Aplicaciones geometricas edo2

5
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS
TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS:
Se dice que una familia de curvas T(x, y, k) = 0 (k una constante arbitraria) es una
trayectoria ω para una familia de curvas F(x,y,C) = 0 dada, si cualquier curva de la familia T
corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(x, y, C) = 0 bajo un ángulo
constante ω.
Sea F(x, y ,C) = 0 una familia de curvas conocida y sea ω un ángulo dado. Se desea
determinar la familia de curvas T(x, y, k) = 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada
una de las curvas de la familia F(x, y, C) = 0.
Ya que F(x, y, C) = 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial
asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un
haz de curvas. Sea f(x, y, y’)= 0 dicha ecuación diferencial.
Considérese una curva F1 perteneciente a la familia F(x, y, C) = 0 y una trayectoria T1 ,
a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(x, y) (ver Figura 1)
OBSERVACIÓN:
Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que
forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección.
L F1
ω
P ( x , y )
L T1
T1 ( x, y, K1) = 0
Y
X
F1 ( x, y, C1) = 0
Figura 1
Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F1(x, y, C1) = 0, en el punto P(x,
y), con el eje x; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T1(x, y, K1) = 0, en el
punto P(x, y), con el eje x. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura 2).

6
φθ
L F1
ω
P ( x , y )
L T1
T1 ( x, y, K1) = 0
Y
X
F1 ( x, y, C1) = 0
Figura 2
A cada punto de la curva F1(x, y, C1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’ = tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F1 en el punto P(x, y).
A cada punto de la curva T1(x, y, k1) = 0 se puede asociar una terna ( x, y, y’), donde
y’= tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T1 en el punto P(x, y).
OBSERVACIÓN:
A fin de evitar confusión con respecto a si la terna (x, y, y’), está referida a los
puntos de la curva F1, o a los puntos de la curva T1, sólo a efectos de la demostración
se escribirá (u, v, v’ ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva
T1. En el punto P(x, y) exactamente se tendrá que:
x = u , y = v , y’ = tg θ , v’ = tg φ
Se debe ahora establecer una relación entre las derivadas y’ = tg θ , v’ = tg φ. Para
ello, se trasladará la recta tangente a F1(x, y, C1) = 0 en el punto P(x, y), hasta el punto de
corte de la recta tangente a T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y) con el eje x (ver Figura 3).
θ
ω
φθ
L F1
ω
P ( x , y )
L T1
T1 ( x, y, K1) = 0
Y
X
F1 ( x, y, C1) = 0
Figura 3

7
De la Figura 3 se deduce que:
θ = φ – ω.
Por identidades trigonométricas
tg θ = tg (φ – ω) =
ωφ+
ωφ
tgtg1
tg-tg
De acuerdo a lo indicado en la observación tg θ = y’, tg φ = v’, entonces al sustituir en
la ecuación anterior, resulta que:
y’=
ω+
ω
tg'v1
tg-'v
Esta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvas
F1(x, y, C1) = 0 y T1(x, y, k1) = 0 en el punto P(x, y).
Ya que f(x, y, y’) = 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(x,
y, C) = 0, entonces sustituyendo en dicha ecuación diferencial y’ por
ω+
ω
tg'v1
tg-'v
, se obtiene
una nueva ecuación diferencial f(x, y ,
ω+
ω
tg'v1
tg-'v
) = 0
Esta es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias que mantiene un
ángulo ω, con la familia F(x, y, C) = 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtiene
la familia T(x, y, k) = 0, familia que representa las trayectorias ω a la familia dada F(x,
y, C) = 0.
OBSERVACIÓN:
La ecuación diferencial
f(x, y,
ω+
ω
tg'v1
tg-'v
) = 0
tiene sentido siempre y cuando ω ≠ 90º, ya que tg 90º se indetermina.
Si ω = 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de
intersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas son
perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es:
(tg θ) (tg φ) = -1
Como tg θ = y’, tg φ = v’, resulta que:
y’ = -
'
1
v

8
Por lo tanto, si la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
F(x, y, C) = 0 es f(x, y, y’) = 0, entonces sustituyendo y’ por –
v
1
se obtiene una nueva
ecuación diferencial f (x, y,
'v
1
− ) = 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia de
trayectorias que mantienen un ángulo de 90º con la familia dada.
Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(x, y, k) = 0, la cual
representa la familia de trayectorias a 90º de la familia dada. Para este caso, cuando ω =
90º, las trayectorias se denominan, trayectorias ortogonales.
OBSERVACIÓN:
Recuerde que solo para efecto de la demostración, se utilizó ( u, v, v’ ) para
hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(x, y, k) = 0.
PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ
DE CURVAS DADO
1. Si la ecuación del haz de curvas no está dada en forma explícita, debe determinarse.
Sea F(x, y, C) = 0 la ecuación del haz dado.
2. Debe determinarse la ecuación diferencial asociada al haz F(x, y, C) = 0. Sea
f(x, y, y’) = 0 la ecuación diferencial que resulta.
3. Si las trayectoria a buscar son a un ángulo ω ≠ 90º, debe sustituirse y’, en la
ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por
ω+
ω−
tg'y1
tg'y
; así se obtiene la
ecuación diferencial f(x, y,
ω+
ω−
tg'y1
tg'y
) = 0.
Si las trayectorias a determinar son ortogonales (ω = 90º), se debe sustituir y’, en la
ecuación diferencial que se obtuvo en el paso 2, por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜ ; así se obtiene la
ecuación diferencial f(x, y,
⎝
⎛
−
'y
1
'y
1
− ) = 0.
4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso 3.
5. La solución general de la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representa
la familia de trayectorias que mantiene un ángulo ω con la familia de curvas
dada. (en el caso en que ω = 90º, recuerde que las trayectorias se denominan
trayectorias ortogonales).

9
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS
DE TRAYECTORIAS
1. La ecuación y2
= Cx (C una constante arbitraria) define una familia de parábolas.
Obtenga la familia de trayectorias ortogonales.
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de
curvas y
2
= Cx (1)
Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se
deriva solo una vez.
Derivando implícitamente la ecuación (1) respecto de x resulta
2yy’ = C (2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no
representa la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las características
de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias.
Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma
con las ecuaciones (1) y (2).
C='yy2
Cx=y2
Aquí basta con sustituir la ecuación (2) en la ecuación (1), resultando
y
2
= 2yy’x (3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia de parábolas
y
2
= Cx.
Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y
2
= Cx. Para ello, basta con
sustituir y’ en la ecuación (3) por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
y
2
= 2y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
x
multiplicando por y’/y2
y’ =
y
x
2−

10
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’ se tiene
dy =
y
x
2− dx (4)
Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables
basta con multiplicar la ecuación (4) por y
y dy = – 2 x dx
equivalentemente
y dy + 2x dx = 0
integrando
1Cdxx2dyy =+
∫∫ (5)
Ambas integrales son inmediatas
=
∫ dyy
2
y2
+ k1
∫ dxx =
2
x2
+ k2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
2
y2
+ x
2
= K
Multiplicando por
K
1
,
1
K
x
K2
y 22
=+ (6)
La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y
eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de
parábolas y
2
= Cx
OBSERVACIÓN:
Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación de las trayectorias,
no es la misma constante del haz de curvas dado.

