1. Procesos Multivariables
Prof. Mª Jesús de la Fuente
ISA-UVA

2. Indice
Interacción
Control de sistemas multivariables con lazos
simples
Selección de lazos de control
RGA
Control por desacoplo
Control multivariable
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3. Sistemas MIMO
y1
u1
y2
u2
y3
⎡ Y1 (s) ⎤ ⎡ G11 (s) G12 (s) ⎤
⎢Y (s)⎥ = ⎢ G (s) G (s)⎥ ⎡ U1 (s) ⎤ Interacción
⎢ 2 ⎥ ⎢ 21 22
⎥ ⎢ U 2 (s)⎥
⎣ ⎦
⎢ Y3 (s) ⎥ ⎢ G 31 (s) G 32 (s) ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Direcciones
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4. Reactor
TT AT
u
Reactante
T
Reactor
Refrigerante
Producto
Interacción entrada salida en ambas variables
Interacción en lazo abierto
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5. GRADOS DE LIBERTAD
¿Cómo se determina el máximo número de
variables que pueden ser controladas en un
proceso?
v8
F2 F5
v3
T5 P1
T4
F1 T1 T3 F3 T6 F4
L1
v1 v5 v6 L1
T7
v2 v7
T2 T8
T9 F6
Hot Oil Hot Oil
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6. GRADOS DE LIBERTAD
Un requisito básico :
El número de válvulas (actuadores) ≥
número de variables controladas
v8
F2 F5
v3
T5 P1
T4
F1 T1 T3 F3 T6 F4
L1
v1 v5 v6 L1
T7
v2 v7
T2 T8
T9 F6
Hot Oil Hot Oil
esto es una condición necesaria
Pero no suficiente para satisfacer los objetivos de control!
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7. CONTROLABILIDAD
Un proceso es controlable si las variables
controladas pueden ser mantenidas en sus valores
de consigna, en estado estacionario, a pesar de las
perturbaciones que afectan la planta.
Modelo
⎡ CV1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ K11 K12 ⎤ ⎡ MV1 ⎤ ⎡ K d 1 ⎤
⎢ ⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ + ⎢K ⎥ D
para un
sistema
2x2. ⎣CV2 ⎦ ⎣0⎦ ⎣ K 21 K 22 ⎦ ⎣ MV2 ⎦ ⎣ d 2 ⎦
Matemáticamente, un proceso es controlable cuando la
matriz of ganancias del proceso puede invertirse, i.e., cuando
el determinante de K ≠ 0.
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8. Interacción
Un ejemplo los autos de la figura
intuitivo!!!
• ¿Son controlables de forma
independiente?
• ¿Existe interacción?
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9. Interacción
los autos de la figura
• ¿Son controlables de forma independiente?
• Existe interacción?
Vinculados por un
resorte
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10. Interacción
los autos de la figura
• ¿Son controlables de forma independiente?
• ¿Existe interacción?
Vínculo rígido.
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11. Controlabilidad
En el proceso de mezclado
• Son controlables de forma independiente FM, xAM?
• Existe interacción en el proceso?
FA, xA
FM, xAM
FS, xAS = 0
FM = FA + FS ⇒ ΔFM = ΔFA + ΔFS
FA x A ⎡ (1 − x A ) FA ⎤ ⎡ − FA x A ⎤
x AM = ⇒ Δx AM =⎢ 2 ⎥
ΔFA + ⎢ 2 ⎥
ΔFS
FA + FS ⎣ ( Fs + FA ) ⎦ ss ⎣ ( Fs + FA ) ⎦ ss
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12. FA, xA
FM, xAM
FS, xAS = 0
⎡ 1 1 ⎤
⎡ ΔFM ⎤ ⎢ ⎡ (1 − x ) F ⎤ ⎡ − FA x A ⎤ ⎥ ⎡ΔFA ⎤
⎢Δx ⎥ = ⎢ ⎢ A A ⎢ ⎥
2 ⎥ ⎥ ⎣ ΔFS ⎦
⎣ AM ⎦ ⎢ ⎣ ( Fs + FA ) 2 ⎥
⎦ ss
⎢
⎣ ( Fs + FA ) ⎦ ss ⎥
⎣ ⎦
− FA x A FA (1 − x A ) − FA
Det ( K ) = − = ≠0
( FA + FS ) 2
( FA + FS ) 2
( FA + FS ) 2
Sí, este sistema es controlable!
