a) El documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra lineal incluyendo el cuerpo ordenado de los números reales, desigualdades, intervalos reales e inecuaciones. b) Resuelve inecuaciones de primer y segundo grado determinando el intervalo de solución. c) Para inecuaciones con variables en el denominador, analiza los signos de los polinomios en cada intervalo para determinar donde la inecuación es verdadera.

1. Universidad San Sebastian
CURSO de ÁLGEBRA I
Unidad Inecuaciones
I.- EL CUERPO ORDENADO (R ,·,+):
DEF. : ∀ a, b ∈ R se define la relación "ser menor que" de modo que :
"a es menor que b " si y sólo si " b −a ∈ R + ”
NOT. : " a es menor que b " se anotará a < b.
Además se definen: 1) a ≤ b como equivalente a decir a < b ∨ a
= b.
2) a > b como equivalente a decir b < a.
3) a ≥ b como equivalente a decir a > b ∨ a = b.
y se leen respectivamente: "a es menor o igual que b"; "a es mayor que b";
"a es mayor o igual que b".
PRINCIPIOS DE ORDEN:
1.- DE ARQUÍMEDES: ∀a, b∈ R , con a < b, ∃ N ∈ Z / N·a > b.
Es decir: " Siempre se puede amplificar un número real tanto
como para que supere a otro ". En consecuencia, no existe un número real
SUPREMO ni INFIMO superior o inferior a todos los demás.
2.- DE DENSIDAD: ∀a, b∈ R , con a < b, ∃ r ∈ R / a < r < b.
Es decir: " Entre dos números reales siempre se encuentra otro
número real ".
3.- DE COMPACTITUD: ∀a, b∈ R , con a < b: [z tal que a < z < b] ⇒
[z∈ R ].
Es decir: "Entre dos números reales se encuentra sólo números
reales".
AXIOMAS DE ORDEN: La relación “ < “ en R , cumple los axiomas de:
1.- TRICOTOMÍA: ∀ a, b∈ R : a < b ∨ a = 0 ∨ a > b,
necesariamente.
Profesor: Hernán Carrasco Monge

2. 2
Luego : a) ∀ a∈ R : a < 0 ∨ a = 0 ∨ a > 0, o lo que será lo
mismo: a∈ R − ∨ a ∈ {0} ∨ a∈ R +.
b) Los números reales son TOTALMENTE ORDENADOS y se
pueden representar sobre una recta de modo que a cada
punto corresponda un real y viceversa.
2.- ADICIÓN: ∀ a,b ∈ R : Si a > 0,
y , b > 0 entonces (a + b) > 0.
“La suma de reales positivos, es positiva “.
3.- MULTIPLICACIÓN: ∀ a,b ∈ R : Si a > 0 ,
y, b > 0 entonces ab > 0.
“La multiplicación de reales positivos, es positiva “.
RELACIÓN DE ORDEN: La relación “≤” en R , se dice que es
una Relación de Orden porque cumple los siguientes tres
TEOREMAS:
1.- REFLEXIVIDAD : ∀ x∈ R : x ≤ x.
2.- ANTISIMETRÍA : ∀ x, y∈ R : si x ≤ y é y ≤ x, entonces x = y.
3.- TRANSITIVIDAD: ∀ x, y, z ∈ R : si x ≤ y é y ≤ z, entonces x ≤ z.
OBSERVACIONES :
a) La transitividad se cumple para “menor” y “mayor” estrictos.
b) ≥ también es relación de orden y , por tanto, cumple los tres teoremas.
II.- DESIGUALDADES :
DEF. : Llamaremos Desigualdad a toda comparación entre expresiones reales mediante
alguna de las relaciones de orden vistas ( <, ≤ , > , ≥ ) ; que sea verdadera
para todos los números reales en que tenga sentido.
EJEMPLOS : 1) x2 + y2 ≥ xy , ∀x, y∈ R. 2) x-2 > x , ∀x∈ R / −1 < x < 1.
DESIGUALDADES FUNDAMENTALES :
1.- ∀ a, b, c, d ∈ R :
a) Si a < b entonces a + c < b + c.
b) Si a < b y c > 0 entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.
c) Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.
2.- ∀ a, b, c, d∈ R +: Si a < b y c < d entonces ac < bd.
3.- ∀ a∈ R : a2 ≥ 0.
4.- ∀ a, b∈ R +: Si a < b entonces a2 < b2.

