TEORIA 3 SEMANApp. T ___cuadriláteros ien

Cuadriláteros
03
2022
Intensivo
Examen
Escolar

CUADRILÁTERO
Definición.- Se denomina cuadrilátero al polígono de cuatro lados.
Puede ser convexo o no convexo.
A
B
C
D M
N
P
Q
Cuadrilátero convexo Cuadrilátero no convexo

DEFINICIONES
• Dos lados de un cuadrilátero son opuestos, si no se intersecan.
• Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos, si no tienen común
un lado.
• Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen un
extremo común.
• Dos ángulos de un cuadrilátero son consecutivos, si tienen común
un lado.
• Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento determinado por
dos vértices no consecutivos.

TRAPEZOIDE
Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
ABCD es un trapezoide
AB y CD no son paralelos
BC y AD no son paralelos
A
B
C
D

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO
Es el trapezoide que tiene dos pares de lados consecutivos
congruentes.
ABCD es un trapezoide
simétrico.
AB  AD y BC  CD A
B
D
C
a
a
b
b

Teorema.- En un trapezoide simétrico la recta que contiene a una
diagonal es mediatriz de la otra diagonal.
A
B
D
C
a
a
b
b
m
m
AC es mediatriz de BD

A) 36 B) 45 C) 50
D) 55 E) 60
EJERCICIO 01
Se tiene un trapezoide ABCD. Se prolonga CD y desde el vértice A se traza
una perpendicular a esta prolongación la cual interseca en el punto E. Si AB
= AD, m ∠ BAD= 60 ;
m∠ABC = 90 y m∠ADC = 135. Calcule la medida del ángulo CAE.

D
A
Datos: AB = AD, m∠B = 90
m∠ADC = 135, m ∠BAD = 60
x = m ∠CAE
△ABD: Equilátero
△BDC: Isósceles
△ABC: Isósceles
⊿AEC: Notable ( 30 y 60)
⟹ x = 60
C
x
E
B
a a
a
45
a
60
75 30
30
60
135
Se tiene un trapezoide ABCD. Se prolonga CD y desde el vértice A se traza una
perpendicular a esta prolongación la cual interseca en el punto E. Si AB = AD, m∠ BAD=
60 ; m∠ABC = 90 y m∠ADC = 135. Calcule la medida del ángulo CAE.
RESOLUCIÓN 01
Clave: E

En un trapezoide ABCD , mBAD = mBCD = 90. En el lado
AD se ubica el punto H, tal que AD es perpendicular a CH. Si
BC = 24 u , HD = 15 u y mABH = 2(mHCD), entonces la
longitud (en u) de BH es
A) 13 B) 15
C) 20
D) 16 2 E) 10 2
EJERCICIO 02

A D
B
C
H
24
15
α
2α
x
Piden: BH = x
Datos: BC = 24 u y HD = 15 u;
2α
90-α
12
12
12
S
53
=37
Se deduce que el ∆BHC es isósceles Q
x
Trazamos HQ: altura, mediana y
bisectriz. BQ = QC =12
Entonces CH = BH = x
Finalmente en el ∆CHS:
BH = x = 20
En ∆HSD: notable de 37 y 53
En un trapezoide ABCD
donde mHDS = 53 y α = 37
RESOLUCIÓN 02
Clave: C
En un trapezoide ABCD , mBAD = mBCD = 90. En el lado AD se
ubica el punto H, tal que AD es perpendicular a CH. Si BC = 24 u , HD
= 15 u y mABH = 2(mHCD), entonces la longitud (en u) de BH es
90-α
Por paralelas: HS = QC = 12

TRAPECIO
Es un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos.
ABCD es un trapecio,
BC // AD , Bases: BC y AD
Altura. Es el segmento cuyos
extremos se encuentran en las
rectas que contienen a las
bases y es perpendicular a
dichas rectas: CH
D
A
B C
M
m
m
N
n
n
H
Mediana. Segmento que tiene por extremos los puntos medios de los
dos lados no paralelos: MN

CLASIFICACIÓN DE LOS TRAPECIOS
1. Trapecio Escaleno
Es el trapecio cuyos lados
opuestos no paralelos no son
congruentes.
D
A
B C
a b
Observación:
Un trapecio escaleno se denomina
trapecio rectángulo si uno de sus
lados no paralelos es perpendicular
a las bases.
ABCD es un trapecio escaleno
Si BC // AD y AB ≠ CD
ABCD es un trapecio rectángulo
Si AB ⊥ BC y AB ⊥ AD
A
B C
D

2. Trapecio Isósceles
Es el trapecio cuyos lados opuestos no paralelos son congruentes.
ABCD es un trapecio
isósceles, BC // AD y
AB = CD
D
A
B C
a a

TEOREMAS EN LOS TRAPECIOS
1.- Los ángulos determinados
en las bases de un trapecio
isósceles son congruentes.
D
A
B C
a a
𝛼 𝛼
𝜃 𝜃
∠ABC ≅ ∠BCD ∠BAD ≅ ∠CDA
Si ABCD es un trapecio isósceles de
bases BC y AD, entonces:
2.- Las diagonales de un
trapecio isósceles son
congruentes.
A
B C
D
Si ABCD es un trapecio isósceles
de bases BC y AD, entonces:
AC ≅ BD
a a
d d

A D
C
B
F

N
M
a/2
b/2
b
a
Se traza la diagonal BD y se ubican los puntos
medios M, F y N de BA, BD y CD que no se
sabe si son coolineales.

