1) El documento presenta conceptos fundamentales sobre desigualdades e intervalos en números reales, incluyendo definiciones de desigualdades estrictas y no estrictas, tipos de intervalos (acotados y no acotados), y operaciones básicas con intervalos como unión, intersección y diferencia. 2) Se describen las propiedades de la recta numérica real y cómo esta establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos. 3) Se enuncian varios teoremas sobre propiedades algebraicas de desig

1. DESIGUALDADES E INTERVALOS
ÁLGEBRA (C - Q) – TEMA 2
COII2X2
PAMER CATÓLICAREGULAR 2015-II TEMA 21
I. DESIGUALDAD
Es aquella comparación que se establece entre dos
números reales, mediante los símbolos: ; ; ;    .
Si: a b R  , se tiene:
a > b : "a mayor que b"
a < b : "a menor que b"
a b : "a mayor o igual que b"
a b : "a menor o igual que b"
Dados a,b R :
a b (b a) es positivo
a b (a b) es positivo
  
  
Desigualdades
estrictas



Dados a,b R :
a b a b ó a b
a b a b ó a b
   
   
Desigualdades
no estrictas



A. Ley de triconomía
Dados dos números reales a y b; entre ellos solo se
puede establecer una de las siguientes relaciones:
a b a b a b
B. Definiciones
Dados a, b, c, d R :
1. Si: a 0 a  es positivo
2. Si: a 0 a  es negativo
3. a b a b a b    
4. a b c a b b c     
5. a b a b 0   
6. a b a b 0   
7. Si: a b a c b c    
8. Si: a b c d a c b d      
9. Si: a b c 0 ac bc    
10.Si: a b c 0 ac bc    
C. Recta numérica real
Es una recta geométrica; donde se establece una
biyección, es decir, a cada número real se hace
corresponder un único punto de la recta y
para cada punto de la recta solo le corresponde
un único número real.
0 1 2 3...
+
Número Positivos
Números Negativos
1/2 2
II. INTERVALO
Es un subconjunto de los números reales: es decir, aquél
que está formado de infinitos elementos que representan
a todos los números reales comprendidos entre dos
extremos, llamados extremo superior y extremo inferior.
A. Tipos de intervalos
1. Intervalo acotado
Se llama así al intervalo cuyos extremos son
números reales (finitos) y estos a su vez serán:
a. Intervalo cerrado
Es un intervalo acotado en el cual se
consideran a los extremos finitos.
x
a
8
8
b +_
x [a;b] a x b   
b. Intervalo abierto
Es un intervalo acotado en el cual no se
consideran a los extremos finitos.
x
a
8
8
b +_
x ]a;b[ a x b   
DESARROLLO DEL TEMA

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c. Intervalo semi–abierto ó semi–cerrado
Es un intervalo acotado, un extremo es
abierto y el otro extremo es cerrado.
x
a
8
8
b +_
x [a;b[ a x b   
x
a
8
8
b +_
x ]a;b ] a x b   
2. Intervalos no acotados
Se denomina así, a aquellos intervalos donde
por lo menos uno de los extremos es ideal
 ;  ; éstos intervalos son de la forma:
a. x ]a; [ x a    
a
x
+_
8
8
b. x [ a; [ x a    
a
x
+_
8
8
c. x ] ;a[ x a    
a
x
+_
8
8
d. x ] ; a] x a    
a
x
+_
8
8
B. Teoremas básicos de las desigualdades
1. a b n R a n b n      
2.
a.n b.n
a b n 0 a b
n n


    

3.
a.n b.n
a b n 0 a b
n n


    

4. 2
a R : a 0  
5.
0 a b
0 ac bd
0 c d
  
  
  
6. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)        
7. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)        
8. 1
a 0 0
a
  
9. 1
a 0 0
a
  
10.Si: a y b tienen el mismo signo:
1 1 1
a x b
a x b
    
11.Si:
a
0 a.b 0
b
   si: b 0
12.Si: a
0 a.b 0
b
   si: b 0
13. 1
a 2; a R
a

   
14. 1
n 2; n R
n

    
15. 2 2
a b 2ab; a,b R   
C. Operaciones con intervalos
1. Unión de intervalos
Sean A y B dos intervalos, se dice que x está en la
unión de estos si al menos está en uno de ellos.
Así:
 A B x R / x A x B     
Ejemplo:
Sea: A = ]–2 ; 3]
B = [1 ; 8[
Graficar A B A B ] 2;8[  
2. Intersección de intervalos
Sean A y B dos intervalos, se dice que un
elemento x está en la intersección de A y B si
es un elemento común a ambos.
Así:
 A B x R / x A x B     
Ejemplo:
Sea: A = ]–5 ; 6]
B = ]–3 ; 7]
Graficar: A B A B ] 3;6]  

