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TEMA 4: DIVISIBILIDAD

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

Llamamos múltiplo de un número “a”, al resultado que nos da al
multiplicar ese número “a” por otro número cualquiera.

Ejemplo: 10 es múltiplo de 2, porque 10 = 5 · 2
       21 es múltiplo de 3 porque 21 = 3 · 7
       21 es múltiplo de 7 porque 21 = 7 · 3

Por tanto puedes obtener todos los múltiplos que quieras de un
número multiplicando dicho numero por cada una de los números
naturales
Para expresar los múltiplos de un número, escribe el número entre
paréntesis y ponle encima un punto, por ejemplo así :

(5) = (0, 5, 10, 15, 20 ...)

1º) Calcula los siete primeros múltiplos de:

(2) = (

(3) = (

(8) = (

(10) = (

(12) = (

2º) Averigua si el primer número es múltiplo del segundo:

30 y 5                  27 y 9                 9y3           36 y 7


40 y 9            35 y 7                 21 y 8             40 y 10

3º) Inventa un múltiplo de cada uno de estos números:

7           14             20            200            350
4º) Busca entre estos números cuatro múltiplos de 6:

     17     24 30     43    54      66   76

5º) Añade cuatro términos a cada una de estas series:

a) 4, 8, 12 ,.....
b) 15, 30, 45,....
c) 18, 36, 54 ....
DIVISORES DE UN NÚMERO

Un número “ a” es divisor de otro “b”, si la división de “b”
    entre “a” es exacta

Ejemplo: 4 es divisor de 12 porque al dividir 12 entre 4 da exacto
        3 es divisor de 15 porque al dividir 15 entre 3 da exacto

Puedes calcular todos los divisores de un número así:
       1º Uno y el propio número son dos de sus divisores
       2º Probar dividiendo entre 2, 3, 4, 5 etc. Cuando
       encuentres un número que sea divisor, el cociente
       también lo es.
       3º Termina de dividir cuando encuentres un cociente igual
       o menor que el divisor.

Para expresar todos los divisores de un número se pone una D y el
número entre paréntesis.

Ejemplo: D(6) = (1, 2, 3 y 6)

1º) Halla todos los divisores de:
D(12)=
D(20)=
D(8)=
D(13)=
D(10)=
D(40)=
D(36)=
D(21)=
2º) Comprueba en cada caso si el primer número es divisor del
segundo:
6 y 19              5 y 45            20 y 80          8 y 27

3 y 21                10 y 100         10 y 5            3y 9

6y6                         1y9              12 y 72            13 y
39

3º) Averigua si el primer número es múltiplo del segundo:

100 y 5               1200 y 30              1485 y 33

723 y 3               845 y 5                387 y 6

4º) ¿Puedes llenar con un depósito de 80 litros un número exacto
de garrafas de 4 litros?


5º) Una habitación mide 8 m de larga. ¿Caben un número exacto
de baldosas de 16 cm de longitud?
NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Un número es primo si sus únicos divisores son el 1 y el
mismo número.

Ejemplo: 7 es número primo porque sólo se puede dividir entre 1 y
entre 7.
           11 es número primo porque sólo se puede dividir entre 1
y entre 11.

Un número es compuesto si además del 1 y del propio
número tiene otros divisores.

Ejemplo: 6 es un número compuesto porque además del 1 y del 6
tiene otros divisores, el 2 y el 3 .
            9 es un número compuesto porque además del 1 y del 9
tiene otro divisor ,el 3.

1º) Calcula los siete primeros números primos
2º)Calcula todos los divisores de estos números e indica cuáles son
primos y cuáles son compuestos:
13          21         17          11        26          36
24          43         19          49        27          39


3º)Los divisores de un número son : 1, 2, 19 y 38
¿Es un número primo ó compuesto?