11
2. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y
3
= Cx
2
SOLUCIÓN:
curvas y
3
= Cx
2
(1)
3y
2
y’ = 2Cx (2)
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe
eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
Cx2'yy3
Cxy
2
23
Aquí basta con despejar C de la ecuación (2) y sustituir en la ecuación (1), resultando
y =
2
xy'3
(3)
La ecuación (3) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia y
3
= Cx
2
.
3
= Cx
2
. Para ello, basta con
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
y = 3 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y2
1
x
equivalentemente,
y’ =
y2
x3
−
dy =
y2
x3
− dx (4)
basta con multiplicar la ecuación (4) por 2y
2 y dy = - 3x dx

12
integrando
∫∫ −= dxx3dyy2 (5)
Ambas integrales inmediatas son inmediatas
2
y
dyy
2
=
∫ + k1
∫ =
2
x
dxx
2
+ k2
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
2
x
3
2
y
2
22
−= + k
Multiplicando por
k3
1
,
1
k2
x
k3
y 22
=+ (6)
La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen y
eje mayor paralelo al eje y, representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de
curvas y
3
= Cx
2
3. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familias
y
3
= C1 x , x
2
+ a y
2
= C
2
sean ortogonales
SOLUCIÓN:
Como aquí se tienen dos curvas, se deberán denotar de manera diferente las
derivadas de cada una de ellas; sean:
y’ la derivada de la curva y
3
= C1 x
ŷ’ la derivada de la curva x
2
+ay
2
= C
2
De acuerdo con la definición de curvas ortogonales, para que estas curvas sean
ortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -1, esto es:
y’. ŷ’ = -1 (1)
Derivando implícitamente respecto de x, la curva y
3
= C1 x (2)
3 y
2
y’ = C1 (3)
La constante C1 debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones (2) y (3)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
1
2
1
3
C'yy3
xCy

13
Sustituyendo (3) en (2) se tiene
y = 3 y’ x
Despejando y’
y’ =
x3
y
(4)
Derivando implícitamente respecto de x, la curva x
2
+ ay
2
= C
2
(5)
2 x + 2 a y ŷ
'
= 0 (6)
Despejando ŷ
'
de la ecuación (6)
ŷ
'
=
ya
x
− (7)
Sustituyendo las ecuaciones (4) y (7) en la ecuación (1)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
x3
y
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
ay
x
= -1
Simplificando y despejando la constante a
a =
3
1
4. Determinar las trayectorias ortogonales para la familia y = - x – 1 + C1 ex
SOLUCIÓN:
Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia
de curvas y = - x – 1 + C1 ex
(1)
y’ = - 1 + C1 ex
(2)
Como la ecuación (2) aún contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación no
x
x
1
1
eC1'y
eC1xy
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+−−=
Despejando C1 ex
de la ecuación (2)

14
C1 ex
= y’ + 1 (3)
Sustituyendo (3) en la ecuación (1), resulta
y = - x + y’ (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada
y = - x – 1 + C1 ex
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
y = – x + ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
equivalentemente,
y’ =
yx
1
+
−
dy = -
yx
1
+
dx (5)
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias
ortogonales a la curva y = – x – 1 + C1 ex
La ecuación diferencial (5) no es una ecuación de variables separables, pero puede
escribirse de la forma
dx + (x + y) dy = 0 (6)
resultando una ecuación diferencial reducible a exacta ( pues, P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0, y
x
Q
y
P
∂
∂
≠
∂
∂
).
En efecto, si P(x, y) = 1 y Q(x, y) = x + y entonces 0
y
P
=
∂
∂
y 1
x
Q
=
∂
∂
; luego la
ecuación no es exacta pero puede que admita un factor integrante de la forma
µ (x,y) = con g(v) =
∫ dv)v(g
e
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
y
v
P
x
v
Q
x
Q
y
P
Si v = y entonces 0
x
v
=
∂
∂
1
y
v
=
∂
∂
; sustituyendo en g(v) resulta:

15
g(v) =
1
1
−
−
= 1
Así,
µ (x, y) =
∫ dv)v(g
e = e
v
= e
y
Por lo tanto el factor integrante es µ (x, y) = ey
Multiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrante
ey
dx + ey
(x + y) dy = 0 (7)
La ecuación (7) se puede escribir
ey
dx + x ey
dy = – y ey
dy (8)
El término izquierdo de la ecuación (8) es la diferencial total de ( x e y
), esto es,
ey
dx + x ey
dy = d ( x e y
)
Así, la ecuación (8) se transforma en
d ( x e y
) = – y ey
dy
Integrando
∫ ∫−= dyey)ex(d yy
(9)
Resolviendo las integrales
∫ = yy
ex)ex(d + K1
∫ dyey y
se resuelve por el método de integración por partes:
∫ ∫−= duvvudvu , donde
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
==
==
yy
evdyedv
dyduyu
∫ dyey y
= y ey
∫− dye y
= y ey
– ey
= ey
(y – 1) + K2
Sustituyendo los resultados de las integrales en (9)
x ey
+ K1 = – ey
(y – 1) + K2
o equivalentemente

16
x ey
= ey
(1 – y) + K
multiplicando por e –y
x = (1 – y) + K e –y
o también
(x + y – 1) ey
= K (10)
La ecuación (10), representa la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la
familia de curvas y = – x – 1 + C1 ex
5. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = (x – C1)
2
SOLUCIÓN:
curvas y = (x – C1)
2
(1)
y’ = 2 ( x – C1 ) (2)
representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C1 debe
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−=
)Cx(2'y
Cxy
1
2
1
Despejando ( x – C1 ) de la ecuación (2)
( x – C1 ) =
2
y'
(3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
y =
2
'
2
y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
equivalentemente
4y = ( y’)
2
esto es,
2 y = y’ (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas
y = ( x – C1 )
2

17
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = ( x – C1 )
2
Para ello, basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
2 y =
'y
1
−
equivalentemente,
y’=
y2
1
−
dy =
y2
1
− dx (5)
basta con multiplicar la ecuación (5) por y
y dy =
2
1
− dx
integrando
∫∫ −= dx
2
1
dyy (6)
∫ dyy =
2
3
2
3
y
+ k1
∫dx = x + k2
2
3
2
3
y
=
2
1
− x + k
Para despejar y, primero se multiplica por
2
3
a ambos lados de la igualdad y luego se
eleva a 3
2
3
2
4
K6x33
2
K
2
3
x
4
3
y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=

