Trabajo de Matemática 2023 (Autoguardado).docx

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Nombre: Gioliannys Canelón
C.I: 30.590.835
Prof: Larry Segueri
Materia: Matemáticas
Sección: HS0143
Fecha: 09/01/2023

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
el concepto de término semejante se refiere a que los términos el mismo
deben tener factor literal o dicho de otro modo deben tener las mismas
letras con sus respectivos exponentes. Cuando se desarrolle cualquier
operación algebraica el paso final será reducirla a su mínima expresión por
tanto debemos dominarlo a la perfección ya que un error nos conduciría a
resultados erróneos.
Para comprender fácilmente el desarrollo de suma y resta algebraica se
pueden seguir los siguientes criterios:
A) correctamente. Tener para agruparlos un orden definido de términos, es
decir, distinguir los términos semejantes y reorganizarlos
B) Al distinguir los términos semejantes, realizar las respectivas
operaciones parciales.
C) Mantener el orden y aseo del área de papel en donde desarrollan los
ejercicios.
EJERCICIO:
(2a)+(4a)+(-3a)=(2+4-3)a=3a.
(10x3
y2
)+(-4x3
y2
)+(-2x3
y2
)=(10-4-2)x3
y2
=4x3
y2
2xy2
+4y2
w+5x y z,3x y z -4xy2
,y2
w-x y z+7xy2
- 2xy2
+4y2
w+5xyz
4xy2
+0+3x y z
7xy2
+1y w-1x y z
-----------------------------------
5xy2
+5 y2
w+7x y z
2) -4x3
+5x2
+x-1
3x2
-x

________________________
-12x5
+15x4
+3x3
-3x2
+4x4
-5x3
-x2
+ x
___________________________
-12x5
+19x4
-2x3
-4x2
+x
A) x+2 B)X+3 X2
+5X=-4
A.B = (X+2).(X+3) =
(x.x)+(3x)+2x+6=
x2
+3x+2x+6=
x2
+(3+2)x+6=
x2
+5x + 6=
-4+6=2
VALOR NÚMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICA
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de la expresión por números determinados y realizar las
operaciones correspondiente que se indican en tal expresión. para realizar las
operaciones debes seguir un orden de jerarquía de las operaciones.
ejercicio:
a) X+15
2+15=17 Cuando X=2
b) X2
-X-10 Cuando X=5
X2
-X-10=52
-5-10=25-5-10=10
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Para multiplicar y dividir expresiones algebraicas se utilizan las leyes de los
signos para todas las multiplicaciones y divisiones, las leyes de los exponentes

para las multiplicaciones y divisiones con las misma base, y las propiedades
de los exponentes para las operaciones con bases distintas.
LEYES DE LOS SIGNOS:
1) Signos iguales el resultado es positivo.
2) Signos diferentes el resultado es negativo.
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MONOMIO POR MONOMIO: Se multiplica cada elemento del monomio por
su par del otro monomio, es decir, coeficiente por coeficiente, misma base por
misma base.
EJEMPLO: (-4x2
y3
)(-2x4
y5
)=8x2+4
y3+5
=8x6
y8
MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el monomio por cada uno de
los términos del polinomio.
EJEMPLO: (2x2
+3x-5)(3x2
)
SOLUCIÓN: (2x2
+3x-5)(3x2
) = (2x2
)(3x2
)+(3x)(3x2
)-(5)(3x2
) = 6x4
+9x3
-15x2
.
POLINOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica cada uno de los términos del
primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio.
EJEMPLO: (3X2
-4X+5)(3x-7) = 3x2
(3x-7)-4x(3x-7)+5(3x-7) = 9x3
-21x2
-
12x2
+28x+15x-35
= 9x3
-33x2
+43x-35
DIVISIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MONOMIO ENTRE MONOMIO. Se divide cada uno de los elementos del
primer monomio entre cada uno de los elementos del segundo monomio.
POLINOMIO ENTRE POLINOMIO: Se divide cada uno de los términos del
polinomio entre el monomio.
EJEMPLO: -18x3
y5
z2 =
-2x3-2
y5-3
z2-2
= -2xy2
z0
=-2xy2
9x2
y3
z2
EJERCICIO: 14x20
+21x16
+28x10
= 14x20
+21x16
+28x10
÷ 7x8
7x8 2x12
+3x8
+4x2
36x8
+24x6
-12x4
=36x8
+24x6
-12x4
÷6x2
6x2 6x6
+4x4
-2x2
PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista;
es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más
el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a + b)2.
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la
segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (a – b)2.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto
de dos binomios conjugados).
(a + b) (a – b) = a2 – b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Demostración:
expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como a2 – b2.
Producto de dos binomios con un término común, de la forma:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x) (x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es
(2 + 7) x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2) (7) = 14
Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )

expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b).
x2
+ (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:
expresión de la forma x2 + (a – b) x – ab debemos identificarla de inmediato y
saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).
mnx2
+ ab + (mb + n a)x = (mx + a) (n x + b)
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en
cada binomio (mx y nx).
Demostración:
expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na) x debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma (Cubo de binomio)
a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= (a + b)3
expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.

Cubo de una diferencia
a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
= (a – b)3
expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de
inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.
EJERCICIO: (a+b)3=a3+3a 2 b+3ab2+b3
a2-b2= (a+b)(a-6)
ax2+bx+c=(a+b)2
x2+9x+14= (x+2)(x+7)
(3x+2y) (3x-2y)=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2
2) (x+1)2 = x2+2x+1
(x-2)2 = x2-4x+4
(z2+22)(z2+32) = (z2+6)2+(3z-2z)2
Donde a=z b=2; x=2 y=3
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una
suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico. También se
puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.
Los productos más comunes son:
1) Binomio al cuadrado (x +y)2
2) Binomios conjugados (x +y)8x-y)
3) Binomios con términos común (x +a)(x +b)
4) Binomio al cubo (x +b)3
FACTORIZACIÓN POR RESOLVENTE CUADRATICA POR
CAMBIOS DE VARIABLES

Factorizar es una estrategia muy útil para resolver algunas ecuaciones
cuadráticas pues sabemos que un polinomio como estex2+(p +q)x+pqx2+(p
+q)x +p q se factoriza fácilmente en dos polinomios lineales:x2+(p +q)x + p q
=(x +p) (x +q) x2+ (p +q) x + p q =(x +p)(x +q)entonces, las soluciones de la
ecuación x2+ (p +q) x + p q = 0x2+(p +q) x +p q=0 serán −p−p y −q.−q.
Si los tres coeficientes tienen un factor común a, al dividir la ecuación entre a,
se obtiene una expresión más sencilla.
Por ejemplo, si tenemos la ecuación 2x2−10x+12=02x2−10x+12=0. Los
coeficientes de los tres términos son pares, por lo que podemos dividirla entre
2, convirtiéndola enx2−5x+6=0x2−5x+6=0En esta ecuación tenemos un
polinomio como el descrito en el primer párrafo, por lo que: x2−5x+6= (x−2)
(x−3)x2−5x+6=(x−2)(x−3)y ahora obtener las soluciones de la ecuación
original es muy sencillo: x1=2x1=2 y x2=3.x2=3. Comprueba que en efecto lo
son.
Sin embargo, también hay ecuaciones como esta 2x2+5x−3=02x2+5x−3=0 en
las que los coeficientes no tienen ningún factor común. ¿Qué pasa si la
dividimos entre el coeficiente del término cuadrático? tendríamos:
2x22+5x2−32=02x22+5x2−32=0
⇔x2+5x2−32=0⇔x2+5x2−32=0
Para factorizar el polinomio obtenido de la misma manera que en el primer
ejemplo, debemos encontrar dos números cuya suma sea cierta fracción y
cuyo producto sea otra. Observa que como los números que buscamos pueden
ser enteros o fracciones, las opciones posibles aumentan.
En este caso, la factorización sería:
x2 +5x2−32=(x+3)(x−12)x2+5x2−32=(x+3)(x−12)
Por lo que las soluciones de la ecuación original
son: x1=−3x1=−3 y x2=12x2=12
Uso del cambio de variable:

Hay otro camino para poder hacer estas factorizaciones mediante un pequeño
“truco” para evitar los coeficientes fraccionarios. El método consiste en
transformar una ecuación de este tipo, en otra auxiliar que tenga coeficientes
enteros y donde el coeficiente del término cuadrático sea 1. Explicaremos este
procedimiento mediante un ejemplo:
Resolvamos la siguiente ecuación: 6x2−7x+2=06x2−7x+2=0. Observa que los
tres coeficientes no tienen ningún factor común y que si dividiéramos la
ecuación entre 66 obtendríamos coeficientes fraccionarios. Procederemos de
otra forma:
Multipliquemos la ecuación por 6:6:36x2−7(6x)+12=036x2−7(6x)+12=0.
Si hacemos z=6xz=6x entonces la ecuación se transforma
enz2−7z+12=0z2−7z+12=0.
Factorizando el polinomio cuadrático de esta nueva
ecuación:z2−7z+12=(z−3)(z−4)z2−7z+12=(z−3)(z-4).
Recuperamos xx, escribiendo 6x6x en lugar de zz y
obtenemos, (6x−3)(6x−4)(6x−3)(6x−4) por lo que concluimos que la ecuación
original puede factorizarse
como:36x2−7(6x)+12=(6x−3)(6x−4)36x2−7(6x)+12=(6x−3)(6x−4).
Entonces, resolver la ecuación original, se traduce en resolver
esta:(6x−3)(6x−4)=0(6x−3)(6x−4)=0que involucra la resolución de dos
ecuaciones lineales.
EJERCICIO:
a) √2 . √6 = √2.6 = √12
b) √3 √9
3
√27
4
= √3 . √32
3
. √33
4
M.C.M = (2,3,4) = 12
√3 . √32
3
. √33
4
= √36
12
. √(32
3
)4
. √(33
4
)3
= √36
12
. √38
3
. √39
4
= √36. 38. 39
12
= √36+8+9
12
= √323
12
= 3 √311
12

√128
𝑏
= √
128
16
6
= √8
6
= √23
6
= √2
√16
𝑏
√4
3
= √
42
23
6
= √
24
23
6
= √2
6
√2
SIMPLIFICACIÓN DE FACTORES ALGEBRAICAS SUMA Y
RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
La clave para sumar o restar fracciones algebraicas es causar que todos los
denominadores sean iguales, es decir, llegar al común denominador.
Para hacerlo deberemos descomponer en factores según los diferentes modos
que hemos aprendido.
Pasos de acción:
1. Descompondremos en factores todos los denominadores que tenemos.
2. Anotaremos el común denominador y, de este modo, sabremos cómo
llevar a cabo el tercer paso meticulosamente.
3. Multiplicaremos cada uno de los numeradores por el mismo número que
necesitemos multiplicar su denominador a fin de llegar al común
denominador.
4. Escribiremos el ejercicio con un solo denominador, el común
denominador, y entre los numeradores conservaremos las mismas
operaciones matemáticas que había en el ejercicio original.
5. Luego de abrir los paréntesis puede ocurrir que nos topemos con otra
expresión que haga falta descomponer. La descompondremos en factores
y veremos si podemos simplificarla.
6. Obtendremos una fracción común y la resolveremos.
1
EJERCICIO: √3 + 𝑥 . √3 − 𝑥 = √3 − 𝑥
√3 − 𝑥 = 3-x2
√6 1 √6 − 1 √2 + √3
----------- + ------------- = ------------- . -------------- =

√2 − √3 √3 − √2 √2 − √3 √2 + √3
(√6-1)(√2+√3) (√6-1)(√2 + √3
-------------------- = ---------------------- =
(√2)2
– (√3)2
2-3
(√6 – 1) (√2 + √3
------------------------- = (√6.2+√6.3-√2-√3 =
- 1
- (2√3 + 3√2 - √3) = -√3 - 2√2
a) x2
– 3x x (x-3) x - 3
----------- = ----------- = ---------
x2
+ 3x x (x+3) x + 3
b) x2
– 3x x2
– 3x x(x-3) -x(x-3)
----------- = ----------- = --------- = -----------
3x 3x 3 – x -(3-x)
-x(x-3)
------------ = -x
x-3
x2
– 5x + 6
------------------
x2
– 7x + 12
x= + 5 ± √52 - 4. 6 = + 5 ± 1 x1= 6 = 3
----------------------------- -------- 2
2 2
x2= 4 = 2
2

