actividad 1.2

1. Actividad 1.2 Números complejos: Ensayos
Alumna: Cynthia Rocío Ramírez Reyes
Materia: Álgebra
Grupo: 1°A
Maestro: Edgar Mata Ortiz
Domingo 23, septiembre 2018

2. El origen de los números
Sabemos que desde los inicios el hombre sintió la necesidad de usar
palabras para expresar cantidades. Existen diversas teorías que hablan
sobre el origen de los números y el sistema de numeración que es usado
en la actualidad. Algunos hablan sobre su inicio en distintas tribus como
los babilonios, egipcios, chinos, entre otros.
Veremos cómo se fueron desarrollando estos distintos sistemas de
numeración y cuáles fueron los que dieron inicio al que es el utilizado en la
actualidad.
La numeración egipcia
Contaba con un sistema decimal funcional que podía seguir el cómputo de
hasta millones de unidades. Se le denomina sistema numeral hierático.
Existía una serie de símbolos o signos separados para cada número hasta
el nueve y para cada potencia de 10. No obstante, no conocieron el
número cero.
El número 4 eran cuatro rayitas y el 10 una “U” invertida. Ello hizo que
tuvieran que utilizar más signos que hoy para expresar las mismas
cantidades.
La numeración babilónica
La numeración primitiva no era decimal, no tenía como base la decena. El
sistema babilónico, utilizado aproximadamente sobre el 1800 a.C. tenía
como referente el número 60, y fue por ello por lo que el cómputo del
tiempo se ciñó a esa unidad de medida. Inicialmente, no existía el número
0.
Pero fue también la numeración babilónica perfeccionada en el siglo IV
a.C., la que creó el concepto y uso del número 0. Podía ponerse al
principio, es decir, a la izquierda. También podía ser insertado en medio
de una cantidad, en el interior de un número dado, pero curiosamente no
podía figurar al final.
La numeración romana
Los romanos mejoraron el sistema numérico introduciendo nuevos
números, como por ejemplo el 5, el 50 y el 500: que corresponden a las
letras V, L y D respectivamente. Establecieron asimismo una novedad
importante: la colocación de un símbolo delante o detrás de otro de
mayor valor restaba o se sumaba a éste: XL era 50 – 10, y LX era 50 + 10.
Pero este sistema de dar a las letras valor numérico dificultaba la

3. realización de operaciones aritméticas y multiplicar grandes cantidades
resultaba imposible.
La numeración maya
En la civilización amerindia de los mayas la base era el número 20: los
dedos de pies y manos. Fue el primer pueblo en emplear el 0, que más
que un número era un concepto no operativo.
Los números mayas se leían de abajo arriba, se escribían en columnas y
utilizaron la base 20. No se conoce representación gráfica de su
numeración anterior al siglo III de nuestra era.
El origen de la numeración actual
La numeración arábiga, que es como se denomina al sistema numérico
que empleamos en la actualidad, nació en la India hacia el siglo V a.C. Algo
que debes tener claro para comprender la historia de los números. Existe
representación de los números 1, 4 y 6 en las inscripciones budistas
de Asoka del siglo III a.C. En otras inscripciones de un siglo más tarde se
ven claramente los números 2, 4, 6, 7 y 9 grabados en los monumentos de
Nana Ghat. En documentos del siglo II d.C. aparecen ya todos menos el 8.
En conclusión, estas distintas culturas desarrollaron sus distintos sistemas
de numeración de acuerdo a sus necesidades y capacidades. Cabe
destacar que la civilización de india aportó aún más ya que contiene parte
de la numeración que usamos en la actualidad aunque hay que entender
que los árabes sustrajeron dicha información de los hindúes y fueron ellos
quienes dieron a conocer el sistema de numeración.
Sistemas de números no posicionales
Sistema de numeración egipcio
El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el
uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A
principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema
decimal desarrollado (numeración de base 10). Aunque no era un sistema
posicional, permitía el uso de grandes números y también describir
pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del
Ojo de Horus. Las cantidades se representaban de una forma muy larga.
Éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos.

4. El sistema de numeración egipcio permitía representar números, desde el
uno hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A
principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema
decimal desarrollado (numeración de base 10). Aunque no era
un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también
describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las
fracciones del Ojo de Horus. Las cantidades se representaban de una
forma muy larga. Éste es uno de los sistemas de numeración más
antiguos.
Los siguientes signos jeroglíficos eran usados para representar las
diferentes potencias de diez en la escritura de izquierda a derecha.
Numeración maya
Los mayas utilizaban un sistema de numeración vigesimal (de base 20) de
raíz mixta, similar al de otras civilizaciones mesoamericanas.
Los mayas preclásicos desarrollaron, con autonomía cultural, el concepto
de y uso del cero alrededor del año 36 a. C El sistema de numeración
maya, aun siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se
representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El
5 era una raya horizontal, a la que se añaden los puntos necesarios para
representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma
forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el
máximo valor que se puede representar en cada nivel del sistema
vigesimal. Este sistema de numeración es aditivo, porque se suman los
valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repite
más de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una
raya. La raya no aparece más de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces
quiere decir que se quiere escribir un número igual o mayor que 20
necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden.
Propiedades de los números naturales
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar
los elementos de ciertos conjuntos, así como también en operaciones
elementales de cálculo. Son aquellos números naturales que sirven para
contar elementos por lo que son enteros por ejemplo: 1,2,3,4,5,6,7,8,9…

5. Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se
utilizan para especificar el tamaño de un conjunto infinito y también para
describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia
ordenada.
Los números naturales están ordenados. Por lo tanto se pueden comparar
los números entre sí. Por ejemplo, podríamos subrayar en ese sentido que
el 8 es mayor que el 3 o que el 1 es menor que el 6.
Dichos números citados son ilimitados, lo que significa es que siempre que
le sume el 1 a uno de ellos nos dará lugar a otro número natural
absolutamente diferente.
Dado a esto podemos afirmar que los números naturales pertenecen al
conjunto de los números enteros positivos: no tienen decimales, no son
fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero en la recta real; son
infinitos. Algunos libros consideran el 0 como un número positivo y
algunos libros no.
Números enteros y naturales
De forma intuitiva, puede decirse que el conjunto de los números enteros
es el formado por los elementos siguientes: {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,
...}.
El conjunto Z de los números enteros se representa comúnmente como
una serie de valores discretos marcados sobre una recta. Así, los números
enteros no llenan la recta, sino que entre ellos existen infinitos puntos que
no pertenecen al conjunto Z.
En esta distribución, se dice que, dados dos números enteros n y m, n es
mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número entero positivo o cero.
En virtud de ello, el de los números enteros es un conjunto ordenado.
En el conjunto de los números enteros se definen habitualmente dos
operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto. Dados
dos números enteros a 5 (a1, a2) y b 5 (b1, b2), la suma se define como:
Números enteros y racionales
Los números racionales es un conjunto ordenado, para ordenar las
fracciones se escriben fracciones equivalentes a ellas con el mismo
denominador (reducir a común denominador) y
se ordenan los numeradores. Los números racionales se representan de
manera exacta en la recta numérica. El término “racional” proviene de
razón, como parte de un todo (por ejemplo: “Tocamos a razón de tres por
persona”).

6. Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones
equivalentes. Por ejemplo, el número racional 2.5 se puede representar
con las siguientes fracciones:
Y con todas las fracciones equivalentes a éstas.
Para sumar o restar las fracciones se reducen a común denominador y
luego se suman o restan los numeradores.
El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene
por numerador el producto de los numeradores y por denominador el
producto de los denominadores.
Para dividir dos números racionales se multiplica la primera fracción por la
inversa de la segunda.
Se puede concluir en que los números enteros son cualquier número que
se encuentre en la recta numérica sin contar números decimales o
fraccionarios. En cambio, los números racionales, como su nombre lo dice
son los números que dan razón de algo, entonces afirmamos que los
números racionales son todas las fracciones.
Números irracionales
Los números irracionales tienen como definición que son números que
poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no
pueden ser expresados como fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar
en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera
fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es
un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo
resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su
fraccionamiento resulta imposible.
Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el
número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos
resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero
la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera
podemos definir a los números irracionales como un decimal
infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número
irracional, solo es una aproximación en números racionales.
En conclusión, los números irracionales son todos aquellos que no pueden
ser representados con fracciones, se representan en forma de decimales
infinito, que al momento de manejarlos se tienen que redondear para
facilitar su uso.
Números reales

7. La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los
números irracionales recibe el nombre de conjunto de los números reales,
y se denota con el símbolo: R
El conjunto de los números reales está formado por:
- Los números naturales que surgen con la necesidad de contar
N= {1, 2, 3, 4,...}
- Los números enteros que complementan a los naturales pues contienen
a los negativos y el cero.
- El conjunto de los Números Racionales () que corresponden a la unión de
todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o
infinita semiperiódica. Es decir, el conjunto de los números racionales está
compuesto por todos los números que pueden ser escritos como una
fracción cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números
enteros.
Ejemplo:
= {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
- El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión
de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica
Concluimos que los números reales son el conjunto de todos los números
naturales, enteros, racionales e irracionales, por lo cual podemos decir
que la mayoría de los números más comunes se encuentran dentro de
esta clasificación.
Números imaginarios
Es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva
al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.
Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre
será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como
resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su
resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad
y da como resultado 25.
La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se
suman dos números imaginarios, el resultado también será un número
imaginario.
Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la
adición.
También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números
multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada
sumando multiplicado por el tercer número.

8. Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número
negativo cuya adición dará como resultado cero.
Existe un número neutro que al ser sumado a cualquier número, el
resultado será el mismo número.
El uso de los números imaginarios principalmente lo podemos encontrar
en el teorema fundamental de álgebra para encontrar la raíz cuadrada de
números negativos.
En realidad no hay mucha explicación para esto, los números imaginarios,
como su nombre lo dice, no existen en la realidad, por lo tanto quedan
fuera de los números reales y no son muy utilizados cotidianamente.
Fractales
En este ensayo obtendremos información para conocer más sobre los
fractales y la razón del porqué es tan reconocido y no sólo en
matemáticas, sino también en la naturaleza y distintas obras de arte.
La Geometría Fractal es la rama de las matemáticas que ha sido creada
más recientemente, concretamente a finales del siglo XX. Hasta ese
momento se intentaba aplicar la geometría tradicional para estudiar
puntos, líneas, planos y volúmenes, describiendo y estudiando objetos de
la vida cotidiana y elementos construidos por los seres humanos.
Sin embargo, de poco nos valen las herramientas tradicionales cuando
queremos describir elementos y fenómenos de la naturaleza. En la
introducción de su libro “Geometría Fractal de la Naturaleza”, (publicado
en 1982), el matemático Benoit Mandelbrot, dice:
“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son
círculos, y las cortezas de los árboles no son lisas, ni los relámpagos viajan
en una línea recta”
Benoit Mandelbrot está considerado como el padre de la geometría
fractal.
Mandelbrot intentaba encontrar alguna explicación para los patrones por
los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza,
además del comportamiento aparentemente caótico de muchos
fenómenos. Es posible que por ello buscara un nuevo término: fractal (del
latín fractus: quebrado, fracturado), que acuñó en 1975.
Existen programas informáticos en los que es posible ingresar una
ecuación matemática y mediante un determinado proceso, ver cómo se
forman estas increíbles figuras. El proceso por el cual una ecuación se
repite sucesivamente, se llama iteración. Cada repetición de la
Ecuación es una iteración, y es exactamente igual a su anterior y a su
siguiente. De forma abstracta, puede ser repetida infinitamente.

9. El fractal más famoso es el llamado Conjunto de Mandelbrot, que es la
representación de una sucesión cuadrática a partir de "c", que es un
número complejo cualquiera. El triángulo “Sierpinski” se realiza de una
forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres
triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último
paso.
Es posible observar cómo en la naturaleza también existen estas figuras. El
ejemplo típico es un árbol. Cada rama es una representación más pequeña
del árbol en sí mismo. A su vez, de cada rama surgen otras ramas, de las
que surgen hojas, y los nervios de las hojas también simulan
ramificaciones, y así sucesivamente.
Se dice que los fractales naturales son limitados porque la “iteración”
posible en un material sólido depende de la escala del mismo. Siguiendo
con el ejemplo del árbol, nos resulta imposible pensar en el patrón de las
ramificaciones infinitamente, porque la madera, los tallos, y las hojas no
son infinitos.
Como hemos visto, muchos fractales son hermosos en sí mismos. Tan
hermosos como obras de arte. Pues bien, algunos artistas se han valido
del recurso de iteración y han creado obras hermosas.
Como Katsushika Hokusai en esta obra conocida como The Great Wave off
Kanagawa.
Para terminar este ensayo quiero recalcar que los fractales son muy vistos
a diario aunque no todos sabemos exactamente lo que son o no las
llamamos por su nombre. Los fractales son importantes en
las matemáticas porque así es cómo podemos tratar de describir ciertos
elementos como lo son las nubes, la superficie de algunas plantas,
el así como algunos patrones en las pieles de distintos animales así como
las jirafas, mariposas o serpientes; así como también son usados para
crear música.
En la naturaleza son muy importantes para poder describir las superficies
de árboles, la forma de una hoja, las formas de las flores, patrones en
distintos animales tanto terrestres como marítimos, al mismo tiempo que
nos permite maravillarnos con lo que observamos; con la forma de
un relámpago, con las grietas que se forman en la tierra seca, los
ojos, etc.

10. En el arte es importante porque gracias a esto se pueden crear
maravillosas obras de arte que te dan la sensación de estarlas viendo en
tercera dimensión, así como al igual que en la naturaleza, apreciar con
mayor atención los patrones.
En la música es importante porque puede crearse música con un patrón
fractal subyacente, que da lugar a resultados armoniosos.