4º) Averigua si son primos estos números

66         37          123        300         1012


5º) ¿Se pueden empaquetar 47 libros en paquetes de 5 libros cada
uno sin que sobre ninguno?.Razona tu respuesta


6º) ¿Se podrían embotellar 39 litros de agua en botellas de 3 litros?
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 (es decir, se puede dividir entre 2 y
da exacto) cuando termina en cero o cifra par.
Ejemplo: 346 es divisible por 2 por que termina en cifra par .
       530 también es divisible entre 2 porque termina en 0
       (compruébalo dividiendo entre 2).


Un número es divisible por 3 cuando sumando el valor
absoluto de sus cifras da 3 o múltiplo de 3.
Ejemplo: 216 es divisible entre 3, porque si sumamos sus cifras: 2 +
1 +6 da 9 y 9 es             múltiplo de 3. (Compruébalo dividiendo
216 entre 3)


Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5
Ejemplo: 8950 es divisible entre cinco porque termina en 0
          735 es divisible entre 5 porque termina en 5
      (Comprueba los dos ejemplos haciendo la división entre 5)


Un número es divisible por 10 cuando termina en cero
Ejemplo: 380 es divisible entre 10 porque termina en 0
       1200 es divisible por 10 porque termina en cero


1) Di entre qué números son divisibles estos: (Colócalos en la tabla)
321, 146, 4620, 315, 230, 1000, 1110, 523, 3330 , 650,

 Divisible por 2      Divisible por 3     Divisible por 5   Divisible por 10
2) Sin hacer la operación, di si se pueden repartir 570 céntimos
entre dos niños sin que sobre ninguno. ¿Por qué?

3) Esos mismos 570 céntimos se podrían repartir entre 3 niños,
¿sobraría alguno? ¿Por qué? ¿Y entre 5 niños sobraría algún
céntimo? ¿Por qué?




4) Escribe 4 números que sean divisibles por 2, otros cuatro que
sean divisibles por 3 y otros cuatro que sean divisibles por 5

Divisibles por 2 =__________________________________

Divisibles por 3 =_____________________________

Divisibles por 5 = ____________________________

Comprueba que son ciertos los números que has escrito haciendo
las correspondientes divisiones.


5) ¿Cabria el 5 un número exacto de veces dentro del 65? (responde
sin hacer operación ninguna y explica por qué)


6) ¿Y el 2 cabría un número exacto de veces dentro del 48?

¿Le pasaría lo mismo al 3 dentro del 300?

¿Cabria el 3 dentro del 63?


7) Busca un número que quepa una cantidad exacta de veces en:

a)45=                  b)96=                  220=             435=
8) Contesta SI o NO, haciendo a la derecha las operaciones que
necesites.

a)¿Es 330 múltiplo de 55?       _____
b) ¿es 20 múltiplo de 5?       _____
c) ¿Es 11 múltiplo de 3?       _____
d) ¿es 6 divisor de 24?         ____
e) ¿Es 35 múltiplo de 5?         _____




MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Mínimo común múltiplo de dos o más números, significa que hay
que encontrar el múltiplo más pequeño que sea común a dos o más
números.

Ejemplo: Queremos encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.)
de (3 y de 4), pues bien, buscamos múltiplos de 3 y múltiplos de 4
así:

     (3) = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ...)

     (4) = (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)

Si te fijas bien hemos encontrado dos múltiplos que sirven para el 3
y para el 4 que son el 12 y el 24, podíamos haber encontrados
muchos más, pero como sólo nos interesa el mínimo (más
pequeño) común (que sirva para los dos) múltiplo pues
tendremos que coger el 12 .
       Por tanto el m.c.m. de (3 y 4) es 12.
       ¿Te ha quedado claro? Si tienes dudas lee otra vez muy
detenidamente hasta que lo comprendas.
Ahora hazlo tú.
9) Calcula el m.c.m. de :

a) (5 y 6)=


b) (3 y 10)=


c) (6 y 12)=


d) (4, 5 y 6)=


e) (10, 20 y 30)
MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Máximo común divisor de dos o más números, significa que hay que
encontrar el divisor más grande de todos los que sean comunes a
esos números.

Ejemplo: Queremos encontrar el máximo común divisor (m.c.d.) de
(12 y 16), pues bien, buscamos todos los divisores de 12 y de 16.

