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1. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 1
Semana 4
Cuadriláteros
EL NÚMERO DE ORO
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de
nuestro cuerpo, etc.
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que
CD
AB = . Hay más cocientes entre sus medidas que dan el
número áureo, por ejemplo:
AD
AC =  y
CA
CD = .
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide
de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es
2.

2. 2 C E P R E P U C 2021.0
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el
número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Mira
en Asia Menor.
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de
identidad y también en las cajetillas de tabaco.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las plasmó
en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli
editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En
particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su
cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la
circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso,
con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y
formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del
cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número
áureo.
Tomado de:
http://www.cefetsp.br/edu/guerato/mat_cur_tangran.htm

3. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 3
CUADRILÁTEROS
En el cuadrilátero ABCD:
ELEMENTOS NOTACIÓN
VÉRTICES A, B, C, D
LADOS AB , BC , CD , DA
ÁNGULOS INTERIORES 1, 2, 3, 4
ÁNGULOS EXTERIORES 1, 2, 3, 4
DIAGONALES AC , BD
PROPIEDADES
SUMA DE ÁNGULOS INTERIORES Si = 1 + 2 + 3 + 4 = 360°
SUMA DE ÁNGULOS EXTERIORES Se = 1 + 2 + 3 + 4 = 360°
IMPORTANTE
Estas últimas fórmulas son válidas solo para cuadriláteros convexos.
Ejemplos
1. En cada figura, halla el valor de x.
a. b.
A
B
C
1
D
2
3
4
1
2
3
4
130°
100°
20°
x
45°
130°
x

4. 4 C E P R E P U C 2021.0
CUADRILÁTERO NO CONVEXO (CÓNCAVO)
En el cuadrilátero ABCD:
CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
Son aquellos cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos se clasifican en:
PARALELOGRAMO
Ángulos:
 Sus ángulos opuestos son congruentes:  A =  C
 B =  D
 Dos ángulos consecutivos son suplementarios:
 A +  B =  B +  C =  C +  D =  D +  A = 180°
Lados:
 Sus lados opuestos son congruentes y paralelos: AB = CD
BC = AD
Diagonales:
 Sus diagonales se bisecan (se cortan en su punto medio):
AO = OC
BO = OD
 ¿Sus diagonales son bisectrices?
Área:
 A = b.h
RECTÁNGULO
Ángulos:
 Todos sus ángulos miden 90.
Lados:
 Sus lados opuestos son congruentes y paralelos: AB = CD
BC = AD
Diagonales:
 Sus diagonales son congruentes y se bisecan :
AO = OC = BO = OD
 ¿Sus diagonales son bisectrices?
Área:
 A = b.h
x
B C
D
A
O
B C
D
A
D
O
b
b
h
h
A
B
C
 

x =  + β + 

5. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 5
ROMBO
Ángulos:
 Sus ángulos opuestos son congruentes:  A =  C
 B =  D
 Dos ángulos consecutivos son suplementarios:
 A +  B =  B +  C =  C +  D =  D +  A = 180°
Lados:
 Sus cuatro lados son congruentes: AB = BC = CD = DA
 Sus lados opuestos son congruentes y paralelos: CD
//
AB
AD
//
BC
Diagonales:
 Sus diagonales se cortan perpendicularmente: BD
AC
 Sus diagonales se bisecan: AO = OC
BO = OD
 ¿Sus diagonales son bisectrices?
Área:
 A =
2
d
.
D o A = L.h
CUADRADO Lados:
 Sus cuatro lados son congruentes: AB = BC = CD = DA
Ángulos:
 Sus cuatro ángulos miden 90.
Diagonales:
 Sus diagonales se cortan perpendicularmente: BD
AC 
 Sus diagonales son congruentes y se bisecan:
AO = OC = BO = OD
 ¿Sus diagonales son bisectrices?
Área:
 A = L2
o A =
2
AC2
L L
L
L
B
C
A
O
D
L
L
B C
D
A
L
L
O
d
D
h

6. 6 C E P R E P U C 2021.0
TRAPECIOS
Son aquellos cuadriláteros que tienen un solo par de lados paralelos denominados bases del trapecio. Los
trapecios se clasifican en:
TRAPECIO RECTANGULAR Ángulos:
 Tienen dos ángulos rectos:
A = B = 90°
Lados:
 AD // BC
 AB  AD
 AB  BC
TRAPECIO ISÓSCELES Ángulos:
 A = D
 B = C
 A + B = C +  D = 180°
Lados:
 BC
//
AD
 AB = CD
TRAPECIO ESCALENO Ángulos
 A + B =  C +  D = 180°
Lados:
 AD // BC
ELEMENTOS DE LOS TRAPECIOS
Bases : AD y BC ( BC
//
AD )
Altura : BH (BH  AD )
Mediana : MN (MN // BC // AD )
B C
D
A
N
M
H
B C
A D
B C
A D
B C
A D

7. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 7
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
MN : Mediana del trapecio ABCD PQ : Segmento que une los puntos medios de las diagonales
MN =
2
b
B 
MN // BC // AD
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS ISÓSCELES
Un trapecio isósceles es aquel trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes.
Así, en el trapecio ABCD:  Los lados no paralelos son congruentes.
 Los ángulos adyacentes a una misma base son congruentes.
 Los ángulos opuestos suman 180.
 Las diagonales son congruentes.
 AH = ID =
2
b
B 
 AI = HD =
2
b
B 
b
N
B
PQ =
2
b
B 
PQ // BC // AD
AB = CD
 A =  D y  B =  C
 B +  D =  A +  C = 180
BD = AC
B C
D
A
H I
C
B
D
A
B
b
N
M
Q
P
C
B
D
A
B
h
b

8. 8 C E P R E P U C 2021.0
ÁREA DEL TRAPECIO
A = 




 
2
b
B h
A = mh
TRAPEZOIDES
Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados opuestos paralelos. Los trapezoides se clasifican en:
TRAPEZOIDE SIMÉTRICO
Lados
 AB = BC y AD = CD
Ángulos
  ABD =  CBD
  ADB =  CDB
  BAC =  BCA
  DAC =  DCA
Diagonales
 Sus diagonales son perpendiculares: BD  AC
 Una de sus diagonales es mediatriz de la otra:
BD es mediatriz de AC
AO = OC
TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO Son cuadriláteros que no tienen simetría.
ÁREA DEL TRAPEZOIDE
A = A1 + A2
B
C
A
D
O
B
C
D
A
B
C
D
A
A1
A2
h
B
M
A
C
N
D
B
m
b

9. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 9
Ejemplos
1. En un cuadrilátero ABCD, halla el ángulo menor
formado por las bisectrices interiores de B y C si
A + D = 140°.
2. En un paralelogramo ABCD, AB = 10 cm,
AD = 18 cm. Se traza la bisectriz interior del
ángulo A que corta a BC en E. Halla la longitud
del segmento que une los puntos medios de
y .
3. En un trapecio isósceles, una diagonal mide 26 m
y la altura 10 m. Calcula el área de dicho trapecio.
4. Halla el área de un rombo si se sabe que uno
de sus ángulos mide 60° y su perímetro mide
40 cm.

10. 10 C E P R E P U C 2021.0
5. En un trapecio, las diagonales son
perpendiculares. Si su mediana mide 10 cm y una
de sus diagonales mide 12 cm, calcula la medida
de la otra diagonal.
6. En la figura ABCD es un romboide y
5(AM) = 7(MC). Halla el área de la región
sombreada.
7. En un paralelogramo ABCD, se traza BM y
BN (M y N son puntos medios de AD y CD ,
respectivamente) que cortan a AC en los puntos
P y Q. Si el área del triángulo BPQ es 5 cm 2
,
calcula el área del paralelogramo.
8. Halla el área del cuadrilátero ABCD si
BAD = 90°, AD = 8 cm, AB = 6 cm y
BC = CD = 10 cm.
B C
45
M
6 2 cm
A 8 cm D

11. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 11
Polígonos
PITÁGORAS Y EL NÚMERO DE ORO
Pitágoras (582 - 500 a.C.), filósofo y matemático griego, nació en la isla de Samos. Fue instruido en las
enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que
Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el
530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con
propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se
conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.
Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y
en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la
trasmigración del alma.
En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como
teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con
el incendio de la sede. Se cree que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto.
La persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando lugar a la difusión de
las ideas pitagóricas.
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de
Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde
sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara
un número raro: el número de oro.
Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.
...
03
618
1
2
5
1
AB
AC 


También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.
Tomado de:
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm#7

12. 12 C E P R E P U C 2021.0
POLÍGONOS
Dado el pentágono ABCDE.
PERÍMETRO
Se denomina perímetro de un polígono a la suma de las longitudes de todos sus lados. Se denota por 2p.
Así, en el pentágono ABCDE:
PERÍMETRO 2p = a + b + c + d + e
SEMIPERÍMETRO p =
2
e
d
c
b
a 



CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
1. SEGÚN SU FORMA
CONVEXO NO CONVEXO (CÓNCAVO)
ELEMENTOS NOTACIÓN
LADOS AB , BC , CD , DE , EA
VÉRTICES A, B, C, D, E
ÁNGULOS INTERIORES 1, 2, 3, 4, 5
ÁNGULOS EXTERIORES 1, 2, 3, 4, 5
DIAGONALES AC , AD , BD , BE , CE
A
B
C
D
E
1
2
4
3
5
1
2
3
4
5
1
4
2
3
1
2
b
a
e
d
c

13. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 13
2. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS SEGÚN SU NÚMERO DE LADOS
NÚMERO DE LADOS NOMBRE
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Nonágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono

14. 14 C E P R E P U C 2021.0
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS
Si n es el número de lados.
Suma de ángulos interiores S = 180°(n  2)
Suma de ángulos exteriores S = 360°
Número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice d = n  3
Número total de diagonales Dt =
2
)
3
n
(
n 
Ejemplos
1. Halla el número total de diagonales que tiene un
polígono convexo si se sabe que la suma de sus
ángulos interiores es 2880°.
2. Si el número de lados de un polígono se duplica
el número de sus diagonales se multiplica por 6.
Halla el número de lados del polígono original.

15. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 15
POLÍGONOS REGULARES
Son aquellos polígonos convexos cuyos lados y ángulos son congruentes entre sí. Es decir, son polígonos
convexos equiláteros y equiángulos.
Ejemplos
DEFINICIONES EN LOS POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONO INSCRITO POLÍGONO CIRCUNSCRITO
Es aquel polígono cuyos vértices pertenecen a
una misma circunferencia.
Circunferencia circunscrita
Es aquel polígono cuyos lados son todos tangentes a
una misma circunferencia.
Circunferencia inscrita
IMPORTANTE
Todo polígono regular es inscriptible y circunscriptible a dos circunferencias concéntricas.
Así en el pentágono regular ABCDE :
60°
60°
60°
O
Triángulo equilátero Cuadrado
B
C
D
E
A

16. 16 C E P R E P U C 2021.0
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR
Centro (O)
Se denomina centro de un polígono regular al centro de la
circunferencia inscrita o circunscrita.
Apotema (a)
Se denomina apotema de un polígono regular a la
perpendicular trazada desde el centro del polígono a
cualquiera de sus lados. La apotema une el centro del
polígono con el punto medio de cualquiera de los lados y
coincide con el radio de la circunferencia inscrita en el
polígono.
Radio (R)
Se denomina radio de un polígono regular al radio de la
circunferencia circunscrita al polígono.
Ángulo central ()
Se llama ángulo central de un polígono regular al
ángulo formado en el centro del polígono al unir dicho
punto con dos vértices consecutivos.
 =
n
360
Ángulo interior ()
 =
n
)
2
n
(
180 

Ángulo exterior()
 =
n
360
ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR (A)
Dado el pentágono regular ABCDE.
a
donde:
p : semiperímetro del polígono
a : longitud de la apotema del polígono
B
C
D
E

A
O

R
a

R
Área = p.a
C
B
A
D
E
L L
L
L
L
O

17. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 17
ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONO
Ángulo central

Ángulo interior

Ángulo exterior

TRIÁNGULO
120° 60° 120°
CUADRADO
90° 90° 90°
PENTÁGONO
72° 108° 72°
HEXÁGONO
60° 120° 60°
OCTÓGONO
45° 135° 45°
DECÁGONO
36° 144° 36°
DODECÁGONO
30° 150° 30°

 

 

 

 

 


 


O
O
O
O
O
O
O

18. 18 C E P R E P U C 2021.0
POLÍGONO LADO APOTEMA
R 3
R 2
R
Ejemplos
3. Halla el área del triángulo equilátero inscrito en
una circunferencia cuyo radio mide 4 cm.
4. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular.
Si FEMN y EDPQ son cuadrados, calcula el
valor de x.
R
R
R
C D
B
A F
N
M
O
P
E
x

19. REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS  CIENCIAS 19
5. Calcula el área del triángulo equilátero inscrito en
una circunferencia que, a su vez, se halla inscrita
en un cuadrado de 16 m 2
de área.
6. Un hexágono regular ABCDEF tiene un área
de 24 3 cm 2
. Calcula el perímetro del
triángulo BFE.
7. En la figura, el polígono ABCDEF … es un
polígono regular. ¿Cuántas diagonales tiene?
8. En la figura mostrada, ABCDEFGH es un
octógono regular, BCDM es un paralelogramo y
 es igual al ángulo central de un
pentadecágono regular. Halla el valor de x.
C D
E
A
B 36
G F
E
D
C
B
A
H
M

x