La numeración

1. 1.2 NÚMEROS
COMPLEJOS.
NÚMEROS NATURALE, ENTEROS, RCIONALES,
IRRECIONALES, REALES Y COMPLEJOS.
REAL NUMBERS AND
COMPLEX NUMBERS.
DE HARO LOZANO GRETEL MIXARI. 1° “A”
PROCESOS INDUSTRIALES

2. 1
El origen de los números
“En el fondo, la teoría de posibilidades es solo sentido común expresado en
números.” (Pierre Simon Laplace)
Los números son hoy en día algo muy necesario, y aunque podemos encontrar
distintas interpretaciones o simbología dependiendo de nuestra cultura, cuentan
con una larga historia detrás que cuenta con distintas corrientes.
Muchas han sido las representaciones numéricas dependiendo de los pueblos, y
de hecho aquellos que han desarrollado un sistema de números, puede que
incluso hayan recibido la influencia de otros pueblos y ellos mismos han quedado
para la historia.
Quizás sea posible que cada quien hubiera desarrollado una manera de entender
los números a su manera, es decir, cada civilización desarrollo su propio sistema
numérico, después este se fue difundiendo, mezclando con otros y creando otro
sistema numérico. Por ejemplo:
 Números egipcios: En Egipto se utilizaban los números para transacciones
comerciales, y siempre representados en base diez usando jeroglíficos. Los
números también eran utilizados por los egipcios en época de inundaciones
y cuando el faraón hacia medir los campos para distribuirlos entre los
campesinos y de hecho descubrieron las fracciones.

3. 2
Números griegos:
 Al no ser considerada como una única nación, en los números
desarrollados por los griegos, podemos diferenciar dos sistemas. Por un
lado, tenemos el sistema acrofónico, que quiere decir que los símbolos de
los números vienen de la primera letra del nombre del número. También
tienen el sistema Jónico que empleaba las letras minúsculas del alfabeto.
Los números parecían letras y las letras poseían un valor numérico.
Números indios:
Números indios: En cuanto a los hindús, cabe decir que como nosotros cuentan
con un sistema decimal, al contar del 0 al 9.
Además, ellos fueron los que comenzaron a usar el cero. Al contar con el ábaco, y
cuando que las unidades, decenas o centenas fueran cero ellos simplemente
dejaban esa línea vacía. El sistema de numeración hindú, es el sistema que
nosotros utilizamos actualmente, aunque evolucionado, ya que los árabes lo
tomaron y lo introdujeron en Europa.

4. 3
Números mayas:
Por último, cabe señalar que los mayas utilizaban un sistema de numeración de
base 20 y de base 5. Y las representaciones de números se hacían por medio de
jeroglíficos. Para los mayas los números eran importantes para medir el tiempo,
por eso los números mayas tienen relación con los días, meses y años y que
representan con tres símbolos, el punto que tiene valor uno, la raya que tiene valor
cinco y el caracol con valor cero.
Otros sistemas de numeración no posicionales
Numeración egipcia
Desde el inicio del uso de la escritura de los jeroglíficos. A principios del tercer
milenio A. C. lo egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal
(numeración en base a 10). No era un sistema de numeración posicional, ya qué
se podían usar grandes números y también se podían realizar varias operaciones
unitarias. También se lograban realizar cantidades pequeñas en fracciones
unitarias. Cabe mencionar que éste es uno de los sistemas de numeración más
antiguos
A continuación, se muestra como se empleaban los números egipcios

5. 4
Supongamos que queremos expresar el número “30” en notación egipcia, de
modo que esto sería igual a:
Lo mismo pasa con números más grandes. Para componer el número 3244, por
ejemplo, se requería de trece símbolos: tres símbolos de “mil”, dos símbolos de
“cien”, cuatro símbolos de “diez” y cuatro símbolos de “unidad”.

6. 5
Sistema Binario:
El sistema binario es un conjunto de elementos que interactúan y se relacionan
entre sí y que sirve para representar textos, datos o para procesar diferentes
instrucciones en una computadora o un dispositivo informático.
El matemático de origen indio Pingala fue quien presentó por primera vez una
descripción de un sistema de numeración binario en el siglo III a.C. en el cual
representaba los números de 1 a 8 con una secuencia, que constaba de 8
trigramas y 64 hexagramas, análogos a números binarios con una precisión de 3 y
6 bits. El sistema binario fue modernizado por Gottfried Leibniz, en el siglo XVII,
por medio de su trabajo escrito conocido como Explicación de l’Arithmétique
Binaire. Este modernizado sistema de Leibniz utilizó el 0 y 1, como se mantiene en
nuestros días. En 1854, el George Boole, matemático británico, detalló un sistema
lógico que se llamaría luego álgebra booleana el cual fue esencial para el
desarrollo del sistema binario, principalmente en su aplicación a los circuitos
electrónicos.
El sistema binario funciona de la siguiente manera:
El sistema binario se basa en la representación de cantidades utilizando los
números 1 y 0. Por tanto su base es 2 que es el número de dígitos que tiene un
sistema. Cada dígito en este sistema se llama bit. Estos números empiezan por el
0 y después el 1 y ahora tendríamos que pasar al siguiente número, que ya sería
de dos cifras porque no hay más números binarios de una sola cifra. El siguiente
número binario, por lo tanto, sería combinar el 1 con el 0, es decir el 10, el
siguiente sería el número el 11. Hechas todas las combinaciones posibles de
números binarios de 2 cifras, ya no tenemos más combinaciones por lo que
construimos los de 3 cifras, y así sucesivamente.
Ejemplo:
 10: 2
 11: 3
 100: 4
 101: 5
Números Naturales:

7. 6
El numero natural, sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un
cierto conjunto, y se llama cardinal (para contar) de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por “N”:
N= (0, 1, 2, 3, …, 7, …,11, 12, 13, …)
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones,
ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden
realizar en el tratamiento de las cantidades.
También los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los
elementos de un conjunto:
1°= primero, 2° segundo, 3°tercero, …, 15° decimoquinto, etc…
Las operaciones de adición y multiplicación están presentes en los números
naturales, por lo cual multiplicar dos números naturales da como resultado otro
natural.
La suma delos números naturales cumple con las propiedades asociativa,
conmutativa y elemento neutro.
*Asociativa:
1+ 2 + 6 = 2
7 + 8 = 15
 Conmutativa
4 + 7 + 2 = 13
2 + 4 + 7 = 13
 Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que
fuera el número natural “a” se cumple que:
a + 0 = a
a + b + d + a = a + b + d

8. 7
Los números enteros:
Un numero entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números
naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero.
Estos son:
 Los naturales o enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5...
 El cero, que no es ni positivo ni negativo.
 Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5...
El conjunto de números enteros se designa por “Z”.
¿cuál es la diferencia entre un número natural y uno entero?
Es muy simple, un entero abarca tantos números positivos como números
negativos, mientras que los números naturales solo abarcan números positivos.
¿Cómo identificar un número entero?
Para saber cuándo un número entero sólo debes tener en cuenta a los siguientes
puntos:
 Un entero no tiene decimales ni es una fracción.
 Es un número natural, aunque incluye también a los negativos
Númerosenteros
NÚMEROS NATURALES

9. 8
Propiedadesde los números racionales:
Llamaremos números racionales al conjunto de todas las posibles expresiones del
tipo a/b, donde a y b son números enteros y b es diferente de cero.
A los números racionales también se le llama números fraccionarios. Los números
racionales se representan con la siguiente letra “Q”.
Si obtienes el cociente de dos números enteros, el resultado puede ser un número
entero, un número con decimales infinitos periódicos o un número con decimales
infinitos no periódicos. Ejemplos:
 Infinitos periódicos:
4/9 =0.444444444
1/9 = 0.11111111
 Infinitos no periódicos:
21/83 = 0.2258064516…
24/86 = 0.2790697674…
Si representamos a los números racionales en la recta numérica, sería de la
siguiente forma:
Se le llama número racional o fracción común a todo número que puede
representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de
cero; el término “racional” alude a “ración” o parte de un todo.
La principal razón por la cual existe una diferencia entre estos dos tipos de
números es la manera de representación de cada tipo. Los números
enteros se representan por uno o varios dígitos que van del 0 al 9, además
el número posee un signo que en caso de ser positivo se omite, mientras
que los números racionales por un par de enteros, unos de los cuales es
numerador y otro (no puede ser 0) que se llama denominador. También se
puede utilizar un número infinito depares para representar el mismo
racional, el hecho de que el número racional acepte muchas
Periodo4
Infinitos no periódicos
Periodo1

10. 9
representaciones como par de enteros, e una de las diferencias
sustanciales entre los enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a
dificultades en la comprensión y el trabajo con este tipo de números.

11. 10
Números irracionales
Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego
Pitágoras que vivió entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque
iba contra sus ideas que se basaban en que todo es susceptible de expresarse en
números. Pero la verdad es que estos números irracionales son tan racionales
como los llamados propiamente racionales, aunque son diferentes, pues los
números irracionales son inconmensurables (no medible) y no pueden expresarse
en la forma racional:
𝑎
𝑏
El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la
hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que se les formaba en una
baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales.
Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de
Pitágoras, apareció el primer número irracional que es:
√2 cuyo valor aproximado es 1.4142135...
Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción
común o decimal, aunque pueden calcularse con los decimales que se deseen (no
son decimales periódicos ni semiperiódicos).
Propiedades
 Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la
propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el
resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.

12. 11
 Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da
como resultado el mismo número, de manera independiente a su
agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la
multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
 Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números
irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula,
por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da
como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.

13. 12
Diferenciaentre las propiedadesde los números reales y los
racionales.
Números Reales Números Racionales
 Pueden tomar cualquier valor
expresado en una recta
numérica con tanta
aproximación como queramos,
pero hay casos en los que
podemos representarlos de
forma exacta.
 Incluyen números positivos,
negativos, enteros, racionales,
raíces cuadradas, raíces
cúbicas…
 Siempre que se tengan dos o
más números reales se pueden
sumar entre sí.
 El resultado de sumar dos
números reales es otro número
real. (propiedad interna)
 El modo de agrupar los
sumandos no varía el resultado
(propiedad asociativa).
 El orden de los sumandos no
varía la suma (propiedad
conmutativa)
 El 0 (cero) es el elemento
neutro de la suma porque todo
número sumado con él da el
mismo número (propiedad del
elemento neutro).
 Son aquellos que pueden
representarse como cociente de
dos números enteros.
 Se representa con el símbolo
“Q”.
 Todos los números
fraccionarios son números
racionales.
 Puede ser expresado de
diferentes maneras, sin alterar
su cantidad mediante fracciones
equivalentes.
 Cuya representación decimal
tiene un número determinado y
fijo de cifras (racionales
limitados)
 Sus decimales tienen un
número ilimitado de cifras
(periódicos).
 Los números racionales
incluyen fracciones, enteros y
números naturales.

14. 13
Números imaginarios
En el año 1777, Leonhard Euler le dio el nombre de i, por imaginario, de manera
despectiva (i = √¯-1) dando a entender que no tenían una existencia real.
Gottfried Wilhelm Leibniz, en el siglo XVII, expresó "El Espíritu divino se manifestó
sublimemente en esta maravilla del análisis, en este portento del mundo de las
ideas, este anfibio entre el ser y el no ser, que llamamos raíz imaginaria de la
unidad negativa".
En 1572, Rafael Bombelli ya había realizado cálculos utilizando números
imaginarios, pero sin utilizar aún la letra i, y en 1811, Jean-Robert Argand crea la
representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de
Argand.
Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real e i es la
unidad imaginaria: √¯-1 = a i. Cada número imaginario puede ser escrito también
como i·r donde r es un número real e i es la unidad imaginaria.
Los valores de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en
cuatro. Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y
radicando negativo.
Propiedades.
 Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da
por resultado un número imaginario (por ejemplo:
√¯-36 = √¯(-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i ).
 Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1 ) .
 Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de
los números complejos.
 Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser
ordenados de acuerdo a su valor.
 Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0.
 Los números imaginarios formalmente no pertenece al conjunto de los
números reales ni al conjunto de los números racionales.
 El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o
fraccionario, ya que se ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan
racional y entendible como cualquier número irracional.
 Estos tienen una infinita cantidad de decimales.
 Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e
90º, pero mantiene su valor absoluto.
 Uno de los valores de ii es un número real.

15. 14
Fractales
Los fractales son figuras geométricas recursivas, ¿qué significa esto?,
significa que son figuras geométricas que se repiten así mismas una y otra
vez.
¿Cómo funciona?
Imagínense que tenemos un triángulo equilátero y a cada uno de sus lados
lo dividimos en tres partes iguales y en la parte del medio la reemplazamos
por dos partes del mismo tamaño como si estuviéramos formando un diente
y por cada uno de esos lados que volvemos a tener volvemos a repetir de
nuevo el mismo proceso, agarramos cada uno de esos lados lo dividimos
en tres partes y la parte del medio la dividimos en dos partes iguales
formando otro diente más y por cada uno de los lados resultantes
volvemos a repetir el proceso una y otra vez hasta el infinito. Lo que nos
queda es una figura geométrica que se repite así misma una y otra vez, un
fractal y no importa exactamente desde donde sea que los estemos
mirando, porque se van a ver los mismos patrones repetidos una y otra vez.
Lo interesante de esta figura geométrica a diferencia de las figuras
geométricas clásicas es que a pesar de tener un área definida tiene lados
infinitos y por lo tanto tiene un perímetro que es infinito. Este tipo de figuras
geométricas existen hace muchísimo tiempo, pero la mayoría de los
matemáticos no le prestaba atención porque decían que eran figuras
geométricas imposibles y eran consideradas algo así como monstruos
matemáticos. El tema es que puede parecer raro tener una figura con área
definida y perímetro infinito es bastante común en la naturaleza, si
tuviéramos que medir el perímetro de una isla como por ejemplo: la isla de
gran Bretaña sería muy distinto el perímetro si lo midiéramos con reglas de
10 Km que si los medimos con reglas de 1 Km, el perímetro sería mucho
mayor con las reglas de 1 km y si en vez de usar reglas de 1 Km usáramos
de 1 m, el perímetro sería mucho mayor aún; esto significa que la longitud
de una línea costera depende de la escala con la que se le esté midiendo,
mientras mayor sea la escala mayor será la longitud. El problema con los
fractales y por lo que se les considera monstruos matemáticos es que no
encajan con la geometría tradicional. En la geometría tradicional es todo
extremadamente regular, existen líneas, triángulos, cuadrados, círculos,
esferas, pirámides, y todo el tipo de figuras geométricas que ya conocemos,
pero la realidad es que es muy difícil lograr figuras geométricas tan
perfectas. La realidad nos muestra figuras geométricas que son mucho más
complejas y que tienen cierto tipo de rugosidad, una pared, por ejemplo, no
es exactamente lisa, entonces, ¿Cuál es la figura geométrica que
representa a las montañas, las nubes, las piedras o incluso un copo de
nieve? Se necesita un nuevo tipo de geometría para poder explicar:

16. 15
“¿Cómo es que se comporta la naturaleza?”. Fue Benioit Mandelbrot (1924-
2010) el que describió lo que sería lo que hoy conocemos como la
geometría fractal.
Los fractales se utilizan hoy en día para muchísimas cosas como puede ser
el modelado de imágenes 3D, para la medicina o para predecir sismos,
entre muchísimas otras cosas más, pero los fractales no son algo nuevo,
los fractales se vienen utilizando desde siempre, en la naturaleza tanto
como en el arte, incluso quizás todo lo que conocemos, incluyéndonos a
nosotros mismos, nuestros pensamientos o todo el universo sean parte de
un gran fractal.