D(12) = (1, 2, 3, 4, 6, y 12)

D(16) = (1, 2, 4, 8 y 16)

Si te fijas bien hemos encontrado tres divisores el 1 el 2 y el 4 que
sirven para los dos números, es decir son comunes, pues bien, de
esos divisores comunes ¿cuál es el mas grande? ... el 4 ¿no? Pues
ese es el máximo común divisor

Por tanto el m.c.d. de (12 y (16) es 4

¿Lo has entendido? ¿no?, pues vuelve a leerlo otra vez hasta que lo
comprendas.

Ahora hazlo tú.

10) Busca el m.c.d de :

(4 y 6) =

(8 y 12) =

(18 y 27) =

(20, 30 y 15)



DESCOMPONER UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS
Para descompone r un número en factores primos, a lo que
también se le llama factorizar, lo dividimos entre los
números primos por orden: primero entre 2, tantas veces
como se pueda, después entre 3, después entre 5 etc. Y así
sucesivamente hasta obtener de cociente un 1:

Ejemplo: Descomponer en factores primos 600

  600     2
  300     2
  150     2
   75     3         600 = 23 · 3 · 52
   25     5
    5     5
    1


11) Descompón en factores primos:

a) 24                                    b) 36


c) 100                                           d) 230


e) 450                                           f) 540


CALCULO DEL M.C.M. POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o
más números:
        1. Se descomponen los números en sus factores
           primos
        2. Se cogen los factores comunes y no comunes con
           mayores exponentes y se multiplican.

Ejemplo: Calcula el m.c.m. de 20 y 30

Descomponemos el 20 y el 30
20     2                30      2         20 =22 · 5
  10     2                15      3         30 =2 · 3 · 5
   5     5                 5      5
   1                        1
   Una vez descompuesto cogemos los factores que sean comunes
  y los no comunes con sus mayores exponentes y los
  multiplicamos, así
                     m.c.m. = 22 · 3 · 5 = 60




12) Halla el m.c.m. de:

a) (6 y 8)

b) (10, y 30)

c) (150, y 350)

d) (100, 260 y 300)


CALCULO DEL M.C.D. POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Para calcular el máximo común divisor (M.C.D.) de dos o
más números:
        1. Se descomponen en sus factores primos
        2. Se cogen los factores comunes con menores
           exponentes y se multiplican.

Ejemplo: Calcula el M.C.D. de 20 y 30

Descomponemos el 20 y el 30

  20         2              30     2     20 =22 · 5
10           2            15   3      30 =2 · 3 · 5
  5           5              5   5
   1                         1

  Una vez descompuesto cogemos los factores que sean comunes
  con sus menores exponentes y los multiplicamos, así:
               M.C.D. = 2 · 5 = 10




13) Calcula el m.c.d. de:

a) (24 y 12)

b) (8 y 32)

c) (30, 20 y 10)

d) (120 , 80, 160)

e) (300, 200 y 500)
CRITERIOS DE EVALUACIÓN


1º) Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro.

2º) Obtiene los divisores de un numero

3º) Inicia la serie de múltiplos de un número

4º) Identifica los números primos menores de 30 y justifica por qué
lo son

5º) Identifica en un conjunto de números los múltiplos de 2, 3, 5 y
10.

6º) Descompone números en factores primos

7º) Obtiene el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números mediante
su descomposición en factores primos.
TEST DE AUTOEVALUACIÓN

1º) Halla todos los divisores de :

     D(15) =
     D(20) =
     D(48) =

2º) Halla los 8 primeros múltiplos de: 8 y de 9

3º) ¿Es divisible por?
       2 3        5 10      6
12
18
325
243
1.11
0


4º) Escribe los números primos menores de 30

5º) Haz la descomposición factorial de estos números:
            a) 28           b) 360                c)100

6º) Indica que números representan estas descomposiciones
factoriales

     a) 23 · 34 =               b) 22 · 32 · 5 =     c) 3 · 5 3 =


7º) Calcula el m.c.d. de:

  a)(64 y 56)                         b) (28 y 32)


