El documento describe el sistema de los números reales, incluyendo los axiomas de adición, multiplicación, igualdad y orden que satisfacen. También define operaciones como sustracción y división utilizando los inversos aditivo y multiplicativo. Finalmente, presenta teoremas sobre adición, multiplicación y demostraciones de algunos de estos teoremas.

1. 1EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Se llama el Sistema de Números Reales, a un conjunto no vacío R, dotado de 2 operaciones internas, la adición y la multiplicación, y se denota así:< R , + ,  > donde se considera una relación de orden mayor denotado por “ > ” que satisface los siguientes axiomas:

2. 2EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESAxiomas de AdiciónA.1. Si a,b  R (a + b )  R ................... ..... Clausura.A.2. a + b = b + a  a,b  R .........................Conmutativa.A.3. (a + b) + c = a + (b + c ) ;  a,b,c  R ................ Asociativa.A.4. Existe 0  R / a + 0 = 0 + a= a ;  a  R .........Elemento neutro aditivo.A.5.  a R ;  (-a)  R / a + (-a) = (-a) + a = 0 ........... Inverso aditivo.Axiomas de MultiplicaciónM.1. Si a,b  R  a.b  R ........................ Clausura.M.2. a.b = b.a ;  a,b  R ........................ ConmutativaM.3. (a.b).c = a.(b.c) ;  a,b  R ........................ AsociativaM4.  1  R / 1.a = a.1 =a ;  a  R ....................... Elemento neutro mult.M.5.  a  R , con a  o ,  a-1  R / a-1.a = a.a-1 =1 ..... Inv. Mult.

3. 3EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESAxiomas Distributivas respecto a la adiciónD.1. Si a,b,c  R  a.( b + c) = a.b + a.c ......... Distributiva por la izquierda.D.2. Si a,b,c  R  ( b + c).a = b.a + c.a ....... Distributiva por la derecha.Axiomas de Igualdad.I.1. a = a .................. . (Reflexiva)I.2. Para a,b  R  a = b ó a  b ................. ( Dicotomía )I.3. Si a = b  b = a ....................( Simetría )I.4. Si a = b  b = c  a = c .................... ( Transitiva )I.5. Si a = b  a + c = b + c ;  c  R ............( Unicidad de adición )I.6. Si a = b  a.c = b.c ;  c  R .............( Unicidad de la multiplicación)

4. 4EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESAxioma de OrdenO.1. Si a,b  R  a = b ; a > b ; a < b ..............( Tricotomía )O.2. Si a > b  b > c  a > c .............. ( Transitiva )O.3. Si a > b  a + c > b + c ;  c  R ..............(Consistencia Aditiva )O.4. a > b  c > 0  a.c > b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )O.5. a > b  c < 0  a.c < b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )

5. 5EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESDefinición de sustracción de Números RealesDado dos números a y b . Se define la diferencia de a y b , como la suma de a con el inverso aditivo de b . Es decir : a - b = a + ( - b )  a , b  RDefinición de División de Números RealesDado dos números a y b . Se define el cociente de a entre b , como el producto de a con el inverso multiplicativo de b . Es decir :

6. 6EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESTEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

7. 7EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESTEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

8. 8EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESTEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

9. 9EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESDEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS

10. 10EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESDEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMASI.5A.3A.5A.4

11. 11EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESDEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMASI.6M.3M.5M.4

12. 12EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESDEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMASM.2 , M.3M.5M.4T7

13. 13EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALESDEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMASI.5A.5T17T16I.5A.5 , A.4

14. 14LOS INTERVALOSSon conjuntos de números reales que están definidos mediante la condición de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades.Entre estas tenemos:1) Intervalo Abierto:Dado a, b  R  {xR / a < x < b} = < a, b > -  a b  2) Intervalo cerrado:Dado a, b  R {xR / a  x  b} = [ a, b ] -  a b 

15. 15LOS INTERVALOS3) Intervalos Semiabiertos:i) Dado a, b  R  {xR / a < x < b} = [ a, b > ii) Dado a, b  R  {xR / a < x < b} = < a, b ]4) Intervalos Infintos:i) Dado a  R  {xR / x > a} = [a, + >abba+a

16. 16LOS INTERVALOSii) Dado a  R  {xR / x > a} = <a, + >iii) Dado a  R  {xR / x < a} = < -,a ]iv) Dado a  R  {xR / x < a} = < - ,a >+a-a-a

17. 17OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BÁSICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS1. Reunión de Conjuntos A  B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B ó a ambos. A  B = { x/ x  A  x  B }UAB

18. 18OPERACIONES CON INTERVALOS 2. Intersección de Conjuntos A  B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la vez, es decir son elementos comunes a ambos conjuntos. A  B = { x/ x  A  x  B }UABA B

