Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior

Teoría del control, Sección B
Profesora: Amdie Chirinos
Ingeniería Electrónica #44
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
I.U.P Santiago Mariño
Extensión Mérida
Alumno:
León Petrella Michelle Alejandro
C.I V-27.668.967

Contenido
Sistemas de primer orden, segundo
orden y orden superior
1. Introducción.
2. Análisis de la respuesta transitoria de
un sistema:
1. Sistemas de primer orden.
2. Sistemas de segundo orden.
3. Sistemas de orden superior.

Introducción
Señales de prueba:
– En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario
tener una base para comparar los sistemas de control. Esto
se hace especificando señales de entrada de prueba y
comparando las respuestas de varios sistemas a estas
señales de entrada.
– Las señales de prueba que se usan regularmente son
funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidal, etc.

La respuesta estacionaria se
refiere a la manera en la
cual se comporta la salida
del sistema conforme el
tiempo tiende a infinito.
Respuesta transitoria y respuesta estacionaria
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de
dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria.
La respuesta transitoria se
refiere a la que va del estado
inicial al estadofinal.
Introducción

Estabilidad absoluta y error estacionario:
– Un sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de
cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el
mismo estado.
– Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es
estable si la salida termina por regresar a su estado de
equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición
inicial.
– Si la salida de un sistema en estado estable no coincide
exactamente con la referencia, se dice que el sistema tiene
un error en régimen permanente (erp) o error estacionario. El
erp indica la precisión del sistema.
– Al analizar un sistema de control se debe examinar el
comportamiento de la respuesta transitoria y el
comportamiento del error estacionario.
Introducción

Sistemas de primer orden, segundo
orden y orden superior
1. Introducción.
2. Análisis de la respuesta transitoria de
un sistema:
1. Sistemas de primer orden.
2. Sistemas de segundo orden.
3. Sistemas de orden superior.
Contenido

Análisis de la respuesta transitoria
Respuesta Forzada y Natural:
– Sistema continuo representado por la ecuación diferencial
con salida y(t) y entrada u(t)
con un conjunto de condiciones iniciales y(0), y'(0), , yn1)
(0)
siendo n el orden del sistema.
– La obtención de la respuesta del sistema y(t) ante entrada u(t)
se realiza por aplicación de la transformada de Laplace.
a (sn
Y(s)  sn1
y(0)  sn2
y'(0) )  a (sn1
Y (s)  sn2
y(0) ) a Y(s)
n n1 0
m)
a yn)
yn1)
n n1 1 0 m 1 0
a  a ya y b u  b ub u
m
m m1
m1
m1 m2
0
b (s U(s)  s u(0) ) b (s U(s)  s u(0) ) b U(s)
No nulas !!!
Lf n)
(t)  sn
F (s)  sn1
f (0)  sn2
f ' (0)  f n1)
(0)

Respuesta Forzada y Natural (cont.):
– Reagrupando términos:
con P(s) polinomio que depende de las condiciones iniciales.
– La transformada de la respuesta Y(s) de un sistema continuo
se puede expresar:
m
(a sn
 a s 
n1
n n1 1 0 m 1 0
a s  a )Y(s) (b s  b sb )U(s)  P(s)
0
1
n
n
U(s) 
a s  a
Y (s) n1
1 0 n n1
n1 n
n1 s   a s  a
s   a s  a a s  a
bmsm
  b1s b0 P(s)
Respuesta forzada Respuesta natural

Respuesta Forzada y Natural (cont.):
– Se particularizará el calculo de la respuesta transitoria para
sistemas de orden 1º, 2º y superior.
– Sistema caracterizado por la respuesta forzada, asumiendo
respuesta natural nula.
U(s) Y(s)
G(s)
Y(s)  G(s)U(s)

Sistemas de primer orden:
– Un sistema de primer orden (SPO) queda descrito por una
ecuación diferencial de la forma
y (t) a0 y(t) b0u(t)
con función de transferencia
– La respuesta escalón de amplitud A será:
b0
s a0
G(s) 
Y(s) 
b0 A
s(s  a0 )
Forma normalizada
de la F.T. de un SPO

Sistemas de primer orden (cont.):
– Descomponiendo en fracciones simples:
Y(s) 
K1

s s  a0 a0 s a0
K2

b0 A 1

b0 A 1
s a0
a0
respuesta de tipo exponencial.
– Aplicando la transformada inversa:
y(t) 
b0 A
(1 ea0t
)1(t)

– Forma estándar del SPO:
a0
como parámetros específicos de un SPO.
a0
– Se definen la ganancia K 
b0
, la constante de tiempo T 
1

K
Ts 1
1
s
1
a0
G(s) 
b0
a0
Forma paramétrica
de la F.T. de un
SPO

Respuesta ante una entrada escalón unitario:

Respuesta ante una entrada impulso unitario:

Respuesta ante una entrada rampa pendiente unitaria:
Error en régimen
permanente (erp)

Sistemas de segundo orden:
– Sistema de segundo orden (SSO) queda descrito por una
ecuación diferencial:
y
 a1y a0 y  b0u
con función de transferencia:
G(s) b0
s2
 a1s  a0
s(s2
 a1s  a0 )
Y (s)
b0A
Forma normalizada
de la F.T. de un SSO

Sistemas de segundo orden (cont.):
– La respuesta depende de las raíces del denominador
(s2
 a s  a )  (s  s )(s  s )
1 0 1 2
– Casos particulares:
1. Raíces reales distintas.
2. Raíces reales repetidas.
3. Raíces complejas conjugadas.

Caso 1: Raíces reales distintas.
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
y(t)  (K  K e s1t
 K e s2t
)1(t)
1 2 3
Se denominan sistemas sobreamortiguados.

Y(s) 
K1

K2 K3
s s  s1 s s2

Caso 1: Raíces reales distintas.
La rapidez de respuesta depende de la colocación de los polos.

Caso 2: Raíces reales repetidas.
Aplicando la transformada inversa:
Se denominan sistemas crítico-amortiguados.
1
1 (s  s)2

s s s

K21 K22
Y (s) 
K1
 st
 K22te 1
)1(t)
y(t)  (K1
s t
 K21e 1

Caso 2: Raíces reales repetidas.
La rapidez de respuesta depende de la colocación del polo doble.

Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
Reagrupando las dos fracciones complejas:
con K'2  2Re(K2 ) y K'3  2Im(K3 ).
Aplicando la transformada inversa de Laplace:
y(t)  (K  K' et
cos t  K ' et
sint)1(t)
1 2 d 3 d
Se denominan sistemas subamortiguados.
K2 K3

s s  ( jd) s  ( jd)
Y (s) 
K1

d
d
s (s )2
2
(s )2
2
K '2(s ) K'3 d
Y (s) 
K1
 
K3  K*
2

Caso 3: Raíces complejas conjugadas.
La forma de la respuesta depende de la colocación de los polos ( ,d ).

– La respuesta de SSO admite otra representación alternativa
en función de los parámetros:
• Ganancia, K
• Relación de amortiguamiento, 
• Frecuencia natural NO amortiguada, n
– Las raíces de la ecuación característica son:
s1, s2  n jn 12
  jd
n
K2
s 2
 2ns2
G(s) n
Forma paramétrica de
la F.T. de un SSO
Frecuencia natural
amortiguada
Constante de
tiempo inversa

– Interpretación geométrica de los parámetros de la F.T. de un
SSO subamortiguado:
– Los SSO se pueden clasificar atendiendo al valor de la
constante de amortiguamiento y la ubicación de sus polos.

 cos

–  >1 (s1 y s2 reales distintos, parte real-)
SOBREAMORTIGUADO
–  =1 (s1 y s2 reales iguales, parte real-)
 CRÍTICAMENTEAMORTIGUADO
– 0<<1 (s1 y s2 conj. complejos, parte real-)
SUBAMORTIGUADO
– =0 (s1 y s2 sobre el ejeimaginario)
 CRÍTICAMENTEESTABLE
 LÍMITE DE ESTABILIDAD
– -1<<0 (s1 y s2 conj. complejos, parte real+)
 INESTABLE OSCILANTE
– <-1 (s1 y s2 reales distintos, parte real+)
 INESTABLE NO OSCILANTE
OJO: Inestable!

En base a la relación de amortiguamiento  constante y la
frecuencia natural no amortiguada, n , constante se establecen
los correspondientes lugares geométricos en el plano s.

Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta escalón
de SSO para valores de ( ,n ).
s(s2
 a1s  a0 )
Y (s)
b0A
Oscilación
mantenida

Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta impulso
de SSO para valores de ( ,n ).
2
2
n
n
K2
s  2 s 
Y(s) n

Sistemas de orden superior:
– Sistema de orden superior (SOS) queda descrito por la
función de transferencia
G(s) 
K(s  z1)(s  z2 ) (s  zm )
(s  p1)(s  p2 ) (s  pn )
con zi y pj ceros y polos en general complejos.
i1 s  pi
Y(s)  G(s)
A

K0
 
n
s s
Ki

Sistemas de orden superior (cont.):
Caso 1: Polos en general distintos.
Aplicando la transformada inversa
n
i
 p t
i1
• La contribución de K0 es relativa al régimen estacionario.
• La contribución de cada polo pi en la respuesta transitoria
depende la magnitud del residuo Ki y de su colocación relativa:
1. si Ki es bajo  su contribución es despreciable, y
2. si Re(pi)<0 con |Re(pi)| alto  su contribución es despreciable.
3. Y si Re(pi)>0 que pasaría ??
0  i
 K e )1(t)
y(t) (K

Caso 1: Polos en general distintos.
Forma de la respuesta no estandarizada

Caso 2: Polos en general múltiples.
La respuesta escalón de amplitud A será:
y aplicando transformada inversa:
Para determinar la contribución de cada polo se sigue el mismo razonamiento que
el caso anterior.

j
r
j
s s s  p s  p (s  p )
K j
1 2
K1 K2
Y (s)  G(s)
A

K0
  
 )1(t)
t(rj 1)
e pjt
1 2
0
y(t) (K 1 2
K j
K e p t
 K e p t
j
(r 1)!
 

– Concepto de dominancia:
• Los polos más cercanos al eje imaginario jω prevalecen, y se
denominan polos dominantes.
• Transformamos un SOS en un SPO (un único polo dominante) o en un SSO (un
par de polos dominantes).
– Criterio de dominancia:
Relación Re(pi) / Re(pd) > 5, suponiendo que no hay ceros en
cercanía de pd (efecto cancelación).

Ejemplo:
Dada la siguiente función de transferencia:
(s 1)(s  2)(s 10.1)(s2
12.2s  54)
(s 2.1)
(s  4)(s2
12s  54.2)
G(s) 
y la representamos los polos y ceros en el plano complejo:
Pole-Zero Map
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-10 -8 -6 -4 -2 0
-5
Real Axis
Imaginary
Axis
Cancelación
(no afecta Ks)
Polo no dominante
s
(afecta K )

Ejemplo (cont.):
Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el
SOS y al SSO*:
0
0 1 2 4 5 6
0.8
0.6
0.4
0.2
1
1.2
1.6
1.4
1.8
2
Original
Aproximado
3
Time (sec)
Step Response
Amplitude
Al eliminar el polo no
dominante (s+10.1) se
modifica la ganancia
estática del sistema.

0
0 1 2 4 5 6
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.16
0.2
0.18
Original
Aproximado
3
Time (sec)
Step Response
Amplitude
Ejemplo (cont.):
Aplicamos un escalón de amplitud unitaria a ambos sistemas y el
SOS y al SSO*:
0.1 ×G(s)*

Efecto de añadir un polo/cero al sistema:
• Los polos de G(s) afectan a los exponentes en los términos
i
(p complejo en general) de la respuesta
exponenciales e pit
transitoria.
• Los ceros de G(s) no afectan a los exponentes en los términos exponenciales,
pero afectan las magnitudes y los signos de los residuos.
• Por ejemplo:
– Si añadimos un polo real negativo  Influye con una nueva
exponencial  hace el sistema más lento y más estable
(relativamente).
– Si añadimos un cero  Influye con un residuo  hace el sistema
más rápido y más inestable (relativamente).

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