18
equivalentemente
y =
( )3
2
16
x3k −
(7)
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de
parábolas y = ( x – C1 )
2
6. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia C1 x
2
+ y
2
= 1
SOLUCIÓN:
curvas C1 x
2
+ y
2
= 1 (1)
2 C1 x + 2 y y’ = 0 (2)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
0'yy2xC2
1yxC
1
22
1
Despejando C1 de la ecuación (2)
C1 =
x
yy '
− (3)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
x
yy '
x
2
+ y
2
= 1
equivalentemente
– yy’ x + y
2
= 1 (4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia
C1 x
2
+ y
2
= 1

19
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia C1 x
2
+ y
2
= 1
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
– y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
x + y
2
= 1
equivalentemente,
'y
yx
= 1 – y
2
Despejando y’
2
y1
xy
'y
−
=
dy =
2
y1
xy
−
dx (5)
basta con multiplicar la ecuación (5) por
y
y1 2
−
y
y1 2
−
dy = x dx
integrando
∫∫ =
−
dxxdy
y
y1 2
(6)
dy
y
y1 2
∫
−
=
∫ dy
y
1
∫− dyy = ln | y |
2
y 2
− + k1
∫ dxx =
2
x 2
+ k2
ln | y |
2
y 2
− =
2
x 2
+ k
multiplicando por 2
2 ln | y | = x
2
+ y
2
+ 2K

20
aplicando propiedades de logaritmo
ln y
2
= x
2
+ y
2
+ 2K
aplicando e a ambos lados de la ecuación
y
2
= C (7)
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ + 2y2x
e
La ecuación (7), representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
C1 x
2
+ y
2
= 1
7. Determine la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas 2 x2
+ y2
= C
SOLUCIÓN:
curvas 2 x
2
+ y
2
= C (1)
4 x + 2 y y’ = 0 (2)
Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa
la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado.
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2 x
2
+ y
2
= C
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
4 x + 2 y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
= 0
equivalentemente,
2 x y’ – y = 0
Despejando y’
x2
y
'y =
dy =
x2
y
dx (3)

21
y
2
y
2
dy =
x
1
dx
integrando
∫∫ = dx
x
1
dy
y
1
2 (4)
∫ dy
y
1
= yln + k1
∫ dx
x
1
= xln + k2
Sustituyendo los resultados de la integrales en la ecuación (4)
2 ln | y | = ln | x | + k3
ln y
2
- ln | x | = k3
esto es
ln
x
y 2
= k3
aplicando e a ambos lados de la ecuación
y
2
= k x (5)
2x
2
+ y
2
= C
8. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas y = eCx
SOLUCIÓN:
curvas y = eCx
(1)
y’ = C eCx
(2)

22
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
xC
xC
eC'y
ey
Despejando C de la ecuación (1)
C =
x
yln
(3)
y’ = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
yln
y (4)
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = e Cx
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
'y
1
− =
x
ylny
equivalentemente,
y’ =
ylny
x
−
dy =
ylny
x
− dx (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (y ln y)
y ln y dy = - x dx
integrando
∫∫ −= dxxdyylny (6)
Para resolver la integral se aplica el método de integración por partes
∫ dyylny

23
∫ ∫−= duvvudvu ; donde
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
==
2
y
vdyydv
dy
y
1
duylnu
2
así
∫ dyylny = dy
y
1
2
y
yln
2
y 22
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− = dy
2
y
yln
2
y2
∫− =
4
y
yln
2
y 22
− + k1
∫ =
2
x
dxx
2
+ k2
4
y
yln
2
y 22
− =
2
x2
− + k
multiplicando por 4
22
yylny2 − = – + 4 k2
x2
equivalentemente
y
2
( ln y
2
- 1 ) + 2 x
2
= C1 (7)
y = eCx
9. Obtenga la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas y
a
= C1 x
b
donde a y b son constantes conocidas.
SOLUCIÓN:
curvas y
a
= C1 x
b
(1)
a y
a – 1
y’ = C1 b x
b – 1
(2)

24
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−− 1b
1
1a
b
1
a
xbC'yya
xCy
C1 =
b
a
x
y
(3)
a y
a – 1
y’ =
b
a
x
y
b x
b – 1
(4)
a
= C1 x
b
Para ello, se sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
a y
a – 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
= b
x
y a
Despejando y’
y’ = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
yb
xa
dy = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
yb
xa
dx (5)
basta con multiplicar la ecuación (5) por (b y)
b y dy = - a x dx
integrando
∫∫ −= dxxadyyb (6)
∫ =
2
y
dyy
2
+ k1

25
∫ =
2
x
dxx
2
+ k2
k
2
xa
2
yb 22
+−=
Multiplicando por
k
1
1
a
K2
2x
b
K2
2y
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(8)
y a
= C1 x b
10. Determine la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales al haz de
curvas
xC1
xC1
y
1
1
−
+
=
SOLUCIÓN:
curvas
xC1
xC1
y
1
1
−
+
= (1)
y’ =
2
1
1111
)xC1(
)xC1(C)xC1(C
−
++−
desarrollando y simplificando
y’ =
( )2
1
1
xC1
C2
−
(2)

26
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−
+
=
2
1
1
1
1
xC1
C2
'y
xC1
xC1
y
y ( 1 – C1 x ) = 1 + C1 x C1 =⇒
( ) x1y
1y
+
−
(3)
y’ =
( )
( )
2
x
x1y
1y
1
x1y
1y
2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
y’ =
( )
x2
)1y()1y(
1y
4
1y
1y
x
2
2
+−
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
de aquí resulta que
y’ =
x2
1y 2
−
(4)
La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
xC1
xC1
y
1
1
−
+
=
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia
xC1
xC1
y
1
1
−
+
= . Para ello,
basta con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
'y
1
− =
x2
1y 2
−
despejando y’
y ’ =
1y
x2
2
−
− =
2
y1
x2
−

27
dy =
2
y1
x2
−
dx (5)
basta con multiplicar la ecuación (5) por ( 1 – y
2
)
( 1 – y
2
) dy = 2 x dx
integrando
( )
∫∫ =− dxx2dyy1 2
(6)
( )
∫ − dyy1 2
=
∫dy
∫− dyy2
= y
3
y3
− + k1
∫ dxx =
2
x2
+ k2
kx
3
y
y 2
3
+=−
multiplicando por 3
3 x
2
+ y
3
– 3 y = C (7)
xC1
xC1
y
1
1
−
+
=
11. Determine la ecuación del haz de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
2 x
2
+ y
2
= 4 C x
SOLUCIÓN:
curvas 2 x
2
+ y
2
= 4 C x (1)
4 x + 2 y y’ = 4 C
simplificando
2 x + y y’ = 2 C (2)

28
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
C2'yyx2
xC4yx2 22
Despejando C de la ecuación (2)
C =
2
'yyx2 +
(3)
2 x
2
+ y
2
= 4 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
2
'yyx2
x
2 x
2
+ y
2
= 4 x
2
+ 2 x y y’
equivalentemente
y
2
– 2 x
2
= 2 x y y’ (4)
2 x
2
+ y
2
= 4 C x
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia 2x
2
+ y
2
= 4 Cx . Para ello, se
sustituye y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
y
2
– 2 x
2
= 2 x y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
despejando y’
y’ =
22
yx2
yx2
−
dy =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− 22
yx2
yx2
dx
equivalentemente
2 x y dx + ( y
2
– 2 x
2
) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos de
homogeneidad.

