Cuadernillo matemáticas v1.2

2014
Ciencias Básicas
Versión 1.2
Matemáticas

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Índice
Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez
CAPÍTULO 1
OPERACIONES BÁSICAS CON POLINOMIOS
PAG.
1.1 Antecedentes históricos del algebra.- - - - - - - 1
1.2 Diferencia del algebra con la aritmética.- - - - - - - 2
1.3 Notación y terminología algebraicas.- - - - - - - 2
1.4 Evaluación de expresiones algebraicas.- - - - - - - 7
1.5 Adición y sustracción de polinomios.- - - - - - - 8
1.6 Signos de agrupación.- - - - - - - - - 10
1.7 Productos de monomios y polinomios.- - - - - - - 12
1.8 División de polinomios.- - - - - - - - - 15
CAPÍTULO 2
PRODUCTOS NOTABLES
2.1. Cuadrado de un binomio.- - - - - - - - - 18
2.2 Cubo de un binomio. - - - - - - - - - 19
2.3 Binomio elevado a la potencia n (Triángulo de Pascal).- - - - - 21
2.4 Producto de binomios conjugados.- - - - - - - - 25
2.5 Producto de binomios con un término común.- - - - - - 27
CAPÍTULO 3
FACTORIZACIÓN
3.1 Factor común de un polinomio.- - - - - - - - 29
3.2 Factorización por agrupamiento.- - - - - - - - 31
3.3 Factorización de una diferencia de cuadrados perfectos.- - - - - 32
3.4 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.- - - - - - 33
3.5 Factorización de un trinomio, completándolo a trinomio cuadrado perfecto.- - 36
3.6 Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c.- - - - - 39
3.7 Factorización de un polinomio por el método de evaluación (división sintética).- - 43

Índice
Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez
CAPÍTULO 4
FRACCIONES ALGEBRAICAS
PAG.
4.1 Principio fundamental de las fracciones.- - - - - - - 51
4.2 Simplificación de fracciones algebraicas.- - - - - - - 51
4.3 Multiplicación de fracciones algebraicas.- - - - - - - 53
4.4 División de fracciones algebraicas.- - - - - - - - 55
4.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas.- - - - - - 57
4.6 Fracciones complejas.- - - - - - - - - 61
CAPÍTULO 5
EXPONENTES Y RADICALES
5.1 Notación y leyes de los exponentes.- - - - - - - 66
5.2 Leyes de los radicales.- - - - - - - - - 69
5.3 Adición y sustracción de radicales.- - - - - - - - 73
5.4 Multiplicación y división de radicales.- - - - - - - 74
RESULTADOS DE LAS ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Operaciones Básicas con Polinomios
Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez - 1
Capítulo 1
OPERACIONES BÁSICAS CON POLINOMIOS
1.1 Antecedentes históricos del algebra
Siglo XVII aC. Los matemáticos de Mesopotamia y Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero
y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos
incógnitas.
Siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaron para resolver problemas
cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales.
Siglo I dC. Los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu Zhang Suan Shu (que significa “El arte del
cálculo”), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y de segundo grado, así
como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (Suan Zi) tenían la posibilidad de
representar números positivos y negativos.
Siglo II. El matemático griego Nicómaco de Gerasa publicó su “Introducción a la Aritmética” y en ella
expuso varias reglas para el buen uso de los números.
Siglo III. El matemático griego Diofanato de Alejandría publicó su “Aritmética” en la cual, por primera
vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no sólo las ecuaciones de
primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la
incógnita con un signo que es la primera silaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los
problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería “la teoría de
ecuaciones”. A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos
que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del algebra moderna.
Siglo VII. Los hindúes habían desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar
números positivos y negativos.
Siglo IX. Época en la que trabajo el matemático y astrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras
fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del algebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca
de los números, de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y
sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada primero para
referirse a los métodos de cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculo con ábaco, adquirió
finalmente su sentido actual de “procedimiento sistemático de cálculo”. En cuanto a la palabra algebra, deriva
del título de su obra más importante, que presenta las reglas fundamentales del algebra, Al-jabr al muqabala.
Siglo X. El gran algebrista musulmán Abu Kamil, continúo los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances
en el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci. Durante este mismo
siglo, el matemático musulmán, Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto y Al-
Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron al arithmetica de Diofanto.
Siglo XIII. En 1202, después de viajar al norte de África y a Oriente, donde aprendió el manejo del
sistema de numeración indoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publicó el liber abaci

(tratado del ábaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos
de la aritmética y el álgebra.
Siglo XV. El matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números
negativos, introdujo además una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se
utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. En 1489 el matemático alemán Johann Widmann
d’Eger inventó los símbolos “+” y “-” para sustituir las letras “p” y “m” que a su vez eran las iniciales de las
palabras piu (más) y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma y la resta.
Siglo XVI. En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada
que usamos hoy en día: este símbolo era una forma estilizada de la letra “r” de radical o raíz. Entre 1545 y
1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los
números imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto
grado. En 1557 el matemático ingles Robert Recorde inventó el símbolo de la igualdad, =. En 1591 el
matemático francés François Viete desarrolló una notación algebraica muy cómoda, representaba las
incógnitas con vocales y las constantes con consonantes.
Siglo XVII. En 1637 el matemático francés René Descartes fusionó la geometría y el álgebra inventando
la “geometría analítica”. Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas
por las primeras letras del alfabeto a, b, c, . . . y las variables o incógnitas por las últimas x, y, z. Introdujo
también la notación exponencial que usamos hoy en día.
1.2. Diferencia del álgebra con la aritmética
Mientras que en la aritmética usamos números reales, que son específicos, en el álgebra se emplean
símbolos, que normalmente son letras del alfabeto, considerados como números generales o literales. Los
números literales se utilizan en el álgebra para permitirnos considerar propiedades generales de los números,
y no sus atributos.
Algebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general
posible.
1.3. Notación y terminología algebraicas
Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los
números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para
representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.
Las cantidades conocidas se representan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, e,. . .
Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Los signos empleados en el álgebra son de tres clases:
1. signos de operación (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación).
2. signos de relación (=, > y <).
3. signos de agrupación (paréntesis ordinario (), corchete [] y llaves {}).

Para representar el producto de un número determinado y una literal, se escriben juntos, primero el
número seguido de la literal.
Por ejemplo −4a indica el producto del número −4 y la literal a. El producto de dos literales c y d, se
escribe como cd.
Cada elemento en la multiplicación recibe el nombre de factor.
En el producto de dos factores, cualquiera de ellos es llamado coeficiente. Existen dos tipos de
coeficientes (1) coeficientes numéricos y (2) coeficientes literales.
Por ejemplo en el producto 7a, el 7 es el coeficiente numérico y en el producto ab, a es el coeficiente
literal.
Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad.
El coeficiente indica el número de veces que el otro factor se toma como sumando.
Por ejemplo, en la expresión 7a, el coeficiente numérico 7 indica que a se debe sumar 7 veces, o sea
7a = a+a+a+a+a+a+a; en el producto ab, el factor a indica que el factor b se debe tomar a veces como sumando,
o sea ab = b+b+b+b. . .a veces.
Un término algebraico puede ser un número específico, un número literal, un producto de ellos,
cociente, o una extracción de raíz.
Por ejemplo, las cantidades 5, 3a, xy, −
଼௕
௔
, √16‫ ݔ‬son términos algebraicos.
Una expresión algebraica simboliza una combinación de términos mediante adición y sustracción.
Las cantidades 5, 3a, 4y, 2xy, 1−2x, xy −
ଵ
୶
+ ඥyz son ejemplos de expresiones algebraicas.
Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo al número de términos.
Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término. Son ejemplos de monomios:
xy, −2a, xyz, (a+b).
Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término. A un polinomio que consta
de dos términos se le llama binomio y a un polinomio de tres términos se le llama trinomio.
Son ejemplos de polinomios x−y ab2
− 3m2
n x3
−3xy+4y ax2
+bx+c.
Los primeros dos ejemplos son binomios, el tercer y cuarto son trinomios.
Para determinar el grado de un término se suman los exponentes de la parte literal del término.

Ejemplo 1.1
El término −5x2
es de grado 2 El exponente del
El término 3xy3
es de grado 4 coeficiente no define
El término 56x2
z2
es de grado 4. el grado de un término.
El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.
El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado.
Por ejemplo, el polinomio 3x6
−5x4
+10x2
−2x+10 es de grado absoluto seis, ya que el término de mayor
grado es 3x6
.
El grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor exponente con el que aparece dicha
letra en el polinomio.
Por ejemplo, el polinomio 3x6
y−5x4
y3
+10x2
y5
−2xy7
es de sexto grado respecto a la literal x, pero de
séptimo grado respecto a y.
Así mismo, este polinomio es de grado absoluto 8 debido a que el término 2xy7
al sumar sus
exponentes es 8 y ese es el término con mayor grado.
Dos términos son semejantes si tienen las mismas literales afectadas por los mismos exponentes.
Por ejemplo, los términos 3x2
z y −7x2
z son semejantes, los términos 5xy3
y 5x3
y no son semejantes
puesto que el exponente de cada literal es distinto.
Los términos semejantes pueden ser sumados o restados, no así los términos que no son semejantes.
A la operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes se le da el
nombre de reducción de términos semejantes.
Ejemplo 1.2
Reducir los términos semejantes de cada expresión algebraica dada.
−ܽଶ
+ 3݉݊ଶ
+ 9ܽଶ
+ 7݉݊ଶ
= −ܽଶ
+ 9ܽଶ
+ 3݉݊ଶ
+ 7݉݊ଶ
= 8ܽଶ
+ 10݉݊ଶ

Actividades de aprendizaje 1.1.
a) - Determine el grado absoluto de los siguientes términos.
1) 5a 2) -3ab3
3) 12xy2
4)
ଶ
ଷ
‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶ
5) 34
xyz2
b) Determine el grado de cada polinomio respecto a la literal indicada.
1) ܽ − 2ܽଶ
ܾ + 6ܾܽଷ
− 5ܾ Respecto a la letra a.
2) −2ܽଶ
ܾ + 6ܾܽଷ
− 5ܾ Respecto a la letra b.
3) √5ܽଷ
ܾଶ
+ 6√3ܽଶ
ܾଷ
− ܾହ Respecto a la letra a.
4) √5ܽଷ
ܾଶ
+ 6√3ܽଶ
ܾଷ
− ܾହ Respecto a la letra b.
5) ܾܽܿ‫ݔ‬ହ
− 2ܽ‫ݔ‬଻
+ 14ܽଷ
ܾܿଶ
‫ݔ‬ Respecto a la letra a.
− 2ܽ‫ݔ‬଻
+ 14ܽଷ
ܾܿଶ
‫ݔ‬ Respecto a la letra x.
c) Determinar el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios.
1) −2ܽହ
ܾଷ
+ 2ܽଶ
ܾଷ
+ 3ܾ଺
2) √5ܽଷ
ܾଶ
+ √3ܽଶ
ܾଷ
− 4ܾହ
− 2ܽ‫ݔ‬଻
+ 14ܽଷ
ܾܿଶ
‫ݔ‬
d) Escribir un polinomio que satisfaga las características dadas en cada inciso.
1) Trinomio de tercer grado absoluto.
2) Binomio de quinto grado absoluto.
3) De quinto grado respecto a la letra a.
4) De tercer grado respecto a la letra x.

e) Ordenar los siguientes polinomios respecto a cualquier letra en orden ascendente y, luego, en
orden descendente.
1) 2‫ݕ‬ସ
+ 4‫ݕ‬ହ
− 6‫ݕ‬ + 2‫ݕ‬ଶ
+ 5‫ݕ‬ଷ
2) ‫ݕ‬ଵଶ
− 4‫ݔ‬ଽ
‫ݕ‬଺
+ ‫ݔ‬ଵଶ
‫ݕ‬ସ
+ 5‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଵ଴
3) −3݉ଵହ
݊ଶ
+ 14݉ଵଶ
݊ଷ
− 8݉଺
݊ହ
+ ݊଻
− 7݉ଽ
݊ସ
+ ݉ଵ଼
݊
f) Reducir los polinomios con términos semejantes de la misma clase:
1) 1
2
ܽ +
1
2
ܽ
2) 3ܽ௫ିଵ
− 3ܽ௫ିଵ
3)
−
5
6
ܽଶ
ܾ −
1
8
ܽଶ
ܾ
4) 1
3
‫ݕݔ‬ +
1
6
‫ݕݔ‬
5) 0.5݉ + 0.6݉ + 0.7݉ − 0.8݉ 6) ݉௫ାଵ
+ 3݉௫ାଵ
+ 4݉௫ାଵ
+ 6݉௫ାଵ
7)
−
1
3
ܾܽ −
1
6
ܾܽ −
1
2
ܾܽ −
1
12
ܾܽ −
1
9
ܾܽ
8) 25݉௔ିଵ
− 32݉௔ିଵ
+ 16݉௔ିଵ
9) −24ܽ௫ାଶ
− 15ܽ௫ାଶ
+ 39ܽ௫ାଶ 10)
−
3
5
݉ +
1
4
݉ −
1
2
݉
g) Reducir los polinomios con términos semejantes de distinta clase
1) 1
2
ܽ +
2
3
ܾ − 3ܽ +
1
2
ܽ − 2ܾ
2) 5‫ݔ‬ − 11‫ݕ‬ − 9 + 20‫ݔ‬ − 1 − ‫ݕ‬
3) −ܽ + ܾ − ܿ + 8 + 2ܽ + 2ܾ − 19 − 2ܿ − 3ܽ − 3 − 3ܾ + 3ܿ
4) 10 − ‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ − ‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଷ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ + ‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶ
− ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ − 4‫ݕ‬ଷ
+ 7‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶ
− 8‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ + 21‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ − 50
5) 3
25
ܽ௠ିଵ
−
7
50
ܾ௠ିଶ
+
3
5
ܽ௠ିଵ
−
1
25
ܾ௠ିଶ
− 0.2ܽ௠ିଵ
+
1
5
ܾ௠ିଶ

6) 0.3ܽ + 0.4ܾ + 0.5ܿ − 0.6ܽ − 07ܾ − 0.9ܿ + 3ܽ − 3ܾ − 3ܿ
7)
0.4‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ + 31 +
3
8
‫ݕݔ‬ଶ
− 0.6‫ݕ‬ଷ
−
2
5
‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ − 0.2‫ݕݔ‬ଶ
+
1
4
‫ݕ‬ଷ
− 6
1.4. Evaluación de expresiones algebraicas
Se llama evaluación al proceso de calcular el valor numérico de una expresión. El valor numérico de
una expresión puede calcularse cuando a cada número literal se le asigna un valor específico.
Al evaluar una expresión algebraica se debe atender la siguiente jerarquía para realizar las
operaciones.
Jerarquía de las operaciones
1. Efectuar los cálculos dentro de los signos de agrupación.
2. Multiplicar y dividir en orden de izquierda a derecha.
3. Suma y resta en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo 1.3
Hallar el valor numérico de 4ܽଶ
ܾܿ + 2ܽଶ
ܾܿଷ
− 5ܾ para ܽ = 1, ܾ = 2, ܿ = 3
Solución.
4ܽଶ
ܾܿ + 2ܽଶ
ܾܿଷ
− 5ܾ = 4 ∙ 1ଶ
∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 1ଶ
∙ 2 ∙ 3ଷ
− 5 ∙ 2
4ܽଶ
ܾܿ + 2ܽଶ
ܾܿଷ
− 5ܾ = 24 + 108 − 10
4ܽଶ
ܾܿ + 2ܽଶ
ܾܿଷ
− 5ܾ = 122
Ejemplo 1.4
Hallar el valor numérico de
ଷ௔మ
ସ
−
ହ௔௕
௫
+
௕
௔௫
para ܽ = 2, ܾ =
ଵ
ଷ
, ‫ݔ‬ =
ଵ
଺
Solución.
3ܽଶ
4
−
5ܾܽ
‫ݔ‬
+
ܾ
ܽ‫ݔ‬
=
3 ∙ 2ଶ
4
−
5 ∙ 2 ∙
1
3
1
6
+
1
3
2 ∙
1
6

