Este documento presenta una introducción a la aritmética. Explica que la aritmética es una de las disciplinas matemáticas más antiguas y que estudia los números y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Luego describe brevemente los orígenes históricos de la aritmética en culturas como la egipcia y babilónica, y su desarrollo moderno a partir de los griegos. Finalmente, introduce conceptos fundamentales como los sistemas de numeración, las variables, las relaciones entre números y las operaciones aritméticas básicas

1. UniversidaddeAntioquia
Aritm´etica
Instituto de Matem´aticas*
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Unviersidad de Anquioquia
Medell´ın, 27 de julio de 2011
1. Introducci´on
Figura 1
La aritm´etica es una de las disciplinas m´as antiguas de las matem´aticas,
es utilizada en todo el mundo en una gran varidead de tareas que van des-
de actividades cotidianas de conteo hasta avanzados c´alculos num´ericos. La
palabra aritm´etica proviene de los t´erminos griegos αριθµoς (arithmos) que
significa n´umero y τεχνη (t´echne) que significa arte, habilidad. La aritm´eti-
ca o “arte de contar” estudia los n´umeros y las operaciones que podemos
realizar con estos.
El hueso de Ishango (figura 1) constituye uno de los registros m´as an-
tiguos que tenemos de actividades aritm´eticas; con una edad estimada de
20.000 a˜nos, contiene inscrito marcas que revelan una clara concepci´on de
las operaciones de suma y resta. En las culturas egipcia y babil´onica, los
registros m´as antiguos de operaciones aritm´eticas elementales datan del a˜no
2.000 a. C. El Papiro de Ahmes, por ejemplo, es un documento egipcio escrito
aproximadamente en 1650 a. C. que contiene 87 problemas matem´aticos con
cuestiones aritm´eticas, entre otras.
El desarrollo moderno de la aritm´etica inicia en la antigua Grecia con el
trabajo de Euclides alrededor del 300 a. C. El sistema de numeraci´on griego,
derivado del sistema egipcio, era un sistema no posicional como el romano,
que hac´ıa complejo realizar las operaciones aritm´eticas elementales. El surgimiento del sistema de
numeraci´on posicional indo-ar´abigo (el sistema en base 10 que actualmente utilizamos), permiti´o la
representaci´on de n´umeros muy grandes y peque˜nos y del cero, as´ı como la implementaci´on de
modernos algoritmos de c´alculo.
A pesar de lo elemental que pueda parecer, el sistema de numeraci´on indo-ar´abigo, y toda la
aritm´etica realizada con ´este, es la culminaci´on de miles de a˜nos de esfuerzo y desarrollo matem´ati-
co. ¿Qu´e son los n´umeros? Los n´umeros los utilizamos para contar cosas pero no son cosas, los
denotamos por medio de s´ımbolos pero no son s´ımbolos. Los n´umeros son construcciones mentales
[2] y sin importar lo abstractas que sean las ideas en que se fundamentan, la sociedad actual en
que vivimos no ser´ıa posible sin n´umeros.
2. Sistemas de numeraci´on
Los sistemas de numeraci´on nos proporcionan un conjunto de s´ımbolos y reglas para representar
n´umeros. En el sistema decimal (indo-ar´abigo) que aprendemos en el colegio, el valor de cada d´ıgito
(unidades, decenas, centenas, etc.) depende de su posici´on y se diferencia de sistemas no posicionales
como el romano en el que sus s´ımbolos tienen siempre el mismo valor.
*Esta obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribuci´on - No comercial 2.5 Colombia.
1

2. UniversidaddeAntioquia
2 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
2.1. Sistema decimal
El sistema decimal es un sistema posicional en el que los n´umeros se representan utilizando
como base un conjunto de 10 s´ımbolos:
S´ımbolo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nombre cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve
En este sistema, el valor de cada s´ımbolo depende de la posici´on que ocupa, como se muestra
a continuaci´on:
N´umero Nombre Valor representado
3 tres unidad
30 treinta decena
300 trescientos centena
3 000 tres mil millar
30 000 tres mil decena de millar
300 000 trescientos mil centena de millar
3 000 000 tres millones mill´on
El n´umero 468, por ejemplo, representa 4 centenas, 6 decenas y 8 unidades (468 = 400+60+8)
y se lee “cuatrocientos sesenta y ocho”; el n´umero 357 009 se lee “trescientos cincuenta y siete mil
nueve”; el n´umero 7 273 569 se lee “siete millones doscientos setenta y tres mil quinientos sesenta
y nueve”.
Actividad 2.1. Escribe el nombre o el n´umero seg´un corresponda:
1. 235 057
2. Quinientos ocho mil uno
3. 4 000 009
4. Quinientos ocho mil uno
5. Ocho billones1
doce millones ciento tres.
6. 89 057 123 001
7. 938 600 007
8. Ocho billones doce millones ciento tres
Cuando el s´ımbolo del n´umero se desplaza de derecha a izquierda, su valor se multiplica por
diez por cada desplazamiento, como se muestra en la tabla anterior: 3, 30, 300, etc.
Para representar n´umeros menores que 1, utilizamos el punto decimal y el n´umero se divide
por diez, por cada desplzamamiento hacia la derecha realizado, como se muestra a continuaci´on:
N´umero Nombre
0.7 = 7
10 siete d´ecimas
0.07 = 7
100 siete cent´esimas
0.007 = 7
1000 siete mil´esimas
0.0007 = 7
10000 siete diezmil´esimas
0.00007 = 7
100000 siete cienmil´esimas
El n´umero 3.14, por ejemplo,
3.14 = 3 + 0.1 + 0.04
representa 3 unidades, 1 d´ecima y 4 cent´esimas, o tambi´en representa 3 unidades y 14 cent´esimas
(3.14 = 3 + 0.14). El n´umero 3.14 se lee “tres unidades, catorce cent´esimas” o simplemente “tres
punto catorce”.
Actividad 2.2. Escribe el nombre o el n´umero seg´un corresponda:
1En Colombia y dem´as paises de lengua espa˜nola, un bill´on se define como un mill´on de millones; en Estados
Unidos un bill´on se define como un millar de millones.

