1. 1 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Se llama el Sistema de Números Reales, a un conjunto no vacío R, dotado de 2 operaciones internas, la adición y la multiplicación, y se denota así: < R , + ,  > donde se considera una relación de orden mayor denotado por “ > ” que satisface los siguientes axiomas:

2. 2 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Axiomas de Adición A.1. Si a,b  R (a + b )  R ................... ..... Clausura. A.2. a + b = b + a  a,b  R .........................Conmutativa. A.3. (a + b) + c = a + (b + c ) ;  a,b,c  R ................ Asociativa. A.4. Existe 0  R / a + 0 = 0 + a= a ;  a  R .........Elemento neutro aditivo. A.5.  a R ;  (-a)  R / a + (-a) = (-a) + a = 0 ........... Inverso aditivo. Axiomas de Multiplicación M.1. Si a,b  R  a.b  R ........................ Clausura. M.2. a.b = b.a ;  a,b  R ........................ Conmutativa M.3. (a.b).c = a.(b.c) ;  a,b  R ........................ Asociativa M4.  1  R / 1.a = a.1 =a ;  a  R ....................... Elemento neutro mult. M.5.  a  R , con a  o ,  a-1  R / a-1.a = a.a-1 =1 ..... Inv. Mult.

3. 3 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Axiomas Distributivas respecto a la adición D.1. Si a,b,c  R  a.( b + c) = a.b + a.c ......... Distributiva por la izquierda. D.2. Si a,b,c  R  ( b + c).a = b.a + c.a ....... Distributiva por la derecha. Axiomas de Igualdad. I.1. a = a .................. . (Reflexiva) I.2. Para a,b  R  a = b ó a  b ................. ( Dicotomía ) I.3. Si a = b  b = a ....................( Simetría ) I.4. Si a = b  b = c  a = c .................... ( Transitiva ) I.5. Si a = b  a + c = b + c ;  c  R ............( Unicidad de adición ) I.6. Si a = b  a.c = b.c ;  c  R .............( Unicidad de la multiplicación)

4. 4 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Axioma de Orden O.1. Si a,b  R  a = b ; a > b ; a < b ..............( Tricotomía ) O.2. Si a > b  b > c  a > c .............. ( Transitiva ) O.3. Si a > b  a + c > b + c ;  c  R ..............(Consistencia Aditiva ) O.4. a > b  c > 0  a.c > b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa ) O.5. a > b  c < 0  a.c < b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )

5. 5 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES Definición de sustracción de Números Reales Dado dos números a y b . Se define la diferencia de a y b , como la suma de a con el inverso aditivo de b . Es decir : a - b = a + ( - b )  a , b  R Definición de División de Números Reales Dado dos números a y b . Se define el cociente de a entre b , como el producto de a con el inverso multiplicativo de b . Es decir :

6. 6 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

7. 7 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

8. 8 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION

9. 9 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS

10. 10 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS I.5 A.3 A.5 A.4

11. 11 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS I.6 M.3 M.5 M.4

12. 12 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS M.2 , M.3 M.5 M.4 T7

13. 13 EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS I.5 A.5 T17 T16 I.5 A.5 , A.4

14. 14 LOS INTERVALOS Son conjuntos de números reales que están definidos mediante la condición de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades. Entre estas tenemos: 1) Intervalo Abierto: Dado a, b  R  {xR / a < x < b} = < a, b > -  a b  2) Intervalo cerrado: Dado a, b  R {xR / a  x  b} = [ a, b ] -  a b 

15. 15 LOS INTERVALOS 3) Intervalos Semiabiertos: i) Dado a, b  R  {xR / a < x < b} = [ a, b > ii) Dado a, b  R  {xR / a < x < b} = < a, b ] 4) Intervalos Infintos: i) Dado a  R  {xR / x > a} = [a, + > a b b a + a

16. 16 LOS INTERVALOS ii) Dado a  R  {xR / x > a} = <a, + > iii) Dado a  R  {xR / x < a} = < -,a ] iv) Dado a  R  {xR / x < a} = < - ,a > + a - a - a

17. 17 OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BÁSICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS 1. Reunión de Conjuntos A  B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B ó a ambos. A  B = { x/ x  A  x  B } U A B

18. 18 OPERACIONES CON INTERVALOS 2. Intersección de Conjuntos A  B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la vez, es decir son elementos comunes a ambos conjuntos. A  B = { x/ x  A  x  B } U A B A B

19. 19 OPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia de Conjuntos A - B , es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B. A - B = { x/ x  A  x  B } U A B A -B

20. 20 OPERACIONES CON INTERVALOS 4. Complemento de un Conjunto A , Es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A. A = { x/ x  U  x A } U A A

