Resumen calculo integral

7.1 INTEGRACION POR PARTES

Se aplica cuando se presenten integrales que involucran producto de potencias
con funciones
trascendentales (exponenciales logarítmicas y trigonométricas). Generalmente el exponente se
relaciona con las veces que es necesario hacer la integración por partes.
Al seleccionar la variable se suele tomar a
para que al derivarla reduzca su grado y en
cuanto a
será el resto de la integral que usualmente es fácil de integrar.
Ejemplo 7.1.1

Para este caso

y

En el segundo miembro de la igualdad

y

Existen casos en que la integral original debe ser modificada para poderla hacer por partes
Ejemplo 7.1.2

Para alguien que ya ha visto el curso completo de técnicas de integración lo más seguro es que
abordará esta integral como un caso de sustitución trigonométrica. Pero en estas circunstancias
como la piden por partes se modifica a la siguiente forma:

Así

y

7.2 ALGUNAS INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
Antes de empezar es útil saber que existen las siguientes identidades trigonométricas que ayudan
a resolver integrales trigonométricas
a) Identidades de ángulo doble

b) Identidades de ángulo medio

c) Identidades de suma y resta de ángulos

d) Identidades de producto de senos y cosenos de ángulos diferentes

e) Identidades pitagóricas

Existen integrales que combinan productos de:

Siendo
solución.

que dependiendo si son pares o impares existen unas estrategias para su

Cuando el coseno tiene exponente impar, aísle un coseno y exprese lo demás en termino
de seno y haga
Ejemplo7.2.1

Como el coseno es impar aplicamos la sugerencia

Ahora se expresa el resto de los factores en términos de seno

Ahora se hace el siguiente cambio de variable:

Entonces la integral queda así:

Si el seno tiene exponente impar se aísla un seno y exprese lo demás en términos de
coseno y haga
Ejemplo 7.2.2

Como el seno es impar se utiliza la sugerencia planteada

La integral queda:

Si la secante tiene exponente par, aísle un factor cuadrático de la secante y exprese lo
demás en términos de tangente y haga
Ejemplo 7.2.3

Como el exponente de la secante es par se utiliza la sugerencia planteada

Ahora se expresa la primera secante cuadrática en función de tangentes
Recordemos que

Ahora hacemos cambio de variable:

Si la tangente tiene exponente impar se aísla un producto secante-tangente y lo demás se
expresa en términos de secante y haga

Ejemplo 7.2.4

Como el exponente de la tangente es impar se utiliza la sugerencia planteada

Recordemos que:

La integral queda entonces:

Luego
Finalmente:

7.3 SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Esta estrategia se aplica al presentarse integrales que involucran los siguientes radicales
Y similares

Sustitución

Diferencial

Grafica asociada

x
a

x

θ

a
θ

x
a

θ

Ejemplo 7.3.1

Como en el denominador aparece el caso
El triángulo asociado al caso es:

x

3
Al sustituir
pitagórica

y

en la integrar original y utilizando la identidad
se tiene

Ejemplo 7.3.2

Como en el denominador se presenta el caso
Pero antes se reordena los términos del denominador

El triángulo asociado con el caso es:

x

Al hacer las sustituciones respectivas y utilizar la identidad pitagórica

Ejemplo 7.3.3

Primero se debe completar el cuadrado de la expresión del denominador así:

Si

Como el denominador es de la forma

se utiliza:

Al hacer los remplazos respectivos y utilizar la identidad pitagórica

se tiene:

Se recomienda usar
Entonces se tiene:

7.4 FRACCIONES PARCIALES
Son aquellas que presentan expresiones racionales de la forma

siendo P(x) y

Q(x) polinomios de tal forma que el grado del denominador siempre sea mayor que el grado del
polinomio del numerador
Caso 1 El denominador presenta factores lineales de la forma (
Ejemplo 7.4.1

Factorizando el denominador se tiene:

Ahora se calculan los valores de A, B y C

Si

en los numeradores de las dos últimas igualdades se tiene:

Si

se tiene:

