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Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior

Michelle León ingenieria electronica Teoria del control

Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior

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Teoría del control, Sección B
Profesora: Amdie Chirinos
Ingeniería Electrónica #44
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
I.U.P Santiago Mariño
Extensión Mérida
Alumno:
León Petrella Michelle Alejandro
C.I V-27.668.967
Contenido
Sistemas de primer orden, segundo
orden y orden superior
1. Introducción.
2. Análisis de la respuesta transitoria de
un sistema:
1. Sistemas de primer orden.
2. Sistemas de segundo orden.
3. Sistemas de orden superior.
Introducción
Señales de prueba:
– En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario
tener una base para comparar los sistemas de control. Esto
se hace especificando señales de entrada de prueba y
comparando las respuestas de varios sistemas a estas
señales de entrada.
– Las señales de prueba que se usan regularmente son
funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidal, etc.
La respuesta estacionaria se
refiere a la manera en la
cual se comporta la salida
del sistema conforme el
tiempo tiende a infinito.
Respuesta transitoria y respuesta estacionaria
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de
dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.
La respuesta transitoria se
refiere a la que va del estado
inicial al estadofinal.
Introducción
Estabilidad absoluta y error estacionario:
– Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el
mismo estado.
– Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es
estable si la salida termina por regresar a su estado de
equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición
inicial.
– Si la salida de un sistema en estado estable no coincide
exactamente con la referencia, se dice que el sistema tiene
un error en régimen permanente (erp) o error estacionario. El
erp indica la precisión del sistema.
– Al analizar un sistema de control se debe examinar el
comportamiento de la respuesta transitoria y el
comportamiento del error estacionario.
Introducción
Sistemas de primer orden, segundo
orden y orden superior
1. Introducción.
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  • 1. Teoría del control, Sección B Profesora: Amdie Chirinos Ingeniería Electrónica #44 Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación I.U.P Santiago Mariño Extensión Mérida Alumno: León Petrella Michelle Alejandro C.I V-27.668.967
  • 2. Contenido Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior 1. Introducción. 2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema: 1. Sistemas de primer orden. 2. Sistemas de segundo orden. 3. Sistemas de orden superior.
  • 3. Introducción Señales de prueba: – En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario tener una base para comparar los sistemas de control. Esto se hace especificando señales de entrada de prueba y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada. – Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidal, etc.
  • 4. La respuesta estacionaria se refiere a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme el tiempo tiende a infinito. Respuesta transitoria y respuesta estacionaria La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria. La respuesta transitoria se refiere a la que va del estado inicial al estadofinal. Introducción
  • 5. Estabilidad absoluta y error estacionario: – Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado. – Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. – Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la referencia, se dice que el sistema tiene un error en régimen permanente (erp) o error estacionario. El erp indica la precisión del sistema. – Al analizar un sistema de control se debe examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento del error estacionario. Introducción
  • 6. Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior 1. Introducción. 2. Análisis de la respuesta transitoria de un sistema: 1. Sistemas de primer orden. 2. Sistemas de segundo orden. 3. Sistemas de orden superior. Contenido
  • 7. Análisis de la respuesta transitoria Respuesta Forzada y Natural: – Sistema continuo representado por la ecuación diferencial con salida y(t) y entrada u(t) con un conjunto de condiciones iniciales y(0), y'(0), , yn1) (0) siendo n el orden del sistema. – La obtención de la respuesta del sistema y(t) ante entrada u(t) se realiza por aplicación de la transformada de Laplace. a (sn Y(s)  sn1 y(0)  sn2 y'(0) )  a (sn1 Y (s)  sn2 y(0) ) a Y(s) n n1 0 m) a yn) yn1) n n1 1 0 m 1 0 a  a ya y b u  b ub u m m m1 m1 m1 m2 0 b (s U(s)  s u(0) ) b (s U(s)  s u(0) ) b U(s) No nulas !!! Lf n) (t)  sn F (s)  sn1 f (0)  sn2 f ' (0)  f n1) (0)
  • 8. Análisis de la respuesta transitoria Respuesta Forzada y Natural (cont.): – Reagrupando términos: con P(s) polinomio que depende de las condiciones iniciales. – La transformada de la respuesta Y(s) de un sistema continuo se puede expresar: m (a sn  a s  n1 n n1 1 0 m 1 0 a s  a )Y(s) (b s  b sb )U(s)  P(s) 0 1 n n U(s)  a s  a Y (s) n1 1 0 n n1 n1 n n1 s   a s  a s   a s  a a s  a bmsm   b1s b0 P(s) Respuesta forzada Respuesta natural
  • 9. Análisis de la respuesta transitoria Respuesta Forzada y Natural (cont.): – Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para sistemas de orden 1º, 2º y superior. – Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo respuesta natural nula. U(s) Y(s) G(s) Y(s)  G(s)U(s)
  • 10. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden: – Un sistema de primer orden (SPO) queda descrito por una ecuación diferencial de la forma y (t) a0 y(t) b0u(t) con función de transferencia – La respuesta escalón de amplitud A será: b0 s a0 G(s)  Y(s)  b0 A s(s  a0 ) Forma normalizada de la F.T. de un SPO
  • 11. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): – Descomponiendo en fracciones simples: Y(s)  K1  s s  a0 a0 s a0 K2  b0 A 1  b0 A 1 s a0 a0 respuesta de tipo exponencial. – Aplicando la transformada inversa: y(t)  b0 A (1 ea0t )1(t)
  • 12. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): – Forma estándar del SPO: a0 como parámetros específicos de un SPO. a0 – Se definen la ganancia K  b0 , la constante de tiempo T  1  K Ts 1 1 s 1 a0 G(s)  b0 a0 Forma paramétrica de la F.T. de un SPO
  • 13. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): Respuesta ante una entrada escalón unitario:
  • 14. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): Respuesta ante una entrada impulso unitario:
  • 15. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de primer orden (cont.): Respuesta ante una entrada rampa pendiente unitaria: Error en régimen permanente (erp)
  • 16. Sistemas de segundo orden: – Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por una ecuación diferencial: y  a1y a0 y  b0u con función de transferencia: – La respuesta escalón de amplitud A será: Análisis de la respuesta transitoria G(s) b0 s2  a1s  a0 s(s2  a1s  a0 ) Y (s) b0A Forma normalizada de la F.T. de un SSO
  • 17. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): – La respuesta depende de las raíces del denominador (s2  a s  a )  (s  s )(s  s ) 1 0 1 2 – Casos particulares: 1. Raíces reales distintas. 2. Raíces reales repetidas. 3. Raíces complejas conjugadas.
  • 18. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 1: Raíces reales distintas. Aplicando la transformada inversa de Laplace: y(t)  (K  K e s1t  K e s2t )1(t) 1 2 3 Se denominan sistemas sobreamortiguados.  Y(s)  K1  K2 K3 s s  s1 s s2
  • 19. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 1: Raíces reales distintas. La rapidez de respuesta depende de la colocación de los polos.
  • 20. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 2: Raíces reales repetidas. Aplicando la transformada inversa: Se denominan sistemas crítico-amortiguados. 1 1 (s  s)2  s s s  K21 K22 Y (s)  K1  st  K22te 1 )1(t) y(t)  (K1 s t  K21e 1
  • 21. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 2: Raíces reales repetidas. La rapidez de respuesta depende de la colocación del polo doble.
  • 22. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 3: Raíces complejas conjugadas. Reagrupando las dos fracciones complejas: con K'2  2Re(K2 ) y K'3  2Im(K3 ). Aplicando la transformada inversa de Laplace: y(t)  (K  K' et cos t  K ' et sint)1(t) 1 2 d 3 d Se denominan sistemas subamortiguados. K2 K3  s s  ( jd) s  ( jd) Y (s)  K1  d d s (s )2 2 (s )2 2 K '2(s ) K'3 d Y (s)  K1   K3  K* 2
  • 23. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Caso 3: Raíces complejas conjugadas. La forma de la respuesta depende de la colocación de los polos ( ,d ).
  • 24. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): – La respuesta de SSO admite otra representación alternativa en función de los parámetros: • Ganancia, K • Relación de amortiguamiento,  • Frecuencia natural NO amortiguada, n – Las raíces de la ecuación característica son: s1, s2  n jn 12   jd n K2 s 2  2ns2 G(s) n Forma paramétrica de la F.T. de un SSO Frecuencia natural amortiguada Constante de tiempo inversa
  • 25. Sistemas de segundo orden (cont.): – Interpretación geométrica de los parámetros de la F.T. de un SSO subamortiguado: – Los SSO se pueden clasificar atendiendo al valor de la constante de amortiguamiento y la ubicación de sus polos. Análisis de la respuesta transitoria   cos
  • 26. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): –  >1 (s1 y s2 reales distintos, parte real-) SOBREAMORTIGUADO –  =1 (s1 y s2 reales iguales, parte real-)  CRÍTICAMENTEAMORTIGUADO – 0<<1 (s1 y s2 conj. complejos, parte real-) SUBAMORTIGUADO – =0 (s1 y s2 sobre el ejeimaginario)  CRÍTICAMENTEESTABLE  LÍMITE DE ESTABILIDAD – -1<<0 (s1 y s2 conj. complejos, parte real+)  INESTABLE OSCILANTE – <-1 (s1 y s2 reales distintos, parte real+)  INESTABLE NO OSCILANTE OJO: Inestable!
  • 27. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): En base a la relación de amortiguamiento  constante y la frecuencia natural no amortiguada, n , constante se establecen los correspondientes lugares geométricos en el plano s.
  • 28. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta escalón de SSO para valores de ( ,n ). s(s2  a1s  a0 ) Y (s) b0A Oscilación mantenida
  • 29. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de segundo orden (cont.): Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta impulso de SSO para valores de ( ,n ). 2 2 n n K2 s  2 s  Y(s) n
  • 30. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior: – Sistema de orden superior (SOS) queda descrito por la función de transferencia G(s)  K(s  z1)(s  z2 ) (s  zm ) (s  p1)(s  p2 ) (s  pn ) con zi y pj ceros y polos en general complejos. – La respuesta escalón de amplitud A será: i1 s  pi Y(s)  G(s) A  K0   n s s Ki
  • 31. Sistemas de orden superior (cont.): Caso 1: Polos en general distintos. Aplicando la transformada inversa Análisis de la respuesta transitoria n i  p t i1 • La contribución de K0 es relativa al régimen estacionario. • La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria depende la magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa: 1. si Ki es bajo  su contribución es despreciable, y 2. si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto  su contribución es despreciable. 3. Y si Re(pi)>0 que pasaría ?? 0  i  K e )1(t) y(t) (K
  • 32. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Caso 1: Polos en general distintos. Forma de la respuesta no estandarizada
  • 33. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Caso 2: Polos en general múltiples. La respuesta escalón de amplitud A será: y aplicando transformada inversa: Para determinar la contribución de cada polo se sigue el mismo razonamiento que el caso anterior.  j r j s s s  p s  p (s  p ) K j 1 2 K1 K2 Y (s)  G(s) A  K0     )1(t) t(rj 1) e pjt 1 2 0 y(t) (K 1 2 K j K e p t  K e p t j (r 1)!  
  • 34. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): – Concepto de dominancia: • Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se denominan polos dominantes. • Transformamos un SOS en un SPO (un único polo dominante) o en un SSO (un par de polos dominantes). – Criterio de dominancia: Relación Re(pi) / Re(pd) > 5, suponiendo que no hay ceros en cercanía de pd (efecto cancelación).
  • 35. Sistemas de orden superior (cont.): Ejemplo: Dada la siguiente función de transferencia: (s 1)(s  2)(s 10.1)(s2 12.2s  54) (s 2.1) (s  4)(s2 12s  54.2) G(s)  Análisis de la respuesta transitoria y la representamos los polos y ceros en el plano complejo: Pole-Zero Map 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -10 -8 -6 -4 -2 0 -5 Real Axis Imaginary Axis Cancelación (no afecta Ks) Polo no dominante s (afecta K )
  • 36. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Ejemplo (cont.): Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el SOS y al SSO*: 0 0 1 2 4 5 6 0.8 0.6 0.4 0.2 1 1.2 1.6 1.4 1.8 2 Original Aproximado 3 Time (sec) Step Response Amplitude Al eliminar el polo no dominante (s+10.1) se modifica la ganancia estática del sistema.
  • 37. Análisis de la respuesta transitoria 0 0 1 2 4 5 6 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0.16 0.2 0.18 Original Aproximado 3 Time (sec) Step Response Amplitude Sistemas de orden superior (cont.): Ejemplo (cont.): Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el SOS y al SSO*: 0.1 ×G(s)*
  • 38. Análisis de la respuesta transitoria Sistemas de orden superior (cont.): Efecto de añadir un polo/cero al sistema: • Los polos de G(s) afectan a los exponentes en los términos i (p complejo en general) de la respuesta exponenciales e pit transitoria. • Los ceros de G(s) no afectan a los exponentes en los términos exponenciales, pero afectan las magnitudes y los signos de los residuos. • Por ejemplo: – Si añadimos un polo real negativo  Influye con una nueva exponencial  hace el sistema más lento y más estable (relativamente). – Si añadimos un cero  Influye con un residuo  hace el sistema más rápido y más inestable (relativamente).