¿Sería controlable el sistema si xAS es distinto de cero?
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13. Interacción
u1 y1
Lazo abierto G11
⎡ Y1 (s) ⎤
⎢Y (s)⎥ = G21
⎣ 2 ⎦
⎡ G (s) G 12 (s) ⎤ ⎡ U1 (s) ⎤
= ⎢ 11 ⎥⎢ ⎥
⎣G 21 (s) G 22 (s)⎦ ⎣ U 2 (s)⎦ G12
y2
G22
u2
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14. Interacción
w1 u1
R1 G11
y1
G21
Control con lazos
SISO
G12
w2 y2
R2 G22
u2
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15. Lazo cerrado
w1 u1
y1 = G 11u 1 + G 12 u 2 = R1 G11
y1
= G 11R 1 ( w 1 − y1 ) + G 12 R 2 ( w 2 − y 2 )
y 2 = G 21u 1 + G 22 u 2 =
G21
= G 21R 1 ( w 1 − y1 ) + G 22 R 2 ( w 2 − y 2 ) G12
w2 y2
R2 G22
u2
G 11R 1 G 12 R 2
y1 = w1 + (w 2 − y 2 )
1 + G 11R 1 1 + G 11R 1
G 21R 1 G 22 R 2
y2 = ( w 1 − y1 ) + w2
1 + G 22 R 2 1 + G 22 R 2
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16. Interacción
w1 u1
G 11R 1 G 12 R 2 R1 G11
y1 = w1 + (w 2 − y 2 ) y1
1 + G 11R 1 1 + G 11R 1 G21
G 21R 1 G 22 R 2
y2 = ( w 1 − y1 ) + w2
1 + G 22 R 2 1 + G 22 R 2 G12
w2 y2
R2 G22
u2
G 11R 1 G 12 R 2 G 21R 1 G 22 R 2
y1 = w1 + (w 2 − ( w 1 − y1 ) − w2)
1 + G 11R 1 1 + G 11R 1 1 + G 22 R 2 1 + G 22 R 2
G 11R 1 (1 + G 22 R 2 ) − G 12 R 2 G 21R 1 G 12 R 2
y1 = w1 + w2
(1 + G 11R 1 )(1 + G 22 R 2 ) − G 12 R 2 G 21R 1 (1 + G 11R 1 )(1 + G 22 R 2 ) − G 12 R 2 G 21R 1
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17. Interacción (Lazo 1)
w1 u1
w1 y w2 influyen en y1 R1 G11
y1
Si G12 ó G21 son = 0 no hay
cambio de dinámica sobre un G21
sistema SISO u1 --- y1
G12
Si R2 pasa a manual se w2 y2
modifica la dinámica del lazo 1 R2 G22
u2
G 11R 1 (1 + G 22 R 2 ) − G 12 R 2 G 21R 1 G 12 R 2
y1 = w1 + w2
(1 + G 11R 1 )(1 + G 22 R 2 ) − G 12 R 2 G 21R 1 (1 + G 11R 1 )(1 + G 22 R 2 ) − G 12 R 2 G 21R 1
G 11R 1 G 12 R 2 G 11R 1
y1 = w1 + w2 y1 = w1
(1 + G 11R 1 ) (1 + G 11R 1 )(1 + G 22 R 2 ) (1 + G 11R 1 )
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18. Interacción
u1
u2
Fv
q FT TT
T
Condensado
u1 T
u2 q
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19. Reactor
TT AT
u
Reactante
T
Reactor
Refrigerante
Producto
Interacción entrada salida en ambas variables
Interacción en lazo abierto
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20. Reactor
TC AC
TT AT
u
Reactante
T
Reactor
Refrigerante
Producto
Interacción entrada salida en ambas variables
Interacción en lazo cerrado
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21. Interacción
Medir el grado de interacción
¿Se puede funcionar con lazos simples?