3. 3
5.- ∀ a, b∈ R +: Si a < b entonces a < b.
a+b
6.- ∀ a, b ∈ R +: a ⋅ b≤
2
.
III.- INTERVALOS REALES:
Como R se asocia biunívocamente con la recta numérica, cada subconjunto
continuo de números reales se asocia a un subconjunto continuo de puntos de la recta, es
decir, a un Intervalo Real, ya sea semirrecta o segmento.
1.- SEMIRRECTAS: Son conjuntos continuos acotados (limitados) sólo por un extremo.
a) Acotadas Inferiormente: [a, + ∞ [ = {x∈ R / x ≥ a }
]a, + ∞ [ = {x∈ R / x > a }
b) Acotadas Superiormente: ] − ∞, b] = {x∈ R / x ≤ b }
] − ∞, b[ = {x∈ R / x < b }
2.- INTERVALOS: Son conjuntos continuos acotados en ambos extremos. (Segmentos o
Trazos)
a) Abiertos: ] a, b [ = {x∈ R / a < x < b }
b)Cerrados: [ a, b ] = {x∈ R / a ≤ x ≤ b }
c)Semicerrados: [ a, b [ = {x∈ R / a ≤ x < b }
] a, b ] = {x∈ R / a < x ≤ b }
OBSERVACIONES:
i) ] − ∞ , + ∞ [ = R
ii) ] a , a [ = ∅
iii) [ a, a ] = {a }
iv) Los intervalos se operan como conjuntos que son, por ejemplo:
1) [ − 3, 4 [ / = R − [ −3, 4 [ = ] − ∞, − 3 [ ∪ [ 4, + ∞ [
2) Sean A = ]− 3, 2 ]; B = [ 1, 4 [; C = [ 0, 3 ]
Obtengamos: a) (A ∪ B ) - C
Resp.: ( A ∪ B ) = ] −3, 4 [
( A ∪ B ) − C = ] −3, 4 [ − [ 0, 3 ]
( A ∪ B ) − C = ] −3, 0 [ ∪ ] 3, 4 [

4. 4
b) (B ∩ A ) ∪ C
Resp.: (A∩ B) = [ 1, 2 ]
( A ∩ B ) ∪ C = [ 1, 2 ] ∪ [ 0, 3 ] = [ 0, 3 ]
(Ayúdese con una recta numérica)
IV.- INECUACIONES:
DEF.: Es una comparación por <, ≤, >, ≥ entre expresiones algebraicas que contienen
una o más variables incógnitas y que resulta verdadera sólo para algunos valores
reales de las variables. Al conjunto de estos valores se le llama CONJUNTO
SOLUCIÓN de la inecuación.
Resolver una inecuación significa determinar ese conjunto solución o
INTERVALO DE SOLUCIÓN, y se logra despejando o ACOTANDO a la o las
variables incógnitas recurriendo a las desigualdades fundamentales de un modo
análogo a como se resolvía ecuaciones.
A.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO:
DEF.: Son aquéllas reductibles a la forma general ax + b ? 0, con a > 0, y
donde ‘?’ es una de las relaciones <, ≤, >, ≥ .
SOLUCIÓN: ax +b ? 0, sumando −b a los miembros...
ax ? −b, y multiplicando por inverso de a > 0
b
x ? − , sin cambiar la desigualdad.
a
En conclusión, el conjunto solución de una inecuación de primer
grado siempre será una semirrecta. En el caso particular en que a = 0, la solución
será R ó ∅, según resulte una desigualdad numérica verdadera o falsa.
EJEMPLO : Resolvamos la inecuación:
3 ( x − 1 ) + (x + 2 )2 < (x + 1 ) ( x − 1 ) + 4
SOLUCIÓN :
3 ( x − 1 ) + (x + 2 )2 < (x + 1 ) ( x − 1 ) + 4
3x − 3 + x2 + 4x + 4 < x2 − 1 + 4
2
Se obtiene 7 x < 2, y luego : x <
7
2
y la solución es SI = ] − ∞, [
7
B.- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:
DEF.: Son aquéllas reductibles a la inecuación de forma general ax2 + bx +c ? 0,
con a > 0, y donde ‘?’ es una de las relaciones < , ≤, >, ≥ .
RESOLUCIÓN: Consideremos el polinomio p(x) = ax2 + bx + c, con a > 0
−b− ∆ −b+ ∆
, con ∆ = b − 4ac, las raíces de p(x) =
2
y sean x 1 = , y, x 2 =
2a 2a