29
Sacando factor común x
2
en la ecuación (5) ( x ≠ 0)
x
2
0dy2
x
y
dx
x
y2
2
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Multiplicando por
2
x
1
y efectuando el cambio de variable
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=⇒=
dxtdtxdy
txy
x
y
t
2 t dx + ( t2
– 2 ) ( x dt + t dx ) = 0
Desarrollando y sacando factor común dx
t
3
dx + ( t
2
- 2) x dt = 0 (6)
variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuación por el factor
3
tx
1
, así resulta
0dt
t
2t
dx
x
1
3
2
=
−
+
integrando l
=
−
+
∫∫ dt
t
2t
dx
x
1
3
2
C1 (7)
∫ dx
x
1
= ln | x | + k1
=
−
∫ dt
t
2t
3
2
∫ dt
t
1
dt
t
1
2
3
∫− = ln | t | +
2
t
1
+ k2
ln | x | + ln | t | +
2
t
1
= k
ln | x t | +
2
t
1
= k
Devolviendo el cambio de variables ( t =
x
y
)
Ln | y | +
2
2
y
x
= k

30
Aplicando e
2
y
x
ey
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= C1 (8)
2 x
2
+ y
2
= 4 C x
12. Obtener las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
4 y + x
2
+ 1 + C1 e 2y
= 0
SOLUCIÓN:
curvas 4 y + x 2
+ 1 + C1 e 2y
= 0 (1)
4 y’ + 2 x + 2 C1 y’ e2y
= 0 (2)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
0eC'y2x2'y4
0eC1xy4
y2
1
y2
1
2
C1 =
y2
e'y2
x2'y4 +
− (3)
4 y + x
2
+ 1 +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
y2
e'y2
x2'y4
e 2y
= 0
simplificando
( 4y + x
2
+ 1 ) y’ – 2 y’ + x = 0
sacando factor común y’
(4y + x
2
– 1) y’ + x = 0 (4)

31
4 y + x
2
+ 1 + C1 e 2y
= 0
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
resultando
(4y + x
2
– 1) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
+ x = 0
despejando y’
y’ =
x
xy41 2
−−
dy =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
x
xy41 2
dx
esto es
( x
2
+ 4 y - 1 ) dx + x dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe
determinarse un factor integrante de la forma µ = , donde∫ dv)v(g
e
g(v) =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
y
v
P
x
v
Q
x
Q
y
P
; P(x, y) = x
2
+ 4 y - 1 ; Q(x, y) = x
Si v = x
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
∂
∂
0
y
v
1
x
v
; 1
x
Q
;4
y
P
=
∂
∂
=
∂
∂
, entonces g(v) =
v
3
x
3
Q
3
==
Por lo tanto, el factor integrante es
µ =
∫ dv
v
3
e = e3 ln| v |
= v
3
= x
3
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante
( x
2
+ 4 y - 1 ) x
3
dx + x
4
dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta. Esto quiere decir que existe una
función F(x,y) = K, tal que

32
335
xyx4x
x
F
−+=
∂
∂
)7(
4
x
y
F
=
∂
∂
)8(
Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y ( x se asume constante )
∫∫ =∂⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
y
.cttex
4
dyxy
y
F
resolviendo las integrales
F( x, y ) = x
4
y + h(x) (9)
Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto de x
yx4
x
F 3
=
∂
∂
+
dx
)x(hd
(10)
Comparando las ecuaciones (7) y (10) resulta
x
5
+ 4x
3
y - x
3
= 4 x
3
y +
dx
)x(hd
simplificando
dx
)x(hd
= x
5
- x
3
Ya que la diferencial de h(x) es dh(x) = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dx
)x(hd
dx, sustituyendo
dx
)x(hd
dh(x) = ( x
5
– x
3
) dx
integrando
( )dxxx)x(hd 35
∫ ∫ −= (11)
∫ )x(hd = h(x) + k1
∫ − dx)xx( 35
= 2
46
k
4
x
6
x
+−
h (x ) = k
4
x
6
x 46
+−
Sustituyendo h(x) en la ecuación (9)

33
F( x, y ) = x
4
y + k
4
x
6
x 46
+−
De aquí resulta que, la familia de trayectorias ortogonales a la familia 4
y + x
2
+ 1 + C1 e 2y
= 0 es x
4
y + k
4
x
6
x 46
+− = 0
13. Determinar la familia de trayectorias ortogonales al haz de curvas
1
3
1
3
1
Cyx =+
SOLUCIÓN:
curvas 1
3
1
3
1
Cyx =+ (1)
( ) ( ) 0'yy
3
1
x
3
1 3
2
3
2
=+
−−
(2)
Como la ecuación (2) no contiene la constante arbitraria C1, dicha ecuación representa
la ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencial
asociada a las trayectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir y’ en la ecuación (2)
por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
( ) ( ) 0
'y
1
y
3
1
x
3
1 3
2
3
2
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
−−
multiplicando por
( ) ( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 3
2
3
2
yx'y3
y’
( )3
2
y –
( )3
2
x = 0
Despejando y’
y’ =
3
2
y
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛

34
dy =
3
2
y
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
dx (3)
( )3
2
y
( )3
2
y dy =
( )3
2
x dx
integrando
∫∫ = dxxdyy 3
2
3
2
(4)
1
3
5
3
5
3
2
k
y
dyy +=
∫
2
3
5
3
5
3
2
k
x
dyx +=
∫Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
k
5
x3
5
y3 3
5
3
5
+=
Multiplicando por (5/3) y elevando a las (3/5)
y =
( ) 5
3
3
5
Cx ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ (5)
1
3
1
3
1
Cyx =+
14. Obtenga la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales al haz de
curvas x + y = C1 ey
que pasa por el punto (0, 5)
SOLUCIÓN:
curvas x + y = C1 ey
(1)

35
1 + y’ = C1 ey
y’ (2)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
'yeC'y1
eCyx
y
1
y
1
C1 =
y
e
yx +
(3)
1 + y’ = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
y
e
yx
ey
y’
( x + y – 1 ) y’ = 1 (4)
x + y = C1 ey
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 ey
Para ello, basta
con sustituir y’ en la ecuación (4) por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
( x + y – 1 ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
= 1
despejando y’
y’ = 1 – x – y
dy = ( 1 – x – y ) dx
equivalentemente
( x + y – 1 ) dx + dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta (también lineal en y).
Sea P(x, y) = x + y - 1 ; Q(x, y) = 1 ; 0
x
Q
;1
y
P
=
∂
∂
=
∂
∂
; la ecuación (5) admite un
factor integrante de la forma µ = , donde
dv)v(g
e∫