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Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 3
1. Mil ocho unidades, treinta y cuatro
cent´esimas.
2. 0.99
3. 1.4142
4. Un mill´on veinte unidades, cuartenta y dos
cienmil´esimas.
5. 0.08208
6. 22.4136
2.2. Sistema romano
El sistema de numeraci´on romana es un sistema no posicional que no incluye al cero y en el que
sus s´ımbolos siempre tienen el mismo valor, independiente del lugar que ocupen. En la actualidad
los n´umeros romanos se utilizan para indicar fechas, cap´ıtulos de libros, horas, etc.
El sistema romano utiliza 7 s´ımbolos (letras may´usculas) que representan diferentes valores:
S´ımbolo I V X L C D M
Valor uno cinco diez cincuenta cien quinientos mil
Podemos combinar estos s´ımbolos para representar por ejemplo los n´umeros del 1 al 10:
I II III IV V VI VII VIII IX X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Observaci´on 1. Recordemos que:
1. Si a la derecha de un s´ımbolo ubicamos otro con un valor igual o menor, entonces al valor
del primer s´ımbolo se le suma el valor del segundo. Ejemplo: V I = V + I = 5 + 1 = 6.
2. No es permitido emplear m´as de tres s´ıimbolos iguales a la derecha de un s´ımbolo. Ejemplo:
VIII es permitido pero VIIII no es permitido.
3. Si a la izquierda de un s´ımbolo ubicamos otro con un valor menor, entonces al valor del
primer s´ımbolo se le resta el valor del segundo. Ejemplo: IX = X − I = 10 − 1 = 9.
4. Para indicar miles, utilizamos una “rayita” sobre el s´ımbolo, para miles de miles dos “rayitas”,
etc. Ejemplo: X = 10 000, C = 100 000, L = 50 000 000
Actividad 2.3. Escribe los siguientes n´umeros en el sistema romano:
1. 19
2. 34
3. 53
4. 84
5. 348
6. 997
7. 3387
8. 40 800
Actividad 2.4. Escribe los siguientes n´umeros en el sistema indo-ar´abigo:
1. XIII
2. XXI
3. DXXV
4. MCXCIX
5. MDLXIX
6. MMMCDXLIII
7. IV
8. XIV CXV
2.3. Variables
Resulta ´util denotar los n´umeros por medio de letras. Por ejemplo, si conocemos el n´umero de
personas que habitan en cada casa de nuestra cuadra, estos datos lo podemos denotar por medio
de las letras de nuestro alfabeto
a, b, c, d, . . .
o si se trata de las medidas de los ´angulos interiores de un tri´angulo, podemos utilizar las letras
del alfabeto griego
α, β, γ, . . .

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4 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
Cuando los datos nos los conocemos (inc´ognitas), las variables se acostumbran a denotar con las
´ultimas letras del alfabeto
. . . , x, y, z.
Si los n´umeros hacen parte de una sucesi´on de datos medidos, los podemos expresar por medio
de letras con sub´ındices, como por ejemplo
a1, a2, a3, a4, . . .
2.4. Relaciones entre n´umeros
Los decimales 5
10 y 50
100 , representan el mismo n´umero: 0.5. Cuando dos n´umeros a y b repre-
senten el mismo n´umero, escribimos a = b. El s´ımbolo “=” se llama igualdad.
Proposici´on 2.5 (Igualdad). La igualdad es una relaci´on que satisface las siguientes propiedades:
1. Propiedad reflexiva:
a = a
2. Propiedad sim´etrica:
a = b implica b = a
3. Propiedad transitiva:
a = b y b = c implica a = c
Cuando dos n´umeros a y b no sean iguales escribiremos “a = b”. En tal caso podemos establecer
una relaci´on entre estos llamada desigualdad.
Si a = b, entonces a puede ser mayor que b, en cuyo caso escribiremos
a > b,
o a puede ser menor que b, en cuyo caso escribiremos
a < b.
Si s´olo sabemos que a no es mayor que b, escribiremos a ≤ b para indicar que a < b ´o a = b. En el
caso en que a no es menor que b, escribiremos a ≥ b para indicar que a > b ´o a = b.
Cuando un n´umero se encuentra comprendido entre otros dos, utilizaremos la expresi´on
a < b < c
para indicar que a < b y b < c.
Actividad 2.6. Escribe en cada c´ırculo, el s´ımbolo (=, <, >) que corresponda:
1. 2 1
2. 1 2 3
3. 1 0.99999
4. 0.5 0.50 0.5001
5. 0.666 0.6666
6. a b
7. 4
10
4
100
8. 2.7183 2.71829
9. 7 8
3. Operaciones aritm´eticas
Las operaciones b´asicas de la aritm´etica son la suma, la resta, la multiplicaci´on y la divisi´on.
Otras operaciones aritm´eticas son la potenciaci´on, radicaci´on y los logar´ıtmos. Todas estas opera-
ciones gozan de ciertas propiedades y deben ser ejecutadas respetando un orden (de operaciones).
3.1. Suma
La suma o adici´on es la operaci´on aritm´etica que representa el acto de combinar o juntar dos
colecciones de objetos en una colecci´on mayor.

5. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 5
Figura 2
La suma la denotamos con el s´ımbolo “+”. Al juntar por ejemplo 2 manzanas
con 3 manzanas obtenemos 5 manzanas (figura 2) y esto lo denotamos por 2+3 = 5.
De manera similar 3 + 2 = 5, 1 + 4 = 5, etc.
Si a y b son n´umeros, el n´umero c = a + b es la suma de a y b. A los n´umeros a
y b se le denominan sumandos. Por ejemplo:
6
+ 3
sumandos
9 suma
(1)
Algoritmo 3.1 (Suma). A continuaci´on te explicamos el procedimiento para sumar 729 y 2543.
M C D U
7 2 9
+ 2 5 4 3
Paso 1: escribimos los su-
mandos como se muestran
en el arreglo (1). La colum-
na final es para las unida-
des (U), la pen´ultima para
las decenas (D), la segun-
da para las centenas (C) y
la primera para las miles o
millares (M)
1
7 2 9
+ 2 5 4 3
2
Paso 2: sumamos los d´ıgi-
tos correspondientes a la
columna de las unidades.
El resultado es un n´umero
de dos d´ıgitos: 9 + 3 = 12.
El 2 se ubica debajo de la
raya, en la respectiva co-
lumna, y al 1 (acarreo) lo
ubicamos arriba en la co-
lumna de las decenas.
1
7 2 9
+ 2 5 4 3
7 2
Paso 3: procedemos a su-
mar los d´ıgitos correspon-
dientes a la columna de
las decenas, incluyendo el
1 del acarreo del paso 2. El
resultado es un n´umero de
un s´olo d´ıgito: 1+2+4 = 7.
en este caso no hay acarreo
y el 7 se ubica debajo de la
raya.
1 1
7 2 9
+ 2 5 4 3
2 7 2
Paso 4: sumamos ahora
los d´ıgitos correspondien-
tes a la columna de las cen-
tenas. El resultado es un
n´umero de dos d´ıgitos: 7 +
5 = 12. El 2 se ubica de-
bajo de la raya, en la res-
pectiva columna, y al 1 lo
ubicamos arriba en la co-
lumna de los millares.
1 1
7 2 9
+ 2 5 4 3
3 2 7 2
Paso 5: finalmente, suma-
mos los d´ıgitos correspon-
dientes a la columna de
los millares, incluyendo el
1 del acarreo del paso 4. El
resultado es 1 + 2 = 3 y lo
ubicamos debajo de la ra-
ya, en la respectiva colum-
na.
Actividad 3.1. Emplea el algoritmo (3.1) para realizar las siguientes sumas:
1 3
+ 4 6
1 4 7 2
5 3 9
+ 1 6
3 2 . 7
+ 9 . 8
0 . 2 1
+ 6 2 8 . 0
0 . 9 9
+ 0 . 9 9
La suma es una operaci´on con las siguientes propiedades.
Ley 3.2 (Uniforme). La suma de dos n´umeros siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 3.1 (unicidad de la suma). Si sumamos miembro a miembro dos igualdades, el resultado
obtenido es otra igualdad:

6. UniversidaddeAntioquia
6 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
1 = 1
+ 2 = 2
3 = 3
y
a = a′
+ b = b′
a + b = a′
+ b′
Ley 3.3 (Asociativa). Para sumar tres sumandos, sustituimos dos sumandos cualesquiera por
su suma, y sumamos los dos sumandos resultantes. NO importa los sumandos que elijamos, el
resultado es siempre el mismo.
Ejemplo 3.2. Para sumar m´as de tres sumandos,
3+6+2+5 = 3 + 6
9
+ 2 + 5
7
= 9+7 = 16 y 3+6+2+5 = 3+6 + 2
8
+5 = 3 + 8
11
+5 = 11+5 = 16
Para indicar los sumandos que se van a sumar se acostumbra a utilizar par´entesis. La ley asociativa
afirma entonces
(a + b) + c = a + (b + c).
Ley 3.4 (Conmutativa). El orden de los sumandos no altera la suma:
a + b = b + a.
Ejemplo 3.3. .
1 + 2 + 3 = 2 + 1 + 3 = 2 + 3 + 1 = 3 + 2 + 1 = 3 + 1 + 2 = 6.
Ley 3.5 (Monoton´ıa). Al sumar miembro a miembro una igualdad y una desigualdad, obtenemos
una desigualdad del mismo sentido; si sumamos dos desigualdades del mismo sentido, obtenemos
otra desigualdad del mismo sentido:
a = b y c < d implica a + c < b + d o
a = b
+ c < d
a + c < b + d
y tambi´en
a < b
+ c < d
a + c < b + d
Actividad 3.6. Realiza las operaciones indicadas:
3 = 3
+ 5 > 2
4 = 4
a < b
+ c = d
s = 3
1 < 2
a + b < c
+ 5 < d
0.33 < 0.333
+ 1 = 1
3.2. Resta
Figura 3
La resta o sustracci´on es la operaci´on inversa de la suma y la denotamos con
el s´ımbolo “−”. Esta operaci´on representa el acto de sustraer de una colecci´on de
objetos, un n´umero dado de objetos. Al sustrear (restar) por ejemplo 2 manzanas de
una colecci´on de 5 manzanas, obtenemos 3 manzanas (figura 3) y esto lo denotamos
por 5 − 2 = 3.
Si a y b son n´umeros, el n´umero c = a − b es la resta de a y b. Al n´umero a se le
denomina el minuendo y a b se le denomina sustraendo. Observemos que la resta c = a − b es un
n´umero que al sum´arselo al sustraendo b nos da el minuendo a. Por ejemplo:
8 ← minuendo
− 5 ← sustraendo
3 ← resta
(2)
al restar 5 de 8 obtenemos 3 (la resta) y resta + sustraendo = 3 + 5 = 8 = minuendo.

7. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 7
Algoritmo 3.2 (Resta). A continuaci´on te explicamos el procedimiento para restar 26 de 724.
C D U
7 2 8
− 1 5 2
Paso 1: escribimos los su-
mandos como se muestran
en el arreglo (2). La colum-
na final es para las unida-
des (U), la pen´ultima pa-
ra las decenas (D), y la
primera para las centenas
(C).
7 2 8
− 1 5 2
6
Paso 2: restamos los d´ıgi-
tos correspondientes a la
columna de las unidades.
El resultado 8 − 2 = 6 lo
ubicamos debajo de la ra-
ya, en la respectiva colum-
na.
6
7 2 8
− 1 5 2
7 6
Paso 3: procedemos con
las decenas. Como no po-
demos restar 5 de 2, toma-
mos prestado de las 7 cen-
tenas de la columna ante-
rior, 1 centena que equivale
a 10 decenas y se las suma-
mos a las decenas del mi-
nuendo: 10 + 2 = 12. Res-
tamos 5 de 12 y el resulta-
do 12 − 5 = 7 lo ubicamos
debajo de la raya, en la co-
lumna de las decenas
6
7 2 8
− 1 5 2
5 7 6
Paso 4: finalmente resta-
mos los d´ıgitos correspon-
dientes la columna de las
centenas, sin olvidar que
las 7 centenas del minuen-
do se convirtieron en 6 por-
que tomamos prestada 1
centena en el paso 3. El re-
sultado de la resta es 6 −
1 = 5 y lo ubicamos debajo
de la raya, en la respectiva
columna.
Actividad 3.7. Emplea el algoritmo (3.2) para realizar las siguientes restas:
5 7
− 1 4
8 4 1
− 2 3 7
4 8 . 3
− 6 . 7
4 9 6 . 2 1
− 2 1 3 . 0 3
La resta es una operaci´on con las siguientes propiedades.
Ley 3.8 (Uniforme para la resta). La resta de dos n´umeros siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 3.4 (unicidad de la resta). Si restamos miembro a miembro dos igualdades, el resultado
obtenido es otra igualdad:
6 = 6
− 5 = 5
1 = 1
y
a = a′
− b = b′
a − b = a′
− b′
Ley 3.9 (Monoton´ıa para la resta). .
1. Al restar miembro a miembro de una desigualdad, una igualdad, obtenemos una desigualdad
del mismo sentido:
2 < 7
− 1 = 1
2 − 1
1
< 7 − 1
6
5 > 3
− 2 = 2
5 − 2
3
> 3 − 2
1
a > b
− c = d
a − c > b − d
2. Al restar miembro a miembro de una igualdad, una desigualdad, obtenemos una desigualdad
de sentido contrario:

8. UniversidaddeAntioquia
8 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
8 = 8
− 4 < 6
8 − 4
4
> 8 − 6
2
6 = 6
− 3 > 2
6 − 3
3
< 6 − 2
4
a = b
− c < d
a − c > b − d
3. Al restar miembro a miembro de una desigualdad, otra desigualdad de sentido contrario,
obtenemos una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad inicial:
8 < 12
− 7 > 5
8 − 7
1
< 12 − 5
7
12 < 18
− 10 > 7
12 − 10
2
< 18 − 7
1
a > b
− c < d
a − c > b − d
Actividad 3.10. Realiza las operaciones indicadas:
3 = 3
− 5 > 2
a < b
− c = d
a + b < c
− 5 < d
0.33 < 0.333
− 1 = 1
3.3. Multiplicaci´on
La multiplicaci´on o producto es la operaci´on aritm´etica por medio de la cual un n´umero se
suma consigo mismo un determinado n´umero de veces. Por ejemplo, la multiplicaci´on de 2 y 3 da
como resultado 6 porque 2 + 2 + 2 = 6. La multiplicaci´on se denota con el s´ımbolo “×”.
Si a y b son n´umeros, el n´umero c = a × b se denomina producto de a y b. A los n´umeros a y b
se le denominan factores. El n´umero a × b se lee “a por b” o “a veces b”. Por ejemplo:
4
× 2
factores
8 producto
(3)
y por consiguiente 4 y 2 son factores de 8. La multiplicaci´on se puede denotar tambi´en por
medio de un punto medio “·”, un asterisco “∗”, dejando un espacio entre un n´umero y una letra,
dejando un espacio entre dos letras o por medio de par´entesis:
3 · 7, 4 ∗ 6, 2 a, a b, . . .
Algoritmo 3.3 (Multiplicaci´on). A continuaci´on te explicamos el procedimiento para multiplicar
76 y 43.
D U
7 6
× 4 3
Paso 1: escribimos los su-
mandos como se muestran
en el arreglo (3). La prime-
ra columna para las dece-
nas (D) y la segunda para
las unidades (U).
1
7 6
× 4 3
8
Paso 2: multiplicamos 3
por 6, el resultado es un
n´umero de dos d´ıgitos: 3 ×
6 = 18. El 8 de las unida-
des lo ubicamos debajo de
la raya, en la respectiva co-
lumna, y al 1 de las dece-
nas lo ubicamos arriba en
la columna de las decenas.

9. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 9
1
7 6
× 4 3
2 2 8
Paso 3: realizamos ahora
el producto 3 × 7 = 21 y le
sumamos la decena que re-
sult´o del paso 2. El restula-
do 21 + 1 = 22 lo ubicamos
bajo la raya, a partir de la
columna de las decenas.
2
7 6
× 4 3
2 2 8
4
Paso 4: multiplicamos 4
por 6, el resultado es un
n´umero de dos d´ıgitos: 4 ×
6 = 24. El 4 lo ubicamos
en la columna de las dece-
nas, en una nueva fila, de-
bajo de la fila que contiene
a 228.
2
7 6
× 4 3
2 2 8
+ 3 0 4
Paso 5: realizamos ahora
el producto 4 × 7 = 28 y
le sumamos las 2 decenas
que obtuvimos del paso 2.
El restulado 28 + 2 = 30 lo
ubicamos en la nueva fila
creada en el paso 4, a par-
tir de la columna de las de-
cenas.
M C D U
7 6
× 4 3
2 2 8
+ 3 0 4
3 2 6 8
Paso 6: finalmente, suma-
mos los d´ıgitos correspon-
dientes a las dos ´ultimas fi-
las y el resultado lo ubica-
mos bajo la ´ultima raya, en
la respectiva columna.
Observaci´on 2 (sobre el producto). .
1. Al multiplicar un n´umero por 1 (resp. por 0), el producto es igual al n´umero (resp. a 0):
34 × 1 = 34, 256 × 1 = 257, 7 × 0 = 0, 39 × 0 = 0, etc.
2. El producto de un n´umero por s´ı mismo repetidas veces lo denotamos por:
32
= 3 × 3 = 9, 2 ∧ 3 = 2 × 2 × 2 = 8, 105
= 100 000, etc.
3. Al multiplicar un factor por 10 (100, 1000, etc.), el producto obtenido es el factor a˜nadi´endole
uno (dos, tres, etc.) ceros:
6 × 10 = 60, 39 × 100 = 3 900, 540 × 1000 = 540 000, etc.
Si el factor es un decimal, el punto decimal se corre a la derecha tantos lugares como ceros:
0.5 × 10 = 5, 0.3287 × 100 = 32.87, 9.3 × 1000 = 9 300, etc.
4. Cuando los ´ultimos d´ıgitos de uno de los factores son ceros, multiplicamos s´olo el n´umero sin
los ceros y a˜nadimos los ceros al final. Para mutliplicar 621 × 40 000 , por ejemplo:
621
×4
2484
y 621 × 40 000 = 24 840 000
5. Para multiplicar n´umeros con parte decimal:
62.48 ← 2 cifras decimales
× 3.1 ← 1 cifra decimal
6248
+ 18744
193.688 ← 2 + 1 cifras decimales
Utilizamos el algoritmo de la multi-
plicaci´on (3.3) como si los n´umeros no
tuvieran parte decimal y al resulado
final, le agregamos tantas cifras deci-
males como tengan los factores.
Actividad 3.11. Emplea el algoritmo (3.3) para realizar las siguientes multiplicaciones:
1 8 4
× 2 6
3 6 2
× 7 4 9
1 4 . 8 4
× 5 . 3
2 4 . 5 7 1
× 3 . 6 4