5. 5
0.
Luego, si estas raíces son reales entonces el polinomio es factorizable como:
p(x) = a( x − x1)( x − x2) y como a > 0, su signo dependerá solamente de los
factores x − x1, y, x − x2.
Luego:
1º) Si ambos son mayores que 0, o ambos son menores que 0, se
obtendrá p(x) > 0.
2º) Si ambos difieren en signo, entonces se obtendrá p(x) < 0.
3º) Si alguno es igual a 0, resultará p(x) = 0.
Pero, ambos factores tienen igual signo cuando ocurre que: x < x1, o
cuando, x > x2.
Por otro lado, los factores difieren en el signo cuando ocurre que:
x1 < x < x2, es decir cuando x toma valores entre las raíces.
De todo lo anterior se concluye:
1º) Si la inecuación es p(x) > 0, su solución será el conjunto de reales
desde las raíces hacia los extremos, sin incluir a ellas.
Es decir: SI = ] − ∞,x1[ ∪ ]x2,+ ∞ [
o, de otro modo: SI = R − [x1, x2] y cuando es p(x) ≥ 0 , se
incluyen las raíces.
2º) Si p(x) < 0 entonces la solución será el conjunto de reales que se
encuentran entre las raíces.
Es decir: SI = ] x1 , x2 [ y si es p(x) ≤ 0, se incluyen las raíces.
RESUMEN:
Si x1, x2 son raíces reales de p(x) = ax2 + bx + c, con a > 0
(Si x1 = x2)
a) p(x) < 0 entonces SI = ]x1, x2[ ∅
b) p(x) ≤ 0 entonces SI = [x1, x2] { x1 }
c) p(x) > 0 entonces SI = R − [x1, x2] R − { x1 }
d) p(x) ≥ 0 entonces SI = R − ]x1, x2[ R
EJEMPLO Nº 1: (2x − 1)2 ≥ 6x − 3
SOLUCIÓN: 4x2 − 4x + 1 ≥ 6x − 3
4x2 − 10x + 4 ≥ 0
2x2 − 5x + 2 ≥ 0
Pero las raíces de p(x) = 2x2 − 5x + 2 son
1 1
x1 = y x2 = 2, luego la solución es SI = R − ] , 2[
2 2

6. 6
EJEMPLO Nº 2: 5(x + 6) − 2x( x − 1 ) ≥ 0
SOLUCIÓN: 5x + 30 − 2x2 + 2x ≥ 0
−2x2 + 7x + 30 ≥ 0 / ·(−1)
2x2 − 7 x − 30 ≤ 0
5
Las raíces de 2x2 - 7x - 30 = 0 son x1 = − y x2 = 6, y luego la
2
5
solución es : SI = [ − , 6]
2
C.- INECUACIONES CON VARIABLES EN EL DENOMINADOR:
p( x )
DEF.: Son aquéllas reductibles a la forma ? 0 donde p(x) y q(x) son
q( x )
polinomios y donde ‘?’ es una de las relaciones <, ≤, >, ≥ .
SOLUCIÓN: En general, se siguen los pasos siguientes:
1º.- Se busca las raíces de p(x) y q(x) que pasarán a ser los
valores críticos x1, x2, x3,..... xn para la solución, ordenados
de menor a mayor.
2º.- Se factoriza p(x) y q(x) en la forma: a(x−x1)(x −x2)...(x −xn),
con a > 0 para ambos polinomios.
3º.- Se secciona a la recta numérica real en intervalos cuyos
límites sean los puntos críticos para la solución.
4º.- Se analizan signos en la recta numérica para cada factor
polinomial en cada sección de la recta.
p ( x)
5º.- Se determina el signo del cuociente para cada sección o
q ( x)
intervalo de la recta.
6º.- Se obtiene la solución final uniendo los intervalos en los
cuales el cuociente tiene un signo coherente con la exigencia
de la inecuación. Se debe excluir los valores críticos que
hacen cero a q(x), aunque la inecuación no sea de
desigualdad estricta.