36
g(v) =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
y
v
P
x
v
Q
x
Q
y
P
Si v = x , 0
y
v
,1
x
v
=
∂
∂
=
∂
∂
entonces sustituyendo en g(v), se tiene
g(v) =
( ) ( )
1
Q
1
0P1Q
01
==
−
−
Luego, el factor integrante es
µ =
dv)v(g
e∫ = ∫dv
e = xv
ee =
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ = ex
ex
( x + y - 1 ) dx + ex
dy = 0 (6)
Esta ecuación (6) es exacta, ya que si M(x, y) = ex
( x + y - 1 ) y N(x, y) = ex
resulta xx
e
x
N
e
y
M
=
∂
∂
==
∂
∂
.
Por definición, que la ecuación (6) sea exacta, significa que existe una función
F(x, y) = K tal que, la diferencial total de F(x, y) (dF(x, y) = dy
y
F
dx
x
F
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
) es
dF(x,y) = 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+
es decir,
)1yx(e)y,x(M
x
F x
−+==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
(7)
x
e)y,x(N
y
F
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
(8)
Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de y
∫∫ = =
==∂⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
y
cttex
y
cttex
x
dyedy)y,x(Ny
y
F
∫ (9)

37
∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
dy
y
F
= F (x, y)
∫ dyex
= ex
y + h(x)
F (x, y) = ex
y + h(x) (10)
derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de x
dx
)x(dh
ye
x
F x
+=
∂
∂
(11)
Comparando las ecuaciones (7) y (11)
ex
( x + y – 1 ) =
dx
)x(dh
yex
+
simplificando
)1x(e
dx
)x(dh x
−=
Ya que la diferencial de la función h(x) es dh(x) = dx
dx
)x(dh
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dx
)x(hd
dh(x) = dx)1x(ex
−
integrando
dx)1x(e)x(dh x
∫∫ −= (12)
)x(h)x(dh =
∫
La integral se resuelve por el método de integración por partesdx)1x(ex
∫ −
∫ ∫−= duvvudvu donde
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=
=⇒−=
xx
evdxedv
dxdu)1x(u
dx)1x(ex
∫ − = ( x – 1 ) ex
dxex
∫− = ( x – 1 ) ex
– ex
+ C = ( x – 2 ) ex
+ C

38
h (x) = ( x – 2 ) ex
+ C (12)
F (x,y) = ex
y + ( x – 2 ) ex
+ C
De aquí que,
ex
y + ( x – 2 ) ex
+ C = 0 (13)
es la familia de trayectorias ortogonales a la familia x + y = C1 ey
Para obtener la curva perteneciente a la familia ex
y + ( x – 2 ) ex
+ C = 0 que pase
por el punto (0, 5), se sustituye en la ecuación (13) x = 0, y = 5
e0
5 + (0-2) e0
+ C = 0 C = – 3⇒
este valor obtenido para C, se sustituye en la ecuación (13)
ex
y + ( x – 2 ) ex
= 3 (14)
La ecuación (14) es la ecuación de la curva perteneciente a la familia
ex
y + ( x – 2 ) ex
+ C = 0 que pasa por el punto (0,5) y permanece ortogonal a las curvas de
la familia x + y = C1 ey
curvas y = x + C1 que pasa por el punto (3,0)x
e −
SOLUCIÓN:
curvas y = x + C1 (1)x
e −
y’ = 1 – C1 (2)x
e −
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=
+=
−
−
x
1
x
1
eC1'y
eCxy
C1 = ( 1 – y ’ ) ex
(3)
sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1)
y = x + ( 1 – y ’ ) ex
e -x
simplificando

39
y = x + 1 – y’ (4)
y = x + C1
x
e −
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia dada y = x + C1 . Para ello,
se sustituye y’ en la ecuación (4) por
x
e −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
y = x + 1 +
'y
1
despejando y’
y’ =
1xy
1
−−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy =
1xy
1
−−
dx
multiplicando por ( x + 1 – y )
dx + ( x + 1 – y ) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a exacta. Para resolverla, debe
determinarse un factor integrante de la forma µ = ∫ dv)v(g
e , donde
g(v) =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
y
v
P
x
v
Q
x
Q
y
P
; P(x, y) = 1 ; Q(x, y) = x + 1 – y
Si v = y ⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
∂
∂
1
y
v
0
x
v
; 1
x
Q
;0
y
P
=
∂
∂
=
∂
∂
, entonces g(v) = 1
1
1
P
1
=
−
−
=
−
−
Por lo tanto, el factor integrante es
µ = = e v
= e y∫ dv
e
Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante
e y
dx + e y
( x + 1 – y ) dy = 0 (6)

40
La ecuación (6) es una ecuación diferencial exacta, ya que si M(x,y) = ey
y N(x,y)
= e y
( x + 1 – y ) , entonces yy
e
x
N
e
y
M
=
∂
∂
==
∂
∂
.
Por definición de función exacta existe una función F(x,y) = K, tal que la diferencial
total de F(x,y) es( )0dF ==
dF = dy
y
F
dx
x
F
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
= M(x,y) dx + N(x,y) dy = ey
dx + e y
( x + 1 – y ) dy = 0
De aquí resulta que,
y
e
x
F
=
∂
∂
(7)
)y1x(e
y
F y
−+=
∂
∂
(8)
Integrando la ecuación (7) parcialmente respecto de x ( y se asume constante )
∫∫ =∂⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
.cttey
y
dxex
x
F
(9)
x
x
F
∂⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∫ = F(x, y)
∫=
x
cttey
y
dye = x ey
+ h(y)
F( x, y ) = x ey
+ h(y) (10)
derivando la ecuación (10) parcialmente respecto de y
y
ex
y
F
=
∂
∂
+
dy
)y(hd
(11)
Comparando las ecuaciones (8) y (11) resulta
( x + 1 – y ) ey
= y
ex +
dy
)y(hd
despejando
dy
)y(hd
dy
)y(hd
= ( 1 – y ) ey

41
Ya que la diferencial de h(y) es dh(y) = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
dy
)y(hd
dy, sustituyendo
dy
)y(hd
dh(y) = (1 – y ) ey
dy
integrando
( ) dyey1)y(hd y
∫ ∫ −= (12)
)y(h)y(dh =
∫
La integral se resuelve por el método de integración por partes:dy)y1(ey
∫ −
∫ ∫−= duvvudvu . Sea
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=
−=⇒−=
yy
evdyedv
dydu)y1(u
dy)y1(ey
∫ − = ( 1 – y ) ey
+ dyey
∫ = ( 1 – y ) ey
+ ey
+ C = ( 2 – y ) ey
+ C
h (y) = ( 2 – y ) ey
+ C (13)
F (x, y) = x ey
+ h (y) = ( 2 – y ) ey
+ C
por lo tanto,
( x + 2 – y ) ey
+ C = 0 (14)
es la ecuación de la familia de trayectorias ortogonales a la familia y = x + C1
x
e −
Para obtener la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey
+ C = 0 que pase por
el punto (3, 0), se sustituye en la ecuación (14) x = 3, y = 0
3 e0
+ (2 - 0) e0
+ C = 0 ⇒ C = – 5
Luego, ( x + 2 – y ) ey
= 5 es la curva perteneciente a la familia ( x + 2 – y ) ey
+ C = 0
que pasa por el punto (3,0) y es ortogonal a cada una de las curvas de la familia y
= x + C1
x
e −
curvas y = C tg2x + 1 que pasa por el punto ( )0,8
π
SOLUCIÓN:
curvas y = C tg2x + 1 (1)