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10 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
La multiplicaci´on es una operaci´on con las siguientes propiedades.
Ley 3.12 (Uniforme). La multiplicaci´on de dos n´umeros siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 3.5 (unicidad de la multiplicaci´on). Si multiplicamos miembro a miembro dos igualdades,
el resultado obtenido es otra igualdad:
2 = 2
× 3 = 3
6 = 6
y
a = a′
× b = b′
a × b = a′
× b′
Ley 3.13 (Asociativa). Para mutliplicar tres factores, sustituimos dos factores cualesquiera por
su producto, y multiplicamos los dos factores resultantes. NO importa los factores que elijamos, el
resultado es siempre el mismo.
Ejemplo 3.6. Para multiplicar m´as de tres factores,
3 × 2 × 4 × 5 = 3 × 2
6
× 4 × 5
20
= 6 × 20 = 120 y 3 × 2 × 4 × 5 = 3 × 2 × 4
8
×5 = 3 × 8
24
×5 = 120
Para indicar los factores que vamos a multiplicar, se acostumbra a utilizar par´entesis. La ley
asociativa afirma entonces
(a × b) × c = a × (b × c).
Ley 3.14 (Conmutativa). El orden de los factores no altera el producto:
a × b = b × a.
Ejemplo 3.7. .
2 × 3 × 4 = 3 × 2 × 4 = 3 × 4 × 2 = 4 × 3 × 2 = 4 × 2 × 3 = 24.
Ley 3.15 (Monoton´ıa para la multiplicaci´on). Al multiplicar miembro a miembro una igualdad y
una desigualdad, obtenemos una desigualdad del mismo sentido; si multiplicamos dos desigualdades
del mismo sentido, obtenemos otra desigualdad del mismo sentido2
:
a = b y c < d implica a × c < b × d o
a = b
× c < d
a × c < b × d
y tambi´en
a < b
× c < d
a × c < b × d
Ley 3.16 (Distributiva). Esta ley es muy importante, nos permite relacionar las operaciones suma,
resta y producto:
(a + b) c = a c + b c y (a − b) c = a c − b c
Actividad 3.17. Realiza las operaciones indicadas:
4 = 4
× 5 > 2
6 = 6
m < n
× p = q
t = 1
s < 2
u + v < w
× 2 < 3
3.1416 > 3.14159
× 2 = 2
2Esta ley no es v´alida para n´umeros negativos, como veremos en el el taller 2.

11. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 11
3.4. Divisi´on
Figura 4
La divisi´on es la operaci´on inversa a la multiplicaci´on: si conocemos el producto
y uno de los factores, la divisi´on nos permite hallar el factor restante. Esta operaci´on
representa el acto de dividir una colecci´on finita de objetos en grupos de igual
tama˜no. Por ejemplo, al dividir una colecci´on de 20 manzanas en 4 grupos de igual
tama˜no, obtenemos como resultado 5 manzanas por grupo (figura 4). Observemos
que 5 es el factor que hace que 5 × 4 = 20 y por eso 20 dividido entre 4 es igual a
5.
Al producto conocido se le denomina dividendo y al factor conocido divisor, el
resultado de la operaci´on (el factor desconocido) se denomina cociente. La divisi´on
se denota con el s´ımbolo “÷”. Por ejemplo, 12 ÷ 4 = 3 porque 3 × 4 = 12. Otros s´ımbolos para
denotar el cociente de a y b son:
a
b
, a/b , a : b , a b
En los ejemplos anteriores las divisiones son exactas. En algunos casos las divisiones no son
exactas (quedan “sobrando manzanas”) y el residuo de la divisi´on no es cero, por ejemplo:
dividendo → 21 7 ← divisor
residuo → 0 3 ← cociente
y
dividendo → 14 3 ← divisor
residuo → 2 4 ← cociente
La primera divisi´on es exacta: 7 veces 3 es exactamente 21. La segunda divisi´on no es exacta:
3 veces 4 no es 14, quedan faltando 2 para completar 14: 3 × 4 + 2 = 14. En general,
divisor × cociente + residuo = dividendo
Algoritmo 3.4 (Divisi´on). A continuaci´on el procedimiento para dividir 2268 entre 52.
226′
8 52
4
Paso 1: como ni la prime-
ra cifra del dividendo (2),
ni las dos primeras (22)
son divisible por el divi-
sor (52), tomamos enton-
ces las tres primeras ci-
fras (226). El cociente en-
tre 226 y 52 es 4 y ´esta es
nuestra primera cifra del
cociente.
226′
8 52
208 4
Paso 2: multiplicamos el
4 del cociente por el di-
visor (52) y el resultado
(4×52 = 208) lo ubicamos
debajo de las tres prime-
ras cifras del dividendo.
2268 52
−208 4
018
Paso 3: realizamos la res-
ta indicada y el resultado
(226 − 208 = 18) lo ubica-
mos bajo la raya.
226′
8 52
208 ↓ 43
0188
Paso 4: bajamos el 8 co-
mo lo indica la flecha y con
el n´umero formado (188),
repetimos el procedimien-
to del paso 1: el cociente
entre 188 y 52 es 3 y obte-
nemos as´ı el segundo d´ıgi-
to del cociente.
2268 52
216 43
0188
156
Paso 5: multiplicamos el
3 del cociente por el di-
visor (52) y el resultado
(3×52 = 156) lo ubicamos
como se indica.
2268 52
216 43
0188
−156
32
Paso 6: realizamos la res-
ta indicada y el resultado
(188 − 156 = 32) lo ubica-
mos bajo la raya. Ni 3, ni
32 son divisbles por 52 y
el algoritmo termina aqu´ı.
El residuo de la divisi´on es
32.