ABD: MF es base media,
3.- La mediana de un trapecio es paralela a las bases y su longitud
es igual a la semisuma de las longitudes de las bases.
Si ABCD es un trapecio de bases
BC y AD, entonces:
MN // BC // AD y MN =
a + b
2
MN =
a + b
2
MF//AD y MF = AD/2 = b/2
BCD: FN es base media,
FN//BC y FN = BC/2 = a/2
Por el postulado de Euclides:
BC//AD, MF//AD y FN//BC
Luego: M, F y N son coolineales.
MN//BC//AD


M
a/2
b/2
b
a
A D
C
B
t
t
Corolario.- En un trapecio, la longitud del segmento que tiene por
extremos los puntos medios de las diagonales es igual a la
semidiferencia de las longitudes de las bases.
Si ABCD es un trapecio de bases
BC y AD, entonces:
EF =
b − a
2
EF // BC // AD y EF =
b − a
2
Se ubican los puntos medios E, M de AC y CD
Luego EM interseca a BD en F
ACD: EM es base media,
EM//AD y EM = AD/2 = b/2
BCD: F es punto medio de BD y
FM//BC y FM = BC/2 = a/2
FM es base media
EF // BC // AD
Luego:

E

F

EJERCICIO 03
En un cuadrilátero convexo ABCD , las bisectrices de los ángulos ABC y
BAD se intersecan perpendicularmente en el punto Q. Si AB=12cm , BC=10cm
y la distancia de Q al punto medio de CD es 8 cm, entonces la longitud (en cm)
del segmento AD es
A) 12 B) 18 C) 16
D) 24 E) 20

Calcule AD
A
B C
D
Q
α
α
θ
θ
●
●
12
10
8
i) Se prolonga BQ hasta S, S ∈ AD y
el  BAS es isósceles: AS = 10
S
12
α
ii) En el  BAS: 2α + 2θ = 180
se deduce: BC // AD
iii) En el trapecio SBCD: por teorema
8 =
SD+10
2
→ SD = 6
AD = AS + SD =12 + 6 = 18
En un cuadrilátero convexo ABCD , las bisectrices de los ángulos ABC y
BAD se intersecan perpendicularmente en el punto Q. Si AB = 12 cm,
BC = 10 cm y la distancia de Q al punto medio de CD es 8 cm, entonces la
longitud (en cm) del segmento AD es
6
Clave: B
EJERCICIO 03

A) 30 B) 37 C)
45
D) 53 E) 60
EJERCICIO 04
En las bases BC y AD de un trapecio ABCD, se ubican los
puntos P y Q respectivamente, tal que PB = PC = 2 u, AQ = 3
u, QD = 9 u, PQ = 5 u y AB  CD. Calcule aproximadamente
la
m  PQD

A
B C
D
P
Q
2
2
1 2
2
x
5 4
4
3
M
E
F
PQM => Aproximado: 37 y 53
x = 53
9
L1
L2
L3
L4
L3//L1
y L4//L2
Trazamos por P:
EPF : PM mediana
3
En las bases BC y AD de un trapecio ABCD, se ubican los puntos
P y Q respectivamente, tal que PB = PC = 2 u, AQ = 3 u, QD = 9
u, PQ = 5 u y AB  CD . Calcule aproximadamente la m  PQD
RESOLUCIÓN 04
Clave: D

A) 2 B) 3
C) 4
D) 5 E) 6
EJERCICIO 05
Calcule
PT
TQ
Por Q, un punto exterior y relativo al lado BC del cuadrado
ABCD, pasa una recta que interseca a BC en T y a CD en P,
tal que ABQP es un trapecio isósceles. Si CP = 2 (PD).

A
B C
D
Q
T
P
a
2a
3a
37/2
37
90
2

37
37
90
2

=4k
=2k
6k
3k
5k
k
Luego del grafico:
Datos: ABCD es cuadrado, CP=2PD
ABQP es trapecio isósceles
x= 5
RESOLUCIÓN 05
Por Q, un punto exterior y relativo al lado BC del cuadrado ABCD, pasa
una recta que interseca a BC en T y a CD en P, tal que ABQP es un
trapecio isósceles. Si CP = 2 (PD). Calcule
PT
TQ
x =
PT
TQ
x =
5k
k
= 5
Clave: D

En un trapecio rectángulo ABCD recto en C y D, se ubica el
punto medio M de AC ; luego se ubica el punto T en la
prolongación de CB , tal que 3(BC)=2(AD) y m  TBA = 80.
Calcule m  ABM.
EJERCICIO 06
A) 15 B) 20
C) 25
D) 30 E) 40

80
A
B
C
D
M
2a
3a
a
a 80
x
10
20
T
10
N
Del grafico:
MNB PBN…..LAL
x = 20
3(BC) = 2(AD)
Del dato:
BC = 2a
AD = 3a
Del grafico:
MN base media del ABC
P
Del grafico:
NP mediana del APB
=> MN//PC
RESOLUCIÓN 06
En un trapecio rectángulo ABCD recto en C y D, se ubica el punto
medio M de AC ; luego se ubica el punto T en la prolongación de CB, tal
que 3(BC)=2(AD) y m  TBA = 80. Calcule m  ABM.
Clave: B

PARALELOGRAMO
Definición.- Es el cuadrilátero que tiene los dos pares de lados
opuestos paralelos.
Si AB // CD y BC // AD, entonces ABCD es un paralelogramo
A
B
C
D

DEFINICIONES
Cuadrado: Es un paralelogramo cuyos
lados y ángulos son congruentes.
A
B C
D
a
a
a
a
Rectángulo: Es un paralelogramo
cuyos ángulos son congruentes.
Rombo: Es un paralelogramo
cuyos lados son congruentes.
a a
a
a
A D
C
B
A
B
C
D

