1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
I-Término 2008
Resolución de la Primera Evaluación de Algebra Lineal (B)
1. Responda con verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique su
respuesta
a) Sea un espacio vectorial (V ,⊕,•) . Si u ⊕ v = w ⊕ v ⇒ u = w
Sumamos el inverso aditivo de v en ambos lados de la ecuación
( u ⊕ v ) ⊕ v' = ( w ⊕ v ) ⊕ v'
u ⊕ ( v ⊕ v ') = w ⊕ ( v ⊕ v ')
u ⊕ OV = w ⊕ OV
u=w
∴Verdadero
b) Sea (V ,⊕,•) un espacio vectorial. Si S1 = { v1 , v 2 ,..., v k } ⊆ V y S 2 = { w1 , w2 ,..., wr } ⊆ V son
conjuntos linealmente independientes, entonces S1 ∪ S 2 es también linealmente independiente
1 0 1 1
Sea V = R 2 . Sean S1 , y S 2 , dos conjuntos linealmente independientes en R 2
0 1 1 0
1 0 1
S1 ∪ S 2 = , , , como tiene más elemento que la base de R 2 podemos concluir que este conjunto
0 1 1
es linealmente dependiente
∴ Falso
c) Si A ∈ M mxn , entonces dim( N A ) = dim( R A ) , donde N A es el núcleo de la matriz A
1 2
Sea la matriz A =
3 4
1 3
R A = gen , , pero este conjunto es linealmente independiente en R 2 y por tanto constituye una
2 4
base del espacio renglón de A , entonces dim( R A ) = 2 = dim( Im( A) ) = ρ ( A)
Del teorema de la dimensión para matrices:
v ( A) + ρ ( A) = n
v ( A) + 2 = 2 ⇒ dim( N A ) ≠ dim( R A ) ∴ Falso
v ( A) = dim( N A ) = 0
Ramiro J. Saltos
2. d) Sean H y W dos subespacios vectoriales de V con bases B1 = { v1 , v 2 } y B2 = { v 2 , v3 }
respectivamente. Entonces B = { v 2 } es base del subespacio H ∩ W
1 0 2 0
Sea V = R 2 . Sean los subespacios H = gen , y W = gen ,
0 1 0 1
Podemos notar que los conjuntos generadores de H y W son linealmente independientes y por tanto
constituyen una base de R 2 , es decir, H = W = R 2
1 0
Entonces H ∩ W = R 2 y una base de la intersección sería B = ,
∴ Falso
0 1
3. 2. Sea V = M 2x 2 . Dados los conjuntos:
a b a + b a + c
H 1 =
c d ∈ M 2 x 2 / 2a + 1 = 3 + b + d − 2
H 2 =
/ a, b, c, d ∈ R
a + d 1
1 0 1 1
H 3 = gen 0 − 1, 0 0
H 4 = { A ∈ M 2 x 2 / det ( A) ≠ 0}
a) ¿Cuáles son subespacios vectoriales de V ?
b) Determine una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en ( a ) , así como
de su intersección
2 1 3 1
c) Sean A = y B=
2 1 0 − 2 . Determine si A + B pertenece a la unión de los
subespacios hallados en ( a)
0 0
Sea OV =
0 0
El elemento neutro del espacio vectorial por definición pertenece a cualquier subespacio de V , entonces:
OV ∉ H 2 porque no posee la forma de todo elemento de H 2 , es decir, en su cuarta componente debe estar
siempre presente la constante 1, lo cual no ocurre con el vector nulo
∴ H 2 no es subespacio de V
OV ∉ H 4 porque su determinante es igual a 0 y con ello no cumple la condición del conjunto H 4
∴ H 4 no es subespacio de V
1 0 1 1
H 3 es el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales de los vectores
0 −1 y 0 0 y por
teorema este conjunto es un subespacio de V y además es el menor de todos los subespacios que contienen a
los vectores ya mencionados
∴ H 3 es un subespacio de V
Se han analizado los conjuntos más sencillos, con el último hay que determinar si se cumplen los axiomas
de cerradura de la suma y multiplicación por escalar
1. ∀v, w ∈ H 1 v + w ∈ H 1
a b a b
Sean v = 1 1 y w = 2 2 ∈ H 1 ⇒ 2a1 = b1 + d1 ∧ 2a 2 = b2 + d 2
c d c d
1 1 2 2
a b a b2 ⇒ 2( a1 + a 2 ) = ( b1 + b2 ) + ( d1 + d 2 )
v+w= 1 1+ 2
c d c d
1 1 2 2 2a1 + 2a 2 = ( b1 + d1 ) + ( b2 + d 2 )
a + a 2 b1 + b2 2a1 + 2a 2 = 2a1 + 2a 2
v+w= 1
c +c d +d
1 2 1 2 0=0
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4. → La suma es cerrada en H 1
