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2. Magnitud Vectorial:
Veamos la siguiente situación: El profesor le pide a Luis que se
cambie de puesto tres lugares desde donde está

                                             ¿Dónde se
                                             ubicaría?

                                         Respuesta:
                                         Tiene varias
                                         posibilidades,
                                         desplazarse en una
                                         dirección u otra
Como nos muestra la figura la magnitud vectorial es:


“una cantidad descrita por un módulo, dirección y
                    sentido”


Ejemplos:

desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, torque,
campo eléctrico, campo magnético, etc.
Representación de un vector


          r
   Se representa simbólicamente por :

          a     : se lee vector a

          OA : se lee vector OA
Se representa gráficamente con una flecha o rayo

                     r              r
Por ejemplo sea el   a              a              A


                         O
Operaciones gráficas con vectores:
Con vectores se puede realizar las tres operaciones fundamentales:
Suma, Resta, Multiplicación
Multiplicación por un escalar: Se multiplica el vector por
un escalar (número)
                   r                  r
 Ejemplo1:    sea b
                                      b
                    r                          r
           sea 2 ⋅ b
                                              2b
                   r                      r
 Ejemplo2:     sea a                      a
                      r                r
            sea   −1⋅ a               −a
  El signo negativo indica el sentido contrario
Suma: Para sumar gráficamente utilizaremos dos métodos
        gráficos: el método del polígono y el método del
        paralelógramo
Método del Polígono:
       Para sumar uno o mas vectores, se dibuja un vector a
continuación del otro. El vector suma o resultante se obtiene
dibujando un nuevo vector desde el origen del primer vector
hasta el extremo del ultimo vector                     r
                r       r            r                b
   Ejemplo: sea a   y   b            a
         r r
   Sume a + b
                                r r
                                a+b        r
                               r           b
                               a
Método del Paralelogramo:
      Consiste en dibujar un par de vectores con un origen
en común. El vector suma o resultante se obtiene dibujando
un nuevo vector diagonal desde el origen común.
                                               r r
Ejemplo: sean los mismos vectores anteriores a y b

      r r                                 r r
 Sume a + b
                         r
                         b                a +b
                          r
                          a
  Ejemplos:
( )
Resta: La resta es igual que la suma solo que los sumandos
                                       r
                               r
son positivo y negativo        a + −b
Método del Polígono:
       Igual que la suma pero debe sumar el inverso aditivo
                                               ry r
Ejemplo: sean los mismos vectores anteriores   a b
         r r
 Reste   a−b               r
                                         r
 Observe que si el vector b es
                                         b
                         r                 r
   el inverso aditivo − b es              −b
                                    r
                                    a
                   r r
                   a −b              r
                                    −b
Método del Paralelogramo:
       Similar que la suma pero el vector resta o resultante
             r                               r
se obtiene trazando un vector desde el extremo del
sustraendo  −b    al extremo del minuendo    a
       r r                r
 Reste a − b                              r
                                       r
                          b            a −b
                              r
                              a
Componentes de un vector en el plano (2D)
 A todo vector se le puede asociar un sistema de referencia. El
 sistema de referencia que usaremos es el sistema cartesiano
 o sistema de ejes perpendiculares ⊥ (x,y) en el plano
                                            r
       y            Ejemplo: Sea el vector   R en el plano xy
   r                   Cualquier vector en un plano se
   y         r         puede descomponer en un par de
             R         vectores cuyas componentes son
                       perpendiculares o rectangulares . La
           α
                                           r
                r x suma de estos vectores tiene como
                x      resultado el vector R
                                                            r
           Donde x e y llamaremos componentes del vector
                                r r r                       R
                     Es decir:  R =x+y
                         r
La dirección del vector queda determinado por el ángulo α
formado entre el vector R y los ejes del plano cartesiano
Componentes de un vector en el espacio (3D)

En este caso el vector R se
puede descomponer en tres
vectores perpendiculares entre
si. Las componentes
x, y, z
 r r r r
 R = x+y+z
Modulo o norma de un vector:
Corresponde al tamaño del vector resultante :
                  r
Ej: Sea un vector R

                      r
         En 2D:       R =       x +y
                                  2        2




                      r
          En 3D:      R =       x +y +z
                                   2       2    2
Vectores Unitarios : son aquellos vectores cuyo módulo
o norma es igual a uno.
Se define                   r
                            R
matemáticamente el
vector unitario u    ˆ u = r , es decir su módulo u = 1
                        ˆ                           ˆ
  ˆ : se lee u tongo
  u
                            R
Los vectores unitarios principales que tienen direcciones y
sentidos de los semiejes positivos del plano cartesiano son los
versores:         ˆ ˆ ˆij  k
ˆ
i   : se lee i tongo

ˆ : se lee j tongo
j
 ˆ
 k : se lee k tongo


útiles por que los ocuparemos como referencia y es la base del
espacio vectorial.
Notación de un vector
Un vector en un espacio euclídeo o espacio vectorial real de
dimensión n es un conjunto ordenado de n números reales
                    ( x1 , x 2 ,...., x n )
En el plano cartesiano el vector se puede escribir como un par
                              r
                             R = ( x, y )
ordenado, es decir:

Veamos el siguiente ejemplo

                                              r
                                  Un vector   A el plano
                                              en
                                  cartesiano, se muestra la
                                  dirección del origen al punto A
                                  con las coordenadas (2,3).
En el espacio cartesiano 3D el vector se   r
  puede escribir como un trío ordenado, es
  decir:                                     R = ( x , y, z )

 Notación coordenadas cartesianas
El vector se representan o expresan como una combinación
de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en
un sistema de coordenadas cartesiano, será:

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los
valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que
se indique lo contrario, son números reales.