TEOREMAS EN PARALELOGRAMOS
1.- En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos
opuestos cualesquiera son congruentes.
Si ABCD es un
paralelogramo,
entonces
A
B
C
D
AB ≅ CD
BC ≅ AD
a
a
b
b

TEOREMAS EN PARALELOGRAMOS
2.- Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.
Si ABCD es un
paralelogramo,
entonces
A
B C
D
M
AM = MC
BM = MD
m
m
n
n

EJERCICIO 07
En un paralelogramo ABCD, las diagonales AC y BD miden 8 cm
y 12 cm, respectivamente. Si AB = 6 cm, entonces la longitud (en
cm) de AD es
A) 3 6 B) 4 15 C) 10
D) 2 17 E) 14

En un paralelogramo ABCD, las diagonales AC y BD miden 10 u y
12u respectivamente, estas se intersectan en O. Si la altura relativa al
lado BC mide 6 u, entonces la medida aproximada del ángulo DOC
es
Clave: D
 AOD:
B
6 x = 30+37
x = 67
A
5
5
D
C
6
3
α
θ
O x
Calcule x
α = 30
θ = 37

6
12
10
RESOLUCIÓN 07

En un paralelogramo ABCD, AC ∩ BD = {E}, G es punto medio
de BE , N es un punto en la prolongación de BC y C es punto
medio de BN, se traza GF // BN (F ∈ DN ). Si AD = 4 u ,
entonces la longitud (en u) de GF es
A) 6 B) 7 C)
8
D) 10 E)12
EJERCICIO 08

A
B C
D
E
4
G
N
F
x
Calcule GF = x
BDN, EH // BN, teorema:
EH =
8
2
= 4
ABCD: BE = ED = 2b
En un paralelogramo ABCD, AC ∩ BD = {E}, G es punto medio de BE , N es un punto
en la prolongación de BC y C es punto medio de BN, se traza GF // BN (F ∈ DN ). Si AD
= 4 u , entonces la longitud (en u) de GF es
Clave: A
H
BC = AD = 4
4 4
b
b
2b
4
Trapecio BEHN, GF es mediana
Teorema: x =
4 + 8
2
x = 6
RESOLUCIÓN 08

En un trapecio isósceles la diagonal mide el doble de su
mediana. Calcule la medida de uno de los ángulos
determinado por las diagonales de dicho trapecio.
A) 30 B) 37
C) 45
D) 53 E) 60
EJERCICIO 09

Se tiene un trapecio ABCD, de bases BC y AD (BC < AD); BN
= NA (N en AB ) y BC + AD = 14 u. Si mMCD = 90, mBCM
= mMCN y
B-M-N, calcule (en u) NC.
EJERCICIO 10
A) 8 B) 6
C) 7
D) 9 E) 5

En un cuadrilátero ABCD, los ángulos ADC y BAD miden 83 y
150, respectivamente. Si AB = 6 u, AD = 8 u y DC = 10 u ,
entonces la longitud (en u) de BC es
A) 4 B) 4 2 C)
8 3
D) 4 5 E) 8
EJERCICIO 11

En un triángulo ABC, AB = 20 u y BC = 12 u . Se traza la
ceviana BE tal que mABE = 37 y mCBE = 30. Calcule la
distancia (en u) del punto medio de AC a BE.
A) 3 B) 4
C) 5
D) 6 E) 8
EJERCICIO 12

Circunferencia
03
2022
Intensivo
Examen
Escolar

CIRCUNFERENCIA
Definición.- La circunferencia es el conjunto de todos los puntos
de un plano que equidistan de otro punto fijo de dicho plano
llamado centro de la circunferencia.
C
En la figura:
C es una circunferencia
Centro: O
Radio: 𝑶𝑷

El interior de una circunferencia
es el conjunto de todos los
puntos del plano cuya distancia
al centro es menor que la
longitud del radio.
C
El exterior de una circunferencia es
el conjunto de todos los puntos del
plano cuya distancia al centro es
mayor que la longitud del radio.
INTERIOR Y EXTERIOR DE UNA
CÍRCUNFERENCIA

EJERCICIO 01
En una circunferencia de centro O, el radio OB y la cuerda AC
se intersecan en D tal que OB = CD. Si 3m∠OBC = 5m ∠ ACB,
halle m∠ACB.
A) 60 B) 36 C) 18
D) 48 E) 30

RESOLUCIÓN
01
En una circunferencia de centro O, el radio OB y la cuerda AC se
intersecan en D tal que OB = CD. Si 3m∠OBC = 5m∠ACB, halle
m∠ACB.
A
B
C
O
D 3x
5x
2x
8x
8x
• OC radio → OC = OB
• ∆OBC isósceles
→ m∠OBC = m ∠ OCB = 5x
• ∆DCO isósceles
→ m∠COD = m ∠ ODC =
8x
• ∆BOC: 5x + 5x + 8x = 180
→ 3x = 30
Clave: E

DEFINICIONES
A B
C
D
O
Cuerda:
Diámetro:
Radio:
es el segmento cuyos extremos
pertenecen a la circunferencia,
tal como CD .
es una cuerda que contiene al
centro de la circunferencia, tal
como AB.
es el segmento cuyos extremos
son el centro y un punto de la
circunferencia, tal como OP.
P