12. UniversidaddeAntioquia
12 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
Observaci´on 3 (sobre la divisi´on). .
1. El divisor no puede ser cero (no est´a permitido dividir por cero).
2. Cuando el dividendo es igual al divisor, el cociente es 1:
4 ÷ 4 = 1, 68/68 = 1, 237 : 237 = 1,
a
a
= 1, etc.
3. Cuando el divisor es 1, el cociente es igual al dividendo (dividir por 1 deja igual las cosas):
3 ÷ 1 = 3, 17/1 = 17, 23 : 1 = 23,
0
1
= 0, etc.
4. Cuando dividimos por 10 (100, 1000, etc.), el resultado obtenido es el dividendo desplaz´andole
el punto decimal uno (dos, tres, etc.) lugares a la izquierda:
52.3 ÷ 10 = 5.23, 123 ÷ 1000 = 0.123, 6470 × 10 = 647, etc.
Si el factor es un decimal, el punto decimal se corre a la derecha tantos lugares como ceros:
0.5 ÷ 10 = 5, 0.3287 ÷ 100 = 32.87, 9.3 ÷ 1000 = 9 300, etc.
5. Cuando el dividendo o el divisor son decimales, multiplicamos ambos por 10 (100, 1000, etc.)
hasta que el divisor no tenga parte decimal. Por ejemplo, para dividir 3.25 entre 0.2 realizamos
32.5 2
12 16.25
05
− 4
10
− 10
0
y por tanto 3.25 ÷ 0.2 = 16.25
Actividad 3.18. Realiza las siguientes divisiones:
32.5 0.3 32.5 0.3 32.5 0.3 32.5 0.3
La divisi´on es una operaci´on con las siguientes propiedades.
Ley 3.19 (Uniforme). La multiplicaci´on de dos n´umeros siempre tiene el mismo valor.
Ejemplo 3.8 (unicidad de la divisi´on). Si dividimos miembro a miembro dos igualdades, el resul-
tado obtenido es otra igualdad:
6 = 6
÷ 3 = 3
2 = 2
y
a = a′
÷ b = b′
a ÷ b = a′
÷ b′
Ley 3.20 (Monoton´ıa para la divisi´on). .
1. Si es posible dividir miembro a miembro una desigualdad entre una igualdad, obtenemos una
desigualdad del mismo sentido:
9 < 18
÷ 3 = 3
3 < 6
12 > 9
÷ 3 = 3
4 > 3
a < b
÷ c = d
a ÷ c < b ÷ d
a > b
÷ c = d
a ÷ c > b ÷ d

13. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 13
2. Si es posible dividir miembro a miembro una igualdad entre una desigualdad, obtenemos una
desigualdad de sentido contrario a la desigualdad (divisor):
24 = 24
÷ 8 < 3
3 < 8
12 = 12
÷ 6 > 3
2 < 4
a = b
÷ c < d
a ÷ c > b ÷ d
a = b
÷ c > d
a ÷ c < b ÷ d
3. Si es posible dividir miembro a miembro una desigualdad (divisor) entre otra desigualdad (di-
videndo) de sentido contrario, obtenemos una desigualdad de sentido contrario al del divisor:
3 < 4
÷ 6 > 2
18 > 8
45 > 15
÷ 3 < 5
15 > 3
a < b
÷ c > d
a ÷ c > b ÷ d
a > b
÷ c < d
a ÷ c < b ÷ d
Ley 3.21 (Distributiva). Esta ley es muy importante, nos permite relacionar las operaciones suma,
resta y divisi´on:
(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c y (a − b) ÷ c = a ÷ c − b ÷ c
3.5. Orden de operaciones
Cuando una expresi´on matem´atica consta de muchos t´erminos, podemos utilizar signos de
agrupaci´on para especificar el orden en que debemos realizar las operaciones:
Signo Nombre
( ) par´entesis
[ ] corchetes
{ } llaves
4 + (5 − 3) 2 = ?
(4 + 5) − 3 · 2 = ?
[(4 + 5) − 3] · 2 = ?
Cuando la expresi´on no contiene signos de agrupaci´on, como por ejemplo 2 + 3 − 4 · 5, existe un
orden (o jerarqu´ıa) de operaciones que especifica el orden en que debemos realizar las operaciones:
Operador Orden
Signos de agrupaci´on (mayor)
∧ ↓
×, ÷ ↓
+, − (menor)
4 + 5 − 3 · 2 = 4 + 5 − 3 · 2 = 4 + 5 − 6 = 9 − 6 = 3
24/3/2 = 24/3/2 = 8/2 = 4
1+4×3÷6 = 1+4 × 3÷6 = 1+12 ÷ 6 = 1 + 2 = 3
18 ÷ 32
× 6 = 18 ÷ 32
× 6 = 18 ÷ 9 × 6 = 2 × 6 = 12
Cuando las operaciones tienen la misma jerarqu´ıa, es decir, est´an en una misma fila de la tabla
como × y ÷, las operaciones se realizan de izquierda a derecha.
Actividad 3.22. Realiza las operaciones indicadas:
1. 5 + 4 − 3 × 2 ÷ 3 ∧ 2
2. 72/3/2/6/1/2
3. 2 ∧ 2 ∧ 1 + 2
4.
2
2 + 23
× 2 + 23
5. 3[(4 + 6) − 5] − 15
6. 48 − 3{2[(1 + 2)2
− 5] − 1}
7. 2{(1 + 2)[(1 + 2)2
− 6 : 3] − 1} − 27
8. 1/10 + 1/100 + 1/1000
4. Divisibilidad
En algunas situaciones es posible determinar si un n´umero divide a otro exactamente sin realizar
la divisi´on. Los siguientes criterios o reglas nos dicen c´omo.

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4.1. Criterios de divisibilidad
Criterio 4.1 (Divisibilidad por 2). Un n´umero es divisible por 2 si su ´ultima cifra es par o cero.
Ejemplo 4.1. 2, 8, 10, 46 y 62371230.
Criterio 4.2 (Divisibilidad por 3). Un n´umero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un
m´ultiplo de 3.
Ejemplo 4.2. 45138 es divisible por 3 porque 4 + 5 + 1 + 3 + 8 = 21 que es m´ultiplo de 3.
Criterio 4.3 (Divisibilidad por 4). Un n´umero es divisible por 4 si sus dos ´ultimas cifras con
ceros o forman un m´ultiplo de 4.
Ejemplo 4.3. 300 es divisible por 4 tambi´en 7312 porque 12 que es m´ultiplo de 4.
Criterio 4.4 (Divisibilidad por 5). Un n´umero es divisible por 5 si su ´ultima cifra es cero ´o 5.
Ejemplo 4.4. N´uimeros divisbles por 5: 15, 240, 12345, etc.
Criterio 4.5 (Divisibilidad por 7). Un n´umero es divisible por 7 cuando, al separar la ´ultima
cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0
o es un m´ultiplo de 7. Este procedimiento se repite si es necesario hasta que se pueda determinar
con facilidad si la diferencia es 0 o m´ultiplo de 7.
Ejemplo 4.5. 154 es m´ultiplo de 7 porque 15 − 2 × 4 = 7 es m´ultiplo de 7.
Criterio 4.6 (Divisibilidad por 9). Un n´umero es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras
es un m´ultiplo de 9.
Ejemplo 4.6. 86274 es divisible por 9 porque 8 + 6 + 2 + 7 + 4 = 27 es m´ultiplo de 9.
Criterio 4.7 (Divisibilidad por 10). Un n´umero es divisible por 10 cuando termina en cero.
4.2. Descomposici´on en factores primos
Los n´umeros primos juegan un papel muy importante en matem´aticas y resultan de gran
utilidad para realizar operaciones aritm´eticas.
Definici´on 4.1 (n´umero primo). Un n´umero es primo si s´olo es divisible por s´ı mismo y por la
unidad.
Observaci´on 4. Los n´umeros primos son infinitos, los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . Por conven-
ci´on el 1 no se considera primo. Todo n´umero que no sea primo se denominan compuesto.