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  • 1. 2. Magnitud Vectorial: Veamos la siguiente situación: El profesor le pide a Luis que se cambie de puesto tres lugares desde donde está ¿Dónde se ubicaría? Respuesta: Tiene varias posibilidades, desplazarse en una dirección u otra
  • 2. Como nos muestra la figura la magnitud vectorial es: “una cantidad descrita por un módulo, dirección y sentido” Ejemplos: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, torque, campo eléctrico, campo magnético, etc.
  • 3. Representación de un vector r Se representa simbólicamente por : a : se lee vector a OA : se lee vector OA Se representa gráficamente con una flecha o rayo r r Por ejemplo sea el a a A O
  • 4. Operaciones gráficas con vectores: Con vectores se puede realizar las tres operaciones fundamentales: Suma, Resta, Multiplicación Multiplicación por un escalar: Se multiplica el vector por un escalar (número) r r Ejemplo1: sea b b r r sea 2 ⋅ b 2b r r Ejemplo2: sea a a r r sea −1⋅ a −a El signo negativo indica el sentido contrario
  • 5. Suma: Para sumar gráficamente utilizaremos dos métodos gráficos: el método del polígono y el método del paralelógramo Método del Polígono: Para sumar uno o mas vectores, se dibuja un vector a continuación del otro. El vector suma o resultante se obtiene dibujando un nuevo vector desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo vector r r r r b Ejemplo: sea a y b a r r Sume a + b r r a+b r r b a
  • 6. Método del Paralelogramo: Consiste en dibujar un par de vectores con un origen en común. El vector suma o resultante se obtiene dibujando un nuevo vector diagonal desde el origen común. r r Ejemplo: sean los mismos vectores anteriores a y b r r r r Sume a + b r b a +b r a Ejemplos:
  • 7. ( ) Resta: La resta es igual que la suma solo que los sumandos r r son positivo y negativo a + −b Método del Polígono: Igual que la suma pero debe sumar el inverso aditivo ry r Ejemplo: sean los mismos vectores anteriores a b r r Reste a−b r r Observe que si el vector b es b r r el inverso aditivo − b es −b r a r r a −b r −b
  • 8. Método del Paralelogramo: Similar que la suma pero el vector resta o resultante r r se obtiene trazando un vector desde el extremo del sustraendo −b al extremo del minuendo a r r r Reste a − b r r b a −b r a
  • 9. Componentes de un vector en el plano (2D) A todo vector se le puede asociar un sistema de referencia. El sistema de referencia que usaremos es el sistema cartesiano o sistema de ejes perpendiculares ⊥ (x,y) en el plano r y Ejemplo: Sea el vector R en el plano xy r Cualquier vector en un plano se y r puede descomponer en un par de R vectores cuyas componentes son perpendiculares o rectangulares . La α r r x suma de estos vectores tiene como x resultado el vector R r Donde x e y llamaremos componentes del vector r r r R Es decir: R =x+y r La dirección del vector queda determinado por el ángulo α formado entre el vector R y los ejes del plano cartesiano
  • 10. Componentes de un vector en el espacio (3D) En este caso el vector R se puede descomponer en tres vectores perpendiculares entre si. Las componentes x, y, z r r r r R = x+y+z
  • 11. Modulo o norma de un vector: Corresponde al tamaño del vector resultante : r Ej: Sea un vector R r En 2D: R = x +y 2 2 r En 3D: R = x +y +z 2 2 2
  • 12. Vectores Unitarios : son aquellos vectores cuyo módulo o norma es igual a uno. Se define r R matemáticamente el vector unitario u ˆ u = r , es decir su módulo u = 1 ˆ ˆ ˆ : se lee u tongo u R Los vectores unitarios principales que tienen direcciones y sentidos de los semiejes positivos del plano cartesiano son los versores: ˆ ˆ ˆij k ˆ i : se lee i tongo ˆ : se lee j tongo j ˆ k : se lee k tongo útiles por que los ocuparemos como referencia y es la base del espacio vectorial.
  • 13. Notación de un vector Un vector en un espacio euclídeo o espacio vectorial real de dimensión n es un conjunto ordenado de n números reales ( x1 , x 2 ,...., x n ) En el plano cartesiano el vector se puede escribir como un par r R = ( x, y ) ordenado, es decir: Veamos el siguiente ejemplo r Un vector A el plano en cartesiano, se muestra la dirección del origen al punto A con las coordenadas (2,3).
  • 14. En el espacio cartesiano 3D el vector se r puede escribir como un trío ordenado, es decir: R = ( x , y, z ) Notación coordenadas cartesianas El vector se representan o expresan como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será: Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.