DEFINICIONES
T
O
E
F
LS
LT
Flecha o sagita :
Recta secante:
es cualquier recta que interseca a la
circunferencia en dos puntos, tal
como LS.
Recta tangente:
es cualquier recta coplanar con la
circunferencia y que lo interseca en un
solo punto, tal como LT.
es la parte de un radio perpendicular
a una cuerda determinada entre la
cuerda y la circunferencia, tal como
MH.
C
D
M
H

EJERCICIO 2
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Por tres puntos no colineales pasa una y solo una circunferencia.
II. En una circunferencia, una cuerda es el segmento cuyos extremos son dos
puntos de ella.
III. Dos puntos distintos de una circunferencia, determinan un solo arco de
circunferencia.
A) VVV B) FFF C) FVF
D) VVF E) VFF

RESOLUCIÓN 2
Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones:
I. Por tres puntos no colineales pasa una y solo una circunferencia.
II. En una circunferencia, una cuerda es el segmento cuyos extremos son dos puntos de
ella.
III. Dos puntos distintos de una circunferencia, determinan un solo arco de circunferencia.
Clave: D
I. VERDADERO. II. VERDADERO. III. FALSO
A
B
C
A
B
A
B

TEOREMAS EN LA CIRCUNFERENCIA
Teorema.- Todo radio perpendicular
a una cuerda, de una
circunferencia, biseca a esta
cuerda.
O
C
D
H
t
t
CH = HD

Teorema.- Toda recta tangente a
una circunferencia es perpendicular
al radio trazado por el punto de
tangencia.
OT ⊥ L
L
O
T
r
r
Si OH  CD
Si T es un punto de tangencia


EJERCICIO 03
En una circunferencia el radio tiene una longitud de 29 u, calcule la longitud (en
u), de la sagita de una cuerda de 40 u.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN 03
En una circunferencia el radio tiene una longitud de 29 u, calcule la longitud (en u),
de la sagita de una cuerda de 40 u.
Clave: E
MN = ?
A
B
O
N
40
R = 29
M
Teorema: AM = MB = 40/2 = 20
20
BMO, teorema de Pitágoras:
(OM)2 + (20)2 = (29)2
OM = 21 MN = 29 – 21 = 8

Definición.- Si PA es una recta
tangente a una circunferencia en
A, entonces PA es un segmento
tangente desde P a la
circunferencia.
Teorema de las tangentes.- Los
segmentos tangentes trazadas
desde un punto exterior a una
circunferencia son congruentes.
P
A
Si PA es tangente a C
 PA es un segmento tangente
desde P a C.
B
P
A
t
t
PA  PB
C
Si A y B son puntos de tangencia


EJERCICIO 04
Dos circunferencias son exteriores y la distancia entre sus
centros es el doble de la suma de las longitudes de los radios de
dichas circunferencias. Halle la medida del ángulo agudo
determinado por una recta tangente común interior y la recta que
contiene a los centros de las circunferencias.
A) 45 B) 36 C) 60
D) 30 E) 15

RESOLUCIÓN 04
Dos circunferencias son exteriores y la distancia entre sus centros es el doble de la suma
de las longitudes de los radios de dichas circunferencias. Halle la medida del ángulo agudo
determinado por una recta tangente común interior y la recta que contiene a los centros de
las circunferencias.
N
M
b
2(a + b) x b
a
a
b
30
H
Q
•
O
•
• M y N puntos de tangencias
→ ON ⊥ L y QM ⊥ L
• NMQH rectángulo
→ NH = MQ = b
• ∆OHQ notable de 30 y 60
→ m ∠OQH = 30
• MN // HQ → x = 30
Clave: D
L

POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
Circunferencias exteriores
Son aquellas en las cuales la
distancia entre los centros es
mayor que la suma de las
longitudes de sus radios.
Circunferencias tangentes exteriores
Son aquellas circunferencias en las
cuales la distancia entre sus centros es
igual a la suma de las longitudes de sus
radios.
r
R
O1O2 > R + r O1O2= R + r

Son aquellas en las cuales la
distancia entre los centros es
menor que la suma de las
Observación
Dos circunferencias secantes se
denominan ortogonales si la rectas
tangentes a las circunferencias, en
uno de los puntos de intersección,
son perpendiculares.
A
B
Circunferencias secantes
R - r < O1O2< R + r
L1 L2
C1
C2
C1 y C2 son ortogonales
 L1 ⊥ L2

Circunferencias tangentes
interiores
Son aquellas circunferencias en las
cuales la distancia entre sus centros
es igual a la diferencia de las
Circunferencias interiores
Son aquellas circunferencias en
las cuales la distancia entre sus
centros es menor que la diferencia
de las longitudes de sus radios.
O1O2= R - r O1O2< R - r

Circunferencias concéntricas
Son aquellas circunferencias que tienen el mismo centro.