8º) Calcula el m.c.m. de :

     a) (24 y 36)               b) (10, 25 y 60)

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Divisibilidad

  • 1. TEMA 4: DIVISIBILIDAD MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Llamamos múltiplo de un número “a”, al resultado que nos da al multiplicar ese número “a” por otro número cualquiera. Ejemplo: 10 es múltiplo de 2, porque 10 = 5 · 2 21 es múltiplo de 3 porque 21 = 3 · 7 21 es múltiplo de 7 porque 21 = 7 · 3 Por tanto puedes obtener todos los múltiplos que quieras de un número multiplicando dicho numero por cada una de los números naturales Para expresar los múltiplos de un número, escribe el número entre paréntesis y ponle encima un punto, por ejemplo así : (5) = (0, 5, 10, 15, 20 ...) 1º) Calcula los siete primeros múltiplos de: (2) = ( (3) = ( (8) = ( (10) = ( (12) = ( 2º) Averigua si el primer número es múltiplo del segundo: 30 y 5 27 y 9 9y3 36 y 7 40 y 9 35 y 7 21 y 8 40 y 10 3º) Inventa un múltiplo de cada uno de estos números: 7 14 20 200 350
  • 2. 4º) Busca entre estos números cuatro múltiplos de 6: 17 24 30 43 54 66 76 5º) Añade cuatro términos a cada una de estas series: a) 4, 8, 12 ,..... b) 15, 30, 45,.... c) 18, 36, 54 .... DIVISORES DE UN NÚMERO Un número “ a” es divisor de otro “b”, si la división de “b” entre “a” es exacta Ejemplo: 4 es divisor de 12 porque al dividir 12 entre 4 da exacto 3 es divisor de 15 porque al dividir 15 entre 3 da exacto Puedes calcular todos los divisores de un número así: 1º Uno y el propio número son dos de sus divisores 2º Probar dividiendo entre 2, 3, 4, 5 etc. Cuando encuentres un número que sea divisor, el cociente también lo es. 3º Termina de dividir cuando encuentres un cociente igual o menor que el divisor. Para expresar todos los divisores de un número se pone una D y el número entre paréntesis. Ejemplo: D(6) = (1, 2, 3 y 6) 1º) Halla todos los divisores de: D(12)= D(20)= D(8)= D(13)= D(10)= D(40)= D(36)= D(21)=
  • 3. 2º) Comprueba en cada caso si el primer número es divisor del segundo: 6 y 19 5 y 45 20 y 80 8 y 27 3 y 21 10 y 100 10 y 5 3y 9 6y6 1y9 12 y 72 13 y 39 3º) Averigua si el primer número es múltiplo del segundo: 100 y 5 1200 y 30 1485 y 33 723 y 3 845 y 5 387 y 6 4º) ¿Puedes llenar con un depósito de 80 litros un número exacto de garrafas de 4 litros? 5º) Una habitación mide 8 m de larga. ¿Caben un número exacto de baldosas de 16 cm de longitud? NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Un número es primo si sus únicos divisores son el 1 y el mismo número. Ejemplo: 7 es número primo porque sólo se puede dividir entre 1 y entre 7. 11 es número primo porque sólo se puede dividir entre 1 y entre 11. Un número es compuesto si además del 1 y del propio número tiene otros divisores. Ejemplo: 6 es un número compuesto porque además del 1 y del 6 tiene otros divisores, el 2 y el 3 . 9 es un número compuesto porque además del 1 y del 9 tiene otro divisor ,el 3. 1º) Calcula los siete primeros números primos
  • 4. 2º)Calcula todos los divisores de estos números e indica cuáles son primos y cuáles son compuestos: 13 21 17 11 26 36 24 43 19 49 27 39 3º)Los divisores de un número son : 1, 2, 19 y 38 ¿Es un número primo ó compuesto? 4º) Averigua si son primos estos números 66 37 123 300 1012 5º) ¿Se pueden empaquetar 47 libros en paquetes de 5 libros cada uno sin que sobre ninguno?.Razona tu respuesta 6º) ¿Se podrían embotellar 39 litros de agua en botellas de 3 litros?