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3. Diferencia de intervalos
Sea A y B dos intervalos, se dice que un
elemento x pertenece a la diferencia de A y B,
si es un elemento de A y no de B.
Así:
 A B x R / x A x B     
Ejemplo:
Sea: A = [–5 ; 3[
B = ]–2 ; 4]
Entonces:
NIVEL I
1. Si:  A x / 2 x 7   
 B x / 3 x 10   
Hallar: A – B.
A.   2;3 C.   2;7
B. 2;7   D.   2;3
2. Sobre la recta numérica se ubican
a, b, 0, c y d (reales)
Son ciertas:
1. (a + b)(a – b) > 0
2.
a c
. 0
b d

3. (b – a)(d – c) > 0
A. Solo 1 C. Solo 3
B. Solo 2 D. 1 y 3
3. Si A  [–3; –2]; B  [–3; 2] y
C  [2; 3]. Hallar el valor de:
A2
+ B2
+ C2
si es el menor posible.
A. 4 C. 12
B. 0 D. 8
4. Halle el valor de la suma del máximo y
mínimo valor de x 3
x – 2
 si x  [3; 7]
A. 9 C. 8
B. 10 D. –10
5. Si x  ]–3; 5]. Halla el valor de
a.b = ?. Cuando
x2
– 2x + 5  [a; b]
A. 4 C. 80
B. 20 D. 60
NIVEL II
6. Para reales son verdaderas:
1. Si 2
a 0 a 0  
2. Si a b ac bc  
3. Si 1 1
0 a b 0 b a 
    
A. 1 C. 1 y 2
B. 3 D. 1 y 3
7. Se cumple que 2x2
– 4x + M = 0.
Cuántos valores enteros toma
"M" si x  ]–2; 4[.
A. 17 C. 19
B. 18 D. 20
8. Si n puede tomar cualquier valor
desde –5 hasta 5, entonces
8n 5
5
 
 
 
+
puede variar en el
intervalo de:
A. 5;3  – C. 3;5  –
B. 7;9  – D. 3;5  –
9. Dado: –8 < n – 10 < –6.
Calcular: a – b , si:
+
1
a (3n 4) b
2
 
A. –3 C. 3
B. –2 D. 2
10. Si sabemos que: 5 < x < 15 y que
además: 15 – a < 3x – b < 15 + a
Hallar a . b
A. 0 C. 150
B. 15 D. 225
11. Si "p" es un número entre 3 y 6
y "q" es un número entre 15 y
60. Luego "q/p" está entre:
A. 2,5 y 20 C. 5 y 10
B. 2 y 10 D. 3 y 10
12. Si –10 < a < –5
–2 < b < –1
2 < c < 5
hallar a qué intervalo pertenece ab
c
.
A.  –10;1 C.  1;10
B.  –1;10 D.  2;10
13. Si 0 < x, las coordenadas de tres
puntos P, Q y R en la recta
numérica son:
– – –x 2 x 1 x 4
; ;
4 2 5
respectivamente. Si la recta
numérica se orienta en la forma
usual (de izquierda a derecha)
entonces las posiciones relativas
de los tres puntos es:
A. PQR C. PRQ
B. QRP D. RPQ
Nótese B – A:
Nota:
Si A es un intervalo: A' = R – A, donde A' se lee
complemento del conjunto A.
Ejemplo: Si A ]2;5] , entonces:
A ' ] – ;2 ] ]5; [    
2 5
La parte sombreada indica el
complemento de A
+_
8
8
problemas de clase

4. Exigimos más!
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14. Si  x 0;2 y además:
 
+
+
x 2
m M
x 5
Hallar m + M.
A. 35/38
B. 19/35
C. 38/35
D. 34/35
NIVEL III
15. Si  a,b,c R
 , ¿cuál es el menor
valor que tendrá K?
+ + +
= + + –
2 2 2
(a b) (b c) (a c)
K 6
ab bc ac
A. 6
B. 3
C. 2
D. 8