19. 19OPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia de Conjuntos A - B , es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B. A - B = { x/ x  A  x  B }UABA -B

20. 20OPERACIONES CON INTERVALOS4. Complemento de un Conjunto A , Es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A. A = { x/ x  U  x A }UAA

21. 21OPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia Simétrica de Conjuntos A  B = { x/ x  (A - B )  x  (B - A ) } A  B = ( A - B)  (B - A) A  B = ( A  B) - (B  A)UABA  B

22. 22OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  CSoluciónBA-2025BA-2025

23. 23OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  CSoluciónBA-2025AAA-2025

24. 24OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  CCSoluciónBA-20257CBA-20257

25. 25OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  CSoluciónCBAA-20257

26. 26ECUACIONES E INECUACIONESUna Ecuación es una igualdad que es válida solo para algunos valores.*Una ecuación Lineal (De primer grado ) se expresa en la forma:*Una ecuación cuadrática( De segundo grado) se expresa en la forma:Es necesario tener en cuenta las siguientes Reglas: 1.- Si se suma o resta una misma expresión a ambos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada. 2.- Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o se divide entre un numero diferente a cero, la ecuación no varia. ax + b =0 ; a  0ax2+ bx + c = 0 ; a  0

27. 27RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADOax2 + bx + c = 0Sea la Ecuación:Para su resolución se utilizará los siguientes métodos: 1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL Donde b2 - 4ac se llama discriminante. - Si b2 - 4ac > 0 ; la ecuación tiene 2 raíces reales y diferentes - Si b2 - 4ac = 0 ; la ecuación tiene 2 raíces iguales. - Si b2 - 4ac < 0 ; la ecuación tiene 2 raíces imaginarias. ax2 + bx + c = 0

28. 28RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO 2.- MÉTODO DE FACTORIZACION: Sea la ecuación: Para su resolución usar el Teorema: ab = 0  a = 0 ó b = 0 3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS: Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0 Para su resolución usar el Teorema: a2 = b2 a = b ó a = - b PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Sea la ecuación: Si sus Raíces son : x1 y x2 ; entonces se tiene que: i ) x1 + x2 = ; x1 . x2 = ii) ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0

29. 29RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADOEjemplo 1 : Dada la ecuación x2 - 6x + 8 = 0 resolver por los tres métodos.1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERALax2 + bx + c = 0

30. 30RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO2.- MÉTODO DE FACTORIZACION: x2 - 6x + 8 = 0  ( x - 2) (x - 4) = 0 Aplicamos el teorema a.b = 0  a = 0  b = 0 x - 2 = 0  x - 4 = 0 x = 2  x = 43.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS: Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0 Para su resolución usar el Teorema: a2 = b2 a =b ó a = - b

31. 31INECUACIONES Una Inecuación es toda desigualdad donde existen una o mas cantidades desconocidas llamadas variables. Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma: P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x)  0 , P(x)  0 TEOREMAS 1. Si a < b  c < d  a + c < b + d 2. Si a < b  - a > - b 3. Si a < b  c > 0  a . c < b . C 4. Si a < b  c < 0  a . c > b . C 5. Si a  0 a2 > 0 6. a-1 tiene el mismo signo que a es decir : i. a > 0  a -1 > 0 ii. a < 0  a -1 < 0 7. Si a y b tienen el mismo signo y si : a < b  a -1 > b-1 8. Si a.b > 0  ( a > 0  b > 0 )  ( a < 0  b < 0 ) 9. Si a.b < 0  ( a > 0  b < 0 )  ( a < 0  b > 0 )

32. 32INECUACIONES 10. Si , b  0  ( a > 0  b > 0 )  ( a < 0  b < 0 ) 11. Si , b  0 ( a > 0  b < 0 )  ( a < 0  b > 0 ) 12. Si a  0  b  0  a2 > b2  a > b 13. Si b  0 ; a2 < b  14. Si b  0 ; a2 > b  15. Si b > 1  bX < bY  x < y 16. Si 0 < b < 1  bX < bY  x> y

33. 33INECUACIONES1. INECUACIÓN LIEAL. Es de la forma : * Una Inecuación se caracteriza porque tiene n soluciones.* Para la resolución de una Inecuación lineal es necesario tener en cuenta los siguientes Teoremas: i) Si a > b donde c  R  a + c > b + c ii) Si a > b ; y c > 0  a . c > b . c III) Si a > b ; y c < 0  a . c < b . cEjemplo: Resolver : 2x - 9 > 5x -3 2x - 9 -5x + 9 > 5x - 3 -5x + 9 -3x > 6  x < -2  S = { x  R / x < -2 }  S=< - , -2>ax + b > 0 ; ax + b  0 ; ax + b < 0 ; ax + b < 0-2- 

