Trabajo realizado en 2008

2. Generalización del
teorema de Pitágoras:
El teorema del Coseno

3. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL COSENO A LO LARGO DE SU
HISTORIA
Por aproximación geométrica de Euclides
Por expresión algebraica
Por la potencia de un punto con respecto a un círculo
Por el cálculo vectorial
Bibliografía y sitios consultados

4. • Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una
aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras:
las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un
triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de
la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del
álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Por eso, la
proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo
obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo
obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del
ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada
por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.

5. Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y JB la altura respecto
al lado AC, la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. - Triángulo ABC con altura JB.
Además:
Sea c el lado opuesto al ángulo obtuso y a,
b los lados del ángulo obtuso.
Si trazamos una altura correspondiente a
uno de los lados del triángulo que es lado
del ángulo obtuso, ésta corta a la
prolongación de dicho lado en el punto J.
Por Pitágoras. AB2
=AJ2
+ JB2
, pero AB=c,
BJ= k, CJ= n, AJ= b+n
k2
= a2
– n2
Reemplazando:
c2
=(b +n)2
+ (a2
– n2
)
c2
= b2
+ 2bn + n2
+ a2
– n2
c2
= b2
+ a2
+ 2bn

6. • Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad
Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su
alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el
resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del
siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia
angular entre el Sol y la Tierra. Fue durante el mismo período
cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas,
para las funciones seno y coseno . Eso permitió a Ghiyath al-
Kashi matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el
teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante
el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por
François Viète quien, al parecer, lo redescubrió
independientemente.

7. Fue a finales del siglo XVII cuando la notación
algebraica moderna, aunada a la notación
moderna de las funciones trigonométricas
introducida por Euler en su libro Introductio in
analysin infinitorum, permitieron escribir el
teorema bajo su forma actual, extendiéndose el
nombre de teorema (o ley) del coseno.

8. • Definición: En todo triángulo el cuadrado de la longitud uno
de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto
de ellas, por el coseno del ángulo que forman dichos lados.
Sea ABC un triángulo cualquiera:
a2
=b2
+c2
-2bc.cosA
b2
=a2
+c2
-2ac.cosB
c2
=a2
+b2
-2ab.cosC
A
C B
b c
a

9. Demostraremos este teorema en triángulos oblicuángulos (acutángulos y
obtusángulos) y rectángulos.
CASO1: Sea ABC un triángulo acutángulo:
c
A
B
a
b
C
hb
Demostración:
Trazando la altura de ABC respecto de AC quedan
determinados dos triángulos rectángulos ABH Y BHC.
Por el teorema de Pitágoras sabemos que:
c2
= hb
2
+ m2
y a2
= hb
2
+n2
de donde hb
2
=c2
-m2
=a2
-n2
Pero n=b-m por lo tanto c2
-m2
=a2
-(b-m)2
c2
-m2
=a2
-b2
+2bm-m2
c2
=a2
-b2
+2bm
c2
=a2
-b2
+2b(c.cosA) por ser m= c.cos A
c2
=a2
-b2
+2bc.cosA
Luego a2
= b2
+ c2
-2bc.cos A
H mn
Análogamente para b2
y c2

10. CASO2: Sea ABC un triángulo rectángulo en A:
C
c
b
a
A
B
Demostración:
Conocemos por el teorema de Pitágoras que a2
=b2
+ c2
Esto no es más de lo que estamos trabajando ya
que al anularse -2bc.cos A, por ser A=90º,
podemos decir que:
Para los lados b y c sí podemos usar el teorema del coseno ya que sus
ángulos opuestos son agudos pero resulta más sencillo trabajarlo
directamente con el Teorema de Pitágoras donde
b2
= a2
- c2
y c2
= a2
- b2
en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

11. CASO3: Sea ABC un triángulo obtusángulo en A.
a
C
A B
hc
b
H
Demostración:
Al trazar la altura hc respecto al lado AB
quedan determinados los triángulos
rectángulos HCB y HCA.
Por el Teorema de Pitágoras :
b2
= hc
2
+ m2
siendo m = HA
a2
= hc
2
+ (m+c)2
Por lo tanto: b2
- m2
= a2
– (m+c)2
b2
– m2
= a2
– m2
- 2cm - c2
b2
+ 2c(-b.cos A) + c2
= a2
por ser m= -b.cosA , A: ángulo obtuso
b2
– 2bc.cos A + c2
= a2
Luego, aa22
= b= b22
+ c+ c22
-2bc.cos A-2bc.cos A
Pero a2
=b2
+c2
+ 2bc.cos A ya que cos A < 0 cuando 90º < A <180º
Para demostrar b2
y c2
usamos el mismo criterio que en el caso 1 debido a que los
ángulos B y C son agudos.
c