EJERCICIO 05
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. Si la intersección de los interiores de dos circunferencias es el
vacío, entonces las circunferencias son exteriores.
II. Si el interior de una circunferencia esta contenido en el interior
de otra circunferencia, entonces las circunferencias son
interiores.
III. Si dos circunferencias son tangentes a una recta en el mismo
punto, entonces las circunferencias son tangentes
exteriormente.
A) VVV B) VFV C) FFV
D) FFF E) VVF

RESOLUCIÓN 05
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
I. Si la intersección de los interiores de dos circunferencias es el vacío, entonces las
circunferencias son exteriores.
II. Si el interior de una circunferencia esta contenido en el interior de otra circunferencia
entonces las circunferencias son interiores.
III. Si dos circunferencias son tangentes a una recta en el mismo punto, entonces las
circunferencias son tangentes exteriormente.
I. Falso.
Las circunferencias pueden ser también tangentes exteriormente.
II. Falso.
Las circunferencias pueden ser también tangentes interiormente.
Las circunferencias pueden ser también tangentes interiormente.
III. Falso.
Clave: D

Corolario.- Los segmentos
tangentes comunes exteriores
trazados a dos circunferencias
(exteriores o secantes) son
congruentes.
AB ≅ CD
Corolario.- Los segmentos
tangentes comunes interiores
trazados a dos circunferencias
exteriores son congruentes.
AB ≅ CD

Definición. - Un polígono está
circunscrito a una circunferencia
cuando todos sus lados son
tangentes a dicha circunferencia.
En este caso se dice que la
circunferencia está inscrita en el
polígono.
Definición. - Un polígono es
circunscriptible a una
circunferencia cuando es
posible inscribir en él una
circunferencia.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA

Teorema de Poncelet.- En un
triángulo rectángulo la suma de
las longitudes de los catetos es
igual a la suma de las longitudes
de la hipotenusa y del diámetro de
la circunferencia inscrita.
a + c = b + 2r
r
A
B
C
c a
O
b
r
A
B
C
c - r
Q
O
Demostración
b
r
r
a - r
a - r
c - r
T
N
• BQOT cuadrado → BQ = BT = r
• Teorema de las tangentes
→ AQ=AN = c - r y CN= CT= a - r
• AC = c - r + a + r = b
a + c = b + 2r

EJERCICIO 06
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, las longitudes de los exradios y del
inradio, son ra, rb, rc y r. La longitud de la hipotenusa, es
A) ra + rb B) ra + r C) rb + r
D) rc + r E) ra + rb - rc

RESOLUCIÓN 06
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, las longitudes de los exradios y del
inradio, son ra, rb, rc y r. La longitud de la hipotenusa, es
Clave: A
AB = ?
Por el teorema demostrado en el
problema 98:
AC = r + rb
BC = r + ra
Teorema de Poncelet:
AB + 2r = AC + BC
AB + 2r = r + rb + r + ra
Entonces: AB = ra + rb
A
B
C
ra
rb
rc
r
E

Teorema de Pitot.- En todo
cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, la suma de las
longitudes de lados opuestos
son iguales.
a + c = b + d
Teorema de Steiner.- En todo
cuadrilátero exinscrito a una
circunferencia, las diferencias de
las longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a – c = d – b
A
B
C
D
d
a
b
c
A
B
C
D
a
b
d
c
P
Q
T
L

EJERCICIO 07
En un cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia, las diagonales son
perpendiculares y se intersecan en el punto Q. Si las longitudes de los inradios de
los triángulos AQB, BQC, CQD y DQA, son ra, rb, rc y rd, respectivamente,
entonces
A) ra + rb = rc + rd B) ra + rc = rb + rd
C) (ra)2 + (rb)2 = (rc)2 + (rd)2
D) (ra)2 + (rc)2 = (rb)2 + (rd)2 E) (ra)(rc) = (rb)(rd)

RESOLUCIÓN 07
En un cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia, las diagonales son
perpendiculares y se intersecan en el punto Q. Si las longitudes de los inradios de los
triángulos AQB, BQC, CQD y DQA, son ra, rb, rc y rd, respectivamente, entonces
Clave: B
ra
A
B
C
D
Q
rb
rc
rd
Teorema de Pitot:
AB + CD = BC + AD
Teorema de Poncelet:
BQ + AQ = AB + 2ra
QD + QC = CD + 2rc
BC + 2rb = BQ + QC
AD + 2rd = AQ + QD
Sumando miembro a miembro, todas las relaciones
anteriores:
2rb + 2rd = 2ra + 2rc
rb + rd = ra + rc

EJERCICIO 08
Un cuadrilátero ABCD esta circunscrito a una circunferencia, P
es un punto del interior de dicho cuadrilátero, tal que AB = AP,
DP = DC y m∠APD = 90. Si BC= 12 m, halle la longitud (en m)
del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo APD.
A) 4 B) 3 C) 6
D) 9 E) 12

RESOLUCIÓN 08
Un cuadrilátero ABCD esta circunscrito a una circunferencia, P es un punto del interior de
dicho cuadrilátero, tal que AB = AP , DP = DC y m∠ APD = 90. Si BC= 12 m, halle la
longitud (en m) del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo APD.
a
12
P
D
C
B
A
r
a
c
b
→ r = 6
b
• ABCD : teorema de Pitot
→ a + b = c + 12 … (2)
• (1) = (2) : c + 2r = c + 12
• ∆APD : teorema de Poncelet
→ a + b = c + 2r
Clave: C

PROBLEMA 09
En un triángulo ABC, mA = 74 y el exradio relativo al lado BC mide
12 u. El perímetro del ABC (en u), aproximadamente es
A) 24 B) 36 C) 48
D) 32 E) 30

PROBLEMA 10
En un triángulo ABC, AB = 15 u, BC = 41 u y una altura mide BH = 9 u. La
suma de posibles valores de TC (en u), donde T es el punto de tangencia
de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC con el lado AC, es
A) 62 B) 63 C) 64
D) 65 E) 66

PROBLEMA 11
En un cuadrilátero convexo ABCD, circunscrito a una
circunferencia, las diagonales son perpendiculares. Si AB = a,
BC = b, CD = c y AD = d, entonces
A) ab = cd B) ac = bd C) a2 + b2 = c2 + d2
D) a + b = c + d E) ad = bc

