1.0 factorizando trinomios y haciendo tablas

Factorizando trinomios y haciendo tablas

Un trinomio (tres términos) en x es un polinomio de la forma
ax2 + bx + c, con a ≠ 0, donde a, b y c son números.

Podemos obtener un trinomio al multiplicar dos binomios,
(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
Por ejemplo, (x + 2)(x + 1)  x2 + 3x + 2, donde a = 1, b = 3
y c = 2.

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
Así que "factorizar un trinomio" es expresar un trinomio como el
producto de dos binomios,

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
producto de dos binomios, es decir,
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
Hay dos tipos de trinomios,

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
l. Aquellos que son factorizables, como
x2 + 3x + 2  (x + 2)(x + 1)

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
x2 + 3x + 2  (x + 2)(x + 1)
ll. Aquellos que son primos o no factorizables, como
x2 + 2x + 3

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
x2 + 3x + 2  (x + 2)(x + 1)
x2 + 2x + 3  (#x + #)(#x + #) (¡No es posible!)

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
x2 + 3x + 2  (x + 2)(x + 1)
x2 + 2x + 3  (#x + #)(#x + #)
Nosotros determinaremos cuales trinomios:
(¡No es posible!)

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
x2 + 3x + 2  (x + 2)(x + 1)
x2 + 2x + 3  (#x + #)(#x + #)
1. Son factorizables, y los factorizaremos,
(¡No es posible!)

(#x + #)(#x + #)  ax2 + bx + c.
y c = 2.
ax2 + bx + c  (#x + #)(#x + #).
x2 + 3x + 2  (x + 2)(x + 1)
x2 + 2x + 3  (#x + #)(#x + #)
1. Son factorizables, y los factorizaremos,
2. Son primos, para no perder tiempo tratando de factorizarlos.
(¡No es posible!)

Una forma de identificar el tipo de trinomio que tenemos es
haciendo una tabla.

haciendo una tabla.
Una tabla es una forma de organizar gran cantidad de
información de manera que resulte fácil de leer

haciendo una tabla.
Las tablas que haremos son tablas de números.

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
Dada la siguiente tabla,
encuentra dos números u y v
tales que:
i. u*v sea el número superior
ii. u + v sea el número inferior
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
I II
12 12
97
vu vu
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
I II
12 12
97
Enlistemos todos los u’s y
v’s tales que u*v=12.
vu vu
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
12 12
121 121
vu vu
y si es posible,
I II
97

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
I II
12 12
97
121
62
121
62
vu vu
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
I II
12 12
97
121
62
43
121
62
43
vu vu
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
I II
12 12
97
121
62
43
121
62
43
vu vu
En la tabla I. vemos que
3 y 4 cumplen las condiciones,
(3*4 = 12 y 3 + 4 = 7).
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
I II
12 12
97
121
62
43
121
62
43
vu vu
(3*4 = 12 y 3 + 4 = 7).
En la tabla II. no es posible
encontrar u y y, tales que u*v = 12, y u + v = 9.
y si es posible,

haciendo una tabla.
Ejemplo A.
tales que:
¡No es posible!
I II
12 12
97
121
62
43
121
62
43
vu vu
(3*4 = 12 y 3 + 4 = 7).
En la tabla II. no es posible
encontrar u y y, tales que u*v = 12, y u + v = 9.
y si es posible,

El método ac para factorizar trinomios

Dado cualquier trinomio, podemos hacer una tabla como las
mostradas anteriormente para conocer si éste trinomio es
factorizable o primo.

I. Si encontramos valores u y v que se ajusten a la tabla
entonces éste trinomio es factorizable, y podemos usar el
método de agrupamiento para factorizarlo.