21. 21 OPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia Simétrica de Conjuntos A  B = { x/ x  (A - B )  x  (B - A ) } A  B = ( A - B)  (B - A) A  B = ( A  B) - (B  A) U A B A  B

22. 22 OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  C Solución B A -2 0 2 5 B A -2 0 2 5

23. 23 OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  C Solución B A -2 0 2 5 A A A -2 0 2 5

24. 24 OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  C C Solución B A -2 0 2 5 7 C B A -2 0 2 5 7

25. 25 OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos: Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R a. A  B b. B  A c. A - B d. A e. (A  C) - B f. ( A  B)  C Solución C B A A -2 0 2 5 7

26. 26 ECUACIONES E INECUACIONES Una Ecuación es una igualdad que es válida solo para algunos valores. *Una ecuación Lineal (De primer grado ) se expresa en la forma: *Una ecuación cuadrática( De segundo grado) se expresa en la forma: Es necesario tener en cuenta las siguientes Reglas: 1.- Si se suma o resta una misma expresión a ambos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada. 2.- Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o se divide entre un numero diferente a cero, la ecuación no varia. ax + b =0 ; a  0 ax2+ bx + c = 0 ; a  0

27. 27 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO ax2 + bx + c = 0 Sea la Ecuación: Para su resolución se utilizará los siguientes métodos: 1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL Donde b2 - 4ac se llama discriminante. - Si b2 - 4ac > 0 ; la ecuación tiene 2 raíces reales y diferentes - Si b2 - 4ac = 0 ; la ecuación tiene 2 raíces iguales. - Si b2 - 4ac < 0 ; la ecuación tiene 2 raíces imaginarias. ax2 + bx + c = 0

28. 28 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO 2.- MÉTODO DE FACTORIZACION: Sea la ecuación: Para su resolución usar el Teorema: ab = 0  a = 0 ó b = 0 3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS: Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0 Para su resolución usar el Teorema: a2 = b2 a = b ó a = - b PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Sea la ecuación: Si sus Raíces son : x1 y x2 ; entonces se tiene que: i ) x1 + x2 = ; x1 . x2 = ii) ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx + c = 0

29. 29 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO Ejemplo 1 : Dada la ecuación x2 - 6x + 8 = 0 resolver por los tres métodos. 1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL ax2 + bx + c = 0

30. 30 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO 2.- MÉTODO DE FACTORIZACION: x2 - 6x + 8 = 0  ( x - 2) (x - 4) = 0 Aplicamos el teorema a.b = 0  a = 0  b = 0 x - 2 = 0  x - 4 = 0 x = 2  x = 4 3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS: Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0 Para su resolución usar el Teorema: a2 = b2 a =b ó a = - b

31. 31 INECUACIONES Una Inecuación es toda desigualdad donde existen una o mas cantidades desconocidas llamadas variables. Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma: P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x)  0 , P(x)  0 TEOREMAS 1. Si a < b  c < d  a + c < b + d 2. Si a < b  - a > - b 3. Si a < b  c > 0  a . c < b . C 4. Si a < b  c < 0  a . c > b . C 5. Si a  0 a2 > 0 6. a-1 tiene el mismo signo que a es decir : i. a > 0  a -1 > 0 ii. a < 0  a -1 < 0 7. Si a y b tienen el mismo signo y si : a < b  a -1 > b-1 8. Si a.b > 0  ( a > 0  b > 0 )  ( a < 0  b < 0 ) 9. Si a.b < 0  ( a > 0  b < 0 )  ( a < 0  b > 0 )

32. 32 INECUACIONES 10. Si , b  0  ( a > 0  b > 0 )  ( a < 0  b < 0 ) 11. Si , b  0 ( a > 0  b < 0 )  ( a < 0  b > 0 ) 12. Si a  0  b  0  a2 > b2  a > b 13. Si b  0 ; a2 < b  14. Si b  0 ; a2 > b  15. Si b > 1  bX < bY  x < y 16. Si 0 < b < 1  bX < bY  x> y

33. 33 INECUACIONES 1. INECUACIÓN LIEAL. Es de la forma : * Una Inecuación se caracteriza porque tiene n soluciones. * Para la resolución de una Inecuación lineal es necesario tener en cuenta los siguientes Teoremas: i) Si a > b donde c  R  a + c > b + c ii) Si a > b ; y c > 0  a . c > b . c III) Si a > b ; y c < 0  a . c < b . c Ejemplo: Resolver : 2x - 9 > 5x -3 2x - 9 -5x + 9 > 5x - 3 -5x + 9 -3x > 6  x < -2  S = { x  R / x < -2 }  S=< - , -2> ax + b > 0 ; ax + b  0 ; ax + b < 0 ; ax + b < 0 -2 - 

