Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
01/08/2017 GUSTAVO SALINAS E. 1

ESPACIO VECTORIAL
SUBESPACIO VECTORIAL
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
BASES SUBASE Y CAMBIO DE BASE
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CONTENIDOS
METODOS DE RESOLUCIÓN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
PROPIEDADES
INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN
 Cuando se estudia operaciones de vectores en Física y graficamos vectores en el espacio
tridimensional, acostumbramos a representar cada punto o vector con tres coordenadas que nos
indican su posición o desplazamiento respecto a cada eje, (derecha o izquierda, adelante o atrás
y arriba o abajo). En este sentido estamos acostumbrados a sumar vectores de tres coordenadas:
A = (4, 5, -2) y B = (3, 1, 6), si sumamos A + B, tenemos (4 , 5, -2) + (3, 1, 6) = (7, 6, 4).
De igual manera al multiplicar un vector por un número, 3A = 3(4, 5, -2)= (12, 15, -6).
A pesar que sabemos operar con vectores, sin embargo, no hemos observado detenidamente las
propiedades que surgen de estas operaciones, ni la existencia de otros conjuntos con las mismas
propiedades; como son los espacios vectoriales.
EJEMPLO 1:
 También cuando trabajamos con polinomios de grado inferior o igual a 2, todos serán de la forma
ax2 + bx + c, estamos acostumbrados a sumar polinomios:

EJEMPLO 2:
2 2
1 24 3 2 y 6 2 5P x x P x x     
2 2 2
1 2 (4 3 2) (6 2 5) 10 3P P x x x x x x         
, si sumamos P1 + P2, tenemos:
INTRODUCCIÓN
Así mismo si multiplicamos un número por un polinomio:
Al comparar detenidamente las operaciones realizadas en estos dos ejemplos. ¿No creen
que tienen una misma estructura?. Veamos las propiedades que tienen en común estas
operaciones.
P = 5P = 5(4x2 - 3x +2)
 = 5
P = (4x2 - 3x +2)
P = 5P = 20x2 -15x +10

INTRODUCCIÓN
En los ejemplos anteriores hay una operación interna de suma, en la que operamos vectores
con los mismos vectores (o polinomios), y una operación externa de producto, en la que
multiplicamos vectores con otros elementos externos, que no son vectores ni polinomios, son
números reales.
Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores en el
estudio del Álgebra Lineal es el siguiente:
 Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro
vector.
 Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

INTRODUCCIÓN
Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en
los vectores de R2 y R3 :
En lo sucesivo, para nuestro estudio utilizaremos habitualmente la siguiente
notación:
, , , , , ..... (u otras letras latinas).u v w x y
r r ur r ur
Para los escalares, letras griegas como:
Para vectores:
, , , , ........ (ó la primeras letras del alfabeto en minúsculas)   

Los espacios R2 y R3 tienen ciertas propiedades en común con otros conjuntos de
objetos matemáticos como por ejemplo los polinomios de grado n o las matrices m
× n. Tales propiedades permiten deﬁnir un espacio vectorial (también llamado
espacio lineal). Un conjunto V es un espacio vectorial y sus elementos se llaman
vectores, si la adición de vectores y la multiplicación por un escalar están
deﬁnidos, y ∀ u, v, w ∈ V, y ,  ∈ R, se cumple:
PROPIEDADES
Propiedad de cerradura
1. Ley de composición interna: u + v ∈ V.
2. Producto de un escalar por un vector: u ∈ V.

PROPIEDADES
Propiedades de la suma de vectores.
Propiedades del producto de un vector por un escalar.
3 2
Si , , R y , R , entonces se tienen las siguientes propiedades:v w u   
1. Propiedad Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)
2. Propiedad Conmutativa: v + u = u + v.
3. Existe un elemento neutro: v + 0 = v
4. Existe un elemento opuesto o inverso: v + (-v) = 0
5. Propiedad Asociativa: ( v) = ( ) v
6. Propiedad Distributiva: Respecto de la suma de vectores: (u + v) =  u +  v
8. Existe un elemento unidad: 1 v = v
7. Propiedad Distributiva: Respecto de la suma de escalares: v( + ) = v +  v