Ejemplo B. Factoriza x2 – x – 6 por agrupamiento.

x2 – x – 6 expresamos –x como –3x + 2x
= x2 – 3x + 2x – 6

= x2 – 3x + 2x – 6 agrupamos los términos en dos pares
= (x2 – 3x) + (2x – 6)

= (x2 – 3x) + (2x – 6) tomamos el MCM de cada par
= x(x – 3) + 2(x – 3)

= x(x – 3) + 2(x – 3) factorizamos el término común (x – 3)
= (x – 3)(x + 2)

II. Si esta tabla es imposible de hacer, entonces el trinomio es
primo.
= (x – 3)(x + 2)

II. Si esta tabla es imposible de hacer, entonces el trinomio es
primo.
= (x – 3)(x + 2)
Veamos como generar la tabla de cualquier trinomio dado

Método ac: Dado el trinomio ax2 + bx + c,
contruimos su tabla ac escribiendo:
ac en la parte superior,
b en la parte inferior,
ac

y sólo resta encontrar u y v tales que
uv = ac
u + v = b
ac
b
u v

uv = ac
u + v = b
I. Si logramos encontrar estos valores u y v , reescribimos
ax2 + bx + c como ax2 + ux + vx + c,
ac
b
u v

–6
–1
uv = ac
u + v = b
En el ejemplo B, la tabla ac para 1x2 – x – 6 es:
ac
b
u v

–6
–1
–3 2
uv = ac
u + v = b
Encontramos los valores –3, 2 , así que reescribimos
x2 – x – 6 como x2 – 3x + 2x – 6
ac
b
u v

–6
–1
–3 2
uv = ac
u + v = b
ax2 + bx + c como ax2 + ux + vx + c, asociamos para obtener
(ax2 + ux) + (vx + c) y factorizamos por agrupamiento.
x2 – x – 6 como x2 – 3x + 2x – 6
ac
b
u v

–6
–1
–3 2
uv = ac
u + v = b
x2 – x – 6 como x2 – 3x + 2x – 6 y por agrupamiento:
x2 – 3x + 2x – 6 = (x2 – 3x) + (2x – 6)
ac
b
u v

–6
–1
–3 2
uv = ac
u + v = b
x2 – x – 6 como x2 – 3x + 2x – 6 y por agrupamiento:
x2 – 3x + 2x – 6 = (x2 – 3x) + (2x – 6)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
= (x – 3)(x + 2)
ac
b
u v

Ejemplo C. Factoriza 3x2 – 4x – 20 usando el método ac.

Tenemos que a = 3, c = –20, así que ac = –60,
b = –4 y la tabla ac es
–60
–4

b = –4 y la tabla ac es:
Necesitamos dos números u y v tales que
uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4

uv = –60 y u + v = –4.
Por ensayo y error vemos que la solución es 6 y –10
así que factorizamos el trinomio por agrupamiento.
–60
–4
–10 6

uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20

uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20
= (3x2 + 6x ) + (–10x – 20) separamos en dos grupos

uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20
= 3x(x + 2) – 10 (x + 2) sacamos factor común

uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20
= (3x – 10)(x + 2) sacamos factor común

uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20
Por lo tanto 3x2 – 4x – 20 = (3x – 10)(x + 2)

Trinomios primos
uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20
Por lo tanto 3x2 – 4x – 20 = (3x – 10)(x + 2)

Trinomios primos
Para comprobar que un trinomio es primo, listamos todos los
posibles u’s y v’s tales que uv = ac, y mostramos que
ninguno de ellos cumple la condición u + v = b.
uv = –60 y u + v = –4.
–60
–4
–10 6
Entonces, 3x2 – 4x – 20 = 3x2 + 6x –10x – 20
Por lo tanto 3x2 – 4x – 20 = (3x – 10)(x + 2)

Ejemplo D. Factoriza 3x2 – 6x – 20 si es posible.
Si es primo, justifícalo.

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
y generamos la tabla ac:
–60
–6

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
Buscamos dos números u y v tales que
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
–60
–6

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
Si por prueba y error no logramos determinar
estos valores, comprobaremos si es primo
listando en orden todos los u y v’s positivos
tales que uv = 60.
–60
–6

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
tales que uv = 60.
–60
–6
Siempre haz la
lista de manera
ordenada para
asegurar su
exactitud.

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
tales que uv = 60.
–60
–6
601
302
203
154
125
106
Siempre haz la
lista de manera
ordenada para
asegurar su
exactitud.

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
tales que uv = 60. De esta tabla podemos ver
que no hay u y v tales que ±u y ±v sumen –6.
–60
–6
601
302
203
154
125
106
Siempre haz la
lista de manera
ordenada para
asegurar su
exactitud.

