Fuente con fines únicamente pedagógicos

1. IED FERNANDO GONZALEZ OCHOA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
DOCENTE ALVARO BAQUERO SOLER
El presente taller se debe entregar en hojas cuadriculadas en la fecha estipulada por el docente, por
ningún motivo se recibirá la solución en el cuaderno.
1.- DIVISIBILIDAD. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Cuando al dividir dos números entre sí la división resulta exacta, decimos que entre ambos números
existe una relación de divisibilidad.
Ejemplos: 20 |5 20 y 5 son divisibles
0 4
23 |5 23 y 5 no son divisibles
3 4
Cuando dos números son divisibles, al mayor de ellos le llamamos múltiplo y al menor divisor.
Ejemplos: 20 es múltiplo de 5 → se escribe 20 = M(5)
5 es divisor de 20 → se escribe 5 = D(20)
1.1. Múltiplos de un número: Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por
cualquier otro número natural.
Ejemplos: 32 es múltiplo de 16 porque 16.2 = 32 → 32 = M(16)
75 es múltiplo de 25 porque 25.3 = 75 → 75 = M(25)
35 no es múltiplo de 6, porque no hay ningún número natural que multiplicado por 6
nos de 35
a . k es un múltiplo de a → M (a)
Todo número a es múltiplo de sí mismo y de la unidad
Actividades:
• Escribe cinco múltiplos de 17
• Escribe cuatro múltiplos de 21
• Di cuáles de estos números son múltiplos de 3: 21, 9, 16, 32, 15, 90, 80, 123, 60
1.2. Divisores de un número: Son otros que caben en él una cantidad exacta de veces.la letra D significa
divisor
Ejemplos: 2 es divisor de 8 porque 2+2+2+2 = 2.4 = 8 → 2 = DIVISOR (8)
Como consecuencia de ello 8 : 2 = 4 (un nº exacto de veces)
a = D(b) cuando a . n = b
Todo número es divisor de sí mismo. Ejemplo: 7=D (7) porque 7:7=1
El 1 es divisor de cualquier número. Ejemplo: 1=D (63) porque 63:1=63
Actividades:
• Escribe todos los divisores de 4 y de 10
• Escribe todos los divisores de 4, 8, 10, 50 y 24
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• Escribe todos los divisores de 20, de 12 y de 25
• Escribe 5 divisores de 100, 200, 80 y 300
• Escribe 3 divisores comunes de 24, 84 y 36
2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
2.1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 cuando la cifra de las unidades es 0, 2 ó múltiplo
de 2.
Ejemplos: 124 358 1456 20 5200
2.2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es 3 ó múltiplo
de 3.
Ejemplos: 24 = M(3) → 2 + 4 = 6 y 6 = M(3)
1455 = M(3) → 1 + 4 + 5 + 5 = 15 y 15 = M(3)
2.3. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es 0 ó 5
Ejemplos: 25 30 1250 2465 3200
Actividades:
• De los siguientes números di cuales son múltiplos de 2, de 3 y de 5:
240 321 52 69 250 390
3. NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
• Los números que pueden descomponerse en factores (divisores, excepto la unidad y él mismo), se
llaman números compuestos.
Ejemplos: 20 = 4.5 = 2.2.5 8 = 2.2.2 12 = 3.4 = 3.2.2
• Los números que no pueden descomponerse en factores se llaman números primos.
Ejemplos:
7 = 7.1 no existen dos números naturales (salvo el 7 y el 1) que multiplicados nos den 7
5 = 5.1 no existen dos números naturales (salvo el 5 y el 1) que multiplicados nos den 5
23 = 23.1 no existen dos números naturales (salvo el 23 y el 1) que multiplicados nos den 23
4.- DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS
Ejemplo: 360 | 2 Se expresa de la siguiente forma:
180 | 2
2

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90 | 2 360 = 2³. 3². 5
45 | 3
15 | 3 También se puede hacer así:
5 | 5
1 360 | 2_
16 180 | 2_
00 00 90 | 2_
10 45 |3_
0 15 15 |3
0 0 5 |5
Actividades:
• Descompón en producto de factores primos:
a) 380 b) 280 c) 2500 d) 400 e) 5500
f) 420 g) 2210 h) 270 i) 700 j) 3600
5.- MÁXIMO COMUN DIVISOR (m.c.d.) DE DOS O MÁS NÚMEROS
Es el mayor de los divisores comunes de dos o más números.