7. 7
x x
EJEMPLO Nº 1: resolvamos en los números reales : ≥
x− 2 x+3
x x
SOLUCIÓN : − ≥0
x− 2 x+ 3
x 2 + 3x − x 2 + 2x
≥0
( x − 2)( x + 3)
5x
≥ 0
( x − 2) ( x + 3)
x
≥ 0
( x − 2) ( x + 3)
Luego los valores críticos son: x1 = − 3 , x2 = 0 , x3 = 2.
Análisis de signos en recta numérica:
x ] −∞ , − 3 [ −3 ] − 3, 0 [ 0 ] 0, 2 [ 2 ] 2, + ∞
[
x+3
− 0 + + + + +
x
− − − 0 + + +
x− 2 − − − − − 0 +
x
− No ∃ + 0 − No ∃ +
( x + 3)( x − 2)
x
Como nos sirve el cuociente cuando es positivo o cero, de la
( x + 3)( x − 2)
última línea se extrae la solución:
SI = ] −3, 0] ∪ ] 2, + ∞ [
Note que los valores −3 y 2 indeterminan al cuociente pues el
denominador será cero cuando x asuma estos valores.
x−2
EJEMPLO Nº2: Determinemos los valores reales de x para los cuales ∈R .
x+3
SOLUCIÓN: Para que esto ocurra, el subradical debe ser no negativo (≥) y debemos
x− 2
resolver la inecuación: ≥ 0
x+ 3
Puntos críticos: x1 = − 3, x2 = 2
Análisis de signos en recta numérica:

8. 8
x ] −∞ , − 3 [ −3 ] − 3, 2 [ 2 ] 2, + ∞ [
x+3
− 0 + + +
x− 2 − − − 0 +
x−2
+ No ∃ − 0 +
x+3
Luego, de última línea:
SI = ] −∞ , −3 [∪ [ 2, + ∞ [ = R − [ −3, 2 [
x−2
En definitiva, para que ∈ R , x debe estar en R − [ −3, 2 [.
x+3
V.- VALOR ABSOLUTO:
Para todo número real a en R , se define el VALOR ABSOLUTO de a como:
 a , si a ≥ 0
DEF. Nº 1: a =
 − a , si a < 0
DEF. Nº 2: a = a 2 (Raíz Aritmética).
EJEMPLO : −7 = ( − 7) 2 = 49 = 7 por la DEF. Nº 2.
− 7 = − ( − 7) = 7 por la DEF. Nº 1 .
Observación: a2 ≠ ( a) 2
ya que a 2 = a , en cambio ( a) 2
=a.
PROPIEDADES:
( )
2 2
1.- a 2 = a 2 2.- a = a2 = a2
a a
3.- a ⋅ b = a ⋅ b 4.- = ,b≠ 0
b b
DEM. Nº 3 : a ⋅ b = ( ab ) 2 = a 2b 2 = a 2 b 2 = a ⋅ b
5.- a + b ≤ a + b , Desigualdad Triangular.
6.- ∀a∈ R +:x< a, equivale a decir: −a < x < a lo que significa que
x está en el intervalo ] −a, a [.
7.- ∀a∈ R +: x> a, equivale a decir : x > a, o bien, x < −a. Lo que
significa que x está en el intervalo R − [− a, a ] .

