Este documento describe un método para optimizar simultáneamente varias variables de respuesta mediante el uso de funciones de deseabilidad. El método transforma cada variable de respuesta en un valor de deseabilidad y luego combina los valores de deseabilidad en un único valor compuesto de deseabilidad que puede maximizarse. El documento ilustra el método optimizando las propiedades de una banda de rodadura de neumático variando los ingredientes del compuesto de caucho.
1. Optimización simultánea de
varias variables de respuesta
Método de Derringer y Suich. Journal of
Quality Technology. Vol.12, N°4,Oct
1980
Dr. Juan Cevallos
2. Resumen
• Un problema común para el desarrollo de productos es la
selección de un conjunto de condiciones que darán lugar a
un producto con una combinación deseable de
propiedades. Esto esencialmente involucra la optimización
simultánea de varias variables de respuesta (la
combinación deseable de respuestas) que dependen de un
número de variables independientes o conjuntos de
condiciones.
• Harrington, entre otros, abordó este problema y presentó
un enfoque de función de deseabilidad (conveniencia). La
propuesta de Derringer y Suich modifican dicho enfoque e
ilustran como varias variables de respuesta se pueden
transformar en una función de deseabilidad, la cual puede
ser optimizada mediante técnicas de una variable.
• Su uso se ilustra en el desarrollo de un compuesto de
caucho para bandas de rodadura de neumáticos.
3. Introducción
• Un problema común en el desarrollo de productos es
seleccionar un conjunto de condiciones Xs, que
produce una combinación deseable de propiedades, Ys.
• Ello es un problema de optimización simultánea de las
Ys. Cada una de las Ys depende del conjunto de
variables independientes Xs.
• Ejemplo: en la industria del caucho, el compuesto de la
banda de rodadura del neumático.
• Las Ys: Indice de Abrasión PICO, los módulos % 200, el
alargamiento a la rotura y la dureza.
• Las Xs: el nivel de silica hidratado, el nivel de
acoplamiento del silano, y el nivel de azufre.
4. • Queremos seleccionar los niveles de las Xs que
maximizan las Ys.
• Desafortunadamente, los niveles de las Xs que
maximizan Y1 podrían no maximizar Y2.
• Un enfoque de este problema ha sido el uso de
programación lineal: Hartman y Beaumont; Nicholson y
Pullen. Lo cual tiene limitaciones por las diversas
asumciones que hace.
• Harrington presentó un esquema de optimización
utilizando lo que llamó: función de deseabilidad.
Derringer modifica la propuesta de Harrington; con
base al método de búsqueda de Hooke y Jeeves.
5. Desarrollo
• Suponga que cada una de las k variables de respuesta Y
está relacionada a las p variables independientes X
mediante:
• Donde fi denota la relación funcional entre Yi y X1, X2,
…, Xp.
• Si asumimos que el error para cada Yi=0; podemos
relacionar ηi la respuesta promedio o esperada para las
p variables independientes mediante:
6. • En la práctica fi es desconocido. Fi es aproximada
con frecuencia mediante una función polinómica.
Luego se estima ηi mediante 𝑌𝑖 el estimado
obtenido a través de técnicas de regresión.
• La función de deseabilidad implica la
transformación de cada variable respuesta
estimada 𝑌𝑖 a un valor de deseabilidad di donde
0≤di≤1. El valor de di aumenta en la medida que
la deseabilidad de la respuesta correspondiente
aumenta. Las deseabilidades individuales son
luego combinadas usando la media geométrica:
7. • Este valor único de D da una evaluación global
de la deseabilidad de los niveles de respuesta
combinados. El rango de D caerá en el
intervalo [0,1] y D aumentará a medida que el
balance de propiedades se vuelve más
favorable. D también tiene la propiedad que si
cualquier di=0 (es decir, si una de las variables
de respuestas es inaceptable) entonces D=0
(es decir, el producto global es inaceptable).
8. Transformaciones de un solo lado
• En la transformación de 𝑌𝑖 a di surgen 2 casos:
transformaciones de deseabilidad de un lado y de
2 lados.
• Para el caso de un lado, di aumenta en la medida
que 𝑌𝑖 y se emplea cuando 𝑌𝑖 quiere ser
maximizada. (Minimizar 𝑌𝑖 es equivalente a
maximizar - 𝑌𝑖).
• Muchas transformaciones son posibles;
consideraremos las transformaciones dadas por:
Que se grafica
en la figura 1
9.
10. • El valor de Yi* da el mínimo valor aceptable de 𝑌𝑖;
y que hace que cualquier valor menor nos de
di=0 y luego D=0.
• El valor de Yi* da el valor de 𝑌𝑖. Como se esta
trabajando con las transformaciones de un solo
lado, luego no hay valor máximo de 𝑌𝑖. Sin
embargo en términos prácticos se puede pensar
en Yi* como valores de 𝑌𝑖 tales que valores
mayores 𝑌𝑖 tienen poco mérito adicional. Por
tanto mayores valores a Yi* mantendrian al valor
de di=1.