3ܽଶ
4
−
5ܾܽ
‫ݔ‬
+
ܾ
ܽ‫ݔ‬
= 3 −
10
3
1
6
+
1
3
1
3
3ܽଶ
4
−
5ܾܽ
‫ݔ‬
+
ܾ
ܽ‫ݔ‬
= 3 − 20 + +1 = −16
Actividades de aprendizaje 1.2.
a) Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para ܽ = 1, ܾ = 2, ܿ = 3, ݀ = 4, ݉ =
ଵ
ଶ
, ݊ =
ଶ
ଷ
, ‫݌‬ =
ଵ
ସ
, ‫ݔ‬ = 0.
1) ܽ − 2ܾ + ܿ 2) ܽ − 4ܾ + 3ܿ − 7݀
3) ܿ − ሺ2ܽ − ݀ሻ 4) 2ܿ − 2ሺ3ܽ − 2ܾሻ
5) 3ܾ − ܾሺ3 − ݀ሻ 6)
5ܽ݀ + 4ܾܿ
ܽܿ
7)
ܽ + 2ܾ
ܿ − ݀
8)
4݀ଶ
2
+
16݊ଶ
2
− 1
9)
ܽ + ܾ
ܿ
−
ܾ + ݉
݀
10) √4ܾ +
√3ܽ
3
−
√6݉
6
11) ‫ݔ‬ + ݉൫ܽ௕
+ ݀௖
− ܿ௔
൯ 12) ൬
8݉
9݊
+
16‫݌‬
ܾ
൰ ܽ
13) ሺ2݉ + 3݊ሻሺ4‫݌‬ + ܾଶሻ 14) 2݉‫ݔ‬ + 6ሺܾଶ
+ ܿଶሻ − 4݀ଶ
15) ܾଶ
+ ൬
1
ܽ
+
1
ܾ
൰ + ൬
1
ܾ
+
1
ܿ
൰ + ൬
1
݊
+
1
݉
൰
ଶ
1.5 Adición y sustracción de polinomios
En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en álgebra la suma es un concepto más
general, pues puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas que equivale a una resta
en aritmética. La suma tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola
expresión algebraica (suma).

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus
propios signos y se reducen los términos semejantes.
Para restar dos polinomios se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.
Ejemplo 1.5
Hallar la suma de 3m-2n+ p, 6m+3n-5 y -m+n+4p+3.
Solución.
La suma se indica anotando los sumandos dentro de paréntesis:
(3m-2n+ p) + (6m+3n-5) + (-m+n+4p+3)
A continuación se colocan todos los términos de estos polinomios unos a continuación de los otros y
se reducen los términos semejantes.
3m-2n+ p+6m+3n-5-m+n+4p+3 = 8m+2n+5p-2
Otra manera de realizar la suma es anotando los polinomios unos debajo de los otros de modo que
los términos semejantes queden en columna; y después se hace la reducción.
+3m - 2n + p
+6m + 3n − 5
-m + n + +4p + 3
+8m + 2n + 5p − 2
Ejemplo 1.6
De 3x-2y+z restar 2x+y-3z
Solución.
La sustracción se indica anotando el sustraendo en un paréntesis precedido de un signo menos. Al
sustraendo se le quitan los paréntesis y al mismo tiempo se le cambian todos los signos a sus términos. Se
reducen términos semejantes.
3x - 2y + z - (2x + y - 3z) = 3x - 2y + z - 2x – y + 3z = x - 3y + 4z
Al igual que en la adición, la sustracción puede hacerse por filas; primero el minuendo y enseguida el
sustraendo con todos sus signos cambiados sin olvidar escribir términos semejantes en la misma columna.
+3x −2y +z
−2x −y +3z
+x −3y +4z

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1.3.
a) Hallar la suma de los siguientes polinomios
1) 4‫ݔ‬ − 3‫,ݕ‬ 2‫ݔ‬ − 6‫ݕ‬
2) 7ܽ + 7ܾ, −3ܽ − 4ܾ
3) ‫ݔ‬ − 3‫,ݕ‬ 6‫ݔ‬ − 3‫,ݕ‬ −‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬
4) 2‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ + ‫,ݖ‬ 2‫ݕ‬ − ‫,ݔ‬ 3‫ݕ‬ − 2‫ݖ‬ − 3‫ݔ‬
5) 5ܾܽ − 2ܽ + ܾ, ܾܽ + 2ܽ − 3, 5ܽ − ܾܽ
6) 10ܾ + 5ܾܿ − 6ܿ, 7ܾܿ − 4ܾ + ܿ, 9ܿ − 8ܾܿ
7) 8‫ݕݔ‬ − 2‫,ݖݕ‬ 2‫ݕݔ‬ − ‫ݖ‬ + 6‫,ݖݕ‬ 9‫ݖݕ‬ − 7‫ݔݕ‬ − 3‫ݖ‬
8) ܽ௫ାଶ
− ܽ௫
+ ܽ௫ାଵ
, −3ܽ௫ାଷ
− ܽ௫ିଵ
+ ܽ௫ାଶ
, −ܽ௫
+ 4ܽ௫ାଷ
− 5ܽ௫ାଶ
9) ݉ଷ
− ݊ଷ
+ 6݉ଶ
݊, −4݉ଶ
݊ + 5݉݊ଶ
+ ݊ଷ
, ݉ଷ
− ݊ଷ
+ 6݉݊ଶ
, −2݉ଷ
− 2݉ଶ
݊ + ݊ଷ
10)
ଶ
ଷ
ܽଶ
+
ଵ
ହ
ܾܽ −
ଵ
ଶ
ܾଶ
,
ହ
଺
ܽଶ
−
ଵ
ଵ଴
ܾܽ +
ଵ
଺
ܾଶ
,
ଵ
ଷ
ܽଶ
−
ଷ
ହ
ܾܽ +
ଵ
ସ
ܾଶ
b) Hallar la resta indicada.
1) De ܽ + ܾ restar ܽ − ܾ
2) De 8ܽ + ܾ restar −3ܽ + 4
3) De ܽ + ܾ + ܿ − ݀ restar −ܽ − ܾ + ܿ − ݀
4) De ‫ݕ‬ହ
− 9‫ݕ‬ଷ
+ 6‫ݕ‬ଶ
− 31 restar −11‫ݕ‬ସ
+ 31‫ݕ‬ଷ
− 8‫ݕ‬ଶ
− 19‫ݕ‬
5) De ݉௡ାଵ
− 6݉௡ିଶ
+ 8݉௡ିଷ
− 19݉௡ିହ
restar 8݉௡
+ 5݉௡ିଶ
+ 9݉௡ିହ
6) Restar −‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − ‫ݖ‬ de ‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ − 6‫ݖ‬
7) Restar ݉ଶ
− ݊ଶ
− 3݉݊ de −5݉ଶ
− ݊ଶ
+ 6݉݊
1.6. Signos de agrupación
Los símbolos de agrupación, como son los paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }, se utilizan para señalar
de una manera más sencilla, más de una operación.
Cuando se escribe un polinomio dentro de un paréntesis, se considera a este como una sola cantidad.

Por ejemplo, la expresión a -(b+c) significa que la suma de b y c se va a sustraer de a.
Eliminar o suprimir los símbolos de agrupación significa efectuar las operaciones indicada s por
ellos. Se eliminan los símbolos de uno en uno, empezando con el que esté situado más adentro, siguiendo el
orden propio de las operaciones a efectuar.
Ejemplo 1.7
Suprimir los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes:
4‫ݔ‬ଶ
+ ሾ−ሺ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕݔ‬ሻ + ሺ−3‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ሻ − ሺ3‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻሿ
Solución.
Eliminamos el paréntesis.
4‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕݔ‬ሻ + ሺ−3‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ሻ − ሺ3‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻሿ = 4‫ݔ‬ଶ
+ ሾ−‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 3‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ − 3‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶሿ
Eliminamos los corchetes.
4‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕݔ‬ሻ + ሺ−3‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ሻ − ሺ3‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻሿ = 4‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 3‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ − 3‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
Agrupamos los términos semejantes.
4‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕݔ‬ሻ + ሺ−3‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ሻ − ሺ3‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻሿ = ሺ4‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ଶሻ + ሺ‫ݕݔ‬ + 2‫ݕݔ‬ሻ + ሺ−3‫ݕ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶሻ
Simplificando.
૝࢞૛
+ ൣ−൫࢞૛
− ࢞࢟൯ + ൫−૜࢟૛
+ ૛࢞࢟൯ − ൫૜࢞૛
+ ࢟૛
൯൧ = ૜࢞࢟ − ૝࢟૛
Ejemplo 1.8
Eliminar los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes:
−ܽ + ܾ − 2ሺܽ − ܾሻ + 3ሼ−ሾ2ܽ + ܾ − 3ሺܽ + ܾ − 1ሻሿሽ − 3ሾ−ܽ + 2ሺ−1 + ܽሻሿ
Solución.
Eliminando paréntesis.
= −ܽ + ܾ − 2ܽ + 2ܾ + 3ሼ−ሾ2ܽ + ܾ − 3ܽ − 3ܾ + 3ሿሽ − 3ሾ−ܽ − 2 + 2ܽሿ
Eliminando corchetes.
= −ܽ + ܾ − 2ܽ + 2ܾ + 3ሼ−2ܽ − ܾ + 3ܽ + 3ܾ − 3ሽ + 3ܽ + 6 − 6ܽ
Eliminando llaves.
= −ܽ + ܾ − 2ܽ + 2ܾ − 6ܽ − 3ܾ + 9ܽ + 9ܾ − 9 + 3ܽ + 6 − 6ܽ

Agrupando términos semejantes.
= ሺ−ܽ − 2ܽ − 6ܽ + 9ܽ + 3ܽ − 6ܽሻ + ሺܾ + 2ܾ − 3ܾ + 9ܾሻ + ሺ−9 + 6ሻ
Simplificando.
−ࢇ + ࢈ − ૛ሺࢇ − ࢈ሻ + ૜ሼ−ሾ૛ࢇ + ࢈ − ૜ሺࢇ + ࢈ − ૚ሻሿሽ − ૜ሾ−ࢇ + ૛ሺ−૚ + ࢇሻሿ = −૜ࢇ + ૢ࢈ − ૜
Elimine los símbolos de agrupación y reduzca términos semejantes.
1) 3ܽ + ሺ4 − 2ܽሻ 9) 12x-(12-5x)+2(3x-4)
2) 7ܽ − ሺܽ + 7ሻ 10) 2x+[y-(x-y)]
3) 5x-(1-3x) 11) 9y+[3x-(y+4x)]
4) 6-3(2x-1) 12) a-[7-3(4-a)]
5) (2x-3y)-4(x-5y) 13) 4x-[9-4(3-x)]
6) 2(5x-4y)-(7x+y) 14) x-[3x+(4-x)]-[8-3(x-2)]
7) 8(2a-b)-4(b-a) 15) 3y-[x-2(3x-y)]-[2y-(x+3y)]
8) 3ܽ − ሺ2ܾ + 3ܽሻ + ሺܾ + ܽሻ 16) 6 + 4ሾ‫ݔ‬ − ሺ2‫ݔ‬ + 3ሻሿ − ሾ7 + 3ሺ‫ݔ‬ − 2ሻሿ
1.7. Productos de monomios y polinomios
Las propiedades de los números reales, incluyendo las leyes de los signos y las leyes de los exponentes,
se pueden utilizar para hallar el producto de dos o más monomios, de un monomio y un polinomio, o bien, de
dos polinomios. En los siguientes ejemplos se muestra el procedimiento para llevar a cabo estos productos.
Para poder realizar el producto de monomios y polinomios es importante recordar la ley de los
exponentes: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente
la suma de los exponentes de los factores.
ሺࢇ࢓ሻሺࢇ࢔ሻ = ࢇ࢓ା࢔

Ejemplo 1.9
Hallar el producto de monomios ሺ5‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ሻሺ2‫ݕݔ‬ሻሺ7‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶሻ
Solución.
Se aplica la propiedad conmutativa
ሺ5‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶሻ = 5 ∙ 2 ∙ 7 ∙ ‫ݔ‬ଷ
∙ ‫ݔ‬ଶ
∙ ‫ݔ‬ ∙ ‫ݕ‬ ∙ ‫ݕ‬ ∙ ‫ݕ‬ଶ
Se suman exponentes.
ሺ5‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶሻ = 70 ∙ ‫ݔ‬ଷାଵାଶ
∙ ‫ݕ‬ଵାଵାଶ
Se realiza el producto.
൫૞࢞૜
࢟൯ሺ૛࢞࢟ሻ൫ૠ࢞૛
࢟૛
൯ = ૠ૙ ∙ ࢞૟
∙ ࢟૝
Ejemplo 1.10
Hallar el producto de un monomio por un binomio ሺ3‫ݕݔ‬ଶሻሺ2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶሻ.
Solución.
Se aplica la propiedad distributiva.
ሺ3‫ݕݔ‬ଶሻሺ2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶሻ = 3‫ݕݔ‬ଶ
∙ 2‫ݕݔ‬ + 3‫ݕݔ‬ଶ
∙ ‫ݕ‬ଶ
Se multiplican los monomios.
ሺ3‫ݕݔ‬ଶሻሺ2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶሻ = 2 ∙ 3‫ݔ‬ଵାଵ
∙ ‫ݕ‬ଶାଵ
+ 3 ∙ ‫ݔ‬ ∙ ‫ݕ‬ଶାଶ
ሺ3‫ݕݔ‬ଶሻሺ2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶሻ = 6‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
+ 3‫ݕݔ‬ସ
Se ordena el resultado.
൫૜࢞࢟૛
൯൫૛࢞࢟ + ࢟૛
൯ = ૜࢞࢟૝
+ ૟࢞૛
࢟૜
Ejemplo 1.11
Hallar el siguiente producto de los binomios ሺ3‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ
Solución.
ሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ Se considera como un solo termino y se aplica la propiedad distributiva.
ሺ3‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ = 3‫ݔ‬ሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ + ‫ݕ‬ሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ
Se realizan los productos.