9. 9
PROBLEMAS RESUELTOS:
1.- Resuelva: 2x − 3  = 1 / ()2
RESP.: 2x − 3  = 1 / ( )2
(2x − 3 )2 = 1
1
4x2 − 12x + 8 = 0 / · 4
x2 − 3x + 2 = 0
x1 = 1, x2 = 2
∴S = { 1, 2 }
2.- Resuelva:  x − 3  =  2x − 5 
RESP.:  x − 3  =  2x − 5  / ( )2
( x − 3 )2 = ( 2x − 5 )2
x2 − 6x + 9 = 4x2 − 20x + 25
3x2 − 14x + 16 = 0
8
∴x1 = 2 , y, x2 = 3
{
∴S = 2, 3
8
}
3.- Resuelva:  x + 3  ≤ 5
RESP.:  x + 3  ≤ 5 / ( )2
x2 + 6x + 9 ≤ 25
x2 + 6x − 16 ≤ 0
∴x1 = − 8 , y, x2 = 2
∴ SI = [− 8, 2]
3 − 2x
4.- Resuelva: <4
2+x
RESP.: Por propiedad Nº6 de valor absoluto :
3 − 2x
−4< <4
2+x
3 − 2x
Luego : a) > −4
2+x
3 − 2x
+4>0
2+x
2x + 11
>0
x+2
11
∴x1 = − , y, x2 = −2
2
11
y, por cuadro de signos : S1 = R − [− , −2]
2
3 − 2x
b) <4
2+x
3 − 2x
−4<0
2+x

10. 10
− 6x − 51
<0 /·(−1)
x+2
6x + 5
>0
x+2
5
∴x1 = −2 , y, x2 = −
6
5
y, por cuadro de signos: S2 = R − [− 2, − ]
6
finalmente, la solución final será S1 ∩S2 =
- 11 -2 -5
6
2
11 5
∴ SF = R − [− ,− ]
2 6
GUIA DE DESIGUALDADES
SOLUCIONES
1 
1) 2 x 2 − 3x + 1 < 0  2 ,1
 
2) x − 2 + 2 − x <1 x = 2
5 
3) 2x − 3 < 2 − x  3 ,2 
 
4) x2 + x +1 > x − 2 IR
x +1
5) <0 ]− ∞,−1[
x + x +1
2
 1 13 + 8 2 
6) 6 x − 2 − 2 ≤ 3x − 1  , 
3 3 
 5 1
7) 3x + 2 ≥ 3 IR -  - , 
 3 3
+
8) 2 x + 1 ≤ 3x + 1 IR 0
 3 1
9) x + 1 ≤ 2 + 3x IR -  - ,− 
 4 2

11. 11
 11 5 
10) 3x − 5 − 2 x − 6 < 5 x + 8 − 4 IR - - ,− 
 4 6
x 1
11) ≥ IR - {1}
x -1 x −1
x x −1 x−2
12) − 2 ≤ ]- ∞,-2[ ∪ ] 2,3]
x+2 x −4 x+2
x 2x − 3  1   7 − 13 7 + 13 
13) + ≥0 IR -  ,1 ∪  , 
1 − 2x x −1 2   6 6 
x 3 − 26 x 2 + 25 x
>x ]- ∞,0[
( x 2 + x + 1)( 2 x − 2)
14)
3
15) − 12 < ( 2 − x) ) ≤ 24 [ − 30,18[
4
16) x ≥ x x−4 φ
17) x − 4 < −3 φ
1
18) 3x + 5 > − IR
2
x −2 x −3
19) > IR - { 0}
x +2 x +3
x 2 − 2x + 5 1
20) > IR - { 2,3}
x 2 − 5x + 6 5
x 2 − 5x + 3  3 7 
21) ≤3  - ∞, 2  ∪  2 , ∞ 
x 2 + 5x − 1    
x −1 − 2
22) ≥1 φ
x−2 +3
4 − x −1  13 
<5 1, 4  ∪ ]5, ∞[
23)
2 − x −1  