34. 34INECUACIONES 2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADOEs de la forma: Ódonde a , b, c son números reales, a  0Para la resolución, consideramos los siguientes Teoremas : i ) Si utilizamos el método de Factorización: Si: a . b > 0  ( a > 0  b > 0 )  ( a < 0  b < 0 ) Si: a . b < 0  ( a > 0 b < 0 )  ( a < 0  b > 0 ) Se utiliza los mismos Teoremas para > ó < ii ) Si utilizamos el método completar cuadrados: Si: b > 0  a2 > b  a <  a > Si: b > 0  a2 < b  a >  a < es decir: - < a <ax2 + bx +c > 0ax2 + bx +c < 0

35. 35INECUACIONES Ejemplo. Resolver x2 - x - 6 > 0 por el método de factorización. Se usará el teorema: a.b > 0  (a>0  b > 0 )  ( a <0  b <0 )-23

36. 36INECUACIONES Ejemplo. Resolver 3x2 -2 x - 5 < 0 por el método de Completar cuadrados. Se usará el teorema: a2 < b -15/3

37. 37 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS3. INECUACIONES POLINÓMICAS: Son de la forma:P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 El método que facilita la solución de las inecuaciones polinómicas es el método de los valores críticos. Pasos a seguir: - Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x) - se ubica los valores críticos en la recta. - se determinan los signos de los intervalos de variación. - La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 y negativo si P(x) < 0 . Sea el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 donde P(x) puede factorizarse tal como:P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn ) entonces se presentan los siguientes casos:

38. 38 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSPRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir: i. Si P(x) > 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0 Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así: La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo. Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución. + - + + - + -  r1 r2 . . .rn -1 rn +++---234

39. 39 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSii. Si P(x) < 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0 Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así: La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo. Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución. + - + + - + -  r1 r2 . . .rn -1 rn ++--++-412-1

40. 40 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSSEGUNDO CASO :Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad mayor que (1) , se tiene:suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces, entonces:i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales , es decir no son alterados.Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8  0 , Hallar el conjunto Solución.--++-214

41. 41 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri tienen signos diferentes. Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto Solución. ++---213

42. 42 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSTERCER CASO: Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores. Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto Solución. El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 x  R ; podemos prescindir de este factor. ++--3-21

43. 43 INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS4. INECUACIONES FRACCIONARIAS. Son inecuaciones de la forma: ( ó con > ó < ) Donde Q(x)  0 Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta , este mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.

44. 44 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOSEjemplo: Resolver: Solución. Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el numerador. --+-++02-54-7

45. 45VALOR ABSOLUTOEl Valor absoluto de un número real x , denotado por IxI , se define así:Ejemplo:l -4 l = - ( -4) = 4 l 5 l = 5ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES MAS IMPORTANTES1.- l x l = 0  x = 0 2.- l x l = 3.- l x - y l = l y - x l 4.- l x y l = l x l . l y l 5.- l x + y l < l x l + l y l 6.- l x l2 = x2 7.- I x I > I y I  I x I2> l y l2  x2> y2

46. 46SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO* Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en los siguientes teoremas : i ) Si: l x l = l y l  x = y  x = -yii)Si: l x l = y  y > 0  ( x = yx = - y )* Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas: iii ) y > 0 ; l x l > y  x > y  x < - y iv ) y > 0 ; I x I < y  -y < x < y v ) I x I > I y I  x2> y2  x2 - y2 > 0 vi ) I x I < I y I  x2< y2  x2 - y2< 0

47. 47SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOEjemplos: 1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema: l x l = y  y > 0  ( x = yx = - y )3211/47/2

48. 48SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO2. Resolver: l11 x +3 l = 5 Aplicamos el teorema: l x l = y  y > 0  ( x = yx = - y )

49. 49SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l Aplicamos el teorema: l x l = l y l  x = yx = - y

50. 50SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO4. Resolver: l x + 3 l  3x - 1 Aplicamos el teorema: l x l  y  - y x  y-1/22

51. 51SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO5. Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l  9 Aplicamos el teorema: l x l  y  x  y  x  - y2/320/3

52. 52SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO6. Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l  8x - 3 Aplicamos el teorema: l x l  y  x  y  x  - y-4/1310/3

53. 53SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO7. Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | l x2 + 4x +1| Aplicamos el teorema: l x l l y l  x2  y2--++-2-11

54. 54SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO8. Hallar el conjunto solución de: l l x l -2 | < l x | Aplicamos el teorema: l x l <l y l  x2  y2-11

55. 55SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO9. Demostrar que : Si l x - 1 | < 2 

56. 56SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO10. Hallar el conjunto solución : +-+03-++0-3