42
y’ = 2 C sec2
2x (2)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
x2secC2'y
1x2tgCy
2
despejando C de la ecuación (2)
C =
2
x2cos'y
x2sec2
'y 2
2
= (3)
y =
2
x2cos'y 2
tg 2x + 1
simplificando
y = 1
2
x2senx2cos'y
+ (4)
y = C tg 2x + 1
diferencial asociada a las trayectorias ortogonales a la familia y = C tg 2x + 1. Para ello, se
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
'y
1
, resultando
y = 1
2
x2senx2cos
'y
1
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
despejando y’
y’ =
)1y(2
x2senx2cos
−
−
Ya que la diferencial de la variable y está dada por dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy =
)1y(2
x2senx2cos
−
−
dx
multiplicando por 2 ( y – 1 )
cos 2x sen 2x dx + 2 ( y – 1 ) dy = 0 (5)
La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrando

43
1Cdy)1y(2dxx2senx2cos =−+
∫ ∫ (6)
∫ dxx2senx2cos = ( )
2
x22sen
x2sendx2sen
2
1
dxx2cosx2sen2
2
1
== ∫∫
2
)1y(
dy)1y(
2
−
=−
∫sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) resulta
2
2
)1y(
2
x2sen
−+ = C1 (7)
La ecuación (7) representa la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas
y = C tg2x + 1.
Para obtener la curva perteneciente a la familia de trayectorias ortogonales
2
2
)1y(
2
x2sen
−+ = C1 que pasa por el punto ( )0,8
π , se sustituye en la ecuación de la
familia x = 8
π , y = 0
( )[ ] 28
2
)10(
2
2sen
−+
π
= C1
esto es,
C1 =
( )
4
5
1
4
1
1
2
2
2
1
2
sen
2
4
2
=+=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
π
Sustituyendo el valor obtenido de C1 en la ecuación (7)
2
2
)1y(
2
x2sen
−+ =
4
5
(8)
La ecuación (8) representa la ecuación de la curva perteneciente a la familia
2
2
)1y(
2
x2sen
−+ = C1 que pasa por el punto ( )0,8
π y es ortogonal a cada una de las
curvas de la familia y = C tg2x + 1

44
17. Obtenga las trayectorias a 45º de la familia de curvas x
2
= C1 y
SOLUCIÓN:
curvas dada x
2
= C1 y (1)
El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar
una sola vez. Derivando implícitamente respecto de x
2x = C1 y’ (2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 no representa la ecuación
diferencial. La constante C1 debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones
(1) y (2)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
'yCx2
yCx
1
1
2
despejando C1 de la ecuación (2)
'y
x2
C1 = (3)
x
2
'y
yx2
=
multiplicando por y’
x
2
y’ = 2 x y (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
x
2
= C1 y . Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º
debe sustituirse en la ecuación (4) y’ por
'y1
1'y
º45tg'y1
º45tg'y
+
−
=
+
−
x
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
'y1
1'y
= 2 x y
multiplicando por ( 1 + y’ )
x
2
y’ – x
2
= 2 x y + 2 x y y’
( x
2
– 2 x y ) y’ = 2 x y + x
2
(5)
La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia de trayectorias a 45º de
la familia x
2
= C1 y.
Despejando y’ de la ecuación (5)
yx2x
xyx2
'y
2
2
−
+
=

45
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’
dy =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
yx2x
xyx2
2
2
dx
multiplicando por ( x 2
– 2xy )
( 2 x y + x
2
) dx + ( 2 x y - x
2
) dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado 2 de
homogeneidad. Sacando factor común x
2
en la ecuación (6)
x
2 )0x(0dy1
x
y
2dx1
x
y
2 ≠=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
(7)
multiplicando por
2
x
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvy
x
y
v
la ecuación (7) se transforma en
( 2 v + 1 ) dx + ( 2 v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0
desarrollando y sacando factor común dx
( 2 v + 1 + 2 v
2
– v ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0
simplificando
( 2 v
2
+ v + 1 ) dx + x ( 2 v – 1 ) dv = 0 (8)
variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor
( )1vv2x
1
2
++
( )
( ) 0dv
1vv2
1v2
dx
x
1
2
=
++
−
+
integrando
( )
( ) 22
Cdv
1vv2
1v2
dx
x
1
=
++
−
+
∫∫ (9)
dx
x
1
∫ = ln | x | + C3
En la integral
( )
( )dv
1vv2
1v2
2
∫ ++
−
, debe observarse que el polinomio del denominador
del integrando no tiene raíces reales, por lo que no se puede factorizar

46
Completando cuadrados en (2 v
2
+ v + 1)
2 v
2
+ v + 1 = 2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
2
1
2
v
v2
= 2 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
1
v
4
1
2v2
= 2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
1
4
1
4
1
v
4
1
2v
22
2
= 2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
1
16
1
4
1
v
2
= 2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
16
7
4
1
v
2
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
16
7
4
1
v
8
7
2
=
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
1
16
7
16
1v4
8
7
2
=
( )
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
1
16
7
16
1v4
8
7
2
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
1
7
1v4
8
7
2
Sustituyendo en la integral
( )
( )dv
1vv2
1v2
2
∫ ++
−
=
( ) dv
1
7
1v4
8
7
1v2
2
∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
=
( ) dv
1
7
1v4
1v2
7
8
2
∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
(10)
Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
θ=
−θ
=⇒θ=
+
2
sec
4
7
dv
4
1tg7
vtg
7
1v4
Sustituyendo el cambio de variable en la ecuación (10)
( )
( )dv
1vv2
1v2
2
∫ ++
−
= θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
θ
+θ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −θ
∫ dsec
4
7
1tg
1
4
1tg7
2
7
8 2
2
Pero tg
2
θ + 1 = sec
2
θ, desarrollando y simpliicando

47
( )
( )dv
1vv2
1v2
2
∫ ++
−
=
∫ θ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−θ d
2
3
tg
2
7
7
72
=
∫∫ θ−θθ d
7
73
dtg
= ln | sec θ | θ−
7
73
Devolviendo el cambio de variable efectuado
adycat
opcat
tg
7
1v4
=θ=
+
4v + 1 ( )2
1v47 ++
7
adycat
hip
sec =θ =
( )
7
1v47 2
++
y θ = arctg ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
7
1v4
Por lo tanto
( )
( )dv
1vv2
1v2
2
∫ ++
−
= ln
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
++
7
1v4
arctg
7
73
7
1v47 2
+ C4
ln | x | + ln
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
++
7
1v4
arctg
7
73
7
1v47 2
= C
Falta devolver el primer cambio de variable efectuado v =
x
y
ln | x | + ln
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
7
1
x
y
4
arctg
7
73
7
1
x
y
47
2
= C
desarrollando