12. 12
I) Determinar si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas :
1) ( ∀ a , b ∈ ℜ ) ( a < b ⇒ a 2 < b 2 )
2) ( ∀ a , b ∈ ℜ ) ( a 2 < b 2 ⇒ a < b )
3) ( ∀ n ∈ Ν )( ∀a, b ∈ ℜ ) ( a n < b n ⇒ a < b )
4) ( ∀a ∈ ℜ ) ( a < a 2 )
5) ( ∀a ∈ ℜ + ) < 1
1 
a 
6) ( ∀a, b ∈ ℜ )( a < b ⇒ a 2 < b 2 )
+
 1 1
7) ( ∀a, b ∈ ℜ - {0})  a < b ⇒ > 
 a b
8) ( ∀a, b ∈ ℜ + ) a < b ⇒ > 
 1 1
 a b
9) ( ∀a, b ∈ ℜ + )
 1 1
< 
a+b a
10) ( ∀a, b ∈ ℜ + )
 1 1
< 
 ab a 
I.- En cada caso demuestre que la desigualdad se cumple bajo
las condiciones dadas:
1.- Demuestre que: ∀ a, b∈IR: [a > b ∧ c < 0 ] ⇒ ac < bc.
2.- ∀ a,b,x,y∈IR, si a2 + b2 = 1 ∧ x2 + y2 = 1, entonces ax + by ≤1.
3.- ∀ a,b,c,d∈IR + , demuestre que ( a2 + b2 + c2 + d2 )2 ≥ 16abcd.
4.- Si a,b∈IR + ∧ a2 + b2 = 4, demuestre que a2·b2 < 4.
x y
5.- Si 0 < x < y, demuestre que + > 2 , con x ≠ y.
y x
6.- Si a,b,c∈IR ∧ a + b + c = 6, demuestre que a2 + b2 +c2 ≥ 9.
7.- ∀ a,b∈IR −{ 0}, demuestre que (a 2
)  1
+ b 2 ⋅
1
 2 + 2

≥4

a b 
a b
8.- ∀ a,b∈IR + , demuestre que + ≥2
b a
II.- Resuelva en IR las siguientes inecuaciones:

13. 13
7x − 2 2x + 5
1.- −1 < +2
4 2
2.- ( x + 2 )2 < x( x − 1 )
5x − 6
3.- x− <1
2
3x − 1 5
4.- − 2x < x − + 1
2 2
5.- − 3 < 2x + 5 < 5
6.- 5(x + 6) − 2x(x − 1) ≥ 0
7.- 3x − (2x − 1)2 < 3(x + 1)
8.- x3 − 27 ≥ 7x − 21
9.- (2+x)·(2−x) −(x−1)2 ≥ 4+(1+x)·(1−x)
 x  x  2 
10.-  1 +   1 −  ≥ 2 x + 3 
 3  3  3 
11.- x4 − 7x2 + 12 ≤ 0
12.- (x − 1) > x+1
III.- Resuelva en IR, los siguientes sistemas de inecuaciones:
x −1 2−x 1 x+5 5x − 3
− < − 2x > −2
3 4 6 2 3
1.- 2.- x−2 x+3
x −1 x−3 1 + 1< +x
− ≤ 3 2
10 5 2
x
3x − 5 >
2
−1 ( x − 3) 2 > ( x + 4) 2
3.- 4.-
( x − 6) 2 > ( x + 6 )( x − 6 ) ( x + 5) 2 > x· ( x − 2)·
2( x + 5 ) < ( x + 1 )
2
x + 2x − 15 ≤ 0
2
5.-
x 2 ≤ 8x − 12
6.- x 2 2x
+ ≤ −1
5 5
IV.- Resuelva las siguientes inecuaciones con variable en el denominador:
1 1 x x
1.- x+ > +2 2.- ≥
2 x x−2 x+3

14. 14
x 2 + 2x + 1 ( x − 1)( x + 5) ≥0
3.- ≥ 0 4.- ( x + 8)( x − 7 )( x − 6 )
x−2
V.- Resuelva las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
x −8
1.- 2− <5 2.- 3x − 2 > 1
4
3.- 2 − x −3 < 7 4.- 2x + 5 ≥ x + 4
1 1
5.- x − 7 + x + 3 < 2x − 1 6.- >
x+1 x−3
2x
7.- x 2 + x −2 −2 x 2 −1 ≥ 0 8.- >2
2x −1
VI.- Determine en c/u de los siguientes ejercicios el intervalo real de x, tal que:
2x 1
1.- 1− ∈ IR 2.- ∉ IR
x +3 4
x − 6x − 7
2
3.- x 2 + 2x + 1 ∈ IR
VII.- Resuelva los siguientes sistemas:
x+2
>1
1.- 2x − 1
x + 6 − 1− x >0
1 1 1
+ > x−6 < 2
2.- x−1 x+ 3 x 3.- x2 − 14x + 45 ≤ 0
x+1 ≥ x
x
> 0
1
< 3 ( x − 10) 2
4.- x+2 5.- x − 2 < 2x + 3
x ⋅ ( x + 1) ≥ 0
x − 7 < 5 < 5x − 25
VIII.- Resuelva los siguientes problemas:
1.- Si −8 < x < y < 0, obtenga el valor de:x+x − y− y + 8.