  • 5. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por 2 (es decir, se puede dividir entre 2 y da exacto) cuando termina en cero o cifra par. Ejemplo: 346 es divisible por 2 por que termina en cifra par . 530 también es divisible entre 2 porque termina en 0 (compruébalo dividiendo entre 2). Un número es divisible por 3 cuando sumando el valor absoluto de sus cifras da 3 o múltiplo de 3. Ejemplo: 216 es divisible entre 3, porque si sumamos sus cifras: 2 + 1 +6 da 9 y 9 es múltiplo de 3. (Compruébalo dividiendo 216 entre 3) Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en 5 Ejemplo: 8950 es divisible entre cinco porque termina en 0 735 es divisible entre 5 porque termina en 5 (Comprueba los dos ejemplos haciendo la división entre 5) Un número es divisible por 10 cuando termina en cero Ejemplo: 380 es divisible entre 10 porque termina en 0 1200 es divisible por 10 porque termina en cero 1) Di entre qué números son divisibles estos: (Colócalos en la tabla) 321, 146, 4620, 315, 230, 1000, 1110, 523, 3330 , 650, Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 10
  • 6. 2) Sin hacer la operación, di si se pueden repartir 570 céntimos entre dos niños sin que sobre ninguno. ¿Por qué? 3) Esos mismos 570 céntimos se podrían repartir entre 3 niños, ¿sobraría alguno? ¿Por qué? ¿Y entre 5 niños sobraría algún céntimo? ¿Por qué? 4) Escribe 4 números que sean divisibles por 2, otros cuatro que sean divisibles por 3 y otros cuatro que sean divisibles por 5 Divisibles por 2 =__________________________________ Divisibles por 3 =_____________________________ Divisibles por 5 = ____________________________ Comprueba que son ciertos los números que has escrito haciendo las correspondientes divisiones. 5) ¿Cabria el 5 un número exacto de veces dentro del 65? (responde sin hacer operación ninguna y explica por qué) 6) ¿Y el 2 cabría un número exacto de veces dentro del 48? ¿Le pasaría lo mismo al 3 dentro del 300? ¿Cabria el 3 dentro del 63? 7) Busca un número que quepa una cantidad exacta de veces en: a)45= b)96= 220= 435=
  • 7. 8) Contesta SI o NO, haciendo a la derecha las operaciones que necesites. a)¿Es 330 múltiplo de 55? _____ b) ¿es 20 múltiplo de 5? _____ c) ¿Es 11 múltiplo de 3? _____ d) ¿es 6 divisor de 24? ____ e) ¿Es 35 múltiplo de 5? _____ MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Mínimo común múltiplo de dos o más números, significa que hay que encontrar el múltiplo más pequeño que sea común a dos o más números. Ejemplo: Queremos encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de (3 y de 4), pues bien, buscamos múltiplos de 3 y múltiplos de 4 así: (3) = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ...) (4) = (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) Si te fijas bien hemos encontrado dos múltiplos que sirven para el 3 y para el 4 que son el 12 y el 24, podíamos haber encontrados muchos más, pero como sólo nos interesa el mínimo (más pequeño) común (que sirva para los dos) múltiplo pues tendremos que coger el 12 . Por tanto el m.c.m. de (3 y 4) es 12. ¿Te ha quedado claro? Si tienes dudas lee otra vez muy detenidamente hasta que lo comprendas.
  • 8. Ahora hazlo tú. 9) Calcula el m.c.m. de : a) (5 y 6)= b) (3 y 10)= c) (6 y 12)= d) (4, 5 y 6)= e) (10, 20 y 30)