PROBLEMA 12
A, B y C, son puntos de una circunferencia y P, un punto exterior, tal que P – A – B,
PC es tangente, mAPC = 90, PA = 8 u y AB = 6 u. La longitud del radio (en u), es
A) 14 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13

Ángulos en la Circunferencia
03
2022
Intensivo
Examen
Escolar

ÁNGULO CENTRAL
Definición.- Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados
contienen a dos radios.
AOB: Ángulo central
O
A
B

O
A
B
P
Arco mayor APB
El arco menor AB es la unión de A, B y todos los puntos de la circunferencia
situados en el interior del ∠AOB.
C
El arco mayor APB es la unión de A, B y todos los puntos de la circunferencia
situados en el exterior del ∠AOB.
En cada caso A y B son los extremos del arco AB.
Definición.- Sea C una circunferencia con centro O y sean los puntos A y B
que están contenidos en C pero que no son los extremos de un diámetro.
Arco menor AB

MEDIDA EN GRADOS DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
La medida en grados de un arco menor, es la medida de su ángulo central
correspondiente. La medida en grados de un arco mayor es 360 -  , siendo 
la medida de su correspondiente arco menor.
O
A
B
P
360-𝛼
𝛼 𝛼

EJERCICIO 01
En la figura mostrada, D es centro de la semicircunferencia de diámetro AB y B es
el centro del arco CE. Si la medida del arco BC es (α + 71), calcule α.
A) 30 B) 31 C) 32
D) 33 E) 34

RESOLUCIÓN 01
En la figura mostrada, D es centro de la semicircunferencia de diámetro AB y B es el
centro del arco CE. Si la medida del arco BC es (α + 71), calcule α
𝛼+71
38
71 𝛼+71 38
Por ángulo central:
𝑎 𝑟
𝑟+𝑎
𝑟
m∠CDB = 𝛼 +71
Entonces: m∠CED = 71
El triángulo EBC: Isósceles
Entonces: m∠EBC = 38
El triángulo BDC: Isósceles
Entonces: m∠DCB = 38
Teorema:
α + 71 + 38 + 38 = 180
α = 33
Clave: D

Definición.- Si A y B son los extremos de un diámetro, entonces se obtienen dos
arcos, cada una de los cuales se llama una semicircunferencia. Los puntos A y B son
los puntos extremos de la semicircunferencia.
O
A B
P
AB semicircunferencia
𝐴𝐵 diámetro
APB semicircunferencia

Definición.- En una circunferencia o en dos circunferencias
congruentes, dos arcos son congruentes, si las medidas de los
iguales.
O
C
C
D
A
B


Definición.- Dos circunferencia son congruentes, si sus radios son
congruentes.
mAB = mCD  AB ≅ CD

Teorema. En toda
circunferencia, si dos arcos
congruentes, entonces sus
respectivas cuerdas también
son.
AB ≅ CD
Demostración.
A
B C
D
𝛼 a
a
O
AB ≅ CD
⇔
A
B C
D
a
a
O
r
r
r
r
∆AOB ≅ ∆COD (LAL)
∴ AB = CD = a
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
𝛼
Si m AB = m CD ⟹ m∠AOB = m∠COD = 𝛼

Teorema. En toda circunferencia, los
arcos comprendidos entre cuerdas
paralelas, son congruentes.
BC ∥ AD
Demostración.
A
B C
D
O
⇔
O
A
B C
D
w
a
w
a
Teorema:
α = w + a
𝛂
𝛂
α 

α
  = w + a
mAB = mCD
mAB = α
∴ AB ≅ CD
 mCD = 
 α = 

APB: Ángulo inscrito
Definición.- Se denomina ángulo inscrito
en una circunferencia, al ángulo que tiene el
vértice en la circunferencia y los lados
contienen cada uno, a una cuerda.
O
A
B
P
Teorema. La medida del ángulo
inscrito es la mitad de la medida del
arco cuyos extremos pertenecen al
ángulo y que no contiene al vértice.
x =

2
P
A
B
x
𝜃

x =

2
Demostración del teorema de la medida del ángulo inscrito.
P
A
B
x
𝜃
w
w
𝜃
r
r
r
a
a
O
ΔAOP y ΔBOP son isósceles
m ∠PAO = m ∠APO = a
m ∠PBO = m ∠BPO = w
x = a + w
θ = 2a + 2w
a + w =
θ
2
Entonces:

EJERCICIO 02
Según el gráfico, O es centro de la circunferencia. Si ABCO es un
paralelogramo, entonces la medida del ángulo BFD es
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
A D
B C
O
F

RESOLUCIÓN 02
Según el gráfico, O es centro de la circunferencia. Si ABCO es un paralelogramo,
entonces la medida del ángulo BFD es
A D
B C
O
F
x
mBFD = x = ?
AO = OC y ABCO es un paralelogramo:
 ABCO es un rombo
ABO, equilátero:  mBAD = 60
Por ángulo inscrito:
mBAD = mBFD
 mBFD = 60
Clave: D
60

ATB: Ángulo semiinscrito
Definición.- Se denomina ángulo
semiinscrito en una circunferencia, al
ángulo que tiene el vértice en la
circunferencia, un lado contenido en una
recta tangente y el otro lado que contiene a
una cuerda.
A
B
T
x
Teorema. La medida de un ángulo
semiinscrito es igual a la mitad de la
medida del arco determinado por los
lados del ángulo.
A
T
B
θ
x
x =
θ
2