Ejemplo: m.c.d (20, 40, 60)
D(20) = 20,10, 5, 4, 2, 1
D(40) = 40, 20, 10, 8, 5, 4, 2, 1 Divisores comunes = 20, 10, 5, 4, 2, 1
D(60) = 60, 30, 20, 15,12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1 m.c.d (20, 40, 60) = 20
Forma práctica:
20 40 60 2
10 20 30 2
5 10 15 5 como todos tienen quinta les saco a todos quinta y ahí finalizo ya
1 2 3
Que no hay un número que divida a los 3 números al mismo tiempo
Se concluye que 20 es el M.C.D
Actividades:
a) Calcular el m.c.d. de 30, 60 y 90
b) Calcular el m.c.d. de 30, 45 y 60
c) Calcular el m.c.d. de 8, 12, 4 y 20
d) Calcular el m.c.d. de 12, 24 y 36
e) Calcular el m.c.d. de 20, 30, 40, 50 y 60
f) Calcular el m.c.d. de 56, 112 y 84
g) Calcular el m.c.d. de 500, 800 y 1000
h) Calcular el m.c.d. de 50, 200, 150 y 300
i) Bernardita quiere comenzar a vender bombones. Con lo que aprendió en su taller de chocolatería, hizo
32 bombones de trufa, 24 de frambuesa y 28 de manjar. ¿Cuántos paquetes con la misma cantidad de
bombones de cada tipo puede hacer?
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j) Una de las unidades del grupo scout necesita preparar cintas para una de las pruebas del campamento. Si
tienen dos cordeles, uno de 94 cm y otro de 64 cm,. ¿cuál es el mayor tamaño en que pueden cortar las
cintas de ambos cordeles, para que sean todas iguales?
k)
6.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) DE DOS O MÁS NÚMEROS
Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números.
Ejemplo: m.c.m. de 10, 15 y 20
M(10) = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, ...
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135 ... múltiplos comunes = 60, 120, ...
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, ... m.c.m (10, 15, 20) = 60
Forma práctica:
1º Se descomponen en producto de factores primos:
10 15 20 2 EL M.C.M ES 12 X 5 = 60
5 15 10 2 12
5 15 5 3
5 5 5 5 5
1 1 1
Actividades:
a) Calcular el m.c.m. de 20, 30 y 40.
b) Calcular el m.c.m. de 50, 100 y 120.
c) Calcular el m.c.m. de 40, 100, 200 y 240.
d) Calcular el m.c.m. de 100, 200 y 300
e) Calcular el m.c.m. de 30, 45, 60 y 90
f) Calcular el m.c.m. de 70, 14, 35 y 105
g) Un autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9 minutos y el de la línea B cada 12 minutos. Si
acaban de salir ambos a la vez, ¿cuánto tardarán en volver a coincidir?.
h) En un paradero del Transantiago, un bus pasa con una frecuencia de 18 minutos, otro cada 15 minutos y
un tercero cada 8 minutos. ¿Dentro de cuántos minutos, como mínimo, se encontrarán en el paradero?
i) Joaquín ha coleccionado estampillas de América y Europa. Las estampillas de América están agrupadas
en sobres de 24 estampillas cada uno y no sobra ninguna, mientras que las estampillas de Europa las ha
agrupado en sobres de 20 y tampoco sobran. Sabiendo que el número de estampillas es el mismo tanto
para América como para Europa, ¿cuántas estampillas como mínimo hay en cada caja?
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