  • 9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Máximo común divisor de dos o más números, significa que hay que encontrar el divisor más grande de todos los que sean comunes a esos números. Ejemplo: Queremos encontrar el máximo común divisor (m.c.d.) de (12 y 16), pues bien, buscamos todos los divisores de 12 y de 16. D(12) = (1, 2, 3, 4, 6, y 12) D(16) = (1, 2, 4, 8 y 16) Si te fijas bien hemos encontrado tres divisores el 1 el 2 y el 4 que sirven para los dos números, es decir son comunes, pues bien, de esos divisores comunes ¿cuál es el mas grande? ... el 4 ¿no? Pues ese es el máximo común divisor Por tanto el m.c.d. de (12 y (16) es 4 ¿Lo has entendido? ¿no?, pues vuelve a leerlo otra vez hasta que lo comprendas. Ahora hazlo tú. 10) Busca el m.c.d de : (4 y 6) = (8 y 12) = (18 y 27) = (20, 30 y 15) DESCOMPONER UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS
  • 10. Para descompone r un número en factores primos, a lo que también se le llama factorizar, lo dividimos entre los números primos por orden: primero entre 2, tantas veces como se pueda, después entre 3, después entre 5 etc. Y así sucesivamente hasta obtener de cociente un 1: Ejemplo: Descomponer en factores primos 600 600 2 300 2 150 2 75 3 600 = 23 · 3 · 52 25 5 5 5 1 11) Descompón en factores primos: a) 24 b) 36 c) 100 d) 230 e) 450 f) 540 CALCULO DEL M.C.M. POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números: 1. Se descomponen los números en sus factores primos 2. Se cogen los factores comunes y no comunes con mayores exponentes y se multiplican. Ejemplo: Calcula el m.c.m. de 20 y 30 Descomponemos el 20 y el 30
  • 11. 20 2 30 2 20 =22 · 5 10 2 15 3 30 =2 · 3 · 5 5 5 5 5 1 1 Una vez descompuesto cogemos los factores que sean comunes y los no comunes con sus mayores exponentes y los multiplicamos, así m.c.m. = 22 · 3 · 5 = 60 12) Halla el m.c.m. de: a) (6 y 8) b) (10, y 30) c) (150, y 350) d) (100, 260 y 300) CALCULO DEL M.C.D. POR DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Para calcular el máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números: 1. Se descomponen en sus factores primos 2. Se cogen los factores comunes con menores exponentes y se multiplican. Ejemplo: Calcula el M.C.D. de 20 y 30 Descomponemos el 20 y el 30 20 2 30 2 20 =22 · 5
  • 12. 10 2 15 3 30 =2 · 3 · 5 5 5 5 5 1 1 Una vez descompuesto cogemos los factores que sean comunes con sus menores exponentes y los multiplicamos, así: M.C.D. = 2 · 5 = 10 13) Calcula el m.c.d. de: a) (24 y 12) b) (8 y 32) c) (30, 20 y 10) d) (120 , 80, 160) e) (300, 200 y 500)
  • 13. CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1º) Reconoce si un número es múltiplo o divisor de otro. 2º) Obtiene los divisores de un numero 3º) Inicia la serie de múltiplos de un número 4º) Identifica los números primos menores de 30 y justifica por qué lo son 5º) Identifica en un conjunto de números los múltiplos de 2, 3, 5 y 10. 6º) Descompone números en factores primos 7º) Obtiene el m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números mediante su descomposición en factores primos.
  • 14. TEST DE AUTOEVALUACIÓN 1º) Halla todos los divisores de : D(15) = D(20) = D(48) = 2º) Halla los 8 primeros múltiplos de: 8 y de 9 3º) ¿Es divisible por? 2 3 5 10 6 12 18 325 243 1.11 0 4º) Escribe los números primos menores de 30 5º) Haz la descomposición factorial de estos números: a) 28 b) 360 c)100 6º) Indica que números representan estas descomposiciones factoriales a) 23 · 34 = b) 22 · 32 · 5 = c) 3 · 5 3 = 7º) Calcula el m.c.d. de: a)(64 y 56) b) (28 y 32) 8º) Calcula el m.c.m. de : a) (24 y 36) b) (10, 25 y 60)