48
ln | x | + ln
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
++
7
x
xy4
arctg
7
73
7
x
xy4x7
2
22
= C
realizando operaciones
ln | x | + ln
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
+++
x7
xy4
arctg
7
73
x7
xyx8y16x7 222
= C
ln ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ ++
x7
xy4
arctg
7
73
x7
y8yx8y16
x
22
= C
simplificando
ln ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
++
x7
xy4
arctg
7
73
7
y8yx8y16 22
= C (11)
La ecuación (11) representa la ecuación de la familia de trayectorias a 45º de la familia
x
2
= C1 y
18. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas y = C1 x
SOLUCIÓN:
curvas dada y = C1 x (1)
y’ = C1 (2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, está debe buscar
eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).
⎩
⎨
⎧
=
=
1
1
C'y
xCy
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta
y = y’ x (3)
y = C1 x

49
Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º debe
sustituirse en la ecuación (3) y’ por
'y1
1'y
º45tg'y1
º45tg'y
+
−
=
+
−
y = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
'y1
1'y
x
y + y y’ = x y’ - x
( y - x ) y’ + y + x = 0 (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 45º de
la familia y = C1 x.
yx
yx
'y
−
+
=
dy = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
yx
yx
dx
multiplicando por ( x – y )
(x + y) dx + (y -x ) dy = 0 (5)
homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (5) ( x ≠ 0 )
0dy1
x
y
dx
x
y
1x =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ (6)
multiplicando por
x
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvy
x
y
v
la ecuación (6) queda
( 1 + v ) dx + ( v – 1 ) (v dx + x dv ) = 0
( 1 + v + v
2
– v ) dx + x (v – 1 ) dv = 0
simplificando
( 1 + v
2
) dx + x ( v – 1 ) dv = 0 (7)
variables, basta con multiplicar la ecuación (7) por el factor
( )2
v1x
1
+

50
0dv
)v1(
)1v(
dx
x
1
2
=
+
−
+
integrando
22
Cdv
v1
1v
dx
x
1
=
+
−
+
∫∫ (8)
dx
x
1
∫ = ln | x | + C3
dv
v1
1v
2
∫ +
−
= dv
v1
v
2
∫ +
– dv
v1
1
2
∫ +
= dv
v1
v2
2
1
2
∫ +
– dv
v1
1
2
∫ +
= 2
v1ln
2
1
+ – arctg v + C4
ln | x | + 2
v1ln
2
1
+ – arctg v = C (9)
Multiplicando por 2 y aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuación (9) se
transforma en
ln ( )22
v1x + - 2 arctg v = 2C
Devolviendo el cambio de variable
ln
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
2
x
y
1x - 2 arctg ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
= 2C
ln 22
yx + - 2 arctg ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
= 2C
aplicando e
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
x
yarctg2
22
eyx = K (10)
La ecuación (10) representa la familia de trayectorias a 45º a la familia de curvas
y = C1 x

51
19. Obtenga las trayectorias a 45º para la familia de curvas x2
+ y2
= C1 x
SOLUCIÓN:
curvas dada x2
+ y2
= C1 x (1)
2 x + 2 y y’ = C1 (2)
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1 está debe buscar
eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones (1) y (2).
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
1
1
22
C'yy2x2
xCyx
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta
x
2
+ y
2
= ( 2 x + 2 y y’ ) x
y
2
– x
2
= 2 x y y’ (3)
x2
+ y2
= C1 x
sustituirse y’ en la ecuación (3) por
'y1
1'y
º45tg'y1
º45tg'y
+
−
=
+
−
y
2
– x
2
= 2 x y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
'y1
1'y
( y2
– x2
) + ( y2
– x2
) y’ = 2 x y y’ – 2 x y
( y
2
– x
2
– 2 x y ) y’ + y
2
– x
2
+ 2 x y = 0 (4)
la familia x2
+ y2
= C1 x
xy2yx
yx2xy
'y
22
22
+−
+−
=
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta

52
dy =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
xy2yx
yx2xy
22
22
dx
multiplicando por ( x2
– y2
+ 2xy )
(y
2
– x
2
+ 2 x y) dx + (y
2
– x
2
– 2 x y ) dy = 0 (5)
homogeneidad. Sacando factor común x2
en la ecuación (5) )0x( ≠
x
2 0dy
x
y
21
x
y
dx
x
y
21
x
y
22
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(6)
multiplicando por
2
x
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvy
x
y
v
( v
2
+ 2v – 1) dx + ( v
2
– 2v –1 ) (v dx + x dv ) = 0
(v
2
+ 2v – 1 + v
3
– 2v
2
- v ) dx + x (v
2
– 2v – 1 ) dv = 0
simplificando
( v
3
– v
2
+ v – 1 ) dx + x ( v
2
– 2v – 1 ) dv = 0 (7)
( )1vvvx
1
23
−+−
0dv
)1vvv(
)1v2v(
dx
x
1
23
2
=
−+−
−−
+
integrando
dx
x
1
∫ +
∫ −+−
−−
dv
)1vvv(
)1v2v(
23
2
= C2 (8)
dx
x
1
∫ = ln | x | + C3
En la integral
∫ −+−
−−
dv
)1vvv(
)1v2v(
23
2
, factorizando el denominador
v3
– v2
+ v – 1 = ( v – 1 ) ( v2
+ 1 )
sustituyendo en la integral

53
∫ −+−
−−
dv
)1vvv(
)1v2v(
23
2
=
∫ +−
−−
)1v()1v(
1v2v
2
2
dv
El integrando se descompone como suma de fracciones simples
)1v()1v(
)CA(v)BC(v)BA(
1v
CBv
)1v(
A
)1v()1v(
1v2v
2
2
22
2
+−
−+−++
=
+
+
+
−
=
+−
−−
(9)
Comparando los numeradores
v
2
– 2v – 1 = ( A + B ) v2
+ ( C – B ) v + ( A – C )
por igualdad entre polinómios
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
−=−
=+
1CA
2BC
1BA
resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene
A = – 1 B = 2 C = 0
sustituyendo los valores obtenidos para A, B y C en la ecuación (9)
∫ +−
−−
)1v()1v(
1v2v
2
2
=
∫ ∫ +
+
−
− dv
1v
v2
dv
1v
1
2
(10)
∫ −
dv
1v
1
= ln | v – 1 |
∫ +
dv
1v
v2
2
= ln | v
2
+ 1 |
∫ +−
−−
)1v()1v(
1v2v
2
2
= – ln | v – 1 | + ln | v
2
+ 1 |
aplicando las propiedades de logaritmo y devolviendo el cambio de variable
∫ +−
−−
)1v()1v(
1v2v
2
2
= ln
1v
1v2
−
+
+ C4 = ln
1
x
y
1
x
y
2
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ C4 = ln
)xy(x
xy 22
−
+
+ C4
ln | x | +
)xy(x
xy
ln
22
−
+
= C5