Demostración del teorema de la medida de un ángulo semiinscrito.
x =
θ
2
A
P
B
θ
x
M
O
90-x
x
Trazar MP diámetro
Entonces, OP ⊥ AP
y m ∠MBP = 90
m ∠MPB = 90 – x
m ∠BMP = x
Por ángulo inscrito
m ∠BMP =
m BP
2

PROBLEMA 03
En la figura mostrada A, B y C son puntos de tangencia. Si la
mBAD = 70, entonces la medida del ángulo CED es
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
E

RESOLUCIÓN 03
En la figura mostrada A, B y C son puntos de tangencia. Si la mBAD = 70,
entonces la medida del ángulo CED es
mCED = ?
Teor. del áng. semi inscrito:
mBAD = mABD = mDCF = 70
ABD, isosceles:  mADB = 40
CDE, por teorema:
mCED + mCDE = mDCF
mCED + 40 = 70
 mCED = 30
Clave: A
E
F

EJERCICIO 04
En la siguiente figura, L1 es recta tangente a la circunferencia menor en A y
L2 es recta tangente a la circunferencia mayor en A. Si los arcos APB y AQB
miden 210 y 260 respectivamente, calcule 𝑥.
A) 90
B) 135
C) 180
D) 120
E) 125 B
X
P
A
Q
C
D

RESOLUCIÓN 04
100
150
75
De la figura:
m AB = 100 y m AMB = 150
Por ángulo semiinscrito
m ∠CAB =
100
2
= 50
m ∠DAB =
150
2
= 75
x = 50 + 75 = 125
Luego:
M
B
X
P
A
Q
C
D
50
En la siguiente figura, L1 es recta tangente a la
circunferencia menor en A y L2 es recta tangente
a la circunferencia mayor en A. Si los arcos APB y
AQB miden 210 y 260 respectivamente, calcule 𝑥.
Clave: E

EJERCICIO 05
Se tienen dos circunferencias de diferentes radios tangentes exteriormente
en T. La prolongación de la cuerda AB de la circunferencia mayor, es
tangente a la menor en P y en la prolongación de AT se ubica un punto Q. Si
la m∠BTP = 52, calcule la mPTQ.
A) 26 B) 52 C) 69
D) 39 E) 78

RESOLUCIÓN 05
T
B
A
P
Q
x
𝛼 𝛽
𝛼 𝛽
Δ ATP : Por ángulo externo
x = 𝛼 + 𝛽 = 52
Se traza la recta L, tangente común en el
punto T.
L
Se tienen dos circunferencias de diferentes radios tangentes exteriormente en T. La
prolongación de la cuerda AB de la circunferencia mayor, es tangente a la menor en P
y en la prolongación de AT se ubica un punto Q. Si la m∠BTP = 52, calcule la
mPTQ.
Ángulos inscritos y semiinscritos.
Clave: B
52

Definición.- Se denomina
ángulo exinscrito en una
circunferencia, al ángulo
adyacente y suplementario
ángulo inscrito de la
circunferencia.
APC: Ángulo exinscrito
A
B C
P
O
Teorema. La medida de un
ángulo exinscrito, es igual a
la mitad de la medida del arco
mayor, determinado por los
lados del ángulo inscrito,
adyacente
A
B C
P
O
x =
m APB
2
x

EJERCICIO 06
En la figura, los arcos BF y BC miden 80 y 40 respectivamente. Si B ∈ AC, E ∈
DF y la medida del arco DE es 30, calcule la medida del arco AD.
A
B C
D
E
F
A) 90 B) 100 C) 120 D) 150 E) 180

RESOLUCIÓN 06
A
B C
D
E
F
80
40
30
2x
80 x
40
Por ángulo inscrito: m∠EDB=40
⇒ la m EB =80
También: m ∠ABD= x
Por ángulo exinscrito:
x =
30+80+40
2
2x = 150
En la figura, los arcos BF y BC miden 80 y 40 respectivamente. Si B ∈ AC, E ∈ DF y la
medida del arco DE es 30, calcule la medida del arco AD.
Clave: D

Definición.- Se denomina ángulo
interior en una circunferencia, al
que tiene el vértice en el interior
circunferencia y sus lados, están
determinados por dos cuerdas
APB: Ángulo interior
Teorema. La medida de un ángulo
interior es igual a la semisuma de
las medidas de los arcos
determinados en los interiores, de
dicho ángulo y del opuesto por el
vértice.
𝜃
x
x =
α + θ
2
P
A
B
C
D
P
A
B
C
D
𝛼

Demostración del teorema de la medida de un ángulo interior .
x =
α + θ
2
T
Trazar CT // BD
m ∠ACT = m ∠APB =
x
Teorema:
m TB = m CD = 𝜃
m ∠ACT =
m ABT
2
𝜃
x
C
P
A
B
C
D
𝛼
x
𝜃

EJERCICIO 04
En la figura, Calcule 𝛼 + 𝛽 + 𝜃.
A) 90 B) 135 C) 180 D)120 E) 105
𝛼 𝛽
𝜃

RESOLUCIÓN 04
𝜑
𝛿
2𝜑
2𝛿
𝛼 𝛽
𝜃
A
B
C
D
Clave: C
E
De la figura:
𝛼 + 𝜑 = 90 .............(1)
𝜃 + 𝛿 = 90 ..............(2)
Ángulo interior:
𝛽 =
2𝜑 + 2𝛿
2
⇒ 𝛽 = 𝜑 + 𝛿 ......(3)
Sumando (1), (2) y (3):
𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 180