VECTORES EN Rn
Un vector en el n-espacio es representado por un n-tuple ordenado:
Un par ordenado: (x1, x2).
Un triple ordenado: (x1, x2, x3).
Un cuadruple ordenado: (x1, x2, x3, x4).
Un n-tuple ordenado: (x1, x2, x3, …….., xn).
R1 = 1 – espacio = conjunto de todos los números reales.
R2 = 2 – espacio = conjunto de todos los pares ordenados de números reales.
R3 = 3 – espacio = conjunto de todos triples ordenados de números reales.
R4 = 4 – espacio = conjunto de todos los cuádruples ordenados de números reales.
Rn = n – espacio = conjunto de todos los n-tuples ordenados de números reales.
Un n-tuple ordenado (x1, x2, x3, …….., xn), puede ser considerado como un punto en Rn
con los xi como coordenadas o bien puede ser considerado como un vector:
X = (x1, x2, x3, …….., xn). VECTOR EN Rn

OPERACIONES ESTANDAR EN Rn
Sean u = (u1, u2, u3, ……… , un) y v = (v1, v2, v3, ……… , vn) ∈ Rn. Sea  un
número real.
1. La suma de u y v está definida por el vector:
1 2 3 1 2 3, , , , ) ( , , , ,( )n nu uu u u v v vv v   
1 1 2 2 3 3, , , , )( n nu v u v uu v v u v     
La multiplicación de v por  está definida por el vector:
1 2 3( , , , , )nv vv v v  
1 2 3, , , , )nv v v vv    

ESPACIO VECTORIAL.
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no
vacío; una operación interna (suma definida para los elementos del conjunto) y una
operación externa (llamada producto por un escalar definida entre dicho conjunto y
un cuerpo matemático).
El espacio vectorial se denota por: (V,K,+,.), o
simplemente (V, +, ). Las dos operaciones
tienen sus propias propiedades.
 SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V:
Si , , entonces .u v V u v V  
r r r r
 PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL:
Si y , entonces . .R v V v V   
r r
Se dice que (V, +, ), es un espacio vectorial
sobre R si las operaciones cumplen con las
siguientes propiedades:

 SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V:
 PRODUCTO POR UN NÚMERO REAL:
 ASOCIATIVA:
 CONMUTATIVA:
 ELEMENTO NEUTRO:
 ELEMENTO OPUESTO:
( ) ( )u v w u v w    
r r ur r r ur
u v v u  
r r r r
Es un vector al que llamaremos 0 tal que si ,
entonces: 0 .
v V
v v

 
r r
r r r
Para todo vector , existe un vector al que
llamaremos opuesto y designaremos como:
- , tal que: ( ) 0.
v V
v V v v

   
r
r r r r
 ASOCIATIVA: ( . ). .( . )u u   
r r
 DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES: ( ). . . )u u u     
r r r

 DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES: .( ) . . )u v u v    
r r r r
 ELEMENTO UNIDAD: Si , entonces: 1. .v V v v 
r r r
Las matrices del orden mxn, K-espacio vectorial es Kmxn (K = R ó C) el conjunto de
matrices de m filas por n columnas cuyas componentes son elementos de K, con la
suma y producto por escalares usuales:
El elemento neutro es la matriz nula, que es aquella cuyos elementos son todos nulos y el
opuesto de una matriz A de componentes aij es la matriz B de componentes bij = −aij .
SUMA DE MATRICES
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

EJEMPLO 1: R2 es el conjunto de todos los pares de números reales como por ejemplo:
1
(2,3); ( 3, ).
5

EJEMPLO 2: R3 es el conjunto de todos las ternas de números reales como por ejemplo:
1
(2, , 6); ( 2,1, 0).
3

EJEMPLO 3: Consideren: (2, 1,3); ( 1,2,0); (3,0,1). 3; 2.u v w         
r r ur
Elementos de R3 y R respectivamente. Comprobar las ocho propiedades de
Un espacio vectorial.
EJEMPLO 4: Sean el campo de los números reales y el conjunto  / 0,T x x x R  
Con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas como:
x, y T.x y xy   
x T, .x xy R    
Determinar si dicho conjunto es un espacio vectorial.