34. 34 INECUACIONES 2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Es de la forma: Ó donde a , b, c son números reales, a  0 Para la resolución, consideramos los siguientes Teoremas : i ) Si utilizamos el método de Factorización: Si: a . b > 0  ( a > 0  b > 0 )  ( a < 0  b < 0 ) Si: a . b < 0  ( a > 0 b < 0 )  ( a < 0  b > 0 ) Se utiliza los mismos Teoremas para > ó < ii ) Si utilizamos el método completar cuadrados: Si: b > 0  a2 > b  a <  a > Si: b > 0  a2 < b  a >  a < es decir: - < a < ax2 + bx +c > 0 ax2 + bx +c < 0

35. 35 INECUACIONES Ejemplo. Resolver x2 - x - 6 > 0 por el método de factorización. Se usará el teorema: a.b > 0  (a>0  b > 0 )  ( a <0  b <0 ) -2 3

36. 36 INECUACIONES Ejemplo. Resolver 3x2 -2 x - 5 < 0 por el método de Completar cuadrados. Se usará el teorema: a2 < b  -1 5/3

37. 37 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS 3. INECUACIONES POLINÓMICAS: Son de la forma: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 El método que facilita la solución de las inecuaciones polinómicas es el método de los valores críticos. Pasos a seguir: - Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x) - se ubica los valores críticos en la recta. - se determinan los signos de los intervalos de variación. - La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 y negativo si P(x) < 0 . Sea el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 donde P(x) puede factorizarse tal como: P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn ) entonces se presentan los siguientes casos:

38. 38 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir: i. Si P(x) > 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0 Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así: La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo. Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución. + - + + - + -  r1 r2 . . .rn -1 rn + + + - - -2 3 4

39. 39 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS ii. Si P(x) < 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0 Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así: La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo. Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución. + - + + - + -  r1 r2 . . .rn -1 rn + + - - + + -4 1 2 -1

40. 40 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS SEGUNDO CASO : Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad mayor que (1) , se tiene: suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces, entonces: i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales , es decir no son alterados. Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8  0 , Hallar el conjunto Solución. - - + + -2 1 4

41. 41 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri tienen signos diferentes. Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto Solución. + + - - -2 1 3

42. 42 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS TERCER CASO: Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores. Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto Solución. El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 x  R ; podemos prescindir de este factor. + + - - 3 -2 1

43. 43 INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS 4. INECUACIONES FRACCIONARIAS. Son inecuaciones de la forma: ( ó con > ó < ) Donde Q(x)  0 Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es cerrado. NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta , este mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.

44. 44 MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS Ejemplo: Resolver: Solución. Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el numerador. - - + - + + 0 2 -5 4 -7

45. 45 VALOR ABSOLUTO El Valor absoluto de un número real x , denotado por IxI , se define así: Ejemplo: l -4 l = - ( -4) = 4 l 5 l = 5 ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES MAS IMPORTANTES 1.- l x l = 0  x = 0 2.- l x l = 3.- l x - y l = l y - x l 4.- l x y l = l x l . l y l 5.- l x + y l < l x l + l y l 6.- l x l2 = x2 7.- I x I > I y I  I x I2> l y l2  x2> y2

46. 46 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO * Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en los siguientes teoremas : i ) Si: l x l = l y l  x = y  x = -y ii)Si: l x l = y  y > 0  ( x = yx = - y ) * Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas: iii ) y > 0 ; l x l > y  x > y  x < - y iv ) y > 0 ; I x I < y  -y < x < y v ) I x I > I y I  x2> y2  x2 - y2 > 0 vi ) I x I < I y I  x2< y2  x2 - y2< 0

47. 47 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ejemplos: 1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema: l x l = y  y > 0  ( x = yx = - y ) 3 2 11/4 7/2

48. 48 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 2. Resolver: l11 x +3 l = 5 Aplicamos el teorema: l x l = y  y > 0  ( x = yx = - y )

49. 49 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l Aplicamos el teorema: l x l = l y l  x = yx = - y

50. 50 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 4. Resolver: l x + 3 l  3x - 1 Aplicamos el teorema: l x l  y  - y x  y -1/2 2

51. 51 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 5. Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l  9 Aplicamos el teorema: l x l  y  x  y  x  - y 2/3 20/3

52. 52 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 6. Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l  8x - 3 Aplicamos el teorema: l x l  y  x  y  x  - y -4/13 10/3

53. 53 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 7. Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | l x2 + 4x +1| Aplicamos el teorema: l x l l y l  x2  y2 - - + + -2 -1 1

54. 54 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 8. Hallar el conjunto solución de: l l x l -2 | < l x | Aplicamos el teorema: l x l <l y l  x2  y2 -1 1

55. 55 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 9. Demostrar que : Si l x - 1 | < 2 

56. 56 SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 10. Hallar el conjunto solución : + - + 0 3 - + + 0 -3