ሺ3‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ = 12‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݕݔ‬ + 4‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶ
Se simplifican términos semejantes.
ሺ૜࢞ + ࢟ሻሺ૝࢞ − ૛࢟ሻ = ૚૛࢞૛
− ૛࢞࢟ − ૛࢟૛
Ejemplo 1.12
Hallar el siguiente producto de polinomios ሺ‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕݔ‬ + 2‫ݕ‬ଶሻሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶሻ
Solución.
Se aplica propiedad distributiva
= ‫ݔ‬ଶሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶሻ − 2‫ݕݔ‬ሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶሻ + 2‫ݕ‬ଶሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶሻ =
Se realizan los productos.
= 2‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ − 2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ − 2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ 4‫ݕݔ‬ଷ
+ 4‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ଷ
− 4‫ݕ‬ସ
Se simplifican términos semejantes.
= 2‫ݔ‬ସ
− 4‫ݕ‬ସ
+ 6‫ݕݔ‬ଷ
− 3‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬
a) Halle los productos indicados en cada uno de los siguientes problemas:
1) ሺ2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
ሻሺ−3xyଶ
ሻ 11) 4‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
ሺ2‫ݕݔ‬ଷ
− 3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ሻ
2) ሺ5‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ଷሻሺ−3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶሻ 12) 5‫ݕݔ‬ସ
ሺ2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
− 5‫ݕݔ‬ଶሻ
3) ሺ−7‫ݕݔ‬ସ
ሻሺ−2‫ݔ‬ଶ
‫)ݕ‬ 13) −2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
ሺ3‫ݕݔ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ሻ
4) ሺ−4‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷሻሺ−3‫ݔ‬ହ
‫ݕ‬ଶሻ 14) −3‫ݕݔ‬ଶ
‫ ݕ‬ሺ2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଷ
− 5‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ሻ
5) ሺ2‫ݔ‬ଷሻଶ
15) 5‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ସ
ሺ2‫ݕݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ሻ
6) ሺ3‫ݔ‬ଶሻସ
16) 7‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ସ
ሺ3‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ହ
‫ݕ‬ଷሻ
7) ሺ4xହሻଷ 17) 2‫ݔ‬ଶ
‫ ݕ‬ሺ3‫ݕ‬ − 2‫ݔ‬ሻ − 3‫ݕݔ‬ଶሺ2‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
8) ሺ5xଶሻଷ
18) 3‫ ݕݔ‬ሺ2‫ݔ‬ + 3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ሻ − 2‫ݔ‬ଶ
‫ ݕ‬ሺ4 − ‫ݕݔ‬ሻ
9) 2‫ݔ‬ଶ
‫ ݕ‬ሺ3‫ݕݔ‬ଷ
− 5‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ସሻ 19) 5‫ݕݔ‬ଷሺ2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ − 3‫ݕݔ‬ଷሻ − 4‫ݔ‬ଶ
− 7‫ݕ‬ହሻ
10) 3xଷ
‫ ݕ‬ሺ2‫ݕݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ሻ 20) 7‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶሻ − 4‫ݕݔ‬ଷ
ሺ3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ − 5‫ݔ‬ଷ
ሻ

b) Desarrolle cada uno de los siguientes productos y simplifique el resultado:
1) ሺ3x + 2yሻ ሺ2x − 3yሻ 11) ሺ4xଶ
− 2x + 7ሻሺ2xଶ
+ 3x − 2ሻ
2) ሺ4x − 3yሻ ሺ2x + 3yሻ 12) ሺ5xଶ
+ 2x − 3ሻሺxଶ
− 3x − 3ሻ
3) ሺ5x − 3yሻሺ3x − 2yሻ 13) ሺ2x − 3yሻሺ3xଶ
+ 2xy − yଶሻ
4) ሺ7x − 4yሻሺ2x − 5yሻ 14) ሺ3x + 7yሻሺ3xଶ
− 4xy + 2yଶሻ
5) ሺ4x − 7ሻሺ3x − 4ሻ 15) ሺ4x − 3yሻሺ2xଶ
+ 5xy − 3yଶሻ
6) ሺ6x − 5ሻሺ3x − 8ሻ 16) ሺ5x − yሻሺ3xଶ
− 3xy + 2yଶሻ
7) ሺ5x + 4ሻሺ4x − 5ሻ 17) ሺ2xଶ
+ 3xy −3yଶሻሺxଶ
− 3xy + 2yଶሻ
8) ሺ2x − 7ሻሺ7x + 2ሻ 18) ሺ2xଶ
− xy + 3yଶሻሺ3xଶ
− xy − 2 yଶሻ
9) ሺ3x + 5ሻሺ2xଶ
− 3x − 5ሻ 19) ሺ5xଶ
+ 2xy + yଶሻሺ2xଶ
− xy + 3yଶሻ
10) ሺ4x + 1ሻሺ3xଶ
+ 4x − 1ሻ 20) ሺxଶ
− 3xy + 2yଶሻሺxଶ
+ 3xy − yଶሻ
1.8. División de polinomios
Supóngase que P y D son polinomios con el grado de P mayor que el grado de D, y
D ≠ 0. Entonces existe un polinomio Q, denominado cociente, y un polinomio R, denominado residuo, tales
que ܲ = ‫ܦ‬ ∙ ܳ + ܴ donde R tiene un grado menor que el divisor D, o bien puede ser cero.
Algoritmo para la división de polinomios
1. Disponga los términos en P y D en potencias decrecientes de la variable. Si algún coeficiente en P es
cero, deje un espacio o inserte un cero.
2. Divida el primer término en P entre el primer término en D para obtener el primer término del
cociente Q.
3. Multiplique D por el primer término del cociente y sustraiga este producto de P.
4. Dejando el divisor sin cambios, tome el resultado del paso 3 como el nuevo P y luego repita los pasos
2 y 3.
5. Continúe este proceso hasta obtener un residuo cuyo grado sea menor que el de D.

Ejemplo 1.13
Halle el cociente y el residuo, si 6‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ − 1 se divide entre 2‫ݔ‬ − 1.
Solución.
3‫ݔ‬ + 4
2‫ݔ‬ − 1 6‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ − 1
6‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬
8‫ݔ‬ − 1
8‫ݔ‬ − 4
+3
6‫ݔ‬ଶ
2‫ݔ‬⁄ = 3‫ݔ‬ y 8‫ݔ‬ 2‫ݔ‬⁄ = 4
= ሺ2‫ݔ‬ − 1ሻ3‫ݔ‬ se resta
ሺ2‫ݔ‬ − 1ሻ4 se resta
El resultado de la división debe escribirse como:
૟࢞૛
+ ૞࢞ − ૚
૛࢞ − ૚
= ૜࢞ + ૝ +
૜
૛࢞ − ૚
Ejemplo 1.14
Divida 6‫ݔ‬ସ
− 6‫ݔ‬ଶ
− 3 + 8‫ݔ‬ − ‫ݔ‬ଷ
entre −2 + 2‫ݔ‬ଶ
+ ‫.ݔ‬
Solución.
3‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݔ‬ + 1
2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 2 6‫ݔ‬ସ
− ‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ − 3
6‫ݔ‬ସ
+ 3‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
−4‫ݔ‬ଷ
+8‫ݔ‬ − 3
−4‫ݔ‬ଷ
− 2‫ݔ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬
+2‫ݔ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 3
+2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 2
3‫ݔ‬ − 1
6‫ݔ‬ସ
2‫ݔ‬ଶ
= 3‫ݔ‬ଶ⁄
−4‫ݔ‬ଷ
2‫ݔ‬ଶ
= −2‫ݔ‬⁄ y 2‫ݔ‬ଶ
2‫ݔ‬ଶ
= 1⁄
= ሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 2ሻ3‫ݔ‬ଶ
Se resta
= ሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 2ሻሺ−2‫ݔ‬ሻ
Se resta
= ሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 2ሻሺ+1ሻ
Se resta

El resultado de la división debe escribirse como:
૟࢞૝
− ࢞૜
− ૟࢞૛
+ ૡ࢞ − ૜
૛࢞૛ + ࢞ − ૛
= ૜࢞૛
− ૛࢞ + ૚ +
૜࢞ − ૚
૛࢞૛ + ࢞ − ૛
En los siguientes ejercicios, halle el cociente y el residuo, si de divide la primera expresión entre la
segunda.
1) 6xଷ
+ 5xଶ
− 4x + 4, 2x + 3
2) 6xଷ
− 5xଶ
+ 7x − 1, 3x − 1
3) 10xଷ
+ xଶ
− 8x + 2, 2x + 1
4) 15xଷ
− 8xଶ
− 6x + 9, 5x + 4
5) 4xଷ
− 2x + 3, 2x − 1
6) 4xଷ
− x + 11, 2x + 3
7) 6xଷ
− 22x + 9, 2x − 4
8) 8xଷ
+ 10x + 1, 4x + 2
9) 2xସ
+ 3xଷ
+ 9x − 7, xଶ
+ 2x − 1
10) 2xସ
+ 7xଷ
+ 2x − 1, xଶ
+ 3x − 1
11) 3xସ
− 4xଶ
+ 8x + 3, 3xଶ
+ 6x + 2
12) 6xସ
+ 13xଷ
+ 15x − 6, 2xଶ
− x + 2
13) 6xସ
+ xଷ
+ xଶ
− 7x − 9, 3x + 2
14) 3x4
-7x3
-7x2
+5x-7, x-3
15) 4x4
-11x2
+x+2, 2x+3
16) 3x4
+11x3
-7x-2, 3x+2
17) 6x3
+x2
-11x-6, 3x+2
18) 10x3
+33x2
+14x-15, 2x+5
19) 6x4
-5x3
-8x2
-x-6, 2x-3
20) 10x4
+11x3
-26x2
+23x-6, 5x-2
21) x5
- 5x4
y+20x2
y3
-16xy4
, x2
-2xy-8y2
22) 22x2
y4
- 5x4
y2
+x5
y-40xy5
, x2
y-2xy2
-10y3
23) 24x5
– 52x4
y + 38x3
y2
-33x2
y3
-26xy4
+4y5
, 8x3
– 12x2
y – 6xy2
+y3
24) x3
+ y3
+z3
-3 xyz, x2
+ y2
+ z2
– xy – xz – yz
25) x5
+ y5
, x4
-x3
y + x2
y2
–xy3
+ y4

Productos Notables
Capítulo 2
PRODUCTOS NOTABLES
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser
escrito por simple inspección, es decir, sin realizar la multiplicación elemento a elemento.
2.1 El cuadrado de un binomio
La regla para elevar un binomio al cuadrado es la siguiente:
“El cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo más el
cuadrado del segundo término”.
La fórmula de este producto notable es:
ሺࢇ + ࢈ሻ૛
= ࢇ૛
+ ૛ࢇ࢈ + ࢈૛
NOTA.-Debe identificarse adecuadamente el signo de cada término del binomio, para desarrollar
correctamente el producto notable.
Ejemplo 2.1
Desarrolle el siguiente producto notable por simple inspección.
ሺ2‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ሻଶ
Si a=2x y b=4y, entonces:
ሺܽ + ܾሻଶ
= ܽଶ
+ 2ܾܽ + ܾଶ
ሺ2‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ሻଶ
= ሺ2‫ݔ‬ሻଶ
+ ሺ2ሻሺ2‫ݔ‬ሻሺ4‫ݕ‬ሻ + ሺ4‫ݕ‬ሻଶ
Simplificando y ordenando en x.
ሺ૛࢞ + ૝࢟ሻ૛
= ૝࢞૛
+ ૚૟࢞࢟ + ૚૟࢟૛
Ejemplo 2.2
ሺ2‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݕ‬ሻଶ

Productos Notables
Si a=2x2
y b=-6y, entonces:
ሺܽ + ܾሻଶ
= ܽଶ
+ 2ܾܽ + ܾଶ
ሺ2‫ݔ‬ଶ
− 6‫ݕ‬ሻଶ
= ሺ2‫ݔ‬ଶሻଶ
+ ሺ2ሻሺ2‫ݔ‬ଶሻሺ−6‫ݕ‬ሻ + ሺ−6‫ݕ‬ሻଶ
Simplificando y ordenando en x (prestar atención a los signos).
൫૛࢞૛
− ૟࢟൯
૛
= ૝࢞૝
− ૛૝࢞࢟ + ૜૟࢟૛
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
1) ሺ1 + ܾሻଶ 2) ሺ2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଶ
3) ሺ4ܽ − 5ܾሻଶ 4) ൬
2
3
݈ +
3
5
݉൰
ଶ
5) ൬
4
7
ܽ −
2
5
݉ଷ
൰
ଶ
6) ሺ4‫ݕݔ‬ − 6‫ݖ‬ሻଶ
7) ൫݈ + 3݉ଷ ସ⁄
൯
ଶ
8) ൬5‫ݔ‬ଷ
+
2
7
݉ସ
൰
ଶ
9) ሺ−8‫ݔ‬ − 5݉ሻଶ 10) ൬−
3
8
ܽ −
2
5
ܾଷ
൰
ଶ
2.2 El cubo de un binomio
La regla para elevar un binomio al cubo es la siguiente:
“El cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el
triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo”.
La fórmula de este producto notable es:
ሺࢇ + ࢈ሻ૜
= ࢇ૜
+ ૜ࢇ૛
࢈ + ૜ࢇ࢈૛
+ ࢈૜
NOTA.-Debe identificarse adecuadamente el signo de cada término del binomio, para desarrollar
correctamente el producto notable.

Productos Notables
Ejemplo 2.3
ሺ3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ሻଷ
Solución.
Si a=3x y b=2y, entonces:
ሺܽ + ܾሻଷ
= ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܾ + 3ܾܽଷ
+ ܾଷ
ሺ3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ሻଷ
= ሺ3‫ݔ‬ሻଷ
+ ሺ3ሻሺ3‫ݔ‬ሻଶሺ2‫ݕ‬ሻ + ሺ3ሻሺ3‫ݔ‬ሻሺ2‫ݕ‬ሻଶ
+ ሺ2‫ݕ‬ሻଷ
Simplificando:
ሺ3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ሻଷ
= 27‫ݔ‬ଷ
+ ሺ3ሻሺ9‫ݔ‬ଶሻሺ2‫ݕ‬ሻ + ሺ3ሻሺ3‫ݔ‬ሻሺ4‫ݕ‬ଶሻ + 8‫ݕ‬ଷ
ሺ૜࢞ + ૛࢟ሻ૜
= ૛ૠ࢞૜
+ ૞૝࢞૛
࢟ + ૜૟࢞࢟૛
+ ૡ࢟૜
Ejemplo 2.4
ሺ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ሻଷ
Solución.
Si a=x2
y b=-3y, entonces:
ሺܽ + ܾሻଷ
= ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܾ + 3ܾܽଷ
+ ܾଷ
ሺ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ሻଷ
= ሺ‫ݔ‬ଶሻଷ
+ ሺ3ሻሺ‫ݔ‬ଶሻଶሺ−3‫ݕ‬ሻ + ሺ3ሻሺ‫ݔ‬ଶሻሺ−3‫ݕ‬ሻଶ
+ ሺ−3‫ݕ‬ሻଷ
Simplificando (atención con los signos)
ሺ‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ሻଷ
= ‫ݔ‬଺
+ ሺ3ሻሺ‫ݔ‬ସሻሺ−3‫ݕ‬ሻ + ሺ3ሻሺ‫ݔ‬ଶሻሺ9‫ݕ‬ଶሻ − 27‫ݕ‬ଷ
൫࢞૛
− ૜࢟൯
૜
= ࢞૟
− ૢ࢞૝
࢟ + ૛ૠ࢞૛
࢟૛
− ૛ૠ࢟૜

Productos Notables
Poner valores de 1Poner valores de 1
1) ሺ1 + ܾሻଷ 2) ሺ2‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଷ
3) ሺ4ܽ − 5ܾሻଷ 4) ൬
2
3
݈ +
3
5
݉൰
ଷ
5) ൬
4
7
ܽ −
2
5
݉ଷ
൰
ଷ
6) ሺ4‫ݕݔ‬ − 6‫ݖ‬ሻଷ
7) ൫݈ + 3݉ଷ ସ⁄
൯
ଷ
8) ൬5‫ݔ‬ଷ
+
2
7
݉ସ
൰
ଷ
9) ሺ−8‫ݔ‬ − 5݉ሻଷ 10) ൬−
3
8
ܽ −
2
5
ܾଷ
൰
ଷ
2.3 Binomio elevado a la potencia n (Triángulo de Pascal)
Elevar un binomio a la potencia n se puede obtener por medio del triángulo de Pascal el cual se
presenta en la siguiente figura.
Triángulo de Pascal
Para obtener este triángulo es necesario comenzar con tres elementos iguales a 1 como se muestra a
continuación.
El segundo renglón (comenzamos a numerar los renglones de cero) lo obtenemos poniendo en las
orillas el valor de 1.