15. 15
2.- Demuestre que la inecuación x − 5+1 − x< 4, tiene por solución al
conjunto vacío.
x 2 + 3x − 10
3.- Demuestre que si x∈] −5, −2 [ , entonces <0
x2 − 4
x x+7
4.- Demuestre que si −1 >6 entonces: ∈ ] − ∞, − 1 [ ∪] 7, + ∞[
2 3
5.- Hallar el conjunto de valores de k, que hacen reales las raíces de la ecuación:
kx2 – 2·(k + 1)·x + k – 1 = 0
6.- Si y >x; x2 – y2= 27; x + y= 3 ; Determine el valor de x – y.
7.- Si a > 0, determine cuál expresión es mayor: a3 + 1 ó a2 + a.
RESPUESTAS
I.- 2.- Use: (a − x)2 ≥ 0 ; (b − y)2 ≥ 0 y sume.
3.- Use: (a − b)2 ≥ 0 ; (c − d)2 ≥ 0 y Axioma de multiplicación.
4.- Use: (a − b)2 ≥ 0. 5.- Use: (x − y)2 ≥ 0.
6.- Use: (x − 1)2 ≥ 0 ∀x∈{ a, b, c } y sume.
a+b
7.- Use: (a2 − b2)2 ≥ 0. 8.- Use: ≥ a⋅b .
2
4 4
II.- 1.- SF = ] −∞ , 8 [ 2.- SF = ] −∞ , − [ 3.- SF = ] ,+ ∞ [
5 3
2 5
4.- SF = ] ,+∞ [ 5.- SF = ] −4, 0 [ 6.- SF = [ − ,
3 2
6]
7.- SF = IR 8.- SF = [− 2, −1] ∪ [3, + ∞ ] 9.- SF = ∅
10.- SF = ∅ 11.- SF = [− 2, − 3 ] ∪ [ 3 , 2 ] 12.- SF = ] 3, ∞
[
12 33 8
III.- 1.- SF = [ 0, [ 2.- SF = ] −1, [ 3.- SF = ] ,6[
7 19 5
25 1
4.- SF = ] − ,− [ 5.- SF = [2, 3 ] 6.- SF = ∅
12 2
1
IV.- 1.- SF = ] − ,0 [ ∪ ] 2, + ∞ [ 2.- SF = ] −3, 0 ] ∪ ] 2, + ∞ [
2

16. 16
3.- SF = ] 2, + ∞ [ ∪ { −1 } 4.- SF = ]− 8, −5] ∪ [1, 6 [ ∪ ] 7, + ∞ [
1
V.- 1.- SF = ] −4, 36 [ 2.- SF = IR − [ , 1] 3.- SF = ] −6, 12 [
3
11
4.- SF = IR − ] −3, −1[ 5.- SF = ] ,+∞ [ 6.- SF = ] −∞ ,1[ −{− 1 }
2
1 1
7.- SF = { 1 } 8.- SF = ] , 1 [ −{ }
3 2
VI.- 1.- SF = ] −3, 3 ] 2.- SF = [ −1, 7 ] 3.- SF = IR.
1 1
VII.- 1.- SF = ] − , 1 ] −{ } 2.- SF = ] −3, 0[ ∪ ]1,+ ∞ [
3 2
3.- SF = [ 5, 8 [
5
4.- SF = ] 6, 12 [ −{ 10 } 5.- SF = ] −∞ , −2 [∪ [− ,−1 [ ∪ ]0,+ ∞ [
3
VIII.-
1
1.- el valor es −(2x + 8 ) 5.- k∈ [ − , +∞ [ 6.- x − y = −9
3
7.- a3 + 1 ≥ a2 + a.
1.- ] 5 − 5 5+ 5
IX.- , 2[∪]3, [ 2.- ]0, 10−2 [∪]102, +
2 2
∞[ 3.- [ 1 + 2 , + ∞]