SUBESPACIOS VECTORIALES.
Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V (S  V), sobre un campo K. S es un
subespacio vectorial de V, si S es un espacio vectorial sobre el campo K con las operaciones
de suma y multiplicación por un escalar definidas en V
El concepto queda especifica que el subespacio tiene todas las propiedades algebraicas del
espacio vectorial; esto quiere decir que no es necesario probar los diez axiomas requeridos
para el espacio vectorial, ya que las propiedades son heredadas del espacio padre al
subespacio hijo. S es un subespacio vectorial V sobre el campo K, donde
si se cumple:
, ,u v S y K 
r r
.
0
u v S
u S
S

  
 
 
r r
r
r

INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS:
Es la primera operación que vamos a considerar con un número finito de estos conjuntos.
Entonces
S1 S2 = {(x1, x2, x3)/ -x1=x3  x3= 0 }  R3
1.- S1= (x1, x2) / x2= 3 x1}  R2 y S2= (x1, x2) / x1+ x2= 0}  R2
Ejemplos:
Entonces:
S1  S2 = { (x1, x2) / x2= 3 x1  x1+ x2= 0} = { (0;0) }  R2
2.- S1= {(x1, x2, x3)/ -x1=x3}  R3 y S2= {(x1, x2, x3)/ x3= 0 }  R3
Siendo S1 un plano y S2 también, luego la
intersección de ambos en R3 es una recta (eje y).

EJEMPLO 1: Dados los subespacios vectoriales:
   ( , , ) / 0 ( , , ) / 2 0A x y z x y z R B x y z x y z R         
Verificar si el conjunto A  B es un subespacio vectorial.
Geométricamente se puede observar en las gráficas, que los subespacios A y B definen cada uno
un plano y las restricciones son las ecuaciones:
: 0A x y z   : 2 0B x y z  

Entonces, la intersección entre dos plano debe ser una recta.
El primer paso será obtener el subconjunto, el cuál nace al
hacer cumplir las dos condiciones al mismo tiempo.
0
2 0
2 0
2
x y z
x y z
x z
z x
  
  
 

2 0
3 0
3
x y x
x y
y x
  
 

El subespacio buscado es:  ( ,3 ,2 ) / ,S x x x x R 
Son las restricciones que satisfacen tanto al subespacio A como al subespacio B.
El elemento neutro. Si x = 0, se obtiene el vector (0, 0, 0). Se cumple la propiedad.
Cerradura para la suma de vectores. Si x + y = z, se obtiene:
( ,3 ,2 ) ( ,3 ,2 ) ( ,3 3 ,2 2 )
( ,3 ,2 )
x x x y y y x y x y x y
z z z
    
 La propiedad se cumple.
Por lo tanto, se concluye que el conjunto A  B, es un subespacio vectorial.

EJEMPLO 2: Si A = { (x, y)  R2 / x = y }
x y = x y

EJEMPLO 3: B = { (x, y) / y = 2 }
x y = 2 y
x y = -x + 3 y
C = { (x, y) / y + x = 3 }EJEMPLO 4:

EJEMPLO 5: D= { (x, y) / x = y / 2 }
2
y
x  xy 2
x y = 2x y

F = { (x, y, z) / z = 0 }EJEMPLO 6:

Observación: Nosotros estamos trabajando con espacios
vectoriales reales, o sea que los escalares son números reales.
COMBINACIÓN LINEAL.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
1 21 2 ...... nnv u u u u       
r r r r r
donde, , son escalares.1 2, ,......, n  
Sean y dos vectores del espacio vectorial R3, que sean distintos de . Se dice que
cuando se puede escribir en función de ellos.
v
r
u
r
0
r
,v V
r
Determinar si el vector (1, 0, 4) es combinación lineal de los vectores (1, 0, 1) y (0, 0, 2).
EJEMPLO 1: Determinar si el vector (8, 20) es combinación lineal de (1, 2) y (3, 7).
EJEMPLO 2:
(1,0, 4) (1,0,1) (0,0, 2
w u v 
 
 
 
ur r r

Determinar si el vector (3,7,1) es combinación lineal de los vectores (1,2,7) y (2,5,0).EJEMPLO 3:
(1,0, 4) 0,0 0, 2     
1
2 4
2 4
4 1
2
3
2

 
 



 
 



EJEMPLO 4: Para que valores de k, el vector (1, 2, 3) es combinación lineal de los vectores
(1,0,0), (0,1,0) y (0,2,k).