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
Por lo tanto 3x2 – 6x – 20 es primo.
–60
–6
601
302
203
154
125
106
Siempre haz la
lista de manera
ordenada para
asegurar su
exactitud.

a = 3, c = –20, así que ac = 3(–20) = –60,
uv = ac = –60 y u + v = b = –6.
Por lo tanto 3x2 – 6x – 20 es primo.
–60
–6
601
302
203
154
125
106
Siempre haz la
lista de manera
ordenada para
asegurar su
exactitud.
Para los trinomios donde a = 1, es decir,x2 + bx + c, es más fácil
factorizar directamente, pues si son factorizables estos se
pueden reescribir en la forma (x ± u) (x ± v).
Factorizando por prueba y error

c. Factorizar x2 + 5x – 6
b. Factorizar x2 – 5x + 6
Ejemplo E.
a. Factorizar x2 + 5x + 6
Por prueba y error

Ejemplo E.
Queremos reescribir x2 + 5x + 6 como (x + u)(x + v) , así que
buscamos u y v tales que uv = 6 y u + v = 5.
Por prueba y error

Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
Por prueba y error

Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Queremos reescribir x2 – 5x + 6 como (x + u)(x + v) , así que
buscamos u y v tales que uv = 6 y u + v = –5.
Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y –2 – 3 = –5,
Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y –2 – 3 = –5,
entonces x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Queremos reescribir x2 + 5x – 6 como (x + u)(x + v), así que
buscamos u y y tales que uv = –6 y u + v = 5.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y –2 – 3 = –5,
entonces x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Puesto que -6 = (–1)(6) = (1)(–6) = (–2)(3) =(2)(–3) y –1 + 6 = 5,
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y –2 – 3 = –5,
entonces x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Puesto que -6 = (–1)(6) = (1)(–6) = (–2)(3) =(2)(–3) y –1 + 6 = 5,
entonces x2 + 5x – 6 = (x – 1)(x + 6).
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y –2 – 3 = –5,
entonces x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Ejemplo E.
Puesto que 6 = (1)(6) = (2)(3) = (-1)(-6) = (-2)(-3) y 2x + 3x = 5x,
entonces x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Por prueba y error

Ejemplo F. Factorizar 3x2 + 5x + 2.
Este método es útil cuando los números involucrados sólo
pueden ser factorizados de pocas maneras.
Factorizar por prueba y error

La única forma de obtener 3x2 es multiplicado (3x ± #)(1x ± #).

Los #’s deberán de ser 1 y 2 para obtener el término +2.

Necesitamos colocar 1 y 2 en el orden correcto para que el
producto arroje el término central +5x.

3(± # ) +1(± #) = 5 donde los #’s son 1 y 2.
Es decir, (3x ± #)(1x ± #) deberá generar +5x, o de otra manera
+5x

3(± # ) +1(± #) = 5 donde los #’s son 1 y 2.
Puesto que 3(1) +1(2) = 5, vemos que
3x2 + 5x + 2 = (3x + 2)(1x + 1).
5x
Es decir, (3x ± #)(1x ± #) deberá generar +5x, o de otra manera
+5x

Éste es otro método basado en el cálculo de un número para
comprobar si un trinomio es factorizable.

Teorema: El trinomio ax2 + bx + c es factorizable
si b2 – 4ac = 0, 1, 4, 9, 16,… es decir, es un cuadrado perfecto.
Si b2 – 4ac no es un cuadrado perfecto, no es factorizable.