Si

se tiene:

no repetidos

Ahora se resuelven las integrales con los valores encontrados para A, B y C

Caso 2 El denominador presenta factores lineales de la forma (
Ejemplo 7.4.2

Esta integral debe ser equivalente a:

Se determinan los valores de A, B y C

Si
Si
Si

repetidos

Caso 3 El denominador presenta factores cuadráticos irreducibles no repetidos
Ejemplo 7.4.3

Factorizando el denominador se obtiene:

Siendo

Entonces:

Operando la suma de fracciones algebraicas se tiene:

Al hacer las multiplicaciones de monomio por polinomios en el numerador del lado
derecho de la igualdad se tiene:

Ahora se igualan los numeradores de la igualdad

Al igualar término a término se presentan las siguientes ecuaciones:
ECUACION 1
ECUACION 2
ECUACION 3
ECUACION 4

Al solucionar este sistema se tiene:

Finalmente la descomposición en fracciones parciales queda:

La integral se expresa así:

Al integrar directamente se tiene:

Caso 4 El denominador presenta factores cuadráticos irreducibles repetidos
Ejemplo 7.4.4

Ahora se calculan los valores de A, B, C, D, y E

Si
Organizando el numerador se tiene:

Al solucionar el sistema de ecuaciones se tiene:

Las integrales a resolver son:

Para la sustitución trigonométrica se tiene:
El triángulo asociado con el caso es:

1

Finalmente:

Ejemplo 7.4.5
Realizaremos un ejercicio en el cual el grado del polinomio del numerador es mayor o igual al del
denominador.

Primero se realiza la división polinomica y el la fracción se expresará como la suma del polinomio
cociente y el residuo dividido entre el polinomio divisor, es decir:
Siendo C(x) = el polinomio cociente y R(x) el residuo

La segunda integral presenta factores lineales repetidos y no repetidos

Al hallar los valores de A, B y C con los procedimientos explicados anteriormente se tiene

Finalmente:

7.8 INTEGTRALES IMPROPIAS
Son aquellas integrales definidas que presentan límites aparentemente indeterminados
Caso 1 INTEGRALES CON LIMITES INFINITOS
Subtipo 1.1 El límite superior es infinito

Ejemplo 7.8.1.1.1
Halle la integral de

Resolviendo la integral se tiene por fracciones parciales se tiene:

Subtipo 1.2 El límite inferior es infinito

Ejemplo 7.8.1.1.2
Halle la integral de

Resolviendo la integral por partes se tiene:

Siendo

Después de aplicar L´hopital

Subtipo 1.3 Los límites son infinitos

Siendo c cualquier número real.

Ejemplo 7.8.1.1.3
Hallar la integral de

Resolvamos la integral por sustitución trigonométrica

El triángulo asociado con este caso es:

x3

3
Entonces la integral queda:

Luego:

A TENER EN CUENTA:

Caso 2. INTEGRALES CON DISCONTINUIDADES
Subtipo 2.1 Integrales cuyo límite superior hace discontinua al integrando

Ejemplo 7.8.2.1.1
Hallar la integral de:

Subtipo 2.2 Integrales cuyo límite inferior hace discontinua al integrando

Ejemplo 7.8.2.2.1

La integral se resuelve por partes

Entonces

Aplicando L´hopital al tercer término se tiene:

Subtipo 2.3 Integrales que poseen un valor dentro de los límites de integración tal que el
integrando es discontinuo

Ejemplo 7.8.2.3.1

Como en x = 1 el integrando es discontinuo se tiene:

La integral se resuelve fácilmente por sustitución simple y queda

8.1 LONGITUD DE CURVA

d

c
a

Si una función es continua en un intervalo
lasexpresiones:

O bien

b

su longitud se puede determinar con

Ejemplo 8.1.1
Hallar la longitud de la curva

Luego:

Ejemplo 8.1.2
Hallar la longitud de la curva

Luego:

8.2 AREA DE SUPERFICIES DE REVOLUCION
Si se hace girar la recta y = k alrededor del eje x en el intervalo cerrado
se obtendrá un
cilindro cuya superficie no plana (la de revolución) está determinada por la LONGITUD de la
circunferencia y el ancho del intervalo es decir:
.
De manera similar si una función continua en un intervalo cerrado se hace girar en torno a un eje
determinado, el área de su superficie de revolución se calcula con las siguientes expresiones:
Si gira en torno al eje x:

Si gira en torno al eje y:

Ejemplo 8.2.1
Halle el área de la superficie que se obtiene al girar

Entonces:

Ejemplo 8.2.2

en torno al eje x en el intervalo


en torno al eje x en el

intervalo

Luego:

Ejemplo 8.2.3

en torno al eje y en el intervalo

Al remplazar los valores de y del intervalo en la función se obtienen los respectivos valores del
intervalo de las x

Como esta integral es muy complicada es mejor expresar a x en función de y así:

Entonces:

Esta integral es directa:

Ejemplo 8.2.3
intervalo

en torno al eje y en el

10.1 CURVAS PARAMETRICAS
La posición de una partícula en el plano cartesiano está determinada por sus coordenadas (x,y).
Supongamos que dichas coordenadas dependen de una tercera variable, como por ejemplo el
tiempo a la que denominaremos t, entonces se obtienen ecuaciones paramétricas para ambas
coordenadas así:

Entonces se puede trazar una curva en función del parámetro t
Ejemplo 10.1.1
Esquematice la curva usando las ecuaciones paramétricas e indique con una flecha la dirección en
que se incrementa el parámetro.

Hallemos los puntos de corte con los ejes cartesianos
Si x = 0
Si y = 0
Estos valores de t son importantes al hacer la tabulación
t
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2

x
2
0,75
0
-0,25
0
0,75
2
3,75
6

y
6
3,75
2
0,75
0
-0,25
0
0,75
2

y

x

Ejemplo 10.1.2
Esquematice la curva usando las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro convirtiéndola en
coordenadas rectangulares

Como se sabe el valor de t para ambas coordenadas no tiene restricción
t
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3

x
-0,98
-0,95
-0,86
-0,63
0
1,72
6,39
19,09

y
0
0,002
0,018
0,14
1
7,39
54,6
403,4

y

x

Para convertir a coordenadas cartesianas se despeja a

Lo cual corresponde a una parábola, sin embargo solo toma valores positivos para la y como lo
indica la gráfica ya que
Ejemplo 10.1.3
Si a y b so números fijos, halla las ecuaciones paramétricas para la curva que consiste de todos las
posibles posiciones del punto P en la figura, usando el ángulo como parámetro. Luego elimine el
parámetro e identifique la curva.

P
a

b

De la figura se deduce que:

Si se suman estas dos últimas expresiones se tiene:

Esta ecuación corresponde a una Elipse

10.2 CACULO CON CURVAS PARAMETRICAS
Con las ecuaciones paramétricas se pueden obtener:
Tangentes

Áreas

Longitudes de arcos

Áreas de superficies de revolución respecto al eje x

Ejemplo 10.2.1
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva
Si

Como

entonces

La ecuación de la recta es de la forma
Para

La ecuación de la recta tangente es:

Ejemplo 10.2.2
Hallar la longitud de arco de la curva planteada en el intervalo

Entonces:

Esta integral se resuelve con sustitución trigonométrica y su triangulo asociado es el siguiente:

t

1

10.3 COORDENADAS POLARES
Es un sistema de coordenadas introducido por Newton y es muy conveniente en muchos
propósitos. En este sistema un punto se representa utilizando dos parámetros que son
Siendo la distancia que va desde el POLO hasta al punto de estudio P y
medido desde el EJE POLAR hasta el radio

el ángulo positivo

Veamos la siguiente gráfica para comprender el concepto de como representar un punto en el
plano polar

)

Entonces cada punto se expresa en función del radio y del ángulo
Existen casos en que el radio es negativo y para dicho caso el punto queda sobre la misma línea
que incluye al radio pero en el cuadrante opuesto. Así si por ejemplo un punto tiene coordenadas
entonces su punto opuesto es

vea la siguiente gráfica:

Conexión entre coordenadas polares y rectangulares
Es fácil deducir aplicando trigonometría básica que la relación es la siguiente:

Se puede definir la tangente de la curva como:

Ejemplo 10.3.1
Identifique la curva dada su ecuación polar

Al rescribir se tiene:

Dividiendo por r se tiene:

La cual corresponde a una parábola con su eje de simetría x = 0 que abre hacia arriba
Ejemplo 10.3.2
Halle la ecuación polar a partir de su ecuación cartesiana

Esta ecuación corresponde a una hipérbola con asíntota vertical x = 0 y asíntota horizontal y = 0
Al rescribir se tiene:

Mejor aún:

Ejemplo 10.3.3
Esquematice la curva con la ecuación polar dada

El dominio de la curva es
Los valores de donde r es nulo corresponden a
Los valores de

donde la gráfica corta al eje y corresponde a

luego
entonces:

Los cortes con el eje y son entonces:
Cálculo donde la tangente a la curva es horizontal y vertical:
Como

entonces:

Para que la pendiente sea horizontal m = 0, entonces:

Pasando todo a coseno se tiene:

Que es una ecuación que se factoriza como:

Para que la pendiente sea vertical el denominador en la expresión de la tangente debe
ser cero, entonces:

A continuación se muestra la gráfica completa con las tangentes

y

x

Ejemplo 10.3.4
Esquematice la gráfica de la curva
Los valores de

Los valores de

donde r es nulo corresponden a


Cálculo donde la tangente a la curva es horizontal y vertical:
Como

entonces:

Para que la pendiente sea horizontal m = 0, entonces:

luego

y

entonces:

Para que la pendiente sea vertical el denominador debe ser cero

Esta ecuación cuadrática no se puede factorizar y al aplicar la ecuación general de
segundo grado se obtiene:

Que le corresponden respectivamente las siguientes parejas de ángulos:

A continuación se muestra la gráfica con todas sus pendientes
y

x

Ejemplo 10.3.5
Esquematice la gráfica de la curva
Los valores de donde r es nulo corresponden a

luego

y
Los valores de


entonces:

Los valores de donde la gráfica corta al eje x corresponde a

Los cortes con los ejes x son entonces:
A continuación se muestra su gráfica:
y

x

10.4 AREA Y LONGITUDES DE ARCO EN POLARES
10.4.1 Área en coordenadas polares
Se calcula con las expresiones:

Ejemplo 10.4.1.1
Hallar el área de la región que está limitada por la curva dada en el intervalo especificado

Ejemplo 10.4.1.2
Hallar el área de la región que está sombreada

El área a calcular es:

Ejemplo 10.4.1.3
Halle el área por dentro del lazo grande y por fuera del lazo pequeño de la curva

Por simetría el área es el doble de la sección comprendida entre la diferencia de áreas de
es decir:

10.4.2 longitud de arco
Se calcula con la expresión

Ejemplo 10.4.2.1
Halle la longitud exacta de la curva polar

en el intervalo

11.1 SUCESIONES
Una sucesión es una lista de números escrita en un orden definido. También se puede definir
como una función cuyo dominio son los enteros positivos.
Una sucesión puede ser denotada como:

Siendo el primer término de la sucesión cuando n = 1,
representa el termino enésimo que
es la regla general que determina como se generan cada uno de los términos de la sucesión
Límite de una sucesión
Este se determina cuando n tiende a infinito. En el caso que el límite exista se dice que la sucesión
es convergentede lo contrario la sucesión es divergente.
Límite de una sucesión de la forma
Es convergente si y solo si

de lo contario es divergente

Si es convergente el límite es 1 si r = 1 y es cero si -1 < r < 1

Ejemplo 11.1.1
Halle los cinco primeros términos de cada sucesión e indique si es o no convergente
a)
b)
c)
Solución:
a)

La sucesión es convergente

b)

Note que

es de la forma

c)


11.2 SERIES

Una serie corresponde con la suma de los términos de una sucesión y se denota como

1. Suma de la Serie geométrica de la forma
Es convergente si
y su suma es igual a:

Es divergente si

2. La suma de la serie armónica

es divergente

3. Prueba de divergencia:
Si el límite al infinito de una sucesión no existe o es diferente de cero, entonces la serie es
divergente
4. Teorema
Si una serie es convergente entonces el límite al infinito de su sucesión tiende a cero
Este teorema no opera necesariamente a la inversa
Ejemplo 11.2.1
Halle la suma delos 10 primeros términos de la serie indicada, grafique en un mismo plano la
sucesión y la serie e indique si las gráficas muestran convergencia o divergencia y averigua si es o
no convergente.