EJEMPLO 4: Para que valores de k, el vector (1, 2, 3) es combinación lineal de los vectores
(1,0,0), (0,1,0) y (0,2,k).
Determinar el valor de x para que el vector (1; x; 5) ∈ R3 pertenezca al subespacio
{ (1; 2; 3); (1; 1; 1) }.
EJEMPLO 5:

CONJUNTO GENERADOR.
1 2
1 2
1 2
Sea { , ,....., }, un conjunto de vectores de un espacio vectorial . So todo vector
de puede expresarse como combinación lineal de , ,....., , entonces se dice que:
{ , ,.....,
n
n
v v v V
V v v v
v v v
r r r ur
ur r r r
r r
1 2}, es un conjunto generador de V ó también , ,....., generan V.n nv v v
r r r r
EJEMPLO 1: ¿Es el conjunto {(1,1),(1,–1)} generador de R2?
SOLUCIÓN
2
x
y
x y
 
 

 
 
 
( , ) ,
( , ) (1,1) (1, 1)
x y
x y x
y
   
   
 
  

     
  
2 .
2
x y
x y  

   

.
2
x y
y   

   


EJEMPLO 2:
¿Es el conjunto {(1,1),(1,–1),(2,0)} generador de R2?
EJEMPLO 3: ¿Es el conjunto (1,0,0),(0,1,0),(1,1,1) generador de R3?
Las combinaciones lineales de los vectores (1,0,2),(0,0,1) son los vectores
coplanares con (1,0,2) y (0,0,1):
EJEMPLO 4:

VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES.
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación
lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la
combinación lineal.
1 21 2 ...... 0nnu u u     
r r r
PROPIEDADES.
 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de
ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
1 21 2 ...... 0nnu u u     
r r r
donde por lo menos uno de los coeficientes i es diferente de cero.

Supongamos que 1 ≠ 0. Entonces resulta:
Por lo tanto, el vector v1 es combinación lineal de los demás.
2
1 2
1 1
...... n
nv v v

 
   
       
   
r r r
 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son
paralelos.
 Dos vectores libres del plano.
VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito
como una combinación lineal de los restantes.
1 21 2 ...... 0nnu u u     
r r r
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no
son proporcionales.
1 2 ........ 0n     

 u y j son dependientes por tener la misma dirección.
 u y v son independientes y definen el plano P.
 u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
 u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación
lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores
definen el espacio tridimensional.
 Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son
dependientes ya que o = 0 ·k
ANÁLISIS DE LOS VECTORES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES.

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA.
Observación previa: En lo que sigue consideramos los vectores colocados a partir del origen de coordenadas.
De [1] resulta que dos vectores v1y v2 son linealmente dependientes (LD) si y sólo si uno de ellos es un múltiplo
escalar del otro.
Podemos afirmar entonces que dos vectores en R2 o R3 son LD si y sólo si están sobre la misma recta que pasa
por el origen (vectores paralelos).

En R3, tres vectores v1, v2,v3, son LD si y sólo si están situados en el mismo plano que pasa por el origen
(vectores coplanares).

Criterio para determinar la dependencia o independencia lineal de tres vectores del espacio.
Otro método para conocer si uno o más vectores son linealmente dependientes o independientes,
basta con encontrar el determinante formado por los tres vectores. Si este determinante es cero,
los vectores son linealmente dependientes; en caso contrario serán linealmente independientes.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
u u u
v v v
w w w

1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
u u u
v v v
w w w

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de
la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es
menor que 3.
Los vectores son linealmente independientes si
el determinante de la matriz que forman es diferente de cero.

¿Es el conjunto {(1,1),(1,–1)} linealmente independiente (LI) o linealmente dependiente (LD)?EJEMPLO 1:
(0,0) (1,1) (1, 1)   
SOLUCIÓN
0
0 0
0
 
 
 
 
   
 
Luego el conjunto es linealmente independiente (LI).
EJEMPLO 2: ¿Es el conjunto {(1,1),(1,–1),(2,0)} LI o LD?