54
Aplicando las propiedades de logaritmo
ln
xy
yx 22
−
+
= C5
aplicando e
( x
2
+ y
2
) = C ( y – x ) (11)
x2
+ y2
= C1 x
20. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 60º de la familia de curvas
x2
+ y2
= C1, que pasa por el punto ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
3
,
2
1
SOLUCIÓN:
curvas dada x2
+ y2
= C1 (1)
2 x + 2 y y’ = 0
equivalentemente
x + y y’ = 0 (2)
Ya que la ecuación (2) no posee la constante arbitraria C1, está representa la ecuación
diferencial asociada a la familia de curvas dada x2
+ y2
= C1
'y31
3'y
º60tg'y1
º60tg'y
+
−
=
+
−
x + y ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
'y31
3'y
= 0
multiplicando por ( 1 + 3 y’ )
x + 3 x y’ + y y’ – 3 y = 0
( 3x + y ) y’ + x – 3 y = 0 (3)
la familia x 2
+ y 2
= C1
yx3
xy3
'y
+
−
=

55
Ya que la diferencial de la variable y es dy = y’ dx, sustituyendo y’ resulta
dy = ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
yx3
xy3
dx
multiplicando por ( )yx3 +
( x – 3y ) dx + ( 3x + y ) dy = 0 (4)
homogeneidad. Sacando factor común x en la ecuación (4) )0x( ≠
x
0dy
x
y
3dx
x
y
31 =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
(5)
multiplicando por
x
1
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=⇒=
=
dvxdxvdyxvy
x
y
v
( 1 – 3v ) dx + ( 3+ v ) (v dx + x dv ) = 0
(1 – 3 v + 3 v + v
2
) dx + x ( 3+ v) dv = 0
simplificando
( 1 + v
2
) dx + x ( 3+ v) dv = 0 (6)
( )2
v1x
1
+
0dv
)v1(
v3
dx
x
1
2
=
+
+
+
integrando
dx
x
1
∫ +
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
dv
v1
v3
2 = C2 (7)
dx
x
1
∫ = ln |x| + C3

56
∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
dv
v1
v3
2 =
∫ ∫ +
+
+
dv
v1
v2
2
1
dv
v1
3
22
= 3 arctg v +
2
1
ln | 1 + v
2
| + C4
ln | x | + 3 arctg v +
2
1
ln | 1 + v
2
| = C5 (8)
devolviendo el cambio de variable
ln | x | + 3 arctg ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
+
2
1
ln
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
2
x
y
1 = C5
multiplicando por 2 y efectuando las operaciones
2 ln | x | + 2 3 arctg ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
+ ln
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +
2
22
x
yx
= 2 C5
aplicando las propiedades de logaritmo
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
2
22
2
x
yx
xln + 2 3 arctg ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
= 2C5
aplicando e
( x
2
+ y
2
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
actrg32
e = K (9)
La ecuación (9) representa la familia de trayectorias a 60º a la familia de curvas x2
+ y2
= C1
Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que
pasa por el punto ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
3
,
2
1
se sustituye en dicha ecuación x =
2
1
, y =
2
3
.
K =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
22
2
3
2
1
e2 3arctg3
=
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ π
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ 3
32
e
4
3
4
1
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ π
3
32
e
Este valor de K se sustituye en la ecuación (10)
( x
2
+ y
2
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
x
y
actrg32
e =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ π
3
32
e
multiplicando por
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ π
−
3
32
e
( x
2
+ y
2
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ π
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3x
y
actrg32
e = 1 (10)

57
La ecuación (10), es la ecuación de la curva perteneciente a la familia de trayectorias
a 60º del haz de curvas x2
+ y2
= C1, que pasa por el punto ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
3
,
2
1
21. Obtenga la curva de la familia de las trayectorias a 135º de la familia de curvas
y = C x2
e −
SOLUCIÓN:
curvas dada y = C e-2x
+ 3x (1)
y’ = - 2 C + 3 (2)x2
e −
Ya que la ecuación (2) aún posee la constante arbitraria C1, esta deberá eliminarse del
sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones (1) y (2)
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
+=
−
−
3eC2'y
x3eCy
x2
x2
despejando C de la ecuación (1),x2
e −
C = y – 3x (3)x2
e −
y’ = – 2 ( y – 3x ) + 3 (4)
La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada
y = C + 3xx2
e −
'y1
1'y
º135tg'y1
º135tg'y
−
+
=
+
−
'y1
1'y
−
+
= –2y + 6x + 3
multiplicando por ( 1 – y’ )
y’ + 1 =–2y + 6x + 3 – y’ (–2y + 6x +3)
(– 2y +6x + 4 ) y’ = –2y + 6x + 2 (5)
La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de trayectorias a 135º
de la familia y = C + 3xx2
e −

58
2x3y
1x3y
4x6y2
2x6y2
'y
++−
++−
=
++−
++−
=
dy = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−
++−
2x3y
1x3y
dx
multiplicando por (3x – y + 2)
( 3x – y + 1 ) dx + (–3x + y – 2) dy = 0 (6)
La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una de variable separable, ya
que las funciones involucradas, 3x – y + 1 = 0 , – 3 x + y – 2 = 0 representan ecuaciones de
rectas paralelas (ambas tienen pendiente 3).
Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio de variable
⎩
⎨
⎧
−=⇒−=
−=
dvdx3dyvx3y
yx3v
sustituyendo el cambio de variable en (6)
( v + 1 ) dx + ( – v – 2 ) ( 3 dx – dv ) = 0
( v + 1 – 3v – 6 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0
simplificando
(–2v – 5 ) dx + ( v + 2 ) dv = 0 (7)
)5v2(
1
−−
dx – ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
5v2
2v
dv = 0
integrando
–
∫dx
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
dv
5v2
2v
= C2 (8)
∫dx = x + C3
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
dv
5v2
2v
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+
∫∫∫ dv
5v2
1
dv
2
1
dv
5v2
15v2
2
1
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+− 5v2ln
2
1
v
2
1
+ C4 = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+− 5v2ln
4
1
v
2
1
+ C4

59
x – ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+− 5v2ln
4
1
v
2
1
= C5
multiplicando por 4 y devolviendo el cambio de variable
4x – 2 (3x – y) + ln | 2( 3x – y ) + 5 |= 4 C5
efectuando las operaciones
– 2x + 2y + ln | 6x – 2y + 5 | = 4 C5
aplicando e
e
2 ( y – x )
( 6x – 2y + 5 ) = K (9)
y = C + 3xx2
e −

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