12. Cos(180º - A) =m
b
Cos 180º .cos A + sen 180º . Sen A = m por el coseno de la resta
b
-1. cos A =m
b
-b.cos A = m

13. De observar los tres casos demostrados podemos resumir:
- si A < 90º a2
=
b2
+ c2
± 2bc.cos A + si A > 90º
2bc.cos A = 0 si A =90º
agudo
*El cuadrado de un lado opuesto a un ángulo obtuso de un triángulo
oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos
más
doble del producto de las longitudes de estos por el coseno del ángulo que forman.
•Según este teorema, dadas las medidas de los tres lados de un triángulo se pueden
reconocer si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo sin construirlo, comprobando
si el cuadrado del lado mayor es menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados
de los otros dos.

14. Ejemplos:
•Si los lados de un triángulo vienen dados por la terna ( 3,4,5) se trata de un
triángulo rectángulo, pues 32
+42
= 52
•Si los lados vienen dados por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo
obtusángulo, pues 32
+52
= 34 < 72
•Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo, pues
72
+ 82
= 113 > 102

15. Por la potencia de un punto con respecto a un círculo:
Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el
producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una
constante.
CASO1: si P=C es exterior a la circunferencia y ambas rectas son secantes entonces el
triángulo ABC es obtusángulo
Sea b el lado opuesto al ángulo obtuso y a, c
los lados del ángulo obtuso.
Si trazamos una altura correspondiente a uno
de los lados del triángulo que es lado del
ángulo obtuso, corta a la prolongación de
dicho lado en el punto H.
Por definición de potencia tenemos:
CB * CD = CF * CG
pero CB= a, CF= b-c, CG=b+c, además el
triángulo BDA es isósceles por ser BA=AD
radios de la misma circunferencia y la altura es mediatriz de dicho triángulo, entonces
BD= 2 BH. Reemplazando a (a+ 2 BH)= (b-c)* (b+c)
a2
+ 2aBH = b2
– c2
a2
+ c2
+ 2 aBH = b2
(1)

16. Luego:
Cos(180º - α) =BH
c
Cos 180º .cos α + sen 180º . Sen α = BH por el coseno de la resta
c
-1. cos α =BH
c
-c.cos α = BH
Y reemplazando en (1):
a2
+ c2
- 2 a.c.cos α = b2

17. CASO2: si P es exterior a la circunferencia y una recta es secante y otra es tangente
entonces el triángulo ABC es rectángulo.
Sea b el lado opuesto al ángulo recto y a, c
los lados del ángulo recto. La altura
correspondiente a uno de los lados del
triángulo que es lado del ángulo recto,
coincide con el lado c.
Por definición de potencia tenemos:
CB2
= CE * CD (1)
pero CB= a, CE= b-c, CD=b+c
Reemplazando en (1):
a2
= (b-c)*(b+c)
a2
= b2
–c2
a2
+c2
= b2
Caso particular del teorema de Pitágoras.

18. CASO3: si P es interior a la circunferencia y ambas rectas son secantes entonces el
triángulo ABC es acutángulo.
Sea b el lado opuesto al ángulo agudo y a, c
los lados del ángulo agudo. Por definición de
potencia tenemos:
CG . (- CB) = CD . (-CE)
pero CG= BG- a, CB= a, CD=c-b, CE= c+b
Reemplazando:
(BG-a).(-a) = (c-b).(b+c)
a2
- a.BG = -(c2
- b2
)
a2
– a.BG= - c2
+ b2
pero BC = 2c cos a
a2
+ c2
– 2.a.c cos a =b2

19. Una demostración vectorial del teorema del coseno:
Consideremos un triángulo cualquiera ABC en el que a + b = c y las longitudes de
los lados de dicho triángulo son los módulos de los vectores a, b y c.
Multiplicando escalarmente a por sí mismo tenemos:
aa = (c - b)(c - b) = bb + cc - 2 bc =
= |b|2
+ |c|2
- 2 |b||c| cos (b, c)
Es decir
|a|2
= |b|2
+ |c|2
- 2 |b||c| cos (b, c)

20. Bibliografía:
PEDRO PUIG ADAMS “ Curso de Geometría métrica” tomo I.
Editorial: Edición Madrid. 1980
http://www.arrakis.es/~mcj/notas011.htm
BOYER:”Historia de la matemática”. Editorial Alianza. 1996.
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/coseno.htm
http://www.zonavirtual.org/EscenasInteractivas/paginas/Teor
ema_Coseno.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno