Bases de Numeración

1. Bryan.R.V. & Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 1
Universidad de Costa Rica
Sede del Atlantico
Recinto Turrialba
Algebra y Analisis I MA-0205
Luis Ramrez Oviedo
Bryan Ramrez Vega B35688
Siviany Camacho Mora B31308
I Semestre
2014

2. Bryan.R.V. Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 2
Rese~na Historica (Sistemas de Numeracion).
a.Sistema de Numeracion Aditivo.
Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los smbolos de todas las unidades, dece-nas...,
como sean necesarios hasta completar el numero. Una de sus caractersticas es por tanto
que se pueden poner los smbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una
determinada disposicion.
Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca
(de base 20), romana y las alfabeticas de los griegos, armenios, judos y arabes.
a.1.Sistema de Numeracion Egipcio.
Desde el tercer milenio a.C. los egipcios usaron un sistema describir los numeros en base diez,
utilizando los gerogl

3. cos de la

4. gura para representar los distintos ordenes de unidades.
El conocimiento de los metodos de calculo de los egipcios y su aplicacion en distintos proble-mas
proviene de las inscripciones talladas en piedras, de los calendarios y sobre todo de algunos
papiros.
Al ser indiferente el orden se escriban a veces segun criterios esteticos, y solan ir acompa~nados
de los jerogl

5. cos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo
numero indicaban. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporacion de Egipto al imperio
romano. Pero su uso quedo reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sus-tituido
por la escritura hieratica y demotica, formas mas simples que permitan mayor rapidez
y comodidad a los escribas.
En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y as se
introdujeron smbolos particulares para 20; 30 90 200; 300 900; 2000; 3000; ; con lo
que disminuye el numero de signos necesarios para escribir una cifra.
b.Sistema de Numeracion Hbrido.
En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo, pero el orden en la
escritura de las cifras es muy fundamental para evitar confusiones en su interpretacion. Si pa-ra
representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hbridos
utilizan la combinacion del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos
para los numeros mas complejos, un ejemplo de este sistema es el chino clasico.

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Por lo tanto sigue siendo innecesario un smbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la com-binaci
on del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental
para evitar confusiones, se dan as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los
signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto se piensa en suprimirlos,
dandolos por supuestos y se escriben solo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc.;
pero, para ello es necesario un cero, algo que indique que algun orden de magnitud esta vaco
y no se confundan el 307 con 370, 3070 .
b.1.Sistema de Numeracion Chino.
La forma clasica de escritura de los numeros en China se empezo a usar desde el 1500 a.C.
aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias
de 10.
c.Sistema de Numeracion Posicional.
Mucho mas efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos la posicion de
una cifra nos dice si son decenas, centenas, o en general la potencia de la base correspondiente.
Solo tres culturas ademas de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilo-nios,
chinos y mayas en distintas epocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero
impidio a los chinos un desarrollo completo hasta la introduccion del mismo. Los sistemas ba-bil
onico y maya no eran practicos para operar porque no disponan de smbolos particulares
para los dgitos, usando para representarlos una acumulacion del signo de la unidad y la decena.
El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio
ningun obstaculo. Los mayas por su parte cometan una irregularidad a partir de las unidades
de tercer orden, ya que detras de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para
adecuar los numeros al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales.
c.1. Sistema de numeracion Babilonio.
Entre las muchas civilizaciones que
orecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron dis-tintos
sistemas de numeracion. En el 1900-1800 a.C. se invento un sistema de base 10, aditivo
hasta el 60 y posicional para numeros superiores. Para la unidad se usaba la marca vertical que
se haca con el punzon en forma de cu~na.

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Se ponan tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tena su propio signo.
De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.
c.2.Sistema de Numeracion Maya.
Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 como base auxiliar. La unidad se representaba
por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a
la que se a~nadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos
rayas, y de la misma forma se continua hasta el 20, con cuatro rayas.
Los mayas agruparon smbolos sumando hasta el 19, y a los numeros mayores les asignaron
un valor segun su posicion. Los numeros mayas se usaban para medir el tiempo y no las ma-tem
aticas. Por ese motivo tienen relacion con los das, meses y a~nos y en de

8. nitiva con el
calendario. La numeracion maya posee solo tres smbolos para representar los numeros, como
podemos ver en el siguiente gra

9. co que representa en numeracion maya los numeros del 0 al
19.

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Sistemas de numeracion.
Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una
serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos.
Puede decirse que un sistema de numeracion es el conjunto ordenado de elementos (smbo-los
o dgitos o numeros), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite
establecer el papel de tales relaciones y operaciones, las reglas se combinan para representar
cantidades numericas.
Bases de numeracion.
Base de un sistema numerico. La base de un sistema numerico es el numero de dgitos di-ferentes
usados en ese sistema.
Existen diferentes sistemas numericos, cada uno de ellos se identi

11. ca por su base.
Binario (base 2), utiliza 2 smbolos (dgitos): 0, 1.
Terciario (base 3), utiliza 3 smbolos (dgitos): 0, 1, 2.
Cuaternario (base 4), utiliza 4 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3.
Quinario (base 5), utiliza 5 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4.
Senario (base 6), utiliza 6 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Heptal (base 7), utiliza 7 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Octal (base 8), utiliza 8 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Nonario (base 9), utiliza 9 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Decimal (base 10), utiliza 10 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Undecimal (base 11), utiliza smbolos (dgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A.
Duodecimal (base 12), utiliza smbolos (dgitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B.
Y as sucesivamente...
Por ejemplo (Hexadecimal):
Hexadecimal, utiliza 16 smbolos (dgitos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Notacion: Para distinguir entre los diferentes sistemas numericos se puede encerrar entre
parentesis el numero y se le a~nade un subndice que indicara la base que se esta usando. Sin
embargo, si no se usa subndice se debera entender que el numero esta en base diez, a menos
que se diga lo contrario.

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Teorema (de Representacion).
Sea b 2 Z; b 1. Para cualquier entero positivo a se pueden encontrar n 2 N y enteros
a0; a1; a2; ; an tales que a puede ser representado de forma unica de la siguiente manera:
a = a0 + a1b + a2b2 + + anbn,
con 0 ai b para i 2 f0; 1; ; n 1g y 0 an b.
Demostracion:
Procederemos por induccion sobre a.
i) Para a = 1, se toma n = 0 y a0 = 1, por lo que a = 1 = 1 1 = a0b0.
ii) Supongamos el resultado cierto para algun entero positivo menor que a, y probemoslo para
a + 1.
Como 1 b, entonces se tiene que 1 b b2 b3
En particular, existe n 2 N tal que: n 0 y bn a + 1 bn+1.
Por el algoritmo de la division eucldea, haciendo la division de a + 1 entre bn, existen enteros
an y r tales que:
a + 1 = anbn + r,
con 0 r bn:
Observese que 0 an pues 0 = bn bn a + 1 r = anbn, y ademas an b
pues anbn a + 1 bn+1:
De esta forma, tenemos que 0 an b como se quiere.
En caso que r = 0, entonces se tiene a + 1 = anbn, con ai = 0 , para i 2 f0; 1; ; n 1g :
En caso que r 0 : como r bn a + 1; entonces por la hipotesis de induccion sobre
r(r a); existen m 2 N y enteros a0; a1; a2; ; am tales que r = a0 + a1b + a2b2 + + ambm;
con 0 ai b para i 2 f0; 1; ;m 1g y 0 am b:
Por lo tanto, tenemos que a + 1 = anbn + a0 + a1b + a2b2 + + ambm:
Nota: La notacion posicional, corrientemente usada, signi

13. ca que:
a = a0 + a1b + a2b2 + + anbn = (anan1 a1a0)b.
En base 10, omitimos el subdice y los parentesis, como es usual.
Ejemplos:
(2013)4 = 2 43 + 0 42 + 1 4 + 3 40
(2453)7 = 2 73 + 4 72 + 5 7 + 3 1
(24)5 = 2 5 + 4
(132)9 = 1 92 + 3 9 + 1
(1235)10 = 1235 = 1 103 + 2 102 + 3 10 + 5
(420)6 = 4 62 + 2 6 + 0

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Cambios de base.
Existen 3 tipos de cambios de base:
I.De base 10 a cualquier base.
Si tenemos una cantidad N expresada en base 10 y queremos representarla en base n, solo hay
que dividir N y los sucesivos cocientes que vayamos obteniendo entre n. La representacion en
base n vendra dada por el ultimo cociente y por los residuos de dichas divisiones.
Ejemplos:
1.Pasar (29)10 = 29 a base 2.
29 = 14 2 + 1;
14 = 7 2 + 0;
7 = 3 2 + 1;
3 = 1 2 + 1:
Luego 29 = (11101)2
2.Pasar 937 a base 16.
937 = 16 58 + 9;
58 = 16 3 + 10:
Por lo tanto 937 = (3A9)16
3. Pasar 475 a base 8.
475 = 8 59 + 3
59 = 8 7 + 3
Luego 475 = (733)8
4.Pasar 100 a base 2.
100 = 2 50 + 0
50 = 2 25 + 0
25 = 2 12 + 1
12 = 2 6 + 0
6 = 2 3 + 0
3 = 2 1 + 1
Por lo tanto 100 = (1100100)2.

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Tambien se puede hacer un cambio de N en base 10 a cualquier base n por medio de potencias,
se trata de descomponer el N de base 10 a una suma de potencias de base n y luego tomo el
numero de potencias de la mayor a la menor ( ; n2; n; n0):
Ejemplos:
1.Pasar 100 a base 2.
100 = 64 + 36
= 26 + 36
= 26 + 32 + 4
= 26 + 25 + 4
= 26 + 25 + 22
Siendo = 26 25 24 23 22 2 20
Habiendo = 1 1 0 0 1 0 0
Luego 100 = (1100100)2
II.De cualquier base a base 10.
Si tenemos una cantidad representada en base n, para pasarla a base 10 solo es necesario desa-rrollar
dicha representacion como suma de potencias de n y realizar los calculos pertinentes.
Ejemplos:
1. Pasar (2011)4 a base 10.
(2011)4 = 2 43 + 0 42 + 1 4 + 1
= 2 64 + 0 + 4 + 1
= 128 + 5
= 133
Por lo tanto (2011)4 = (133)10 = 133
2.Pasar (3205)6 a base 10.
(3205)6 = 5 + 0 6 + 2 62 + 3 63
= 5 + 0 + 64 + 648
= 717
Luego (3205)6 = 717
3. Pasar (27C10A)14 a base 10. Recuerde que (A = 10;B = 11;C = 12; ):
(27C10A)14 = A 140 + 0 14 + 1 142 + C 143 + 7 144 + 2 145
= 10 1 + 0 + 196 + 12 143 + 7 38416 + 2 537824
= 10 + 196 + 12 2744 + 268912 + 1075648
= 206 + 32928 + 1344560
= 1377694
Por lo tanto (27C10A)14 = 1377694:

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III.De cualquier base a cualquier base.
Para pasar una cantidad de base n a otra base m debemos, en primer lugar, pasar la cantidad
expresada en base n a base 10 (mediante el metodo II) y la cantidad resultante pasarla a base
m (mediante el metodo I).
Ejemplos:
1. Pasar (3103)6 a base 13:
a. Pasaremos (3103)6 a base 10:
(3103)6 = 3 63 + 1 62 + 0 6 + 3
= 3 216 + 1 36 + 0 + 3
= 648 + 36 + 3
= 687
b. Pasaremos 687 a base 13. (Recuerde que: A = 10;B = 11; ).
687 = 13 52 + 11
52 = 13 4 + 0
687 = (40B)13
Luego (3103)6 = (40B)13:
2. Pasar (210)4 a base 2.
a.Pasaremos (210)4 a base 10.
(210)4 = 2 42 + 1 4 + 0
= 2 16 + 4
= 32 + 4
= 36
b.Pasaremos 36 a base 2.
36 = 2 18 + 0
18 = 2 9 + 0
9 = 2 4 + 1
4 = 2 2 + 0
2 = 2 1 + 0
36 = (100100)2
Por lo tanto (210)4 = (100100)2

17. Bryan.R.V. Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 10
Algoritmos de calculo.
A.Suma.
Demostracion.
En general, consideremos M y N que en base b se representan por:
M = pm p0, N = qn q0.
Tenemos entonces M = pmbm + + p0, y N = qmbm + + q0. Al sumar M + N se hace uso
de las propiedades de la suma (conmutatividad, asociatividad, etc.). Tenemos:
M + N = (pmbm + + p1b) + (qmbm + : +q2b2) + p0 + q0.
Si p0+q0 b, tenemos que r0 = p0+q0 es el dgito de las unidades de M+N. En caso contrario
tenemos p0 + q0 = b + c, donde 0 c b, y tomamos r0 = c. Obtenemos:
M + N = (pmbm + + p2b2) + (qmbm + + q2b2) + (1 + p1 + q1)b + r0:
Notese que p0 + b0 se representa en base b como (1r0)b; y lo que hicimos equivale a colocar r0
en la primera columna a la derecha, y llevar el 1 a la segunda:
p2 p1 p0
+ q2 q1 q0
r0
Luego hacemos el mismo analisis con 1 + p1 + q1; y as continuamos hasta llegar a la ultima
columna. El algoritmo se puede generalizar a mas sumandos, con la diferencia que el dgito a
llevarpuede ser mayor que 1.
Ejemplos:
1. La tabla de la suma en base 2 (sistema binario).
+ 0 1
0 0 1
1 1 10
2. (10011111)2 + (11011101)2.
1 0 0 1 1 1 1 1
+ 1 1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1 0 0
Explicacion: Primero sumamos las unidades 1+1=10, colocamos el 0 y llevamos el 1 a la se-gunda
columna. En la segunda columna obtenemos que 1+1+0=10, colocamos el 0 y llevamos
el 1 a la tercera columna, donde queda 1+1+1=11, colocamos el 1 y llevamos el 1 a la cuarta
columna. Se continua de esa manera hasta llegar a la ultima columna.
3. Calcular (6733)8 + (14525)8:
+ 6 7 3 3
1 4 5 2 5
2 3 4 6 0

18. Bryan.R.V. Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 11
4. La tabla de la suma en base 6.
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 10
2 2 3 4 5 10 11
3 3 4 5 10 11 12
4 4 5 10 11 12 13
5 5 10 11 12 13 14
5. Calcular (124)5 + (230)5.
a. Pasaremos los dos componentes a base 10 y los sumaremos en base 10.
(124)5 + (230)5 = (1 52 + 2 5 + 4) + (2 52 + 3 5 + 0)
= (25 + 10 + 4) + (50 + 15)
= 39 + 65
= 104
b. Pasaremos el resultado 104 de base 10 a base 5 (es a la que se quiere llegar).
104 = 5 20 + 4
20 = 5 4 + 0
104 = (404)5
Luego (124)5 + (230)5 = (404)5:
B.Multiplicacion.
Ejemplos:
1.La tabla del producto en base 2 (sistema binario).
0 1
0 0 1
1 1 1
2. Calcular (733)8 (125)8
7 3 3
x 1 2 5
4 5 0 7
1 6 6 6
7 3 3
1 1 6 6 6 7

19. Bryan.R.V. Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 12
3. La tabla del producto en base 6.
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10 12 14
3 0 3 10 13 20 23
4 0 4 12 20 24 32
5 0 5 14 23 32 41
4. Calcular el producto de (733)8 (125)8:
a. Pasaremos los dos componentes a base 10 y los multiplicaremos en base 10.
(733)8 (125)8 = (7 82 + 3 8 + 3) (1 82 + 2 8 + 5)
= (448 + 24 + 3) (64 + 16 + 5)
= 475 85
= 40375
b. Pasaremos el resultado 40375 de base 10 a base 8 (es a la que se quiere llegar).
40375 = 8 5046 + 7
5046 = 8 630 + 6
630 = 8 78 + 6
78 = 8 9 + 6
9 = 8 1 + 1
40375 = (116667)8
Por lo tanto (733)8 (125)8 = (116667)8
5. Calcular el producto de (122)3 (221)3. a. Pasaremos los dos componentes a base 10 y
los multiplicaremos en base 10.
(122)3 (221)3 = (1 32 + 2 3 + 2) (2 32 + 2 3 + 1)
= (9 + 6 + 2) (18 + 6 + 1)
= 17 25
= 425
b. Pasaremos el resultado 425 de base 10 a base 3 (es a la que se quiere llegar).
425 = 3 141 + 2
141 = 3 47 + 0
47 = 3 15 + 2
15 = 3 5 + 0
5 = 3 1 + 2
425 = (120202)3
Luego (122)3 (221)3 = (120202)3

20. Bryan.R.V. Siviany.C.M. Bases de Numeracion. 13
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San Jose, CR: EUNED.
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