x= + 7± √72-4.12 = 7 ± 1 x1= 8 =4
---------------------- ------- 2
2 2
X2= 6 =3
2
x2
-5x+6 (x-2)(x-3) x-2
----------- = --------------- = --------
x2
-7x+12 (x-3)(x-4) x-4
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Para multiplicar y dividir fracciones algebraicas se opera de la misma forma
que con fracciones numéricas.
La multiplicación de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo
numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el
producto de los denominadores.
Para dividir dos fracciones algebraicas multiplicamos la primera por la inversa
de la segunda. También podemos obtener la división de dos fracciones
algebraicas como otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del
numerador de la primera por el denominador de la segunda, y cuyo
denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador
de la segunda.
FACTORIZACIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI
Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes
pasos:

1. Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún
término dejamos el espacio o colocamos cero ya que el polinomio debe
estar completo.
2. Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no lo
tiene sacar factor común hasta conseguir el término independiente.
3. Buscar todos los divisores del término independiente.
4. Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
5. Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior
izquierda, y bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección
del divisor debemos tener presente que los número que vamos
obteniendo o bajando los vamos a multiplicar por el divisor y luego el
resultado de la multiplicación lo vamos a sumar o restar con los
coeficientes que tenemos; el divisor que se escoja debe ser un número
que haga que al final nos de resto cero. Nota: Una manera de saber si un
número es raíz; es sustituyendo en el polinomio ese número como el
valor de la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo es y
se pasa al siguiente divisor.
6. Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos
coeficiente obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta
que no exista ninguna raíz que haga que nos de resto cero (0).
EJERCICIO: x2
+ x – 2 Teorema del resto
--------------- P1= 12
+1-2=0
X3
– x2
– x + 1 Q1= 1
3
-12
-1+1=0
1 1 - 2 1 -1 -1 1
1 1 2 ^ 1 1 0 -1
1 2 0 1 0 -1 0
X2
+x-2 = (x-1)(x+2) = x + 2 = x + 2
x3
-x2
-x+1 (x-1)(x2
-1) x2
-1 (x+1)(x-1)
REALIZACIÓN SUMA Y RESTA DE RADICALES
Se dice que 2 o más radicales son semejantes, cuando tienen el mismo índice y
el mismo radicando. La suma algebraica de radicales se reduce a combinar
todos los
radicales semejantes en un solo término.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES
Para poder multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo
índice. Cuando no tienen el mismo índice hay que reducirlos antes a índice
común. El producto de radicales con el mismo índice es igual a un único
radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene de multiplicar los
radicandos.
EJERCICIO:
2√2 - 4√2 + √2 = (2 – 4 + 1) √2 = - √2
√4
4
+ √8
6
- √64
12
= √22
4
+ √23
6
- √26
12
√22/2
4/2
+ √23/3
6/3
- √26/6
12/6
= √2 + √2 - √2 = √2
2) 2√12 - 3√75 + √27 = 2√22.3 - 3√52.3 + √33 = 2.2 √3 – 3. 5√3 + √3 =
4√3 - 15√3 + 3√3 = (4 – 15 + 3) √3 = -8√3
Escriba aquí la ecuación.
Escriba aquí la ecuación.
EXPRESIONES CONJUGADAS.RACIONALIZACIÓN

La conjugada de una expresión con presencia de radicales es aquella que
permite extraer los términos de una raíz, la misma va a depender de si la
expresión es un monomio o un binomio.
EJERCICIO: √𝑥3
4
𝑦2
La conjugada es √𝑥𝑦2
4
√𝑥3. 𝑦2
4
.√𝑥𝑦2
4
=√𝑥4
4
𝑦4
=xy
√𝑥4
3
𝑦13
=√𝑥𝑥3
3
.y.𝑦12
=xy4
√𝑥𝑦
3
Conjugada
√𝑥𝑦
3 es
√𝑥2𝑦2
3

BIBLIOGRAFÍA
1) https://es.wikipedia.org/wiki/Fuente
2) http://vmicheli.blogspot.com/p/unidad-3.html -
3)https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/expresiones-
algebraicas.html
4)https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/productos-notables-1 -
:~:text=Se%20llama%20productos%20notables%20a,de%20hacerlo%20paso%20por%20paso.

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