• El valor de r que se utiliza en la transformación
sería de nuevo especificado por el usuario.
11. • La figura 1 indica que un valor grande de r se
especifica si fuera muy deseable para el valor
de 𝑌𝑖aumentar rápidamente encima de Yi*. Así
podemos usar un r=10. En el caso opuesto
podría usarse un r=0.1.
12. Transformaciones de dos lados
• Se da cuando la variable de respuesta tiene
restricciones de mínimo y máximo. Se
consideran las transformaciones dadas por :
Donde Yi* es mínimo valor aceptable y Yi* es el máximo valor
aceptable. Valores fuera de estos límites son inaceptables.
13. • El valor seleccionado para ci sería aquel valor
de 𝑌𝑖 más deseable y sería seleccionado entre
Yi* e Yi*. Los valores de s y t juegan el mismo
rol que r en la transformación de un solo lado.
• La figura 2 muestra diversos valores de t y s.
14. • El procedimiento delineado también se puede
usar para maximizar los di’s (correspondientes a
ciertos 𝑌𝑖s) mientras en esencia ponen
restricciones de otros 𝑌𝑖´s.Esto sería similar al
enfoque de programación lineal. Para aquellos
𝑌𝑖´s sujetos a restricciones se pueden usar valor
muy pequeños de los exponentes (r, s y t) y
permitir Yi* e Yi* que actúen como valores de
límite.
• La transformación original propuesta por
Harrington es de la forma di=exp(-exp(-Yi)) para
transformación de un lado y di=exp(-|Yi|s) para
transformación de 2 lados.
15. • Gatza y McMillan usaron di={exp[-exp(-Yi)]-exp(-1)}/[1-
exp(.1)], una modificación de Harrington que produce
valores negativos de di para propiedades inaceptables.
• Las transformaciones que se presentan en este paper son
una generalización de las de arriba.
• Ya no nos limitamos nuestras restricciones a determinados
miembros de la familia exponencial, pero consideramos
transformaciones que ofrecen un uso más flexible en la
fijación de deseabilidades.
• Como un ejemplo, el uso de Ci en (3) permite al usuario
establecer el valor más deseable de Yi en cualquier lugar
entre los límites inferior y superior (Yi* e Yi*) en lugar de
exactamente en el medio.
• Las transformaciones de Harrington, y Gatza y McMillan
pueden ser cercanamente aproximadas mediante la
selección de parámetros (r,s y t) en (2) y (3) y pueden ser
vistos como casos especiales.
16. Método de Optimización
• Hemos asumido que 𝑌𝑖 es una función continua de la Xh.
• De (2) y (3) vemos que los di son una función continua de
los Yi y de (1) que D es una función continua de los di.
• Por lo tanto, se deduce que D es una función continua de
Xh.
• Por lo tanto las técnicas de búsqueda univariada existentes
pueden usarse para maximizar sobre el dominio de la
variable independiente.
• En esencia, la función deseabilidad condensa un problema
de optimización multivariable en uno univariable.
• Un beneficio adicional del método es la capacidad de
graficar D como una función de una o más variables
independientes.
17. Ejemplo
• En el desarrollo de un compuesto de banda de rodadura, la
combinación óptima de tres ingredientes (independientes)
– variables- nivel de sílice hidratado X1, nivel de agente de
acoplamiento de silano X2 y nivel de azufre X3 – fueron
considerados.
• Las propiedades a ser optimizadas y los niveles de
restricción fueron los siguientes:
• Indice de abrasión PICO, Y1 120<Y1
• Modulus 200%,Y2 1000<Y2
• Rotura a la elongación, Y3 400<Y3<600
• Dureza, Y4 60<Y4<75
Para Y1 e Y2 las transformaciones de un solo lado dadas en (2)
fueron usadas y se muestran en la figura 3.
18.
19. • Como se puede ver, fijamos Y1*= 120 y Y2*=1000.
• Cualquier valor de 𝑌𝑖 menor a 120 resulta en un
compuesto de banda de rodadura del neumático
inaceptable.
• Desde un punto de vista práctico fijamos Y1*=170
e Y2*=1300.
• Es decir, se considera que cualquier valor de
Indice de abrasión PICO por encima de 170 es tan
deseable como solo el 170.
• Para este ejemplo hemos fijado r=1 en la
transformación dada mediante (2), tanto para Y1
e Y2
• Esto se hizo porque creemos que la deseabilidad
aumenta de una manera lineal.
20. • Para Y3 e Y4 se usaron las transformaciones
de dos lados dadas por (3) y se muestran en la
figura 4.
21. • En dicha figura Y3*=400 e Y3*=600; mientras que
Y4*=60 e Y4*=75.