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Teorema 4.8. Todo n´umero distinto de 1 se puede descomponer en producto de factores primos.
Para descomponer un n´umero en sus factores primos buscamos todos sus divisores primos.
Ejemplo 4.7 (Descomposici´on en factores primos). .
10 = 2 × 5 21 = 3 × 7 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32
Observaci´on 5. La descomposici´on en factores primos la podemos obtener dividiendo el n´umero
por el menor de sus diviores primos, el cociente obtenido se divide tambi´en por el menor de sus
divisores primos y as´ı sucesivamente hasta obtener un cociente que sea un n´umero primo divisible
por s´ı mismo.
Ejercicio 4.1. Halla la descomposici´on en factores primos de 36 y 60.
Soluci´on. .
36 2
18 2
9 3
3 3
1
⇒ 36 = 22
× 32
y
60 2
30 2
15 3
5 5
1
⇒ 36 = 22
× 3 × 5
Definici´on 4.2 (m.c.d). El m´aximo com´un divisor o m.c.d. de varios n´umeros es el n´umero m´as
grande que es divisor de todos ellos. Si el m.c.d es 1, se dice que los n´umeros son primos relativos.
Observaci´on 6. El m.c.d. de dos n´umeros puede calcularse determinando la descomposici´on en
factores primos de los dos n´umeros y multiplicando los factores comunes elevados a la menor
potencia.
Ejemplo 4.8. Por la observaci´on anterior (6) y la descomposici´on en factores primos obtenida en
el ejercicio (4.1), el m.c.d. de 36 y 60 es mcd(36,60) = 22
× 3 = 12.
Definici´on 4.3 (m.c.m). El m´ınimo com´un m´ultiplo o m.c.m de varios n´umeros es el n´umero
m´as peque˜no que es divisible por todos ellos.
Observaci´on 7. Para calcular el m.c.m., se descomponen los n´umeros en sus factores primos y se
toman todos los factores (comunes y no comunes) con mayor exponente.
Ejemplo 4.9. Por la observaci´on anterior (7) y la descomposici´on en factores primos obtenida en
el ejercicio (4.1), el m.c.m de 36 y 60 es mcm(36,60) = 22
× 32
× 5 = 180.
5. Fracciones
Definici´on 5.1 (de fracci´on). Se le llama fracci´on a una o varias partes de la unidad dividida
en un n´umero cualquiera de partes iguales.
Ejemplo 5.1. Como ejemplos de fracciones podemos mencionar:
1
4
,
4
8
, 3/5 ,
8
2
, . . .
Al t´ermino superior de una fracci´on se le denomina numerador y al inferior denominador.

16. UniversidaddeAntioquia
16 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
El denominador indica el n´umero de partes en que ha sido dividida la
unidad y el numerador indica el n´umero de partes a ser tomadas. Una fracci´on
es nula si su numerador es cero: 0/2 = 0, 0/5 = 0, etc. El denominador de
una fracci´on nunca puede ser cero.
Se dice que una fracci´on es propia si su numerador es menor que su deno-
minador, como por ejemplo 1/2 y 3/4. Se dice que una fracci´on es impropia
si su numerador es mayor que su denominador, como por ejemplo 3/2 y 9/4. Dos fracciones pueden
representar el mismo n´umero:
Definici´on 5.2 (Igualdad de fracciones). .
p
q
=
r
s
⇐⇒ p × s = q × r
Ejemplo 5.2. 1
2 = 5
10 , 3
4 = 21
28 , −6
7 = 12
14 , etc.
Las fracciones se pueden comparar de acuerdo a la siguiente observaci´on:
Observaci´on 8. [Comparaci´on de fracciones].
1. Si dos fracciones tienen el mismo denominador, la fracci´on con el mayor numerador ser´a la
fracci´on m´as grande.
2. Si dos fracciones tienen el mismo numerador, la fracci´on con el menor numerador ser´a la
fracci´on m´as grande.
Ejemplo 5.3.
2
5
<
4
5
y
43
17
>
34
17
5.1. Reducci´on de fracciones a un com´un denominador
La pregunta que ahora surge es ¿c´omo comparar fracciones que no tienen denominadores o
numeradores iguales? Las fracciones se pueden simplificar y expresarlas en t´erminos menores.
Ejercicio 5.1. Simplifiquemos la fracci´on 36
24 .
Soluci´on. .
36
24 = ¨¨Bmitad
36
¨¨Bmitad
24
= ¨¨Bmitad
18
¨¨Bmitad
12
= &&b
tercera
9
&&b
tercera
6
= 3
2
Para comparar fracciones cuyos t´erminos (denominador y numerador) son distintos, reducimos
las fracciones a un com´un denominador, multiplicando los t´erminos de cada fracci´on (denominador
y numerador) por el producto de de los denominadores de las otras fracciones.
Ejemplo 5.4. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
2
3
,
6
7
, y
4
5
Soluci´on. . Reducimos las fracciones a un com´un denominador y comparamos los numeradores
como se indica en la observaci´on (8):
2
3
=
2 × 5 × 7
3 × 5 × 7
=
70
105
6
7
=
6 × 3 × 5
7 × 3 × 5
=
90
105
4
5
=
4 × 3 × 7
5 × 3 × 7
=
84
105
=⇒
2
3
<
4
5
<
6
7

17. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 17
5.2. Reducci´on de fracciones al m´ınimo com´un denominador
En esta secci´on revisamos el proceso de reducir un conjunto de fracciones a su m´ınimo com´un
denominador. Este procedimiento es de utilidad cuando realizamos operaciones aritm´eticas sobre
fracciones, como veremos en la secci´on siguiente.
Algoritmo 5.1 (Reducci´on al m´ınimo com´un denominador). .
1. Simplificamos cada una de las fracciones a su expresi´on m´as simple (ver ejemplo (5.1)).
2. Calculamos el m.c.m de los denominadores.
3. Dividimos el m.c.m obtenido en el paso 2 por el denominador de cada fracci´on.
4. El n´umero obtenido en el paso 3 lo multiplicamos por los t´erminos de cada una de las
fracciones.
Ejercicio 5.2. Reducir al m´ınimo com´un denominador las siguientes fracciones:
2
9
,
3
7
,
10
126
y
15
25
Soluci´on. . Realicemos el algoritmo (5.1):
1. Simplifiquemos las fracciones:
2
9
=
2
9
,
3
7
=
3
7
,
10
126
=
5
63
y
15
25
=
3
5
(4)
2. Para calcular el m.c.m de los denominadores observemos que
9 3
3 3
1
. .
7 7
1
63 3
21 3
7 7
1
5 5
1
. .
. .
de lo cual se obtiene que 9 = 32
, 7 = 7, 63 = 32
× 7 y 5 = 5, y por tanto m.c.m(9,7,63,5) =
32
× 7 × 5 = 315
3. Dividimos el m.c.m obtenido en el paso anterior por cada uno de los denominadores en (4):
315 ÷ 9 = 35, 315 ÷ 7 = 45, 315 ÷ 63 = 5 y 315 ÷ 5 = 63. (5)
4. Multiplicamos cada uno de los n´umeros obtenidos en (5) por los t´erminos de cada una de las
fracciones correspondientes en (4):
2
9
=
2 × 35
9 × 35
=
70
315
,
3
7
=
3 × 45
7 × 45
=
135
315
,
1
63
=
5 × 5
63 × 5
=
25
315
y
3 × 63
5 × 63
=
189
315
De esta manera todas las fracciones quedan reducidas a su m´ınimo com´un denominador.
5.3. Operaciones con fracciones
Las fracciones se pueden sumar, multiplicar y dividir como indicamos a continuaci´on
Propiedad 5.1. .
p
q
+
r
s
=
ps + qr
qs
p
q
×
r
s
=
p × r
q × s
p
q
÷
r
s
=
p × s
q × r
En construcci´on. . .

18. UniversidaddeAntioquia
18 Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia
6. Ejercicios
[Problemas (1)-(7)] Realiza las operaciones men-
tal o manualmente (sin calculadora):
1. 3.01 + 2.11 − 3.25 + 5.83 es igual a:
a) 6.7
b) 7..2
c) 7.7
d) 7.9
2. 368 × 0.00001 es igual a:
a) 368000
b) 3680
c) 0.368
d) 0.0368
3. 0.75 ÷ 2.5 es igual a:
a) 30
b) 3
c) 0.3
d) 0.03
4. (1.2 + 3.6) × 2.5 es igual a:
a) 3
b) 4.8
c) 9
d) 12
5. 0.33 + 0.33 + 0.33 es igual a:
a) 0.09
b) 0.9
c) 0.99
d) 0.999
6. 3 + 2 ∗ 2 + 6/3 ∗ 10 es igual a:
a) 27
b) 32
c) 47
d) 53
7. 2 ∧ 2 ∧ 3 es igual a:
a) 12
b) 64
c) 128
d) 256
[Problemas (8)-(10)] Selecciona la respuesta co-
rrecta.
8. En una suma, los t´erminos que se suman
se denominan:
a) Factores
b) Divisores
c) Sumandos
d) Dividendos
9. En una divisi´on, el n´umero que se divide
se denomina:
a) Factor
b) Divisor
c) Dividendo
d) Cociente
10. La ley de la suma que afirma que “a = b y
c > d implica a + c > b + d” es:
a) conmutativa
b) asociativa
c) uniforme
d) mon´otona
11. De los siguientes n´umeros es divisible por
3:
a) 520 b) 169 c) 582 d) 520
12. De los siguientes n´umeros es divisible por
5:
a) 728 b) 169 c) 528 d) 660
13. De los siguientes n´umeros es divisible por
7:
a) 169
b) 2401
c) 344
d) 1331
14. De los siguientes n´umeros es divisible por
9:
a) 547 b) 479 c) 523 d) 567

19. UniversidaddeAntioquia
Instituto de Matemticas, Universidad de Antioquia 19
15. De los siguientes n´umeros el ´unico que es
primo es:
a) 26 b) 49 c) 476 d) 137
16. De las siguientes n´umeros, los ´unicos que
son primos relativos son:
a) 9 y 33
b) 15 y 48
c) 32 y 67
d) 10 y 100
17. Al descomponer en factores primos el
n´umero 504 se obtiene:
a) 23
× 32
× 5
b) 23
× 32
× 7
c) 22
× 33
× 5
d) 23
× 32
× 11
18. El m.c.d. de 28 y 42 es:
a) 2 b) 14 c) 76 d) 84
19. El m.c.m. de 52 y 78 es:
a) 8 b) 56 c) 78 d) 156
[Problemas (20)-(25)] Resuelve los siguientes
problemas.
20. Determina el per´ımetro de la figura:
21. Cuatro bultos de papa, cuyos pesos en kg
son 23.1, 58.3, 58.6 y 78.3, van a ser trans-
portados de Medell´ın a Monter´ıa. Trans-
portar cada kg tiene un costo de $54.2.
Determina el costo toal del transporte.
22. Con el fin de pagar una deuda, una perso-
na pide prestado a un banco $10 000 000,
vende su moto por $4 525 000 y retira del
fondo de pensiones $475 000. Determina el
costo de la venta.
23. En un supermercado, por cada 200 pesos
en compras, se realiza un descuento de 30
centavos. Si alguien realiza una compra de
32 500 pesos, ¿cu´anto es el valor a pagar?
24. Un comerciante compra 12 cerdos por 4
millones de pesos. Los alimenta por dos
semanas, gastando 120 000 pesos diarios y
los vende a 350 000 cada uno. Determina
la ganancia obtenida.
25. Un jarra contiene 10 mL de limonada. La
concentraci´on de lim´on puro en la jarra es
de 30 %, esto significa que por cada 100
mL de limonada, 30 mL son de lim´on pu-
ro. Determina la cantidad de lim´on puro
que es necesario agregar para aumentar la
concentraci´on de lim´on puro al 50 %.
Referencias
[1] M. S´anchez, Aritm´etica, editorial Playor, 1983.
[2] I. Stewart, Historia de las matem´aticas. Cr´ıtica, 2008.
[3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, ´Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima
edici´on, editorial Thomson, 2006.