En caso afirmativo, ¿Cual es el mejor
emparejamiento de variables entrada-salida?
u1 y1
u2 y2
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22. Matriz de ganancias
estacionarias
⎡ y1 ⎤ ⎡ k 11 k 12 ⎤ ⎡ u 1 ⎤
⎢ y ⎥ = ⎢k k 22 ⎥ ⎢u 2 ⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 ⎦⎣ ⎦
No es una buena medida de interacción:
Depende de las unidades en las que se exprese
No refleja el hecho característico de la interacción
multivariable: los cambios en un lazo cuando otros
pasan de automático a manual
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23. Matriz de Ganancias Relativas
(RGA) Matriz de Bristol
y1 y2 ∂y i
∂u j
u1 λ 11 λ 12 λ i, j = u = cte
∂y i
u2 λ 21 λ 22
∂u j y = cte
λ11
u1 y1 u1 y1
u2 G u2 G
y2 y2
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24. RGA
Puede emplearse para hacer una adecuada selección de
pares entrada-salida para controlar un sistema MIMO
escogiendo la mínima interacción en estado
estacionario o a una frecuencia dada
∂y i λi, j = 1 Deseable
∂u j
λ i, j = u = cte
λi, j = 0
∂y i y1 y2
∂u j y = cte
λi, j = ∞ u1 0 .2 0 .8
u2 0 .8 0 .2
λ i, j < 0
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25. RGA
u1 y1 λ11
u2 G
Δy1 = k 11Δu 1 + k 12 Δu 2
y2 Δy 2 = 0 = k 21Δu 1 + k 22 Δu 2
k 12 k 21
Δy1 = k 11Δu 1 − Δu 1 y1 y2
k 22 k 11 k 22 − k 12 k 21
Δy1 k k − k 12 k 21 u1 k 11 k 22 − k 12 k 21 k 11 k 22 − k 12 k 21
= 11 22 − k 12 k 21
Δu 1 y 2 = cte
k 22 u2 k 11 k 22
k 11 k 22 − k 12 k 21 k 11 k 22 − k 12 k 21
k 11 k 11k 22
λ11 = =
k 11k 22 − k 12 k 21 k 11k 22 − k 12 k 21
k 22
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26. Columna
x1 ⎡ 87.8 − 86.4 ⎤
G ( 0) = ⎢ ⎥
⎣108.2 − 109.6⎦
L
x1 x2
L ⎡ 35.1 − 34.1⎤
RGA
V ⎢− 34.1 35.1 ⎥
⎣ ⎦
V
Muy fuerte interacción con el
x2 emparejamiento ( L x1) (V x2)
Inestabilidad asegurada con el
emparejamiento ( L x2) (V x1)
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27. RGA
−1 T
RGA (G ) = Λ (G ) = G × (G )
⎡1 − 2⎤
G=⎢ ⎥ La suma de los elementos
⎣3 4 ⎦
⎡ 0.4 0.2⎤
de una fila o columna de la
−1
G =⎢
− 0.3 0.1⎥
RGA es 1
⎣ ⎦
⎡0.4 0.6⎤ Es independiente del
Λ (G ) = G × (G −1 ) T = ⎢ ⎥
⎣0.6 0.4⎦ escalado de u e y
Para procesos asimétricos, la inversa puede sustituirse por
la pseudoinversa Matlab RGA = G.*pinv(G)’
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28. RGA
y1 y2 y3
⎡ 16.8 30.5 4.3 ⎤ u 1 ⎡ 1.50 0.99 − 1.48⎤
G = ⎢− 16.7 31.0 − 1.41⎥ u 2 ⎢ − 0.41 0.97 0.45 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 1.27 54.1 5.40 ⎥
⎣ ⎦ u 3 ⎢− 0.08 − 0.95 2.03 ⎥
⎣ ⎦
El unico emparejamiento SISO admisible resulta ser:
y1 ---- u1 y2 ---- u2 y3 ---- u3
con una interacción mayor en el tercer lazo
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29. Columna de destilación
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30. Interacción entre lazos de
control
PROCESS 11
y1 u1 y1
setpoint - CONTROL PV1
+ response to +
+
Process 1
CO1
INTERACT 12
PV1
response to
CO2
INTERACT 21
PV2
response to
CO1
PROCESS 22
CONTROL PV2 +
2 +- response to +
y2
ysetpoint Process 2 u2 CO2
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31. Proceso de mezcla
Balance global:
u1
F1 x1
FT AT
F = F + F2
1
Balance de componente:
F x = F1 x1 + F2 x2
u2
F x
F2 x2
Eliminando F2 entre las
dos ecuaciones: 1 x − x2 F1
λF , F = = =
x1 − x2 1
⎛ x1 − x2 ⎞ x1 − x2 F
F = F1 . ⎜
⎜ x−x ⎟ ⎟
x − x2 ⎝ 2 ⎠
Fx − Fx 2 = F1 x1 − F1 x 2 ⇒ Fx = F1 x1 − F1 x 2 + Fx 2 = F1 x1 − F1 x 2 + F1 x 2 + F2 x 2 = F1 x1 + F2 x 2
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32. Proceso de mezcla(Cont.)