2. ∀α ∈ R ∀v ∈ H 1 α • v ∈ H 1
a b
Sea α ∈ R . Sea v =
c d ∈ H 1 ⇒ 2a = b + d
a b 2(αa ) = αb + αd
α •v =α • c d
α (2a ) = α (b + d )
⇒ → La multiplicación por escalar es cerrada en H 1
αa αb 2a = b + d
α •v =
αc αd
2a = 2a
∴ H 1 es un subespacio de V
a b
Sea
∈ H1
c d
a b a 2a − d 1 2 0 0 0 − 1
c d = c
= a
0 0 + c 1 0 + d 0 1
d
1 2 0 0 0 − 1
∴ B H 1 =
,
,
dim( H 1 ) = 3
0 0 1 0 0 1
El conjunto generador de H 3 es linealmente independiente y por tanto constituye una base para H 3
1 0 1 1
∴ B H 3 =
,
dim( H 3 ) = 2
0 − 1 0 0
a b
Sea
∈ H1 ∩ H 3
c d
a b 1 0 1 1 α 1 + α 2 α 2
c d = α 1 0 − 1 + α 2 0 0 = 0
− α1
a b 1 2 0 0 0 − 1 β 1 2β 1 − β 3
= β1
c d 0 0 + β2
1 0 + β3
0 1 = β
2 β3
α 1 + α 2 = β1
α = 2β − β
α1 + α 2 α 2 β1 2β 1 − β 3
0 = → 2 1 3
− α1 β 2
β3 0 = β2
− α1 = β 3
1 1 β1 0 1 β1 + β 3 0 0 − β1 + 2β 3
0 1 2β 1 − β 3 0 1 2β 1 − β 3 0 1 2β 1 − β 3 − β1 + 2β 3 = 0
0 0 β2 A41 (1) 0 0 β2 A21 (−1) 0 0 β2 β2 = 0
β1 = 2β 3
−1 0 β3 −1 0 β3 −1 0 β3
5. a b β 1 2β 1 − β 3
c d = β
β3
2
a b 2β 3 2( 2β 3 ) − β 3
c d = 0
β3
a b 2β 3 3β 3 2 3
=
c d 0 = β3 0 1
β3
2 3
∴ B H 1∩ H 3 =
dim( H 1 ∩ H 3 ) = 1
0 1
5 2
A+ B =
2 − 1
Para que esta matriz pertenezca a la unión de ambos subespacios, debe pertenecer ya sea a H 1 o a H 3 . Si
pertenece a H 1 debe cumplir su condición
2a = b + d
2(5) = 2 − 1 → A + B ∉ H1
10 = 1
Finalmente hay que determinar si pertenece a H 3 y para ello debe ser una combinación lineal de los
vectores de su base
5 2 1 0 1 1
2 − 1 = c1 0 − 1 + c 2 0 0
5 2 c1 + c 2 c 2
2 − 1 = 0
− c1
Si nos damos cuenta nos queda la igualdad 2 = 0 la cual es falsa → A + B ∉ H 3
∴ A + B ∉ H1 ∪ H 3
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6. { } {
3. Sea V = P2 y B1 = x 2 + 1, x 2 − x, x − 3 y B2 = x 2 − 2 x + 2, x − 3, x 2 − 1 bases de P2 . }
Determine:
a) La matriz de cambio de base de B2 a B1
b) El núcleo y la imagen de la matriz obtenida en ( a )
Sea ax 2 + bx + c ∈ P2
( ) (
ax 2 + bx + c = α 1 x 2 + 1 + α 2 x 2 − x + α 1 ( x − 3) )
ax + bx + c = ( α 1 + α 2 ) x + ( − α 2 + α 3 ) x + ( α 1 − 3α 3 )
2 2
α1 + α 2 = a 1 1 0 a 1 1 0 a 1 1 0 a
− α 2 + α 3 = b 0 − 1 1 b A13 (−1) 0 − 1 1 b A23 (−1) 0 − 1 1 b
α − 3α = c 1 0 − 3 c 0 −1 − 3 c − a 0 0 − 4 c − a − b
1 3
− 4α 3 = c − a − b − α2 + α3 = b α1 + α 2 = a
a+b−c a − 3b − c 3a + 3b + c
α3 = α2 = α1 =
4 4 4
3a + 3b + c
1
[
⇒ ax + bx + c
2
] B1 = a − 3b − c
4
a+b−c
−1 4 0 12
[x 2
]
− 2 x + 2 B1 = 54 [ x − 3] B1 = 0 [x 2
]
− 1 B1 = 12
−3 1 1
4 2
−1 4 0 1
2
∴ C B 2→ B1 = 54 0 1
2
−3 1 1
4 2
Como C es una matriz de cambio de base, su determinante siempre será diferente de cero, esto implica que
sus columnas son linealmente independientes en R 3 y constituyen además de una base del espacio
C C = Im(C ) también una base para R 3
∴ Im(C ) = R 3
Para el núcleo utilizamos el teorema de la dimensión:
v (C ) + ρ (C ) = n
v (C ) + 3 = 3
v (C ) = 0
Como la nulidad es cero, entonces el único elemento presente en el núcleo de C es el OR 3
7. 0
∴ Nu (C ) = 0
0
x
+
4. Sea el espacio vectorial V = y / x, y ∈ R, z ∈ R junto con las operaciones:
z
x1 x 2 x1 + x 2 + 2
y1 ⊕ y 2 = y1 + y 2
z z z z
1 2 1 2
x αx + 2α − 2
α • y = αy
z z α
Determine:
a) El neutro de V y el opuesto de v ∈ V
0 1 2
b) Si 0 es combinación lineal de − 1 y − 2
0 2 4
1. ∀v ∈ V 0 • v = OV
x 0 x + 2(0) − 2 − 2 − 2
OV = 0 • y = 0y = 0 ∴ OV = 0
z z 0 1 1
2. ∀v ∈ V − 1 • v = v'
x (−1) x + 2(−1) − 2 − 4 − x − 4 − x
v' = −1 • y = (−1) y = −y ∴ v' = − y
z 1 1
z −1
z
z
0
3. 0 no es una combinación lineal de los vectores mencionados porque este no pertenece al espacio
0
vectorial V
Ramiro J. Saltos