• Para cada uno de estos, se seleccionaron los
puntos medios c3=500 y c4=67.5 como los
valores más deseables de Y3 e Y4.
• Una vez más se utilizan las contantes de s=1 y
t=1, ya que consideramos que una
transformación lineal expresa nuestra evaluación
de la deseabilidad.
• Un diseño compuesto central de tres variables,
rotatorio, con seis puntos centrales (ver tabla 1)
fue empleado para para generar los datos los
cuales fueron ajustados a polinomios de segundo
grado:
22.
23. • Los coeficientes resultantes ajustados se dan en la
Tabla 2, junto con los errores estándar para cada Yi.
• Dado que es importante tener un buen estimador 𝑌𝑖 en
ηi, para esta técnica de optimización debería
preocuparse de realizar una buena técnica de regresión
y de diseño, junto con la experiencia. Se consideró por
experiencia que al menos un polinomio de segundo
grado sería necesario para proporcionar un adecuado
ajuste de los datos.
• Un diseño central de superficie de respuesta se utilizó
debido a la experiencia anterior favorable con tales
diseños.
• Con menor experiencia anterior se podrían utilizar
procedimientos estándar de diseño y regresión en la
obtención de los estimadores de 𝑌𝑖. (incluyendo
regresión por pasos).
24.
25. • El siguiente paso fue usar los coeficientes dados en la Tabla 2,
junto con varios valores de X1, X2 y X3 para obtener los 𝑌𝑖.
• A continuación cada 𝑌𝑖 se transformó en una di usando (2) y
(3) como se ilustra en las figuras 3 y 4. Los cuatro di se
combinaron en un solo D usando (1). Por lo tanto, para cada
nivel de x1, x2 y x3, se obtuvo un valor de D.
• A continuación se buscó a través de los niveles de X1, X2 y X3
para encontrar el valor óptimo de D. Todo esto fue hecho con
ayuda de un ordenador.
• El algoritmo que se empleó convergió en, por lo general, en
menos de 250 iteraciones.
• Los resultados óptimos se muestran en la Tabla 3.
• La máxima deseabilidad compuesta fue 0.583 y todas las
restricciones fueron claramente cumplidas.
26.
27. • El valor 0.583 tiene poco significado numérico, excepto
para indicar el nivel de los Xs donde el máximo D
ocurre.
• Aparte de encontrar el máximo D, sin embargo, el
experimentador está generalmente interesado en qué
tan estable es el óptimo. Por ejemplo, hacer pequeños
cambios en las variables independientes resultan en
disminución aguda en D?. Puesto que D es una función
de las variables X, que se puede trazar para responder
a tales preguntas.
• Las figuras 5, 6 y 7 muestran las gráficas de
contorno(esquema de rejilla de valores de D) de D para
2 variables independientes con la otra a su nivel
óptimo.
•
28.
29.
30.
31. • Por ejemplo la figura 5 muestra la gráfica de X1 vs X2,
con x3 en su nivel óptimo; es decir, X3 = -0.868.
• Los 3 gráficos muestran muestran que la superficie es
relativamente plana cerca del máximo, significando
que pequeños cambios del óptimo de los valores de X
no deberían disminuir apreciablemente la
deseabilidad.
• Obviamente el enfoque utilizado en este ejemplo no es
el único posible.
• Otro posible método es el estudio de los coeficientes
en las ecuaciones de ajuste y la superposición de las
gráficas de contorno.
• Sin embargo, el óptimo alcanzado en la Tabla 3
demostró ser satisfactorio desde el punto de vista de
producción.
32. • Aunque pequeñas desviaciones de los niveles
óptimos de las X’s fueron aplicadas por otras
razones. Esto probó no ser mayor el problema
en este ejemplo, dado que cerca del óptimo la
superficie es relativamente plana.
• Programa de computadora: Se uitilizó
FORTRAN.
33. Resumen
• La optimización simultánea de varias respuestas ha sido a
menudo realizada por un enfoque de acertar o fallar
(prueba y error). En tal procedimiento, numerosas
formulaciones son evaluadas hasta que una es encontrada
que cumpla todas las restricciones. Esta se convierte en la
formulación óptima.
• El enfoque de la función de deseabilidad es una mejora
considerables sobre éste método y por lo general no sólo
requiere menos formulaciones para ser evaluadas y
también resulta en niveles mayores de deseabilidad.
• Además, la ventaja de ser capaz de graficar la superficie de
deseabilidad para determinar su sensibilidad a pequeños
cambios en las variables independientes es significativa.
39. Cálculos del óptimo
• X1=-1;x2=-1;x3=-1
• Y1=88.83
• Y2=847.7
• Y3=647.29
• Y4=63.92
Luego: d1=0; porque 88.83<120
d2=0; porque 847.7<1000
d3=0; porque debe estar entre 400 y 600
d4=(63.92-60)/(67.5-60)=0.52
