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MATEMATICA I, PRACTICO III:
ESPACIOS VECTORIALES.
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CATEDRA PROF. J.M. VARGAS.
1. Comentarios.
1.1. Sobre la matriz P . Cada vez que se reduce una matriz A nxm,
y por lo tanto no necesaria mente cuadrada, se puede calcular la matriz
P producto de elementales que corresponden a las operaciones elementales
que se usaron para reducir A. Entonces siempre se tiene P A = RA , donde
RA es la reducida de A. P se calcula acumulando las mismas operaciones
elementales que se hacen a A pero comenzando desde la identidad nxn.
A I
e1 ↓ e1 ↓
.
. .
.
. .
er ↓ er ↓
RA P
Esta misma cuenta se puede hacer al mismo tiempo que se resuelve un
sistema lineal, s´lo que en este caso se tiene adem´s el aumento b y todo lo
o s
anterior luce as´
ı
A|b I
e1 ↓ e1 ↓
.
. .
.
. .
er ↓ er ↓
RA |˜
b P
donde ˜ = P b.
b
Date: 13 de septiembre de 2011.
1

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2. Espacios Vectoriales.
2.1. Combinaciones Lineales. Descomponga al vector v0 en t´rminos e
de los vectores v1 y v2 en forma gr´fica y planteando el correspondiente
a
sistema lineal 2x2:
1. v0 = (23, 11), v1 = (1, −1) y v2 = (1, 1)
2. v0 = (1, 1), v1 = (5, 3) y v2 = (3, 5)
3. v0 = (2, 3), v1 = (1, 2) y v2 = (−1, 1)
4. v0 = (1, 2), v1 = (−1, 1) y v2 = (3, −3)
5. v0 = (a, b), v1 = (1, −1) y v2 = (1, 2)
6. ¿Qu´ vectores v0 = (a, b) se descomponen en t´rminos de v1 = (−1, 1)
e e
y v2 = (3, −3)?
Descomponga al vector v0 en t´rminos de v1 , v2 . . . vn s´lo en forma alge-
e o
braica planteando el correspondiente sistema de ecuaciones.
1. v0 = (1, 2, 3), v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) y v3 = (0, 0, 1).
2. v0 = (1, −1, 2), v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) y v3 = (5, 0, 0).
3. v0 = (1, 7, 11), v1 = (3, 5, −1), v2 = (1, 1, 3) y v3 = (1, 0, 1).
4. v0 = (2, 1, 1), v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 1, 1) y v3 = (0, 1, 0).
5. ¿Qu´ vectores v0 = (a, b, c) se descomponen como combinaci´n lineal
e o
de los vectores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) y v3 = (5, 0, 0)?
6. ¿Qu´ vectores v0 = (a, b, c) se descomponen como combinaci´n lineal
e o
de los vectores v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 1, 1) y v3 = (0, 1, 0)?
7. v0 = (1, 0, 1, 2), v1 = (2, 1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1, 2), v3 = (0, 0, −3, 1) y
v4 = (0, 0, 0, 7).
8. v0 = (a, b, c, d), v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 0, 2, 0), v3 = (1, −1, 1, −1) y
v4 = (3, 0, 4, 0).
2.2. L´ ıneas y Planos.
1. En los siguientes casos calcular la l´ ınea que pasa por v0 y paralela a
v1 (Grafique):
a) v0 = (1, 1), v1 = (1, −1).
b) v0 = (−2, 1), v1 = (0, −1)
c) v0 = (1, 1), v1 = (1, 3)
2. En los siguientes casos detrminar la l´ ınea que pasa por v0 y v1 (Grafique):
a) v0 = (1, 1), v1 = (1, −1)
b) v0 = (3, 1), v1 = (1, −2)
c) v0 = (0, 1), v1 = (1, 0)
3. Para cada una de las lneas anteriores calcular la distancia al origen y
dar la lnea normal que pasa por el origen.
4. Determine el plano que pasa por v0 y es paralelo a v1 y v2 ; intente
graficarlo mirando cada uno de los vectores dados.
a) v0 = (0, 0, 1), v1 = (1, −1, 0) y v2 = (0, 1, −1).
b) v0 = (1, 0, 0), v1 = (0, 0, 1) y v2 = (0, 1, 0).
c) v0 = (0, 0, 0), v1 = (1, 1, 0) y v2 = (1, −1, 0).
5. Determine el plano que pasa por los vectores v0 , v1 y v2 ; intente
visualizar el plano mirando los vectores dados en el espacio.
a) v0 = (1, 0, 0), v1 = (0, 1, 0) y v2 = (0, 0, 1).
b) v0 = (1, 0, 0), v1 = (1, 1, 0) y v2 = (1, 1, 1).
c) v0 = (1, 2, 3), v1 = (−1, −2, 0) y v2 = (0, 2, 1).

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MATEMATICA I, PRACTICO III: ESPACIOS VECTORIALES. 3
6. En cada uno de los planos anteriores dar la distancia al origen y
calcular la recta normal al plano por el origen.
2.3. Independencia Lineal. En cada caso, averig¨ar qu´ vectores son
u e
combinaci´n lineal de la lista de vectores dados y decidir si son o no lineal-
o
mente independientes mediante la resoluci´n de un sistema lineal apropia-
o
do1. En caso de dependencia lineal, se debe extraer una sublista maximal
linealmente independiente entre los vectores dados.
1. v1 = (1, 0, 1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (−1, 2, 3) y v4 = (−1, 1, −1).
2. v1 = (1, 0, 1, −1), v2 = (1, 1, 0, −1), v3 = (0, −1, 1, 0) y v4 = (−1, −2, 1, 1)
3. v1 = (2, 0, 0, 1, 1), v2 = (0, −1, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1, −1) y v4 =
(2, 1, 0, 1, 0)
1 −1 2 −1 0 −1 3 −3
4. v1 = , v2 = , v3 = y v4 =
 1 1  1 3  1 0 3 4
0 1 −1 0 1 0
5. v1 =  0 0 1 , v2 =  0 0 2 ,
0 0 0 0 0 0
   
0 1 1 2 0 0
v3 =  0 0 1 , y v4 =  0 2 0 .
0 0 0 0 0 2
2.4. Subespacios. Para cada uno de los subespacios dados Usted debe
Determinar qu´ vectores pertenecen al subespacio dado.
e
Poder decidir si un vector dado est´ o no en el subespacio.
a
Ser capaz de calcular una base del subespacio.
Entender geom´tricamente las respuestas anteriores y la forma en que
e
est´ dado el subespacio.
a
1. a) Determine cu´les vectores est´n en el subespacio fila de la matriz
a a
 
1 −1 1 1
A= 1 0 1 2 
2 −1 2 3
b) Decida si el vector v0 = (1, 2, 3, 0) pertenece al subespacio fila de
A.
c) Reduciendo A obtenga una base del subespacio fila (Las filas no
nulas de la reducida de A forman una base del subespacio fila.)
d) Determine la dimensi´n del subespacio.
o
e) Exprese este subespacio como el conjunto soluci´n de un sistema
o
homog´neo.
e
2. Considere la misma matriz A del problema anterior. Determine una
base del subespacio columna de A. Exprese el subespacio columna
de A como el conjunto soluci´n de un sistema homog´neo. (Ayuda:
o e
Aumente la matriz A por un vector columna b con yi ’s como entra-
das; esto puede leerse despu´s de reducir A|b como los b’s tales que
e
pertenecen al subespacio generado por las columnas de A son exacta-
mente aquellos que hacen al sistema lineal AX = b compatibles. Luego
1Aqu´ es donde se simplifican los c´lculos si se ponen los vectores en columna y se
ı a
′
resuelve el sistema aumentado por la columna de las yi s, como se mostrara en las cuentas
hechas en el pr´ctico II, sec. Otra forma de calcular A−1
a

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las condiciones de compatibilidad—de existir—forman un sistema ho-
mog´neo que caracteriza al subespacio generado por las columnas de
e
A como el conjunto soluci´n del mismo.) Realice las mismas cuentas
o
para cada una de las siguientes matrices relativas al subespacio fila y
columna.
a)  
1 −1 1 1
 1 0 1 2 
A1 = 
 2 −1 2 3 

1 0 1 0
b)  
0 −1 1
A2 =  1 0 1 
2 −1 2
c)  
1 1 1 1
 1 1 1 2 
A3 = 
 2 2 2 3 

1 1 1 0
3. Determine el subespacio soluci´n del sistema homog´neo
o e

 x +y +2z = 0

−x −z = 0


 x +y +2z = 0
x +2y +3z = 0

como combinaci´n lineal de una lista finita de vectores. Encuentre
o
una base. Explique la relaci´n con el problema anterior.
o
4. De la lista de vectores de la subsecci´n 2.3, determine una base del
o
subespacio generado por los cuatro vectores dados (si hizo el proble-
ma, ya est´ calculado esto.) Exprese este subespacio como el conjunto
a
soluci´n de un sistema lineal homog´neo.
o e
5. Liste de acuerdo a la dimensi´n todos los subespacios de R2 y R3 .
o
(No debe hacer cuentas, s´lo debe usar el sguiente resultado: Todo
o
subespacio W de Rn es el subespacio generado por las combinaciones
lineales de alg´n conjunto finito de vectores en W .)
u