Productos Notables
El término intermedio se obtiene de la suma de los números que se encuentran encima.
Para este caso el lugar que tenemos vacío se llenara con la suma de 1+1 = 2, de tal manera que
tenemos:
El siguiente renglón nuevamente colocamos los valores de uno en las orillas.
Para ambos espacios vacíos se tiene que sobre estos espacios los valores que están encima son 1 y 2
por lo que tenemos 1+2=3 quedando de la siguiente manera:
Así podemos continuar hasta obtener el triángulo tan grande como lo necesitemos.
A partir del triángulo de pascal podemos desarrollar la potencia de un binomio a la potencia n con los
siguientes pasos:
Un binomio la potencia n tiene la forma: ሺܽ + ܾሻ௡
.

Productos Notables
Ejemplo 2.5
A continuación se presenta un ejemplo para una potencia 4, es decir n=4.
ሺܽ + ܾሻସ
1.- Al elevar el binomio a la potencia n, se obtendrá un polinomio con n+1 elementos. Para nuestro
ejemplo n vale 4, por lo que el resultado tendrá 4+1 elementos; de tal forma que debemos escribir 5 espacios
de la siguiente manera:
ሺܽ + ܾሻସ
= ___________ + ___________ + ___________ + ___________ + ___________
2.- Colocamos en cada espacio el producto de los términos del binomio. En nuestro ejemplo tenemos
a y b.
ሺܽ + ܾሻସ
= ܾܽ + ܾܽ + ܾܽ + ܾܽ + ܾܽ
3.- Empezamos por colocar los exponentes primero a la primer variable empezando del exponente
máximo en este caso "4" debido a que n=4 reduciendo uno en cada espacio hasta llegar al último en "0".
ሺܽ + ܾሻସ
= ܽସ
ܾ + ܽଷ
ܾ + ܽଶ
ܾ + ܽଵ
ܾ + ܽ଴
ܾ
4.- Ahora empezamos con la segunda variable del binomio, colocando los exponente de manera
inversa empezando ahora de menor a mayor, en este caso empezando de "0" y sumando uno en cada espacio
hasta llegar hasta "4" en el último lugar.
ሺܽ + ܾሻସ
= ܽସ
ܾ଴
+ ܽଷ
ܾଵ
+ ܽଶ
ܾଶ
+ ܽଵ
ܾଷ
+ ܽ଴
ܾସ
5.- Ahora, utilizando el triángulo de Pascal, colocamos en cada espacio el número que corresponda al
renglón del triángulo con el que se relaciona, en esta caso, como el exponente es "4", utilizamos los número
del renglón "4". Debemos tener cuidado al numerar los renglones; debemos empezar de cero.
Observamos que en el renglón 4 tenemos los números 1, 4, 6, 4, 1; los cuales debemos colocar en cada
uno de los espacios de la siguiente manera:
ሺܽ + ܾሻସ
= ૚ܽସ
ܾ଴
+ ૝ܽଷ
ܾଵ
+ ૟ܽଶ
ܾଶ
+ ૝ܽଵ
ܾଷ
+ ૚ܽ଴
ܾସ
6.- Ahora simplificamos la expresión (recordemos que cualquier término elevado a la potencia cero es
igual a uno).
ሺܽ + ܾሻସ
= ૚ܽସ
ܾ଴
+ ૝ܽଷ
ܾଵ
+ ૟ܽଶ
ܾଶ
+ ૝ܽଵ
ܾଷ
+ ૚ܽ଴
ܾସ
ሺܽ + ܾሻସ
= ܽସ
+ ૝ܽଷ
ܾ + ૟ܽଶ
ܾଶ
+ ૝ܾܽଷ
+ ܾସ
Renglón 0
Renglón 1
Renglón 2
Renglón 3
Renglón 4

Productos Notables
Ejemplo 2.6
Escribir por simple inspección, el resultado de:
ሺ2‫ݔ‬ − 4‫ݕ‬ሻହ
Solución.
Para este ejercicio n=5, por lo que colocamos n+1 espacios.
ሺ2‫ݔ‬ − 4‫ݕ‬ሻହ
= ___________ + ___________ + ___________ + ___________ + ___________ + ___________
Colocamos en cada espacio el producto de cada término del binomio.
ሺ2‫ݔ‬ − 4‫ݕ‬ሻହ
= ሺ2‫ݔ‬ሻሺ−4‫ݕ‬ሻ + ሺ2‫ݔ‬ሻሺ−4‫ݕ‬ሻ + ሺ2‫ݔ‬ሻሺ−4‫ݕ‬ሻ + ሺ2‫ݔ‬ሻሺ−4‫ݕ‬ሻ + ሺ2‫ݔ‬ሻሺ−4‫ݕ‬ሻ
Colocamos los exponentes a cada uno de los términos; el primero ascendente y el segundo
descendente.
= ሺ2‫ݔ‬ሻହሺ−4‫ݕ‬ሻ଴
+ ሺ2‫ݔ‬ሻସሺ−4‫ݕ‬ሻଵ
+ ሺ2‫ݔ‬ሻଷሺ−4‫ݕ‬ሻଶ
+ ሺ2‫ݔ‬ሻଶሺ−4‫ݕ‬ሻଷ
+ ሺ2‫ݔ‬ሻଵሺ−4‫ݕ‬ሻସ
+ ሺ2‫ݔ‬ሻ଴ሺ−4‫ݕ‬ሻହ
Utilizamos el triángulo de Pascal para poner cada uno de los factores de los términos.
El renglón 5 tiene los términos 1, 5, 10, 10, 5 y 1; los cuales colocaremos en cada uno de los términos.
= 1ሺ2‫ݔ‬ሻହሺ−4‫ݕ‬ሻ଴
+ 5ሺ2‫ݔ‬ሻସሺ−4‫ݕ‬ሻଵ
+ 10ሺ2‫ݔ‬ሻଷሺ−4‫ݕ‬ሻଶ
+ 10ሺ2‫ݔ‬ሻଶሺ−4‫ݕ‬ሻଷ
+ 5ሺ2‫ݔ‬ሻଵሺ−4‫ݕ‬ሻସ
+ 1ሺ2‫ݔ‬ሻ଴ሺ−4‫ݕ‬ሻହ
Simplificamos la expresión.
ሺ૛࢞ − ૝࢟ሻ૞
= ૜૛࢞૞
− ૜૛૙࢞૝
࢟ + ૚૛ૡ૙࢞૜
࢟૛
− ૛૞૟૙࢞૛
࢟૜
+ ૛૞૟૙࢞࢟૝
− ૚૙૛૝࢟૞
Renglón 0
Renglón 1
Renglón 2
Renglón 3
Renglón 4
Renglón 5

Productos Notables
a) Escribir, por simple inspección, el resultado de:
1 ሺ‫ݔ‬ + ܾሻସ 2 ሺ2‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ሻସ
3 ሺ4ܽ − 5ܾሻହ 4 ሺ−8‫ݔ‬ − 5݉ሻହ
5 ൬
4
7
ܽ −
2
5
݉ଷ
൰
ସ
6 ൬5‫ݔ‬ଷ
+
2
7
݉ସ
൰
ଷ
b) Halle los primeros cuatro términos en el desarrollo binomial de ቀ3ܿ
ଶ
ହൗ
+ ܿ
ସ
ହൗ
ቁ
଺
c) Obtenga los últimos dos términos del desarrollo de ሺ4ܾିଵ
− 3ܾሻଵହ
d) Obtenga el quinto término del desarrollo de ൫3ܽଶ
+ √ܾ൯
ଽ
e) Obtenga el séptimo término del desarrollo de ቀ
ଵ
ଶ
‫ݑ‬ − 2‫ݒ‬ቁ
ଵ଴
2.4 Producto de binomios conjugados
Un binomio conjugado es el binomio de la forma:
ሺܽ + ܾሻሺܽ − ܾሻ
Se observa que ambos binomios tienen los mismos elementos con signos diferentes.
Al realizar el producto de binomios multiplicando cada elemento del primer binomio por cada
elemento del segundo binomio se tiene:
ሺܽ + ܾሻሺܽ − ܾሻ = ܽଶ
− ܾܽ + ܾܽ − ܾଶ
Simplificando se tiene:
ሺࢇ + ࢈ሻሺࢇ − ࢈ሻ = ࢇ૛
− ࢈૛
De tal forma que el producto de binomios conjugados lo podemos obtener con la siguiente regla:
“El cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término”.

Productos Notables
Ejemplo 2.7
Desarrolle el siguiente producto notable por simple inspección:
ሺ૞࢞ + ૜࢟ሻሺ૞࢞ − ૜࢟ሻ
Solución.
Para este caso a=5x y b=3y
Aplicando la regla para productos notables se tiene:
ሺ5‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ሻሺ5‫ݔ‬ − 3‫ݕ‬ሻ = ሺ5‫ݔ‬ሻଶ
− ሺ3‫ݕ‬ሻଶ
Simplificando:
ሺ૞࢞ + ૜࢟ሻሺ૞࢞ − ૜࢟ሻ = ૛૞࢞૛
− ૢ࢟૛
Ejemplo 8
Desarrolle el siguiente producto notable por simple inspección:
ሺ૜࢓࢔ + ૝ሻሺ૜࢓࢔ − ૝ሻ
Solución.
Para este caso a=3mn y b=4
Aplicando la regla para productos notables se tiene:
ሺ3݉݊ + 4ሻሺ3݉݊ − 4ሻ = ሺ3݉݊ሻଶ
− ሺ4ሻଶ
Simplificando:
ሺ૞࢞ + ૜࢟ሻሺ૞࢞ − ૜࢟ሻ = ૢ࢓૛
࢔૛
− ૚૟
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 2.4
1) ሺ5‫ݔ‬ + 4‫ݕ‬ሻሺ5‫ݔ‬ − 4‫ݕ‬ሻ 2) ሺ3ܽ + 7ܾሻሺ3ܽ − 7ܾሻ
3) ሺ−7‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ሻሺ7‫ݔ‬ + 3‫ݕ‬ሻ 4) ሺ4‫ݎ‬ + 9‫ݏ‬ሻሺ−4‫ݎ‬ + 9‫ݏ‬ሻ
5) ൬
5
4
‫ݔ‬ −
3
4
‫ݕ‬൰ ൬
3
4
‫ݕ‬ +
5
4
‫ݔ‬൰ 6) ൬−
3
7
‫ݔ‬ −
5
8
‫ݕ‬൰ ൬−
5
8
‫ݕ‬ +
3
7
‫ݔ‬൰

Productos Notables
Producto de los términos no comunes
Suma algebraica de los términos no comunes Multiplicar por el término común
Cuadrado del término común
7) ሺ3‫ݕݔ‬ + 8‫ݖݕ‬ሻሺ3‫ݕݔ‬ − 8‫ݖݕ‬ሻ 8) ሺ9‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݕ‬ସሻሺ−3‫ݕ‬ସ
− 9‫ݔ‬ଶሻ
9) ሺ3ܾܽ + 3ܽܿሻሺ−3ܾܽ + 3ܽܿሻ 10) ሺ3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ସ
− 3‫ݖݕ‬ଶሻሺ−3‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ସ
− 3‫ݖݕ‬ଶሻ
2.5 Producto de binomios con un término común
El producto de binomios con un término común tiene la forma:
ሺࢇ + ࢈ሻሺࢇ + ࢉሻ
Al realizar el producto de binomios con un término común multiplicando cada elemento del primer
binomio por cada elemento del segundo binomio se tiene:
ሺa + bሻሺa + cሻ = aଶ
+ ac + ba + bc
Factorizando obtenemos:
ሺࢇ + ࢈ሻሺࢇ + ࢉሻ = ࢇ૛
+ ሺ࢈ + ࢉሻࢇ + ࢈ࢉ
De tal forma que el producto de binomios con un término común lo podemos obtener con la siguiente
regla:
“El cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada
esta por el término común, más el producto de los términos no comunes”
ሺࢇ + ࢈ሻሺࢇ + ࢉሻ = ࢇ૛
+ ሺ࢈ + ࢉሻࢇ + ࢈ࢉ
Ejemplo 2.9
Desarrolle el producto notable ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
Solución.
Para este producto de binomios el término común a=x
Términos NO comunes b=-2y c=y Entonces:
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ = ሺ‫ݔ‬ሻଶ
+ ሺ−2‫ݕ‬ + ‫ݕ‬ሻ‫ݔ‬ + ሺ−2‫ݕ‬ሻሺ‫ݕ‬ሻ
Simplificando:
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻ = ࢞૛
− ࢞࢟ − ૛࢟૛

Productos Notables
Ejemplo 2.10
Desarrolle el producto notable ሺ4‫ݓ‬ − 8ሻሺ4‫ݓ‬ − 2ሻ
Solución.
Término común a=4w
Términos NO comunes b=-8 c=-2 Entonces:
ሺ4‫ݓ‬ − 8ሻሺ4‫ݓ‬ − 2ሻ = ሺ4‫ݓ‬ሻଶ
+ ሺ−8 − 2ሻ4‫ݓ‬ + ሺ−8ሻሺ−2ሻ
Simplificando:
ሺ4‫ݓ‬ − 8ሻሺ4‫ݓ‬ − 2ሻ = ૚૟࢝૛
− ૝૙࢝ + ૚૟
1) ሺ‫ݕ‬ + 1ሻሺ‫ݕ‬ + 2ሻ 2) ሺܽ − 8‫ݔ‬ሻሺܽ + 2‫ݔ‬ሻ
3) ሺܽ − 4‫ݔ‬ሻሺܽ − 6‫ݔ‬ሻ 4) ሺ2ܽ + 3‫ݔ‬ሻሺ2ܽ + 2‫ݔ‬ሻ
5) ሺ8ܽ − 5‫ݔ‬ሻሺ8ܽ − ‫ݔ‬ሻ 6) ሺ4‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ2‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ
7) ሺ2‫ݎ‬ଶ
− 3‫ݏ‬ଷሻሺ2‫ݎ‬ଶ
− 2‫ݏ‬ଷሻ 8) ሺ−2‫ݖ‬ + 8‫ݕ‬ଷሻሺ8‫ݕ‬ଷ
+ 3‫ݖ‬ሻ
9) ሺ12ܽ − 9ܾሻሺ−9ܾ − 2ܽሻ 10) ሺ4݂ − 2݃ሻሺ4݂ − 5݃ሻ

Factorización
Capítulo 3
FACTORIZACIÓN
Factorizar o descomponer en factores una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado
de sus factores.
No todos los polinomios se pueden descomponer en dos o más factores.
3.1 Factor común de un polinomio
Para poder realizar este tipo de factorización necesitamos determinar el Máximo Común Divisor
(MCD)
El máximo común divisor (MCD) de dos o más expresiones algebraicas, es la expresión algebraica de
mayor coeficiente numérico y de mayor grado que está contenida exactamente en cada una de ellas.
A continuación se presenta algunos ejemplos para determinar el MCD.
Ejemplo 3.1
Determinar el MCD de las siguientes expresiones:
48ܽସ
ܾܿଷ
60ܽଶ
ܾଷ
ܿଶ
Obtenemos la factorización en factores primos de los números 48 y 60.
48 2 60 2
24 2 30 2
12 2 15 3
6 2 5 5
3 3 1
1
El MCD de estos dos números se obtiene al multiplicar los factores comunes.
ሺ2ሻሺ2ሻሺ3ሻ = 12
De las variables se toma la variable y el MENOR exponente entre ellos:
De a4
y a2
es a2
De b y b3
es b
De c3
y c2
es c2

Factorización
De tal manera que el MCD de las expresiones 48ܽସ
ܾܿଷ
y 60ܽଶ
ܾଷ
ܿଶ
es 12ܽଶ
ܾܿଶ
El MCD nos sirve para factorizar el polinomio como un producto de su MCD y otro polinomio más
sencillo que el original.
Ejemplo 3.2
Factorizar la expresión algebraica 20ܽଷ
ܾଶ
− 45ܽଶ
ܾହ
Solución.
El MCD de 20 y 45 es 5.
El MCD de a3
y a2
es a2
.
El MCD de b2
y b5
es b2
.
El MCD de 20ܽଷ
ܾଶ
− 45ܽଶ
ܾହ
es5ܽଶ
ܾଶ
.
Utilizando el MCD obtenido se escribe como primer factor y se calcula el segundo factor. Entonces la
factorización queda como:
૛૙ࢇ૜
࢈૛
− ૝૞ࢇ૛
࢈૞
= ൫૞ࢇ૛
࢈૛
൯൫૝ࢇ − ૢ࢈૜
൯
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 14‫ݔ‬ଶ
− 42‫ݕݔ‬ 2) 24‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ସ
‫ݖ‬ଷ
+ 18‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ଶ
3) 30ܽଷ
‫ݕ‬ଶ
‫ݖ‬ହ
+ 12ܽହ
‫ݕ‬ଷ
‫ݖ‬ଶ 4) 30ܽଷ
ܾହ
ܿ଻
− 22ܽ଺
ܾଶ
ܿସ
5) 34ܽ଺
ܾ଻
‫ݔ‬ଶ
− 30ܽଶ
‫ݔ‬ଷ
‫ݖ‬ସ 6) 65‫ݔ‬ଷ
‫ݕ‬ହ
‫ݖ‬ଷ
− 104‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ହ
‫ݖ‬ଶ
7) 90‫ݔ‬ହ
‫ݕ‬଼
‫ݖ‬ସ
− 30‫ݔ‬ହ
‫ݕ‬଺
‫ݖ‬ଷ 8) 160‫ݔ‬଻
‫ݕ‬ହ
‫ݖ‬ହ
+ 40‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ହ
‫ݖ‬ଽ
9) 112ܽଵଵ
ܾଽ
ܿସ
+ 144ܽଵଵ
ܾ଺
ܿଵଶ 10) 48‫ݍ‬଼
‫ݎ‬ଵ଴
‫ݏ‬ହ
− 80‫ݍ‬଼
‫ݎ‬଺
‫ݏ‬଻

Factorización
3.2 Factorización por agrupamiento
A menudo, los términos en un polinomio se pueden agrupar en tal forma que cada grupo tiene un
factor común. Para factorizar esos polinomios, se comienza agrupando aquellos términos que tengan un factor
común y luego se aplica la ley distributiva para completar la factorización.
Ejemplo 3.3
Factorizar la expresión algebraica ܽ‫ݔ‬ + ܾ‫ݔ‬ − ܽ‫ݕ‬ − ܾ‫.ݕ‬
Solución.
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos tienen el factor común y. Por
tanto, se agrupan el primero y el segundo términos, así como los dos últimos, obteniéndose:
ܽ‫ݔ‬ + ܾ‫ݔ‬ − ܽ‫ݕ‬ − ܾ‫ݕ‬ = ሺܽ‫ݔ‬ + ܾ‫ݔ‬ሻ − ሺܽ‫ݕ‬ + ܾ‫ݕ‬ሻ
ܽ‫ݔ‬ + ܾ‫ݔ‬ − ܽ‫ݕ‬ − ܾ‫ݕ‬ = ‫ݔ‬ሺܽ + ܾሻ − ‫ݕ‬ሺܽ + ܾሻ
ࢇ࢞ + ࢈࢞ − ࢇ࢟ − ࢈࢟ = ሺࢇ + ࢈ሻሺ࢞ − ࢟ሻ
Ejemplo 3.4
Factorizar la expresión algebraica 8‫ݖݔ‬ − 4‫ݕݔ‬ − 14‫ݖ‬ + 7‫ݕ‬
Solución.
Los dos primeros términos tienen el factor común 4x y los dos últimos tienen el factor común −7. Por
tanto, se agrupan el primero y el segundo términos, así como los dos últimos, obteniéndose:
8‫ݖݔ‬ − 4‫ݕݔ‬ − 14‫ݖ‬ + 7‫ݕ‬ = ሺ8‫ݖݔ‬ − 4‫ݕݔ‬ሻ + ሺ−14‫ݖ‬ + 7‫ݕݖ‬ሻ
8‫ݖݔ‬ − 4‫ݕݔ‬ − 14‫ݖ‬ + 7‫ݕ‬ = 4‫ݔ‬ሺ2‫ݖ‬ − ‫ݕ‬ሻ − 7ሺ2‫ݖ‬ − ‫ݕ‬ሻ
8‫ݖݔ‬ − 4‫ݕݔ‬ − 14‫ݖ‬ + 7‫ݕ‬ = ሺ4‫ݔ‬ − 7ሻሺ2‫ݖ‬ − ‫ݕ‬ሻ
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas por agrupamiento:
1) 15‫ݖݔ‬ − 6‫ݔ‬ + 5‫ݖݕ‬ − 2‫ݕ‬ 2) 6ܾܽ + 2ܽܿ + 12ܾ + 4ܿ
3) 10‫ݕݓ‬ + 15‫ݖݓ‬ + 4‫ݕݔ‬ + 6‫ݖݔ‬ 4) 14‫ݕݓ‬ − 49‫ݖݓ‬ + 6‫ݕݔ‬ − 21‫ݖݔ‬
5) 6ܽܿ − 9ܾܿ − 16ܽ݀ + 24ܾ݀ 6) ‫ݔݓ‬ + ‫ݕݓ‬ − 4‫ݔ‬ − 4‫ݕ‬
7) −7‫ݖݔ‬ + 28‫ݔ‬ + ‫ݖݕ‬ − 4‫ݕ‬ 8) 6‫ݖݔ‬ + 4‫ݖݕ‬ + 48‫ݔ‬ + 32‫ݕ‬
9) 40‫ݖݔ‬ − 56‫ݔ‬ + 25‫ݖݕ‬ − 35‫ݕ‬ 10) 12‫ݕݓ‬ − 10‫ݖݕ‬ − 54‫ݓ‬ + 45‫ݖ‬

Factorización
3.3 Factorización de una diferencia de cuadrados perfectos
En la sección 2.4 se desarrolló el producto notable ሺܽ + ܾሻሺܽ − ܾሻ = ܽଶ
− ܾଶ
y de manera recíproca
se puede enunciar la siguiente regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo, a continuación se escribe el producto de la
suma por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo 3.5
Factorizar la diferencia de cuadrados z2
− 9.
Solución.
La raíz cuadrada de z2
es z
La raíz cuadrada de 9 es 3.
A continuación se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo.
ࢠ૛
− ૢ = ሺࢠ + ૜ሻሺࢠ − ૜ሻ
Ejemplo 3.6
Factorizar la diferencia de cuadrados 4‫ݔ‬ଶ
− ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଶ
Solución.
La raíz cuadrada de 4‫ݔ‬ଶ
es 2x
La raíz cuadrada de ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଶ
es ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ.
A continuación se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo.
4‫ݔ‬ଶ
− ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଶ
= ሾ2‫ݔ‬ + ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሿሾ2‫ݔ‬ − ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሿ
૝࢞૛
− ሺ࢞ + ࢟ሻ૛
= ሺ૜࢞ + ࢟ሻሺ࢞ − ࢟ሻ

Factorización
Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1) 9‫ݕ‬ଶ
− ሺܽ + ܾሻଶ 2) 25‫ݔ‬ସ
− ሺ3‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଶ 3) ሺ4ܽଶሻଶ
− ሺܽଶ
+ ܾଶሻଶ
4) 25
16
‫ݔ‬2
−
9
16
‫ݕ‬2 5) 9‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
− 64‫ݕ‬ଶ
‫ݖ‬ଶ
6) 36‫ݕ‬଼
− ሺ2ܽ + ‫ݕ‬ସሻଶ
3.4 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
Un trinomio es cuadrado perfecto (TCP) cuando se obtiene de elevar al cuadrado un binomio.
Para conocer si un trinomio ordenado con respecto a una letra es un trinomio cuadrado perfecto (TCP)
se debe verificar que cumpla las siguientes condiciones:
1. Se verifica si el primero y tercero términos son cuadrados perfectos y positivos, es decir, que
tienen raíz cuadrada exacta.
2. Se verifica si el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Es importante recordar que para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada
de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra entre 2.
Ejemplo 3.7
Verificar si el trinomio 9‫ݔ‬ଶ
+ 12‫ݕݔ‬ + 4‫ݕ‬ଶ
es un trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Solución.
Primera condición: Verificar si el primero y tercero términos son cuadrados perfectos y positivos.
La raíz cuadrada de 9‫ݔ‬ଶ
se obtiene al extraer la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente
de la variable entre 2.
De tal manera que la raíz cuadrada de 9‫ݔ‬ଶ
se obtiene de la siguiente manera:
√9 = 3
ඥ‫ݔ‬ଶ = ‫ݔ‬ଶ ଶ⁄
= ‫ݔ‬
La raíz cuadrada del primer término es 3x.
Y se obtiene la raíz cuadrada de 4‫ݕ‬ଶ

Factorización
Raíz cuadrada del segundo elemento
Raíz cuadrada del primer elemento
√4 = 2
ඥ‫ݕ‬ଶ = ‫ݕ‬ଶ ଶ⁄
= ‫ݕ‬
La raíz cuadrada del tercer término es 2y.
El primer y tercer miembro tiene raíz cuadrada exacta por lo que cumple la primera condición.
Segunda condición: Verificar si el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas del
primer y tercer término.
El segundo término es 12xy.
12‫ݕݔ‬ = ሺ2ሻሺ3‫ݔ‬ሻሺ2‫ݕ‬ሻ
Simplificando lo anterior tenemos:
12‫ݕݔ‬ = 12‫ݕݔ‬ Cumple la segunda condición
Debido a que ambas condiciones se cumplen se tiene que 9‫ݔ‬ଶ
+ 12‫ݕݔ‬ + 4‫ݕ‬ଶ
es un trinomio cuadrado
perfecto.
Y esto es cierto debido a que 9‫ݔ‬ଶ
+ 12‫ݕݔ‬ + 4‫ݕ‬ଶ
se obtiene al elevar al cuadro el binomio ሺ3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ሻଶ
,
es decir:
ሺ3‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ሻଶ
= 9‫ݔ‬ଶ
+ 12‫ݕݔ‬ + 4‫ݕ‬ଶ
Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es necesario realizar los siguientes pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio
2. Se separan estas raíces por el signo del segundo término.
3. Se eleva toda la expresión al cuadrado.
Ejemplo 3.8
Factorizar el trinomio ‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶ
Solución.
Comprobamos si es un TCP.
Raíz cuadrada del primer término (x2
) es x Raíz cuadrada del tercer término (y2
) es y
Doble producto

Factorización
Verificamos si el segundo término (2xy) es el doble producto de sus raíces cuadradas del primer y
tercer término.
2‫ݕݔ‬ = 2ሺ‫ݔ‬ሻሺ‫ݕ‬ሻ Si es un TCP
Después de comprobar que se trata de un TCP aplicamos la regla de factorización y se obtiene:
‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶ
= ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻଶ
Ejemplo 3.9
Factorizar el trinomio ݉ଶ
+ ܾ݉ +
௕మ
ସ
Solución.
Comprobamos si es un TCP.
Raíz cuadrada del primer término (m2
) es m Raíz cuadrada del tercer término ቀ
௕మ
ସ
ቁ es
௕
ଶ
Verificamos si el segundo término (bm) es el doble producto de sus raíces cuadradas del primer y
tercer término.
ܾ݉ = 2ሺ݉ሻ൬
ܾ
2
൰
ܾ݉ = ܾ݉ Si es un TCP
Después de comprobar que se trata de un TCP aplicamos la regla de factorización y se obtiene:
݉ଶ
+ ܾ݉ +
ܾଶ
4
= ቆ݉ +
ܾଶ
4
ቇ
ଶ Elevamos al cuadrado la expresión
Raíz cuadrada del 2do término
Raíz cuadrada del 1er término
Signo del segundo término
Elevamos al cuadrado la expresión
Raíz cuadrada del 2do término
Signo del segundo término
Raíz cuadrada del 1er término

Factorización
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
1) ‫ݔ‬ଶ
+ 10‫ݔ‬ + 25 2) ܽଶ
− 16ܽ + 64
3)
9
25
‫ݎ‬ଶ
+
9
10
‫ݎ‬ +
9
16
4)
4
9
݉ଶ
− ݉ +
9
16
5)
9
25
݈ସ
+
36
5
݈ଶ
+ 36 6) 6‫ݔ‬ଶ
− 8‫ݔ‬ + 4
7)
9
64
‫ݔ‬଺
+
7
8
‫ݔ‬ଷ
+
49
36
8)
64
9
‫ݔ‬଺
+ 16‫ݔ‬ହ
+ 9‫ݔ‬ସ
9) 36
49
‫ݔ‬ସ
−
36
49
‫ݔ‬ଶ
+
9
49
10) 49
81
‫ݔ‬ସ
+
10
9
‫ݔ‬ଶ
+
25
49
3.5 Factorización de un trinomio, completándolo a trinomio cuadrado
perfecto.
Si al intentar factorizar un trinomio, se comprueba que no es trinomio cuadrado perfecto, puede
completarse a trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando la expresión algebraica necesaria, lo que
permitirá su posterior factorización.
Ejemplo 3.10
Factorizar el trinomio ‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
Solución.
Comprobamos si se trata de un TCP
Raíz cuadrada del primer término (x4
) es x2
.
Raíz cuadrada del segundo término ሺ‫ݕ‬ସሻ es ‫ݕ‬ଶ
.
Verificamos si el segundo término (x2
y2
) es el doble producto de sus raíces cuadradas del primer y
tercer término.
‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
≠ 2ሺ‫ݔ‬ଶሻሺ‫ݕ‬ଶሻ
‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
≠ 2ሺ‫ݔ‬ଶሻሺ‫ݕ‬ଶሻ NO es un TCP
Para completar el TCP, es necesario sumar y restar al trinomio, en este caso ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ

Factorización
Trinomio Cuadrado Perfecto
Para que fuese un trinomio cuadrado perfecto debería ser: ‫ݔ‬ସ
+ 2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
, es decir falta un factor
‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
.
Para ello sumamos el factor que necesitamos y de la misma forma le restamos esa misma cantidad
(“sumar cero”).
‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
= ‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
+ ࢞૛
࢟૛
− ࢞૛
࢟૛
‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
= ‫ݔ‬ସ
+ 2‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
− ࢞૛
࢟૛
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto como se vio en la sección anterior nos queda:
‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
= ሺ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻଶ
− ࢞૛
࢟૛
NOTA: Esta expresión es posible seguir factorizando (Ver tema 3.3.- Factorización de una diferencia
de cuadrados perfectos) de tal manera que:
‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
= ሺ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻଶ
− ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
= ሺ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻଶ
− ሺ‫ݕݔ‬ሻଶ
Factorizando como una diferencia de cuadrados perfectos el cual nos dice que:
ܽଶ
− ܾଶ
= ሺܽ + ܾሻሺܽ − ܾሻ
Para este ejemplo ܽ = ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
y ܾ = ‫ݕݔ‬ de tal manera que:
‫ݔ‬ସ
+ ‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ସ
= ሺ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻଶ
− ሺ‫ݕݔ‬ሻଶ
= ሾሺ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻ + ሺ‫ݕݔ‬ሻሿሾሺ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶሻ − ሺ‫ݕݔ‬ሻሿ
Ordenando tenemos:
࢞૝
+ ࢞૛
࢟૛
+ ࢟૝
= ൫࢞૛
+ ‫ܡܠ‬ + ࢟૛
൯൫࢞૛
− ‫ܡܠ‬ + ࢟૛
൯