Tabla de valores de la sucesión y la serie

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

-2,4
0,48
-0,096
0,0192
-0,00384
0,000768
-0,0001536
0,00003072
-6,144E-06
1,2288E-06

-2,4
-1,92
-2,016
-1,9968
-2,00064
-1,999872
-2,0000256
-1,99999488
-2,00000102
-1,9999998

A continuación se muestran ambos gráficos en un solo plano
Notándose que la sucesión tiende a cero cuando los valores de n son cada vez más grandes, esto
quiere decir que al parecer es una sucesión convergente.
En cuanto a la serie se puede notar que la suma tiende al parecer a 2

0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2 0
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
-2.2
-2.4
-2.6

2

4

6

sucesión

8

serie

Confirmación analítica:
Para la sucesión

Para la sucesión

La cual corresponde con una serie geométrica en la que

10

12

Ejemplo 11.2.2
Halle la suma delos 10 primeros términos de la serie indicada, grafique en un mismo plano la
sucesión y la serie e indique si las gráficas muestran convergencia o divergencia y averigua si es o
no convergente.

Tabla de valores de la sucesión y la serie

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0,29289322
0,12975651
0,07735027
0,0527864
0,03896531
0,03028382
0,02441108
0,02022006
0,01710557
0,01471642

0,29289322
0,42264973
0,5
0,5527864
0,59175171
0,62203553
0,64644661
0,66666667
0,68377223
0,69848866

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0

2

4

sucesión 6 serie

8

10

12

Como puede notarse la sucesión tiende a cero es decir al parecer converge y la suma de la serie
parece también converger
Confirmación analítica:
Para la sucesión

Para la serie
Al hallar la suma se tiene:

Se nota que solo quedará el primer término del primer paréntesis. Entonces la serie converge y su
suma es 1.
Ejemplo 11.2.3
Determine si converge o no cada una de las siguientes series. En caso de convergencia halle la
suma.

Solución:
a) Esta es un serie geométrica que se puede escribir como:
La razón es
La suma es

Entonces la serie diverge

Ejemplo 11.2.4
Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y determine si convergente o no. Si
es convergente halle la suma.

Como se debe expresar como una suma telescópica se transforma en una suma de
fracciones parciales con denominadores con factores simples no repetidos así:

Los valores de A y B son respectivamente 1 y -1

De la suma se nota que los elementos que quedan son:

Ejemplo 11.2.5
Exprese el número como una razón de enteros

Se expresa el número como una suma de números racionales

Al resolverlo todo se tiene:

NOTAS ADICIONALES REFERENTES A DERIVE
 Para averiguar los valores de una sucesión se utiliza el comando ≔
El cual es para asignación de vectores y matrices
Ejemplo: ingrese la siguiente sucesión dada y averigua los 8 primeros términos y la
suma de estos.

Se digita así
a(n)≔(3n^2 +5)/(n^2)
Para ver los 8 términos se digita así vector(a(n),n,8) luego oprima el botón =
Para saber la suma se digita así
sum(vector(a(n),n,8))

 Para descomponer una fracción en parciales, solo basta introducir la fracción
original en el editor y oprimir el botón Simplificar (en la parte superior) aparece un
submenú selecciones la opción Expandir e inmediatamente se abre una ventana y
seleccione Racional y luego Expandir
 Para dividir dos polinomios y hallar su cociente se utilizan las instrucciones
quotient y remainder de la siguiente forma
Se introducen los polinomios a dividir y luego se dan las instrucciones
Ejemplo
Hallar el cociente y el residuo de dividir
Se digita polinomio dividendo al cual le denomino p
p≔x^4-2x^3+5x+1
Se digita el polinomio divisor al cual le denomino q
q≔x^3+2x
Ahora se utilizan las instrucciones mencionadas
[quotient(p,q),remainder(p,q)]

y se oprime el botón igual en la parte superior

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