Valor absoluto

1. Taller de Matem´aticas 2
I. Intervalos. Desigualdades. Valor Absoluto
El C´alculo Infinitesimal se basa en el sistema de N´UMEROS REALES, IR.
Los n´umeros reales se pueden representar en una RECTA. Se elige un punto arbitrario como ORIGEN
que corresponde al 0, los n´umeros positivos se representan a la derecha de dicho origen y los negativos a su
izquierda.
Los n´umeros reales est´an ORDENADOS:
a es MENOR que b, a < b, si geom´etricamente a est´a a la izquierda de b en la RECTA REAL.
a ≤ b ⇐⇒ a < b ´o a = b
Los INTERVALOS son conjuntos de n´umeros reales que se corresponden geom´etricamente con segmentos
de recta o semirrectas:
(a, b) = {x ∈ IR /a < x < b} Intervalo ABIERTO
[a, b] = {x ∈ IR /a ≤ x ≤ b} Intervalo CERRADO
(a, +∞) = {x ∈ IR /x > a}
[a, +∞) = {x ∈ IR /x ≥ a}
(−∞, b) = {x ∈ IR /x < b}
(−∞, b] = {x ∈ IR /x ≤ b}
(a, b] = {x ∈ IR /a < x ≤ b} Intervalo SEMIABIERTO
[a, b) = {x ∈ IR /a ≤ x < b} Intervalo SEMIABIERTO
(−∞, +∞) = IR Recta Real
RESOLVER UNA DESIGUALDAD es determinar el conjunto de n´umeros reales que satisface dicha
desigualdad, es decir, encontrar el conjunto SOLUCI´ON. Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:
1. Si a < b =⇒ a + c < b + c ∀c ∈ IR
2. Si a < b y c < d =⇒ a + c < b + d
3. Si a < b y c > 0 =⇒ ac < bc
4. Si a < b y c < 0 =⇒ ac > bc

2. Taller de Matem´aticas 3
Ejemplo 1 Resolver 1 + x < 7x + 5
1 + x < 7x + 5 =⇒ x < 7x + 4 =⇒ −6x < 4 =⇒ x > −
4
6
= −
2
3
Ejemplo 2 Resolver x2 − 5x + 6 ≤ 0
x2
− 5x + 6 ≤ 0 =⇒ (x − 2)(x − 3) ≤ 0 =⇒ {x ∈ IR /2 ≤ x ≤ 3} =⇒ x ∈ [2, 3]
Valor absoluto
Definimos el VALOR ABSOLUTO de a, |a|, como la distancia de a al origen en la recta real, es decir
|a| =



a si a ≥ 0
−a si a < 0



= +
√
a2
Para resolver ecuaciones o desigualdades que contienen valores absolutos, es muy ´util usar las siguientes
propiedades:
1. |ab| = |a||b| ∀a, b ∈ IR
2. Si a > 0, |x| = a ⇐⇒ x = ±a
3. Si a > 0, |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
4. Si a > 0, |x| > a ⇐⇒ x > a ´o x < −a
Ejemplo Resolver |x − 5| ≤ 2
|x − 5| ≤ 2 =⇒ −2 ≤ x − 5 ≤ 2 =⇒ 3 ≤ x ≤ 7 =⇒ x ∈ [3, 7]