Definición.- Se denomina ángulo exterior de una circunferencia, al
ángulo que tiene el vértice en el exterior de la circunferencia y los
lados contenidos en dos rectas secantes, o dos rectas tangentes, o
una recta secante y otra tangente.
BPD: Ángulo exterior
P
B
D
A
C
P
B
A
C
BPC: Ángulo exterior
P
A
B
APB: Ángulo exterior

Demostración:
Teorema
La medida de un ángulo exterior es
igual a la semidiferencia de las
medidas de los arcos determinados
en el interior de dicho ángulo.
P
B
D
A
C
x


x =
α – θ
2
P
B
D
A
C
x

θ
θ/2
Trazamos BC
m ∠ABC = θ/2 y m ∠BCD = α/2
∆BCP, ángulo externo x +
θ
2
=
α
2
∴ x =
α – θ
2
α/2

EJERCICIO 07
Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan las
secantes PAB y PCD, tal que AB es diámetro. Si BC  AD = {M} y
mCD = 80, entonces la medida del ángulo AMC es
A) 30 B) 40 C) 50
D) 60 E) 70

RESOLUCIÓN 07
Desde un punto P exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PAB y PCD,
tal que AB es diámetro. Si BC  AD = {M} y mCD = 80, entonces la medida del
ángulo AMC es
A
C
80
M
mAMC = ?
Teorema del ángulo interior:
mAMC =
mAC + mBD
2
…..(I)
AB es diámetro, por teorema:
mAC + mDC + mBD = 180
 mAC + mBD = 100
Reemplazando en (I): mAMC = 50
Clave: C
P
D
B

CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
Definición. Un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando
sus cuatro vértices pertenecen a la circunferencia. En este caso, se dice
circunferencia está circunscrita al cuadrilátero.
C
A
B
C
D
El cuadrilátero ABCD está inscrito en
la circunferencia C
La circunferencia C está circunscrita
al cuadrilátero ABCD

Teorema.- En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los
ángulos opuestos son suplementarios.
Demostración:
D
C
B
A
𝛼

𝛼 +  = 180
Por ángulo inscrito:
Luego:
2 + 2𝛼 = 360
  + 𝛼 = 180
m BAD = 2
m BCD = 2𝛼

Definición. Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia, si
dicha circunferencia contiene a sus cuatro vértices.
A
B
C
D
C
Dado un cuadrilátero ABCD
Si la circunferencia C contiene a
los puntos A, B, C y D,
entonces el cuadrilátero ABCD es
inscriptible en C .

Teorema. Si en un cuadrilátero
convexo, los ángulos opuestos son
suplementarios, entonces el
cuadrilátero es inscriptible en una
circunferencia.
A
B
C
𝛼
𝛽
C
D
𝛽
P
Corolario. Si en un cuadrilátero
convexo, las diagonales determinan
ángulos congruentes con los lados
opuestos, entonces el cuadrilátero es
inscriptible en una circunferencia.
A
B
C
D
C
𝛼 𝛼

Tres puntos determinan una circunferencia.
Por A, B y C, trazamos la circunferencia C
Supongamos que C , interseca a AD en M.
En el cuadrilátero convexo ABCD:
 +  = 180 …(1)
Cuadrilátero ABCM inscrito en C :
 +  = 180 …(2)
ΔMCD: =+
De (1) y (2):  = 
 = 0
A
B
C
α
β
C
D
θ
M
 A, B, C y D, pertenecen a C
Demostración:

 D es M

EJERCICIO 08
En la figura, la medida del arco AB es 160. Calcule 𝑥.
A
B
C
D
E
F
G
H
x
A) 100
B) 95
C) 160
D) 80
E) 120

RESOLUCIÓN 08
A
B
C
D
E
F
G
H
𝒙
160
80
𝛼
𝛼
𝛼
Àngulo inscrito:
m ∠HFD = m ∠HCD = 𝛼
Àngulo exinscrito:
𝛼 =
m BEH
2
Àngulo inscrito: m ∠HAB = 𝛼
Cuadrilátero AHFG es inscriptible:
x + 𝛼 + 80 + 180 − 𝛼 = 360
x = 100
⇒ m BEH = 2𝛼
Clave: A
En la figura, la medida del arco AB es 160.
Calcule 𝑥.
A
B
C
D
E
F
G
H
x

En una circunferencia , se inscribe el triángulo equilátero ABC. En los lados
AB y AC ubican los puntos M y L , y en el arco BC se ubica el punto N,
respectivamente, tal que AM = MB. Si
m LMN = 90 y los arcos BN y NC son congruentes, entonces la medida del
ángulo MLN es
A) 30 B) 40 C) 45
D) 50 E) 60
EJERCICIO 09

EJERCICIO 10
En una semicircunferencia de diámetro AC y centro O, por E punto medio del arco
AC, se traza EF// AC; AF interseca al arco AE en B. Si OE interseca a BC en D,
entonces mEDF es
A) 18 B) 25 C) 30
D) 37 E) 45

EJERCICIO 11
En el exterior a una semicircunferencia, de diámetro AB y centro
O, se ubica el punto E, tal que AE interseca en M a la
semicircunferencia y ET es tangente en el punto T. Si, MB y OT se
intersecan en P y mTOB = 90, entonces la medida del ángulo
EPT es
A) 15 B) 30 C) 45
D) 50 E) 60

EJERCICIO 12
En una circunferencia las cuerdas AD y BE se intersecan
perpendicularmente en el punto H. En la prolongación de AB se
ubica el punto P tal que PD interseca al arco BD en C. Si
mAPD = 90, BH = 4 cm y EH = 6 cm, entonces la longitud (en
cm) de BC es
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

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