La matriz de ganancias relativas RGA es:
F 11
F F2
F1 F1
F 1 −
F F
F1 F1
x 1 −
F F
¿Cuál es el mejor emparejamiento entre variables manipuladas
y controladas? ¿De qué dependerá la respuesta?
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33. Proceso de mezcla
F 11
F F2
Para F1 = 10, F = 15
F1 F1
F 1 −
F F
F1 F2
F1 F1
x 1 − F 0.67 0.33
F F
Para F1 = 3, F = 15 x 0.33 0.67
F1 F2
F 0.2 0.8
x 0.8 0.2
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34. RGA(jω)
RGA (G ( jω))
La RGA se formuló originalmente sobre la matriz de
ganancias estacionarias, frecuencia 0, pero puede
evaluarse y dar información útil a cualquier otra
frecuencia
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35. Dos enfoques alternativos
MULTILOOP vs Centralizado
Multiloop: varios controladores Centralizado
PID independientes
F
Controlador
F Centralizado
T
T L
A L
A
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36. Desacoplo
w1
u1
R1 y1
w2 D G y2
R2 u2
Encontrar la matriz D, tal que GD se comporte como una
matriz diagonal o casi diagonal
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37. Desacoplo en estado estacionario
w1
u1
R1 y1
w2 G(0)-1 G y2
R2 u2
Si D = G(0)-1 , entonces G(s) G(0)-1 es diagonal en estado
estacionario de modo que, en reposo, no hay interacción.
Fácíl de implementar y calcular, G(0)-1 = inversa de la
matriz de ganancias estacionarias.
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38. Estructura de control con
desacople
PROCESS 11
y1 u1 u1
total y1
setpoint - CONTROL feedback
++
PV1
+ response to +
+
Process 1
CO1
G11(s)
DECOUPLER 12
PV1
decoupled from INTERACT 12
u1
decouple PV1
CO2
response to
D12 (s) CO2
G12 (s)
INTERACT 21
DECOUPLER 21
2 PV2
PV2 udecouple
response to
decoupled from
CO1
CO1
G21(s)
D21(s)
PROCESS 22
CONTROL PV2 +
+- +
2 2 + response to +
y2
ysetpoint Process 2 ufeedback 2
utotal CO2
G22 (s)
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39. 2x2 Multivariable Decoupling
Requiere 4 modelos dinámicos
– Process 11 (como CO1 impacta en PV1)
– Interact 12 (como CO2 impacta en PV1)
– Interact 21 (como CO1 impacta en PV2)
– Process 22 (como CO2 impacta en PV2)
Estos models deben construirse a partir de datos de
planta, validados e incluidos en el diseño del
controlador.
El desacople de lazos no es una técnica muy
empleada industrialmente porque su empleo
requiere un esfuerzo significativo de modelado,
sintonía y mantenimiento. ISA-UVA
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40. Control multivariable
u1
w1 y1
R G y2
w2
u2
El controlador recibe señales de todas las salidas y
simultáneamente calcula todas las señales de
control teniendo en cuenta la interacción
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41. Control Predictivo
multivariable
Temp Conc.
u2 u1
MBPC
FC
FT
TT AT
FC
Producto
FT
Reactor DMC, GPC,
Refrigerante EPSAC, HITO,
PFC,....
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