EJEMPLO 3:
Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
= (2, 3, 1), = (1, 0, 1), = (0, 3, −1)u
r
v
r
w
ur
Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores:EJEMPLO 4:
u
r
w
ur(3, , 6),
( 2,1, 3),
(1, 2,4).
u k
v k
w k
 
  
 
r
r
ur
v
r
Escribir como combinación lineal de y , siendo k el
valor calculado.
EJEMPLO 5: En el espacio vectorial R3, los vectores (1;-1; 1); (1; 0; 0); (1; 1; 0) son
linealmente independientes o dependientes.

BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Un conjunto de vectores B={v1,v2,…,vn} de un espacio vectorial V, se denomina base de V, si y
sólo si:
i. B es linealmente independiente;
ii. B genera a V.
Tres vectores , y con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del
espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.
u
r
v
r
w
ur
.x u v w    
r r r ur
( , , ).x   
r

Una base es ortogonal si los vectores de la base
son perpendiculares entre sí y tienen distinto módulo.
Base Ortogonal
Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios, es decir,
de módulo 1. A la base ortonormal también se le denomina base
canónica.
Base Ortonormal

La dimensión de un espacio vectorial V es la cantidad de vectores que componen una base de V.
Si B = {v1,v2,…,vn}, es una base de V, la dimensión de V es n y lo indicamos como dim(V) = n.
Sea S un espacio o subespacio de dimensión n. Entonces:Teorema 1:
• Si tenemos n vectores linealmente independiente en S, también serán sistema generador de S.
• Si tenemos n vectores que generan S, también serán linealmente independientes.
Teorema 2: En un espacio o subespacio de dimensión n:
• Un conjunto de más de n vectores nunca puede ser linealmente independiente.
• Un conjunto de menos de n vectores nunca puede ser sistema generador.

EJEMPLO 1: ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base?
4
a) (2,1), ( 1,3) b) (4,3), ( ,1)
3
u v u v    
r r r r

Si u es el vector que tiene como coordenadas (5, –6) en la base (1,2) (3,4), ¿cuál es el vector u?
Consideremos el vector v = (2,2,3) perteneciente a S. Hallemos las coordenadas de
este vector respecto a la base (1,1,0), (0,0,1) de S.
EJEMPLO 2:
EJEMPLO 3:

Sea un vector en un espacio vectorial V de dimensiones finitas y sean:
CAMBIO DE BASE
v
r
   ´ ' ' '
1 2 1 2, ,........., y B , ,......,n nv v v u u u   dos bases entre     '
B B
V y V
está dada por :   '
B B
V P V
La matriz P es invertible y se denomina matriz de transición (o matriz de cambio de
bases) de B a B’.
Si P es matriz de transición de B a B’, entonces P-1 es la matriz de transición de B’ a B.
EJEMPLO 1:
(Ya que ).
Sea la base canónica de , y otra base de
Sea un vector de (Es decir
Vamos a calcular sus coordenadas respecto a

CAMBIO DE BASE
La matriz de paso de a será y
Veamos ahora qué vector de tiene como coordenadas respecto de
(Es decir Sus coordenadas respecto a serán:

CAMBIO DE BASE

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA

TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS CON DOS INCÓGNITAS

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MÁS DE TRES INCÓGNITAS
Método de Gauss
Método de la matriz inversa

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MÁS DE TRES INCÓGNITAS
Regla de Cramer

EJEMPLO 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por los tres métodos.
2 11
3 20
4 2 5 8
x y z
x y
x y z
  

  
   
a) Aplicando el método de Gauss
2 1 1 11
La matriz ampliada es (A B)= 1 3 0 20
4 2 5 8
 
 
  
 
 
2 1 1 11 2 1 1 11
1 3 0 20 0 7 1 51
4 2 5 8 0 0 7 14
    
   
      
      
F2 = 2F2 - F1
F3 = F3 - 2F1
2 1 1 11 2 11
0 7 1 51 7 51
0 0 7 14 7 14
x y z
y z
z
     
 
       
     

14
2
72 11
51 51 2( 2)
7 51 7
7 7
7 14
11 11 7 2
1
2 2
z
x y z
z
y z y
z
y z
x

   
   
     
        
      
  

b) Aplicando el método de la Matriz Inversa
2 1 1
La matriz de coeficientes es 1 3 0
4 2 5
 
 
 
 
 
A continuación encontramos el determinante para verificar si la matriz es invertible:
2 1 1 2 1
1 3 0 1 3 (2)( 3)(5) (1)(0)(0) ( 1)(1)(2) ( 1)( 3)(4) (2)(0)(2) (1)(1)(5)
4 2 5 4 2
 
 
            
 
 
(2)( 3)(5) (1)(0)(0) ( 1)(1)(2) ( 1)( 3)(4) (2)(0)(2) (1)(1)(5)
30 0 2 12 0 5 49
         
        

1
Como el det(A) 49, entonces la matriz es invertible. Por lo tanto y según la matriz X = A B
 
1
2 1 1 11
1 3 0 20
4 2 5 8
x
y
z

     
     
       
     
     
1
3 0 1 0 1 3
2 5 4 5 4 2
2 1 1
1 1 2 1 2 1
1 3 0
2 5 4 5 4 2
4 2 5
1 1 2 1 2 1
3 0 1 0 1 3

   
  
 
               
   
      
Calculamos la matriz inversa:
15 5 14
. 7 14 0
3 1 7
Aadj
  
 
  
    
15 7 3
( ) 5 14 1
14 0 7
T
Aadj
   
 
   
  

15 7 3
( ) 5 14 1
14 0 7
T
Aadj
   
 
   
  
15 7 3
49 49 49
1 5 14 1
49 49 49
0 714
49 49 49
15 7 3
( ) 1
5 14 1
det( ) 49
14 0 7
T
Aadj
A
A
  
  
  
  

  
     
  
              
15 7 3 15 31
49 49 49 49 7 49
1 5 514 1 2 1
49 49 49 49 7 49
0 714 2 1
49 49 49 7 70
A
  
  
   
  
 
  
   
   
    
   
   
15 3 15 31 1
49 7 49 49 7 49
5 52 1 2 1
49 7 49 49 7 49
2 1 2 1
7 7 7 7
11 .11 20. .8
. 20 .11 ( 20) .8
0 8 .11 0( 20) .8
x
y
z


       
      
           
               

15 31
49 7 49
5 2 1
49 7 49
2 1
7 7
.11 ( 20) .8 1
.11 ( 20) .8 7
.11 0( 20) .8 2
x
y
z
      
    
        
            
1 1
7 7
2 2
x x
y y
z z
    
   
     
         

c) Aplicando el método de Cramer (Determinantes)
Como ya tenemos el determinante de los coeficientes. Ahora encontramos el determinante de
cada incógnita, tomando en cuenta cuando se trata de su respectiva variable, en su columna se
sustituye los términos independientes.
11 1 1
20 3 0
8 2 5 49
1
49 49
x
 
 
  
     
 
Det(A) = -49
2 11 1
1 20 0
4 8 5 343
7
49 49
y
 
 
 
     
 
2 1 11
1 3 20
4 2 8 98
2
49 49
z
 
 
  
 
    
 

EJEMPLO 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por los métodos conocidos.

http://es.calameo.com/read/0028417416e4655e4af90
https://es.slideshare.net/linox92/cap3-esp-vectoriales

Métodos directos :
Método de Gauss (por reducción)
Método de Cramer (por determinantes)
Por inversión de la matriz
Dado un sistema de "m" ecuaciones con "n" incógnitas se trata de obtener un
sistema equivalente cuya 1ª ecuación tenga n incógnitas, la segunda n-1, la
tercera n-2, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación, que tendrá
una sola incógnita. Hecho esto, resolvemos la última ecuación, a continuación
la penúltima, y así hasta llegar a la primera. Es decir, el método de Gauss
consiste en triangular la matriz de coeficientes.
Ejemplo:
Método de Gauss (por reducción)

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas n=m y el
determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Es decir, un sistema de
Cramer es, por definición, compatible determinado y, por tanto, tiene siempre una
solución única.
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el
determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se
obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los
términos independientes.
Método de Cramer (por determinantes)
Ejemplo:

Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de
incógnitas n=m y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de
cero. Es decir, resuelve sistemas compatibles determinados (no-
homogéneos).
Por inversión de la matriz
Ejemplo:

GRACIAS

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