Ejemplo G. Comprueba si el trinomio es factorable.
a. 3x2 – 7x + 2
b. 3x2 – 7x – 2

a. 3x2 – 7x + 2
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2

a. 3x2 – 7x + 2
b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(2)
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2

a. 3x2 – 7x + 2
b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(2)
= 49 – 24
= 25
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2

a. 3x2 – 7x + 2
b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(2)
= 49 – 24
= 25 el cual es un cuadrado perfecto. Si es factorizable.
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2

a. 3x2 – 7x + 2
b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(2)
= 49 – 24
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2
a = 3, b = (–7) y c = (–2)

b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(–2)
= 49 + 24
= 73
a. 3x2 – 7x + 2
b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(2)
= 49 – 24
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2
a = 3, b = (–7) y c = (–2)

b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(–2)
= 49 + 24
= 73 no es un cuadrado perfecto. El trinomio es primo.
a. 3x2 – 7x + 2
b2 – 4ac
= (–7)2 – 4(3)(2)
= 49 – 24
b. 3x2 – 7x – 2
a = 3, b = (–7) y c = 2
a = 3, b = (–7) y c = (–2)

{
Observaciones respecto a los signos
Dado el trinomio x2 + bx + c = (x + u)(x + v) donde uv = c,
observamos los siguiente.
1. Si c es positivo, entonces u y v tienen el mismo signo.
En particular,
si b también es positivo, ambos serán positivos.
si b es negativo, ambos serán negativos.
De los ejemplos anteriores:
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
2. Si c es negativo, entonces u y v tendrán signos
opuestos.
Aquel con valor absoluto más grande tendrá el mismo
signo que b.
De los ejemplos anteriores:
x2 – 5x – 6 = (x – 6)(x + 1)

1. 3x2 – x – 2 2. 3x2 + x – 2 3. 3x2 – 2x – 1
4. 3x2 + 2x – 1 5. 2x2 – 3x + 1 6. 2x2 + 3x – 1
8. 2x2 – 3x – 27. 2x2 + 3x – 2
15. 6x2 + 5x – 6
10. 5x2 + 9x – 2
9. 5x2 – 3x – 2
12. 3x2 – 5x – 211. 3x2 + 5x + 2
14. 6x2 – 5x – 613. 3x2 – 5x – 2
16. 6x2 – x – 2 17. 6x2 – 13x + 2 18. 6x2 – 13x + 2
19. 6x2 + 7x + 2 20. 6x2 – 7x + 2 21. 6x2 – 13x + 6
22. 6x2 + 13x + 6 23. 6x2 – 5x – 4 24. 6x2 – 13x + 8
25. 6x2 – 13x – 8 25. 4x2 – 9 26. 4x2 – 49
27. 25x2 – 4 28. 4x2 + 9 29. 25x2 + 9
Ejercicio A. Factoriza los siguientes trinomios.
Si alguno de ellos no es factorizable, utiliza la tabla ac para
demostrarlo.

7. –3x3 – 30x2 – 48x6. –yx2 + 4yx + 5y
8. –2x3 + 20x2 – 24x
12. 4x2 – 44xy + 96y2
9. –x2 + 11xy + 24y2
10. x4 – 6x3 + 36x2 11. –x2 + 9xy + 36y2
13. x2 + 1 14. x2 + 4 15. x2 + 9 16. 4x2 + 25
17. ¿Qué puedes concluir de los ejercicios 13–16?
B. Factoriza el MCD, el “–” y ordena los términos
obtenidos para factorizar cada expresión.
1. – 6x2 – 5xy + 6y2 2. – 3x2 + 2x3– 2x 3. –6x3 – x2 + 2x
4. –15x3 – 25x2 – 10x 5. 12x3y2 –14x2y2 + 4xy2

1. (3x + 2)(x – 1) 3. (3x + 1)(x – 1)
7. (2x – 1)(x + 2) 9. (5x + 2)(x – 1) 11. (3x + 2)(x + 1)
15. (3x – 2)(2x + 3)13. (3x + 1)(x – 2)
15. No es
factorizable
19. (2x + 1)(3x + 2)
17. (x – 2)(6x – 1)
23. (2x + 1)(3x – 4)21. (2x – 3)(3x – 2)
27. (5x – 2)(5x + 2)25. (2x – 3)(2x + 3)
Ejercicio A.
5. (2x – 1)(x – 1)
Ejercicio B.
1. (2y – 3x)(2x + 3y) 3. –x (2x – 1)(3x + 2)
5. 2xy2(2x – 1)(3x – 2) 7. – 3x (x + 8)(x + 2)
9. no hay MCM 11. –(x – 12y)(x + 3y)
15. no hay MCM13. no hay MCM

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