Factorización
Trinomio Cuadrado Perfecto
Ejemplo 3.11
Factorizar el trinomio 81ܽସ
଼ܾ
− 292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
Solución.
Verificamos si se trata de un TCP
Raíz cuadrada del primer término (81a4
b8
) es 9 a2
b4
.
Raíz cuadrada del segundo término ሺ256‫ݔ‬ଵ଺ሻ es 16‫ݔ‬଼
.
Verificamos si el segundo término (292a2
b4
x8
) es el doble producto de sus raíces cuadradas del primer
y tercer término.
292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
≠ 2ሺ9ܽଶ
ܾସሻሺ16‫ݔ‬଼ሻ
292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
≠ 288ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
NO es un TCP
Para completar el TCP, es necesario sumar y restar al trinomio, en este caso 4ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
81ܽସ
଼ܾ
− 292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
+ ૝ࢇ૛
࢈૝
࢞ૡ
− ૝ࢇ૛
࢈૝
࢞ૡ
81ܽସ
଼ܾ
− 288ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
− 4ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto como se vio en la sección anterior y nos queda:
81ܽସ
଼ܾ
− 292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
= ሺ9ܽଶ
ܾସ
− 16‫ݔ‬଼ሻଶ
− 4ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
81ܽସ
଼ܾ
− 292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
= ሺ9ܽଶ
ܾସ
− 16‫ݔ‬଼ሻଶ
− ሺ2ܾܽଶ
‫ݔ‬ସሻଶ
NOTA: Esta expresión es posible seguir factorizando como una diferencia de cuadrados el cual nos
dice que:
ܽଶ
− ܾଶ
= ሺܽ + ܾሻሺܽ − ܾሻ
Para este ejemplo a = 9ܽଶ
ܾସ
− 16‫ݔ‬଼
y ܾ = 2ܾܽଶ
‫ݔ‬ସ
de tal manera que:
81ܽସ
଼ܾ
− 292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
= ቂሺ9ܽଶ
ܾସ
− 16‫ݔ‬଼ሻ + ቀ2ܾܽ2
‫ݔ‬4ቁቃ ቂሺ9ܽଶ
ܾସ
− 16‫ݔ‬଼ሻ − ቀ2ܾܽ2
‫ݔ‬4ቁቃ
ૡ૚ࢇ૝
࢈ૡ
− ૛ૢ૛ࢇ૛
࢈૝
࢞ૡ
+ ૛૞૟࢞૚૟
= ሺૢࢇ૛
࢈૝
− ૚૟࢞ૡ
+ ૛ࢇ࢈૛
࢞૝ሻሺૢࢇ૛
࢈૝
− ૚૟࢞ૡ
− ૛ࢇ࢈૛
࢞૝ሻ

Factorización
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados.
1) ‫ݔ‬଼
+ 3‫ݔ‬ସ
+ 4 2) ‫ݔ‬ସ
− 6‫ݔ‬ଶ
+ 1
3) 16݉ସ
− 25݉ଶ
݊ଶ
+ 9݊ସ 4) 36‫ݔ‬ସ
− 109‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬ଶ
+ 49‫ݕ‬ସ
5) 4଼ܽ
− 53ܽସ
ܾସ
+ 49଼ܾ 6) 49‫ݔ‬଼
+ 76‫ݔ‬ସ
‫ݕ‬ସ
+ 100‫ݕ‬଼
7) 16 − 9ܿସ
+ ଼ܿ 8) 225 + 5݉ଶ
+ ݉ସ
9) 49଼ܿ
+ 75ܿସ
݉ଶ
݊ଶ
+ 196݉ସ
݊ସ 10) 81ܽସ
଼ܾ
− 292ܽଶ
ܾସ
‫ݔ‬଼
+ 256‫ݔ‬ଵ଺
3.6 Factorización de un trinomio de la forma ࢇ࢞૛
+ ࢈࢞ + ࢉ
Ahora se buscaran los factores del polinomio ܽ‫ݔ‬ଶ
+ ܾ‫ݔ‬ + ܿ que tengan la forma:
ሺ‫ݔ݌‬ + ‫ݍ‬ሻሺ‫ݔݎ‬ + ‫ݏ‬ሻ
Y se supondrá que todos los coeficientes son enteros. Para lograr esto en forma eficiente, es útil
escribir los factores de a por pares y los factores de c por pares, ya que deberá cumplirse que:
1. Dos números multiplicados (pr) den el primer factor (a), es decir, pr = a
2. Dos números multiplicados (qs) den el tercer factor (c), es decir, qs = c
3. La suma del producto de los números obtenidos den el segundo factor (b):(ps+qr) = b
Estas relaciones parecen complicado para obtener, sin embargo, es útil tomar en cuenta las siguientes
consideraciones para facilitar el proceso.
Es útil conocer el patrón de signos ya que de esa manera se eliminan algunas de las posibilidades.
Además, se puede suponer que a > 0, ya que siempre es posible, si se requiere, factorizar un −1, es decir si el
primer factor es negativo se recomienda multiplicar todo el trinomio por -1 para facilitar el procedimiento.
Por ejemplo
−5‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ + 4 = −ሺ5‫ݔ‬ଶ
− 8‫ݔ‬ − 4ሻ
Si c > 0 (si C es positivo), los signos en cada uno de los factores de axଶ
+ bx + c deben tener el mismo
signo para que C de positivo:
ሺ+ሻሺ+ሻ si ܾ > 0
ሺ−ሻሺ−ሻ si ܾ < 0
Sin embargo, si c < 0 (Si C es negativo), los signos en cada factor deben ser diferentes:
ሺ+ሻሺ−ሻ ó ሺ−ሻሺ+ሻ

Factorización
Ejemplo 3.12
Factorice el trinomio ‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ + 6
Solución.
Se deben escribir dos factores de la forma:
൫ ‫݌‬ ‫ݔ‬ + ‫ݍ‬ ൯ሺ ‫ݎ‬ ‫ݔ‬ + ‫ݏ‬ ሻ
Ya que a=1, b = 5 y c = 6 son positivos.
Primero se buscan las posibles factorizaciones de c = 6 (Estos factores serán q y s)
6 = (1)(6)
6 = (2)(3)
También se buscan los factores de a=1 (Estos factores serán p y r) para este caso no es complicado
debido a que:
1 = (+1)(+1)
1 = (-1)(-1)
Después de los factores obtenidos se buscan aquellos que cumplan la condición (ps+qr)=b de tal
manera que para este caso se buscan los factores (ps+qr)=5:
ሺ+1ሻሺ+2ሻ + ሺ+1ሻሺ+3ሻ = 5
Se completa la factorización, escribiendo en cada espacio los números encontrados.
‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ + 6 = ሺ1‫ݔ‬ + 2ሻሺ1‫ݔ‬ + 3ሻ
࢞૛
+ ૞࢞ + ૟ = ሺ࢞ + ૛ሻሺ࢞ + ૜ሻ
Ejemplo 3.13
Factorice el trinomio ‫ݔ‬ହ
+ 5‫ݔ‬ − 14
Solución.
Para este ejercicio se tiene que a=1, b = 5 y c = −14.
൫ ‫݌‬ ‫ݔ‬ + ‫ݍ‬ ൯ሺ ‫ݎ‬ ‫ݔ‬ + ‫ݏ‬ ሻ
Se observa que debe ser un elemento de la factorización con signo positivo y otro con signo negativo
debido a que c=-14 y para obtener el signo negativo de c la multiplicación debe ser de signos contrarios.

Factorización
Se buscan las posibles factorizaciones de -14
-14 = (+1)(-14) -14 = (+2)(-7)
-14 = (-1)(+14) -14 = (-2)(+7)
También se buscan los factores de a=1 (Estos factores serán p y r) para este caso no es complicado
debido a que:
1 = (+1)(+1)
1 = (-1)(-1)
Después de los factores obtenidos se buscan aquellos que cumplan la condición (ps+qr)=b de tal
manera que a prueba y error se obtiene:
ሺ+1ሻሺ+7ሻ + ሺ+1ሻሺ−2ሻ = +5
Escribimos las factorización:
‫ݔ‬ହ
+ 5‫ݔ‬ − 14 = ሺ1‫ݔ‬ + 7ሻሺ1‫ݔ‬ − 2ሻ
Simplificando:
࢞૞
+ ૞࢞ − ૚૝ = ሺ࢞ + ૠሻሺ࢞ − ૛ሻ
Ejemplo 3.14
Factorice el trinomio. 15‫ݔ‬ଶ
+ 11‫ݔ‬ − 12
Solución.
Para este ejercicio se tiene que a=15, b = 11 y c = −12.
൫ ‫݌‬ ‫ݔ‬ + ‫ݍ‬ ൯ሺ ‫ݎ‬ ‫ݔ‬ − ‫ݏ‬ ሻ
Se observa que debe ser un elemento de la factorización con signo positivo y otro con signo negativo
debido a que c=-12 y para obtener el signo negativo de c la multiplicación debe ser de signos contrarios, estos
valores que se obtienen serán q y s.
Se buscan las posibles factorizaciones de -12
12 = (+1)(-12) Estos factores
12 = (-1)(+12) son los valores
12 = (+2)(-6) q y s para la
12 = (-2)(+6) factorización

Factorización
12 = (+3)(-4)
12 = (-3)(+4)
Se observa que para este ejemplo el valor de a=15 por lo que también se deben buscar sus factores.
Se buscan las posibles factorizaciones de 15 para obtener los valores de p y r.
15 = (+1)(+15) Estos factores
15 = (-1)(-15) son los valores
15 = (+3)(+5) p y r para la
15 = (-3)(-5) factorización
Además se debe cumplir que (ps+qr)=b siendo b=11. Al intentar diversas posibilidades se ve que:
ሺ+3ሻሺ−3ሻ + ሺ+4ሻሺ+5ሻ = +5
−9 + 20 = +11
De tal manera que la factorización real es:
૚૞࢞૛
+ ૚૚࢞ − ૚૛ = ሺ૜࢞ + ૝ሻሺ૞࢞ − ૜ሻ
Es conveniente poder determinar si un trinomio cuadrático es factorizable sin conocer los factores.
Más adelante, al trabajar con la fórmula cuadrática, se mostrará que, si a, b y c son enteros, ࢇ࢞૛
+ ࢈࢞ + ࢉ es
factorizable con coeficientes enteros si y sólo si ࢈૛
− ૝ࢇࢉ es un cuadrado perfecto.
En el primer ejemplo, a = 1, b = 5 y c = 6, por lo que:
ܾଶ
− 4ܽܿ = 5ଶ
− 4ሺ1ሻሺ6ሻ = 25 − 24 = 1
Y 1 es un cuadrado perfecto (tiene raíz cuadrada exacta).
En el ejemplo 2, a = 1, b = 5 y c = −14, por lo que:
ܾଶ
− 4ܽܿ = 5ଶ
− 4ሺ1ሻሺ−14ሻ = 25 + 56 = 81
Y 81 es un cuadrado perfecto, su raíz es 9.
En el ejemplo 3, a = 15, b = 11 y c = −12, por lo que
ܾଶ
− 4ܽܿ = 11ଶ
− 4ሺ15ሻሺ−12ሻ = 121 + 720 = 841
Y 841 es un cuadrado perfecto, su raíz es 29.

Factorización
Ejemplo 3.15
¿Es factorizable el trinomio 7‫ݔ‬ଶ
− 12‫ݔ‬ + 4?
Solución.
a= 7, b =−12 y c = 4, por lo que:
ܾଶ
− 4ܽܿ = ሺ−12ሻଶ
− 4ሺ7ሻሺ4ሻ = 144 − 112 = 32
Y 32 no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que 32 no es cuadrado perfecto y el trinomio no es
factorizable con coeficientes enteros.
Factorizar los siguientes polinomios.
1ሻ ‫ݔ‬ଶ
+ 11‫ݔ‬ + 28 2ሻ ‫ݔ‬ଶ
+ 7‫ݔ‬ − 8
3ሻ ‫ݔ‬ଶ
− 15‫ݔ‬ + 54 4ሻ 3‫ݔ‬ଶ
+ 4‫ݔ‬ − 20
5ሻ 10‫ݔ‬ଶ
+ 37‫ݔ‬ − 36 6ሻ 20‫ݔ‬ଶ
+ 76‫ݔ‬ + 48
7ሻ −140‫ݔ‬ଶ
+ 374‫ݔ‬ − 240 8ሻ −105‫ݔ‬ଶ
+ 503‫ݔ‬ − 450
9ሻ ‫ݔ‬ସ
− 10‫ݔ‬ଶ
+ 16 10ሻ 14‫ݔ‬ଶ
− 43‫ݔ‬ − 21
3.7 Factorización de un polinomio por el método de evaluación. (División
Sintética)
La división sintética se puede utilizar para dividir una función polinómica por un binomio de la forma
x-c. Esto nos permite, por ejemplo hallar el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio por x-c.
Además, por el teorema del resto al aplicar la división sintética se obtiene el valor funcional del polinomio.
También permite encontrar los factores y ceros de un polinomio. Al encontrar los ceros de un polinomio, éste
se puede factorizar completamente y expresar como el producto de sus factores lineales. En resumen, la
división sintética juega un papel preponderante en la división de un polinomio por un factor lineal de la forma
x-c.
Ejemplo 3.16
Factorizar por división sintética el siguiente polinomio:
−6‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ଷ
+ 30 − ‫ݔ‬

Factorización
Solución.
Debemos ordenar el polinomio por el grado de cada variable de mayor a menor quedando de la forma:
‫ݔ‬૜
− 6‫ݔ‬૛
− ‫ݔ‬૚
+ 30
Tomamos el coeficiente de cada uno de los términos del polinomio
+૚‫ݔ‬ଷ
− ૟‫ݔ‬ଶ
− ૚‫ݔ‬ଵ
+ ૜૙
+1 -6 -1 +30 Coeficientes ordenados
Multiplicamos los extremos ሺ+1ሻሺ+30ሻ = +૟૙
Encontramos los múltiplos de 60.
ሺ+૚ሻሺ+60ሻ +ሺ2ሻሺ+30ሻ ሺ+3ሻሺ+20ሻ ሺ+4ሻሺ+15ሻ ሺ+5ሻሺ+12ሻ ሺ+6ሻሺ+10ሻ
ሺ−1ሻሺ−60ሻ ሺ−2ሻሺ−30ሻ ሺ−3ሻሺ−20ሻ ሺ−4ሻሺ−15ሻ ሺ−5ሻሺ−12ሻ ሺ−6ሻሺ−10ሻ
Tomamos nuevamente los coeficientes de cada uno de los términos del polinomio ordenado.
+1 -6 -1 +30
Seleccionamos UNO de los múltiplos encontrados (cualquiera). Vamos a intentar con el factor 1 y los
escribimos de la siguiente manera:
+1 -6 -1 +30 +1
Bajamos el primer coeficiente:
+1 -6 -1 +30 +1
+1
Multiplicamos el coeficiente que se bajó por el factor seleccionado. Para este caso (+1)(+1)=+1 y el
resultado lo escribimos de la siguiente manera.
+1 -6 -1 +30 +1
+1
+1

Factorización
Realizamos la suma.
+1 -6 -1 +30 +1
+1
+1 -5
Multiplicamos el resultado de la suma por el coeficiente seleccionado (-5)(+1)=-5 y lo escribimos de la
siguiente manera:
+1 -6 -1 +30 +1
+1 -5
+1 -5
Realizamos la suma:
+1 -6 -1 +30 +1
+1 -5
+1 -5 -6
Multiplicamos el resultado de la suma por el coeficiente seleccionado (-6)(+1)=-6 y lo escribimos de la
siguiente manera:
+1 -6 -1 +30 +1
+1 -5 -6
+1 -5 -6
Realizamos la suma:
+1 -6 -1 +30 +1
+1 -5 -6
+1 -5 -6 +24
El resultado final es 24, esperamos como resultado CERO por lo que esta selección no fue adecuada.
Debemos seleccionar un nuevo factor.
ሺ+1ሻሺ+60ሻ ሺ+૛ሻሺ+30ሻ ሺ+3ሻሺ+20ሻ ሺ+4ሻሺ+15ሻ ሺ+5ሻሺ+12ሻ ሺ+6ሻሺ+10ሻ
ሺ−1ሻሺ−60ሻ ሺ−2ሻሺ−30ሻ ሺ−3ሻሺ−20ሻ ሺ−4ሻሺ−15ሻ ሺ−5ሻሺ−12ሻ ሺ−6ሻሺ−10ሻ

Factorización
Vamos a intentar con el factor 2 y los escribimos de la siguiente manera:
+1 -6 -1 +30 +2
Repetimos todos los pasos anteriormente descritos quedándonos de la siguiente manera:
+1 -6 -1 +30 +2
+2 -8 -18
+1 -4 -9 +12
El resultado final es 12, esperamos como resultado CERO por lo que esta selección no fue adecuada.
Vamos a intentar con el factor -2 y los escribimos de la siguiente manera:
+1 -6 -1 +30 -2
-2 +16 -30
+1 -8 +15 0
Tenemos un factor adecuado el cual es -2. De tal manera que el polinomio original se puede escribir
de la siguiente manera:
‫ݔ‬௡
+ ‫ݔ‬௡ିଵ
+ ⋯ + ‫ݔ‬ + ܽ = ሺ‫ݔ‬ − ܿሻሺܾ ∙ ‫ݔ‬௡ିଵ
+ ܿ ∙ ‫ݔ‬௡ିଶ
+ ⋯ + ݀ ∙ ‫ݔ‬ + ݁ሻ
Siendo C el factor encontrado; b, c, d, e los coeficientes obtenidos en las división sintética.
+1 -6 -1 +30 -2
-2 +16 -30
+1 -8 +15 0
‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ + 30 = ሾ‫ݔ‬ − ሺ−૛ሻሿሾ૚‫ݔ‬ଷିଵ
+ ሺ−ૡሻ‫ݔ‬ଶିଵ
+ ૚૞‫ݔ‬ଵିଵሿ
Escribimos el polinomio de la siguiente manera:
‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ + 30 = ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ଶ
− 8‫ݔ‬ + 15ሻ

Factorización
Nuevamente aplicamos la división sintética con el polinomio de segundo grado que obtuvimos.
Buscamos los factores de 15 los cuales son:
‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ + 30 = ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ+૚‫ݔ‬ଶ
− ૡ‫ݔ‬ + ૚૞ሻ
ሺ+1ሻሺ+15ሻ ሺ+3ሻሺ+5ሻ
ሺ−1ሻሺ−15ሻ ሺ−3ሻሺ−5ሻ
Tomamos nuevamente los coeficientes de cada uno de los términos del polinomio ordenado.
+1 -8 +15 +3
+3 -15
+1 -5 0
De tal manera tenemos:
‫ݔ‬ଷ
− 6‫ݔ‬ଶ
− ‫ݔ‬ + 30 = ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ଶ
− 8‫ݔ‬ + 15ሻ = ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻሺ‫ݔ‬ − 5ሻ
࢞૜
− ૟࢞૛
− ࢞ + ૜૙ = ሺ࢞ + ૛ሻሺ࢞ − ૜ሻሺ࢞ − ૞ሻ POLINOMIO FACTORIZADO
Ejemplo 3.17
Factorizar el polinomio ‫ݔ‬ସ
− 2‫ݔ‬ଷ
− 7‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ + 12
Solución.
Factores de 12
ሺ+1ሻሺ+12ሻ ሺ+2ሻሺ+6ሻ +ሺ3ሻሺ+4ሻ
ሺ−૚ሻሺ−12ሻ ሺ−2ሻሺ−6ሻ ሺ−3ሻሺ−4ሻ

Factorización
Tomamos el factor -1
+1 -2 -7 +8 +12 -1
-1 +3 +4 -12
+1 -3 -4 +12 0
Nos queda:
‫ݔ‬ସ
− 2‫ݔ‬ଷ
− 7‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ + 12 = ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ+1‫ݔ‬ଷ
− 3‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݔ‬ + 12ሻ
Realizamos nuevamente la división sintética. Retomamos los factores de 12
ሺ+1ሻሺ+12ሻ +ሺ2ሻሺ+6ሻ ሺ+3ሻሺ+4ሻ
ሺ−1ሻሺ−12ሻ ሺ−૛ሻሺ−6ሻ ሺ−3ሻሺ−4ሻ
Tomamos el factor -2
+1 -3 -4 +12 -2
-2 +10 -12
+1 -5 +6 0
‫ݔ‬ସ
− 2‫ݔ‬ଷ
− 7‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ + 12 = ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ+1‫ݔ‬ଶ
− 5‫ݔ‬ + 6ሻ
Encontramos los factores de 6 (1)(6), (-1)(-6), (2)(3), (-2)(-3). Tomamos el factor 2.
+1 -5 +6 +2
+2 -6
+1 -3 0
‫ݔ‬ସ
− 2‫ݔ‬ଷ
− 7‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ + 12 = ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ+1‫ݔ‬ଶ
− 5‫ݔ‬ + 6ሻ = ሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ − 2ሻሺ‫ݔ‬ − 3ሻ
࢞૝
− ૛࢞૜
− ૠ࢞૛
+ ૡ࢞ + ૚૛ = ሺ࢞ + ૚ሻሺ࢞ + ૛ሻሺ࢞ − ૛ሻሺ࢞ − ૜ሻ POLINOMIO FACTORIZADO

Factorización
Ejemplo 3.18
‫ݔ‬ସ
− 15‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 24
Solución.
Factores de +24.
ሺ+1ሻሺ+24ሻ ሺ+2ሻሺ+12ሻ ሺ+3ሻሺ+8ሻ ሺ+4ሻሺ+6ሻ
ሺ−1ሻሺ−24ሻ ሺ−2ሻሺ−12ሻ ሺ−3ሻሺ−8ሻ ሺ−4ሻሺ−6ሻ
+1 0 -15 -10 +24 +1
+1 +1 -14 -24
+1 +1 -14 -24 0
‫ݔ‬ସ
− 15‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 24 = ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ+1‫ݔ‬ଷ
+ 1‫ݔ‬ଶ
− 14‫ݔ‬ − 24ሻ
Factores de -24.
ሺ+1ሻሺ−24ሻ ሺ+2ሻሺ−12ሻ ሺ+3ሻሺ−8ሻ ሺ+4ሻሺ−6ሻ
ሺ−1ሻሺ24ሻ ሺ−2ሻሺ12ሻ ሺ−3ሻሺ8ሻ ሺ−4ሻሺ6ሻ
+1 +1 -14 -24 -2
-2 +2 +24
+1 -1 -12 0
‫ݔ‬ସ
− 15‫ݔ‬ଶ
− 10‫ݔ‬ + 24 = ሺ‫ݔ‬ − 1ሻሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ1‫ݔ‬ଶ
− 1‫ݔ‬ − 12ሻ
En este momento se puede emplear otro método de factorización o continuar con división sintética.
Continuando por el método de división sintética se encuentra los factores de -12.
ሺ+1ሻሺ−12ሻ ሺ+2ሻሺ−6ሻ ሺ+3ሻሺ−4ሻ
ሺ−1ሻሺ+12ሻ ሺ−2ሻሺ+6ሻ ሺ−3ሻሺ+4ሻ
+1 -1 -12 -3
-3 +12
+1 -4 0
࢞૝
− ૚૞࢞૛
− ૚૙࢞ + ૛૝ = ሺ࢞ − ૚ሻሺ࢞ + ૛ሻሺ࢞ + ૜ሻሺ࢞ − ૝ሻ POLINOMIO FACTORIZADO

Factorización
Factorizar los siguientes polinomios.
1ሻ
8‫ݔ‬ସ
− 18‫ݔ‬ଷ
− 75‫ݔ‬ଶ
+ 46‫ݔ‬ + 120
2ሻ
ܽହ
− 21ܽଷ
+ 16ܽଶ
+ 108ܽ − 144
3ሻ
‫ݕ‬ହ
− 30‫ݕ‬ଷ
− 25‫ݕ‬ଶ
− 36‫ݕ‬ − 180
4ሻ
2݉ହ
− 8݉ସ
+ 3݉ − 12
5ሻ
‫ݖ‬଺
− 32‫ݖ‬ସ
+ 18‫ݖ‬ଷ
+ 247‫ݖ‬ଶ
− 162‫ݖ‬ − 360
6ሻ
‫݌‬଺
− 8‫݌‬ହ
+ 6‫݌‬ସ
+ 103‫݌‬ଷ
− 344‫݌‬ଶ
+ 396‫݌‬ − 144

Exponentes y Radicales
Capítulo 4
FRACCIONES ALGEBRAICAS
4.1 Principio fundamental de las fracciones
Las fracciones algebraicas representan números reales y, por lo tanto, se pueden sumar, restar,
multiplicar y dividir. Una expresión fraccionaria es un cociente de expresiones algebraicas.
Antes de definir las operaciones con fracciones algebraicas recordemos algunos fundamentos de las
fracciones.
Puesto que las fracciones algebraicas representan números reales las propiedades que se aplican a las
fracciones son las mismas y, además se incluyen algunas nuevas.
Para todos los números reales ܽ, ܾ, ܿ y ݀ con ܾ ≠ 0 y ݀ ≠ 0;
1) Fracciones equivalentes.
௔
௕
=
௖
ௗ
si y solo si ܽ݀ = ܾܿ
2) Principio fundamental de las fracciones.
௔௞
௕௞
=
௔
௕
para toda ݇ ≠ 0
3) Signo de las fracciones.
ܽ
ܾ
=
−ܽ
−ܾ
= −
−ܽ
ܾ
= −
ܽ
−ܾ
−
ܽ
ܾ
=
−ܽ
ܾ
=
ܽ
−ܾ
= −
−ܽ
−ܾ
Se debe recordar que la división entre cero no está definida.
Hay tres tipos de signos que se asocian a una fracción. Son el signo que precede al numerador, el signo
que precede al denominador y el signo que precede a la fracción. Si se cambian dos signos cualesquiera, la
nueva fracción es equivalente.
4.2 Simplificación de fracciones algebraicas
El principio fundamental se puede usar en dos formas. Una fracción se puede simplificar eliminando
un factor común tanto del numerador como del denominador. A esto se le llama cancelar, simplificar, o
reducir. Por otra parte, en muchas situaciones es preferible introducir un factor común, mediante la
multiplicación, en el numerador y en el denominador.

Una fracción está en su mínima expresión, si el numerador y el denominador no tienen, a excepción
del 1, factores comunes. El principio fundamental se puede emplear para reducir una fracción a su mínima
expresión eliminando los factores comunes, no los términos comunes que se sumen. Esto último lo podemos
ver en el ejemplo 1.
Ejemplo 4.1
௔ା௕ା௖
௔ା௕ାௗ
≠
௖
ௗ
NO se eliminan términos comunes que se suman.
Pero:
ሺ௔ା௕ሻ௖
ሺ௔ା௕ሻௗ
=
௖
ௗ
Los factores comunes se eliminan.
Ejemplo 4.2
Simplifique las siguientes fracciones a su mínima expresión.
a)
௔మା௔௕
௔ା௕
b)
௫మାହ௫ା଺
௫మାଷ௫ାଶ
c)
ିଷ௫௬ା଺௬మ
௫ିଶ௬
d)
ଷ௫యିଷ௫௬మ
௫మ௬ି௫௬మ
Solución.
a) Se obtiene el factor común ܽ y el factor ሺܽ + ܾሻ se elimina.
ܽଶ
+ ܾܽ
ܽ + ܾ
=
ܽሺܽ + ܾሻ
ܽ + ܾ
= ࢇ
b) Se factoriza el numerador y denominador y se elimina el factor ሺ‫ݔ‬ + 2ሻ.
‫ݔ‬ଶ
+ 5‫ݔ‬ + 6
‫ݔ‬ଶ + 3‫ݔ‬ + 2
=
ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ + 3ሻ
ሺ‫ݔ‬ + 2ሻሺ‫ݔ‬ + 1ሻ
=
࢞ + ૜
࢞ + ૚
c) Se obtiene factor común −3‫ݕ‬ y el factor ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ se elimina.
−3‫ݕݔ‬ + 6‫ݕ‬ଶ
‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬
=
−3‫ݕ‬ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ
‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬
= −3‫ݕ‬
d) Se factoriza el numerador y denominador y se eliminan los factores ‫ݔ‬ y ሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
3‫ݔ‬ଷ
− 3‫ݕݔ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ‫ݕ‬ − ‫ݕݔ‬ଶ
=
3‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶሻ
‫ݕݔ‬ሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
=
3‫ݔ‬ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
‫ݕݔ‬ሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
=
૜ሺ࢞ + ࢟ሻ
࢟

Reduzca las fracciones dadas a su mínima expresión.
1ሻ ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ − 6
‫ݔ‬ଶ + 5‫ݔ‬ + 6
2ሻ 2ℎଶ
+ 3ℎ − 2
3ℎଶ + 7ℎ + 2

3ሻ ܽଶ
+ 4ܽ + 3
ܽଶ − a − 2
4ሻ 3‫ݓ‬ଶ
− 8w + 4
2‫ݓ‬ଶ − ‫ݓ‬ − 6

5ሻ ሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻሺ2‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕݔ‬ − 6‫ݕ‬ଶሻ
ሺ‫ݔ‬ + 2‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ଶ − ‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶሻ
6ሻ ሺ2ܽ − ܾሻሺܽଶ
− ܾܽ − 6ܾଶሻ
ሺܽ + 2ܾሻሺ2ܽଶ + 3ܾܽ − 2ܾଶሻ

7ሻ
5x − 3
‫ݔ‬ሺ5‫ݔ‬ − 3ሻ + 5‫ݔ‬ − 3
8ሻ ‫ݔ‬ଷ
− ‫ݕ‬ଷ
‫ݔ‬ଶ − ‫ݕ‬ଶ

9ሻ
‫ݔ‬ + 2
ሺ‫ݔ‬ + 3ሻ‫ݔ‬ + 2
10ሻ ሺ‫ݔ‬ଶ
− 1ሻሺ‫ݕ‬ଷ
− ‫ݕ‬ଶሻ‫ݔ‬ଶ
ሺ‫ݕݔ‬ − ‫ݔ‬ଶሻሺ‫ݔ‬ + 1ሻሺ‫ݕ‬ − 1ሻ

4.3 Multiplicación de fracciones algebraicas
Si ܽ ܾ⁄ y ܿ ݀⁄ son dos fracciones en las que ܾ y ݀ son diferentes de cero, su producto es:
ܽ
ܾ
∙
ܿ
݀
=
ܽܿ
ܾ݀
El producto de dos o más fracciones dadas es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los
numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores de las
fracciones dadas.
Ejemplo 4.3
Calcule el producto indicado.
ଷ௫௬
ଶ௔
∙
଺௔௕
ଷ௫௭
∙
ିହ௭మ
ଵ଴௕మ௫
Solución
Multiplicando en forma directa y cancelando se obtiene:
3‫ݕݔ‬
2ܽ
∙
6ܾܽ
3‫ݖݔ‬
∙
−5‫ݖ‬ଶ
10ܾଶ‫ݔ‬
=
−90‫ݖܾܽݕݔ‬ଶ
60ܽ‫ݔ‬ଶ‫ܾݖ‬ଶ
= −
3‫ݖݕ‬
2‫ܾݔ‬

Ejemplo 4.4
Calcule el producto indicado
௔ାଵ
௔ାଶ
∙
௔మିସ
௔మାସ௔ାଷ
∙
௔మିଽ
௔మିସ௔ାସ
Solución
Primero se factoriza:
ܽ + 1
ܽ + 2
∙
ܽଶ
− 4
ܽଶ + 4ܽ + 3
∙
ܽଶ
− 9
ܽଶ − 4ܽ + 4
=
ܽ + 1
ܽ + 2
∙
ሺܽ + 2ሻሺܽ − 2ሻ
ሺܽ + 1ሻሺܽ + 3ሻ
∙
ሺܽ − 2ሻሺܽ − 2ሻ
Y luego se eliminan términos semejantes.
ܽ + 1
ܽ + 2
∙
ܽଶ
− 4
ܽଶ + 4ܽ + 3
∙
ܽଶ
− 9
ܽଶ − 4ܽ + 4
=
ܽ + 1
ܽ + 2
∙
ሺܽ + 1ሻሺܽ + 3ሻ
∙
ܽ + 1
ܽ + 2
∙
ܽଶ
− 4
ܽଶ + 4ܽ + 3
∙
ܽଶ
− 9
ܽଶ − 4ܽ + 4
=
ࢇ − ૜
ࢇ − ૛
Realizar las operaciones indicadas y simplificar.
1ሻ
7ܽ
6݉ଶ
ൈ
3݉
10݊ଶ
ൈ
5݊ସ
14ܽ‫ݔ‬
2ሻ
2‫ݔ‬ଶ
+ x
6
ൈ
8
4‫ݔ‬ + 2

3ሻ
5‫ݔ‬ + 25
14
ൈ
7‫ݔ‬ + 7
10‫ݔ‬ + 50
4ሻ
݉ + ݊
݉݊ − ݊ଶ
ൈ
݊ଶ
݉ଶ − ݊ଶ

5ሻ
‫ݕݔ‬ − 2‫ݕ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ + ‫ݕݔ‬
ൈ
‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݕݔ‬ + ‫ݕ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ − 2‫ݕݔ‬
6ሻ
‫ݔ‬ଶ
− 4‫ݕݔ‬ + 4‫ݕ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ + 2‫ݕݔ‬
ൈ
‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ − 4‫ݕ‬ଶ

7ሻ
2‫ݔ‬ଶ
+ 2‫ݔ‬
2‫ݔ‬ଶ
ൈ
‫ݔ‬ଶ
− 3‫ݔ‬
‫ݔ‬ଶ − 2‫ݔ‬ − 3
8ሻ
ܽଶ
− ܾܽ + ܽ − ܾ
ܽଶ + 2ܽ + 1
ൈ
3
6ܽଶ − 6ܾܽ

9ሻ
ሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻଷ
‫ݔ‬ଷ − 1
ൈ
‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݔ‬ + 1
ሺ‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻଶ
10ሻ
2ܽ − 2
2ܽଶ − 50
ൈ
ܽଶ
− 4ܽ − 5
3ܽ + 3

4.4 División de fracciones algebraicas
Para dividir ܽ ܾ⁄ entre ܿ ݀⁄ se tiene:
ܽ
ܾ
ܿ
݀
Multiplicando el numerador y denominador por el mismo factor (multiplicar por uno). El factor que
utilizaremos es el reciproco del denominador el cual es
ௗ
௖
.
ܽ
ܾ
ܿ
݀
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
ܿ
݀
∙
݀
ܿ
Al realizar la multiplicación nos queda:
ܽ
ܾ
ܿ
݀
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
ܿ
݀
∙
݀
ܿ
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
1
ܽ
ܾ
ܿ
݀
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
1
=
ܽ
ܾ
∙
݀
ܿ
ࢇ
࢈
ࢉ
ࢊ
=
ࢇ
࢈
∙
ࢊ
ࢉ
Por lo que para hallar el cociente de dos fracciones, se multiplica el numerador por el recíproco del
denominador.
Ejemplo 4.5
Calcule el cociente indicado
ଶ௔௕
ଷ௫
÷
ଶ௔
ଷ௫௬
Solución
Sabiendo que
ࢇ
࢈
ࢉ
ࢊ
=
ࢇ
࢈
∙
ࢊ
ࢉ
; por lo que la división se puede escribir:
2ܾܽ
3‫ݔ‬
÷
2ܽ
3‫ݕݔ‬
=
2ܾܽ
3‫ݔ‬
∙
3‫ݕݔ‬
2ܽ
Multiplicando directamente y simplificando.
2ܾܽ
3‫ݔ‬
÷
2ܽ
3‫ݕݔ‬
=
2ܾܽ
3‫ݔ‬
∙
3‫ݕݔ‬
2ܽ
=
6ܾܽ‫ݕݔ‬
6ܽ‫ݔ‬
= ࢈࢟

Ejemplo 4.6
Calcule el cociente indicado
௔యାଷ௔మ
௔మିଽ
÷
௔మାଶ௔
௔మିହ௔ା଺
Solución
Sabiendo que
ࢇ
࢈
ࢉ
ࢊ
=
ࢇ
࢈
∙
ࢊ
ࢉ
; por lo que la división se puede escribir:
ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܽଶ − 9
÷
ܽଶ
+ 2ܽ
ܽଶ − 5ܽ + 6
=
ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܽଶ − 9
∙
ܽଶ
− 5ܽ + 6
ܽଶ + 2ܽ
Se factoriza.
ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܽଶ − 9
÷
ܽଶ
+ 2ܽ
ܽଶ − 5ܽ + 6
=
ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܽଶ − 9
∙
ܽଶ
− 5ܽ + 6
ܽଶ + 2ܽ
=
ܽ ∙ ܽ ∙ ሺܽ + 3ሻ
∙
ܽሺܽ + 2ሻ
Simplificando.
ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܽଶ − 9
÷
ܽଶ
+ 2ܽ
ܽଶ − 5ܽ + 6
=
ܽ ∙ ܽ ∙ ሺܽ + 3ሻ
∙
ܽሺܽ + 2ሻ
ܽଷ
+ 3ܽଶ
ܽଶ − 9
÷
ܽଶ
+ 2ܽ
ܽଶ − 5ܽ + 6
=
ܽ ∙ ሺܽ − 2ሻ
ሺܽ + 2ሻ
1ሻ 17ܽଶ
ܾଷ
26‫ݔ‬ଶ
÷
51ܽଷ
ܾ
13‫ݔ‬ସ
2ሻ 14‫ݔ‬ଶ
‫ݕ‬
9ܽଷ
÷
35‫ݕ‬ଷ
18ܽଷ

3ሻ 6ܽଶ
ܾଷ
8‫ݔ‬ଶ‫ݕ‬଺
÷
15ܽସ
ܾ
12‫ݕݔ‬ଷ
4ሻ 28ܽସ
ܾଽ
22‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬ହ
÷
35ܽ଺
ܾଽ
55‫ݕݔ‬ହ

5ሻ 4ܽଶ
ܾସ
9‫ݔ‬ସ‫ݕ‬ଶ
÷
8ܽସ
ܾଽ
27‫ݔ‬ଷ‫ݕ‬଺
6ሻ 3ܽଶ
ܾ − ܾܽଶ
‫ݔ‬ଶ
÷
6ܽଶ
− 2ܾܽ
‫ݔ‬ସ

7ሻ ‫ݔ‬
14ܽଷ + 21ܽଶܾ
÷
‫ݔ‬ଷ
6ܽଶ + 9ܾܽ
8ሻ 4‫ݔ‬ଷ
3‫ݔ‬ଶ − 3‫ݕݔ‬
÷
‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ − ‫ݕ‬ଶ

9ሻ 64‫ݔ‬଺
16‫ݔ‬ଶ − 16‫ݕ‬ଶ
÷
4‫ݔ‬ହ
3‫ݕݔ‬ + 3‫ݕ‬ଶ
10ሻ ‫ݔ‬ଷ
+ ‫ݔ‬
‫ݔ‬ଶ − ‫ݔ‬
÷
‫ݔ‬ଷ
− ‫ݔ‬ଶ
‫ݔ‬ଶ − 2‫ݔ‬ + 1

4.5 Adición y sustracción de fracciones algebraicas
Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, simplemente se reescribe el
denominador y se suman o restan los numeradores, según el caso.
௔
௠
+
௕
௠
=
௔ା௕
௠
SUMA
௔
௠
−
௕
௠
=
௔ି௕
௠
RESTA
௔
௠
+
௕
௠
−
௖
௠
+
ௗ
௠
=
௔ା௕ି௖ାௗ
௠
SUMAS Y RESTAS
Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar no son iguales, primero se cambian las
fracciones originales por fracciones equivalentes con el mismo denominador, y luego se suman como se acaba
de indicar en el caso anterior.
Mínimo común múltiplo expresiones algebraicas.
El mínimo común múltiplo MCM (también conocido como mínimo común denominador) de dos o más
expresiones algebraicas, es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado, que es
divisible exactamente por cada una de las expresiones algebraicas dadas.
Para determinar el MCM:
1. Factorizar cada uno de los denominadores en factores primos.
2. Se escribe el producto de los distintos factores primos de los denominadores.
3. Se da a cada factor primo un exponente igual al máximo exponente de ese factor primo en
cualquiera de los denominadores dados.
Ejemplo 4.7
Halle el mínimo común múltiplo de las fracciones.
ଶ௫
ሺ௫ିଶሻరሺ௫ାଵሻ
ଷ௫మାଵ
ሺ௫ିଶሻሺ௫ାଵሻయሺ௫ିଵሻ
y
ଵ଻଻
ሺ௫ିଶሻమሺ௫ିଵሻమ
Solución
Los denominadores se encuentran factorizados y los factores primos que tenemos en estas tres
fracciones son:
ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ ሺ‫ݔ‬ − 1ሻ
El máximo exponente para el factor ሺ‫ݔ‬ − 2ሻ es 4.

El máximo exponente para el factor ሺ‫ݔ‬ + 1ሻ es 3.
El máximo exponente para el factor ሺ‫ݔ‬ − 1ሻ es 2.
Debemos tomar cada uno de los factores con su máximo exponente, por lo que el MCM es:
ሺ࢞ − ૛ሻ૝ሺ࢞ + ૚ሻ૜ሺ࢞ − ૚ሻ૛
Ejemplo 4.8
Convierta el grupo de fracciones en fracciones equivalentes con un denominador común.
ଶ௫
ሺ௫ିଶ௬ሻሺ௫ା௬ሻ
ି଼௬
ሺଷ௫ି௬ሻሺ௫ା௬ሻ
y
௫ି௬
ሺ௫ିଶ௬ሻሺଷ௫ି௬ሻ
Solución
Los denominadores se encuentran factorizados y los factores primos que tenemos en estas tres
fracciones son:
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻ ሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ ሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
Cada uno de los factores tiene como máximo exponente 1, por lo que el MCD de estas tres fracciones
es:
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ MCM de las fracciones
Ahora determinamos las fracciones con un denominador común.
Para la primera fracción
ଶ௫
ሺ௫ିଶ௬ሻሺ௫ା௬ሻ
dividimos el MCM obtenido entre el denominador de la fracción.
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
= 3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬
Multiplicamos el numerador y denominador de la fracción por lo obtenido de la división.
૛࢞
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻ
∙
૜࢞ − ࢟
૜࢞ − ࢟
=
૟࢞૛
− ૛࢞࢟
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ
Para la segunda fracción
ି଼௬
ሺଷ௫ି௬ሻሺ௫ା௬ሻ
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
ሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
= ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬

−ૡ࢟
ሺ૜࢞ − ࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻ
∙
࢞ − ૛࢟
࢞ − ૛࢟
=
૚૟࢟૛
− ૡ࢞࢟
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ
Para la tercera fracción
௫ି௬
ሺ௫ିଶ௬ሻሺଷ௫ି௬ሻ
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
= ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬
࢞ − ࢟
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ
∙
࢞ + ࢟
࢞ + ࢟
=
࢞૛
− ࢟૛
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ
Ahora tenemos las tres fracciones equivalentes con denominador común.
Ejemplo 4.9
Efectuar la operación indicada y simplificar.
4
3‫ݔ‬
+
5
‫ݔ‬
−
3
5‫ݔ‬ଶ
Solución
Se observa que las fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debe determinarse el MCM
entre ellos.
El MCM de 3, 1 y 5 es 15. El MCM de ‫,ݔ‬ ‫ݔ‬ y ‫ݔ‬ଶ
es ‫ݔ‬ଶ
.
Por lo que el MCM de 3‫,ݔ‬ ‫ݔ‬ y 5‫ݔ‬ଶ
es 15‫ݔ‬ଶ
.
Escribiendo cada fracción con el nuevo denominador común, se tiene:
ଵହ௫మ
ଷ௫
= 5‫ݔ‬
ସ
ଷ௫
∙
ହ௫
ହ௫
=
ଶ଴௫
ଵହ௫మ
ଵହ௫మ
௫
= 15‫ݔ‬
ହ
௫
∙
ଵହ௫
ଵହ௫
=
଻ହ௫
ଵହ௫మ
ଵହ௫మ
ହ௫మ = 3 −
ଷ
ହ௫మ ∙
ଷ
ଷ
= −
ଽ
ଵହ௫మ

De tal forma que ahora tenemos suma de fracciones con iguales denominadores.
4
3‫ݔ‬
+
5
‫ݔ‬
−
3
5‫ݔ‬ଶ
=
20‫ݔ‬
15‫ݔ‬ଶ
+
75‫ݔ‬
15‫ݔ‬ଶ
−
9
15‫ݔ‬ଶ
=
20‫ݔ‬ + 75‫ݔ‬ − 9
15‫ݔ‬ଶ
૝
૜࢞
+
૞
࢞
−
૜
૞࢞૛
=
ૢ૞࢞ − ૢ
૚૞࢞૛
Ejemplo 4.10
Efectuar la operación indicada y simplificar.
Solución
En el ejemplo 8 se obtuvieron las fracciones equivalentes, por lo que solamente se escribirá la suma y
resta indicadas en el numerador debido a que el denominador es el mismo para todas las fracciones.
2‫ݔ‬
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
+
−8‫ݕ‬
ሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
−
‫ݔ‬ − ‫ݕ‬
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
=
6‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕݔ‬
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
+
16‫ݕ‬ଶ
− 8‫ݕݔ‬
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
−
‫ݔ‬ଶ
− ‫ݕ‬ଶ
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
2‫ݔ‬
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
+
−8‫ݕ‬
ሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻ
−
‫ݔ‬ − ‫ݕ‬
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
=
6‫ݔ‬ଶ
− 2‫ݕݔ‬ + 16‫ݕ‬ଶ
− 8‫ݕݔ‬ − ‫ݔ‬ଶ
+ ‫ݕ‬ଶ
ሺ‫ݔ‬ − 2‫ݕ‬ሻሺ‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ሻሺ3‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ሻ
૛࢞
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻ
+
−ૡ࢟
ሺ૜࢞ − ࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻ
−
࢞ − ࢟
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ
=
૞࢞૛
− ૚૙࢞࢟ + ૚ૠ࢟૛
ሺ࢞ − ૛࢟ሻሺ࢞ + ࢟ሻሺ૜࢞ − ࢟ሻ
1ሻ
‫ݔ‬
‫ݔ‬ − 5
−
5
‫ݔ‬ − 5
2ሻ
2‫ݔ‬ − 1
3‫ݔ‬ − 2
+
1 − 2‫ݔ‬
3‫ݔ‬ − 2

3ሻ
2‫ݔ‬ + 1
3‫ݔ‬ − 7
−
‫ݔ‬ + 8
3‫ݔ‬ − 7
4ሻ
‫ݔ‬ − 1
3‫ݔ‬ଶ
+
‫ݔ‬ + 1
3‫ݔ‬ଶ

5ሻ
‫ݔ‬ + 2
6‫ݔ‬ଷ
+
3‫ݔ‬ − 2
6‫ݔ‬ଷ
6ሻ
2‫ݔ‬ଶ
+ 1
4‫ݔ‬ଶ
−
2‫ݔ‬ଶ
− 1
4‫ݔ‬ଶ

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