x + 2)2
+ 3(z − 1)2
− 9 = 0
2 2
9 3
= 1 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

27. − + −
18. Dadas las ecuaciones generales de las superficies
y2 + 2z2 − 4x − 4y − 4z − 6 = 0 ; x2 − 2y2 + z2 − 6x + 4y − 4z − 11 = 0
Grafique en un mismo eje de coordenadas e identifique el sólido formado por la
intersección de las superficies
y2 + 2z2 − 4x − 4y − 4z − 6 = 0 PARABOLOIDE
x2 − 2y2 + z2 − 6x + 4y − 4z − 11 = 0
2 2 2
(x − 3) − 2(y − 2) + (z − 2) + 6 = 0
(x−3 )
2
6
2(y −2)
2
3
(z −2)
2
6 = 1 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS