Propiedades de los vectores visto desde geometría analítica vectorial

1. Repaso para el primer cap´ ıtulo de Geometr´
ıa
Anal´ ıtica Vectorial
Ana Cristina Ch´vez C´liz
a a
13 de octubre de 2009
1. Qu´ es un vector?
e
Un vector es un conjunto ordenado de n´meros, es decir, coordenadas.
u
Tambi´n lo podemos ver como cualquier cosa que sea elemento de un espacio
e
vectorial.
Ejemplos de un espacio vectorial tenemos a los polinomios de grado mayor o
igual a 2 y las matrices.
1.1. Propiedades
1.1.1. Las Operaciones
1) Hay un proceso, llamado adici´n, por el cual se pueden combinar dos
o
vectores del conjunto, el resultado de lo cual se denomina suma; tambi´n es un
e
vector (´nico) del conjunto x + y = z (la ley de la cerradura para la suma).
u
2) Hay otro proceso, llamado multiplicaci´n, por el cual un vector x se puede
o
multiplicar por cualquier n´mero real a llamado escalar, para dar otro vector
u
y = ax
1.1.2. Los Postulados
1) Se cumple la ley conmutativa para la suma de vectores : x + y = y + x
2) Se cumple la ley asociativa para la suma de vectores : x + (y + z) =
(x + y) + z
3) Hay un vector unico, 0, en el conjunto, llamado el elemento cero o vector
´
nulo tal que x + 0 = x para todo elemento x del conjunto (Existencia de neutro
aditivo)
4) A cada elemento x le corresponde un unico elemento inverso −x del
´
conjunto, tal que x + (−x) = 0 (Existencia de inverso aditivo)
5) Una ley distributiva : a(x + y) = ax + ay
6) Otra ley distributiva : (a + b)x = ax + bx
7) Se cumple la ley asociativa para el producto de escalares y vectores de la
siguiente forma : a(bx) = (ab)x
1

2. Figura 1: Suma de vectores por m´todo del Paralelogramo
e
8) Para todo x del conjunto se cumple que : 1 · x = x
9) Para todo x del conjunto se cumple que : 0 · x = 0
1
10) Para todo x del conjunto existe el escalar |x| tal que el producto de
el vector con este escalar da como resultado un vector de norma 1, pero con
direcci´n y sentido igual al del vector original.
o
2. Cosas a tomar en cuenta
1. Un vector es igual a otro s´ y s´lo s´ ambos vectores tienen la misma
ı o ı
norma, direcci´n y sentido: por lo tanto podemos concluir que en vectores, no
o
importa la posici´n en la que se encuentren; pues hablamos de vectores libres.
o
2. El tama˜o se denomina norma; para un vector u su norma se escribe como
n
|u|. Si un vector va de la coordenada (a1 , a2 , a3 ) a (b1 , b2 , b3 ) la norma de dicho
vector est´ dado por la siguiente f´rmula: |u| = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + (a3 − b3 )2
a o
3. La suma s´lo se da entre vectores, y la suma se puede efectuar mediante
o
dos m´todos:
e
e ´
3a. M´todo del paralelogramo: Este m´todo nos permite sumar solo dos vec-
e
tores a la vez; consiste en trasladar los vectores (llam´moslos u y v de forma que
e
ambos tengan el mismo origen, y luego, completar un paralelogramo: copiando
el vector u, poniendo su inicio en el final del vector original v; y copiando el
vector v, poniendo su inicio en el final del vector original u. El vector u + v
tendr´ su inicio en el origen de los vectores, y el final en donde se unen las
a
flechas de los vectores como podemos ver en la figura 1; tambi´n en esta figura
e
podemos ver c´mo encontrar el vector u − v
o
3b. M´todo del pol´
e ıgono: Este m´todo sirve para sumar m´s de dos vectores
e a
a la vez,y se construye de la siguiente manera: Llamemos a los vectores a sumar
u1 , u2 , . . . un . entonces trasladamos el inicio del vector u2 al final del vector u1 ,
trasladamos el inicio del vector u3 al final del vector u2 , y as´ sucesivamente,
ı
como indica la figura 2. El vector resultante tendr´ inicio en donde empieza el
a
vector u1 y fin en el t´rmino del vector un
e
4. Los vectores se pueden multiplicar por escalares:
4a. Cuando el escalar (k) es positivo, obtenemos un vector con la misma
direcci´n y sentido, y con magnitud resultante |ku|
o
2

3. Figura 2: Suma de vectores por m´todo del Pol´
e ıgono
4b. Cuando multiplicamos por un escalar (q) negativo, obtenemos un vector
con la misma direcci´n, pero sentido opuesto
o
5. Sobre los ´ngulos: para calcular el ´ngulo entre dos vectores, se trasladan
a a
de forma que tengan el mismo origen.
6. Los vectores los podemos pensar basados en el origen, estos son los vectores
posici´n, que se escriben como suma de vectores unitarios i (en el sentido del
o
eje x), j (en el sentido del eje y) y k (en el sentido del eje z), de la siguiente
forma: ai + bj + ck, donde a, b y c son las coordenadas que tendr´ el punto final
ıa
del vector si lo trasladaramos al origen. Para sumar vectores posici´n, basta con
o
sumar las coordenadas correspondientes.
7. Teorema: Dos vectores u y u son paralelos si y solo si existe un escalar k
tal que u = kv o bien que existe un escalar l tal que v = lu
8a. Para pasar de coordenadas cartesianas (a, b) a coordenadas polares (radio
r, con ´ngulo α) usamos las siguientes f´rmulas:
a o
r= a2 + b2
b
α = arctan
a
8b.Para pasar de coordenadas polares (radio r, con ´ngulo α) a coordenadas
a
cartesianas (a, b) usamos las siguientes f´rmulas:
o
a = r cos α
b = r sen α
3. ´
Angulos
3.1. Cosenos directores
En el espacio, al trasladar un vector al origen, podemos notar que el vector
forma ´ngulos con los ejes x, y y z; al ´ngulo formado con el eje x le denominamos
a a
α, al ´ngulo formado con el eje y le denominamos β y al ´ngulo formado con el
a a
eje z le denominamos γ, como muestra la figura 3. Llamamos Cosenos directores
3

4. Figura 3: Vector en el espacio
a los cosenos de los ´ngulos α, β y γ, los cuales est´n dados por las siguientes
a a
f´rmulas:
o
a
cos α = √
a2 + b2 + c2
b
cos β = √
a2+ b2 + c2
c
cos γ = √
a 2 + b2 + c2
Adem´s tenemos que cos2 a+cos2 b+cos2 c = 1, y afirmamos que dos vectores
a
tienen el mismo sentido si y solo si sus cosenos directores son iguales.
3.2. ´
Angulo entre vectores
Si conocemos dos vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, y queremos
conocer el ´ngulo δ que hay entre estos dos vectores, usamos la f´rmula: cos δ =
a o
ap+bq+cr
√ 2 2 2.
√
2 2
a +b +c 2 p +q +r
ap+bq
√
En el plano, la f´rmula es similar: cos δ =
o √
a2 +b2 p2 +q 2
4

5. 3.3. Producto punto punto o producto escalar
Ya habiamos dicho que el producto entre un vector y un escalar resultaba
otro vector; pero, cuando multimplicamos dos vectores, obtenemos un escalar. A
este procedimiento, se le conoce como producto punto punto o producto escalar,
y en general, para dos vectores u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, el producto
punto entre u y v se escribe como u · v = ap + bq + cr.
Si ponemos atenci´n, podremos notar que ´sta ultima parte es precisamente
o e ´
la que aparece como numerador en la √ rmula para calcular el ´ngulo entre dos
f´
o a
vectores, mientras que las expresiones a2 + b2 + c2 y p2 + q 2 + r2 correspon-
den a las normas de los vectores u y v, respectivamente, por lo que podemos
reducir la f´rmula a la siguiente expresi´n:
o o
u·v
cos δ = ⇒ u · v = |u||v| cos δ
|u||v|
Este ultimo despeje nos permite ver que si el producto punto entre dos
´
vectores dados es cero, entonces estos vectores son perpendiculares.
Como observaci´n, agregamos que el producto punto entre dos vectores es
o
menor ´ igual al producto de sus normas; dicho de otra forma:
o
u · v ≤ |u||v|
3.4. Producto cruz
Ahora, ya sabemos como comprobar que dos vectores son perpendiculares
(simplemente comprobamos que su producto punto sea cero). En esta secci´n o
aprenderemos como, dado un vector, encontrar uno perpendicular a ´l. e
En el plano (R2 ), dado un vector u = ai+bj, basta con invertir los coeficientes
de i y j y cambiar el signo de uno de ellos, en este caso, un vector perpendicular
ser´ v = bi − aj o bien v = −bi + aj
ıa
En el espacio (R3 ), usamos el producto cruz, es decir, dados los vectores
u = ai + bj + ck y v = pi + qj + rk, el producto cruz de u y v se escribe como:
u × v = (u2 v3 − v2 u3 )i + (u3 v1 − v3 u1 )j + (u1 v2 − v1 u2 )k
Debido a que el producto cruz arroja un vector que es perpendicular a otros
dos vectores, esta operaci´n solo puede hacerse en el espacio. Sobre el vector
o
resultante de esta operaci´n, para determinar el sentido correcto, se usa la regla
o
de la mano derecha: colocamos el pulgar en el sentido del vector u, y el ´ ındice
en el vector v; el dedo medio nos indicar´ el sentido del vector u × v.
a
Otras cosas interesantes sobre el producto cruz, es que, la magnitud que
arroja esta operaci´n est´ dada por la expresi´n |u × v| = |u||v| sin δ; y re-
o a o
sulta ser que este resultado, desde el punto de vista geom´trico, es el ´rea del
e a
paralelogramo formado por u y u.
Tambi´n, como observaci´n, recordemos que si el producto cruz de dos vec-
e o
tores es 0, entonces esos dos vectores son paralelos (tambi´n se cumple el rec´
e ıpro-
co)
5

6. 4. Triple producto escalar
Llamamos triple producto escalar a la expresi´n u · (v × w) o bien (u × v) · w
o
(son lo mismo); y representan el volumen del paralelep´ ıpedo formado por los
vectores u, v y w.
5. Triple producto vectorial
Llamamos triple producto vectorial a la expresi´n u × (v × w).
o
Sin embargo, al contrario que en el triple producto escalar, u×(v×w) = (u×
v) × w. Por lo tanto hay dos tipos de producto vectorial: izquierdo (u × (v × w))
y derecho ((u × v) × w).
Es f´cil ver que el vector resultante del triple producto vectorial (por ejemplo,
a
de u × (v × w)) es un vector perpendicular a u y a v × w.
Un teorema importante sobre el triple producto vectorial nos dice que ´ste e
producto se puede calcular mediante la siguiente f´rmula:
o
u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w
6