Matematicamente

VOLUNTAD
Planeación del área de MatemáticasPlaneación del área de Matemáticas
Educación Básica Secundaria
Educación Básica Secundaria
y Media Profesional (6 a 11)
y Media Profesional (6 a 11)
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Tabla de contenidosTabla de contenidos
del plan de estudiosdel plan de estudios
(Decreto 0230 de febrero 11 de 2002)
2
Plan de estudios del área de matemáticas ..................................................................................................................... 3
Fines de la educación .................................................................................................................................................... 3
Objetivo general del área ............................................................................................................................................... 4
Objetivos específicos ..................................................................................................................................................... 4
¿Qué son los estándares? .............................................................................................................................................. 5
Introducción a los estándares de matemáticas .................................................................................................................6
El qué, el cómo y el para qué de las matemáticas y los estándares ................................................................................ 7
Sobre la noción de competencia matemática ................................................................................................................. 8
Procesos generales de la actividad matemática ............................................................................................................. 10
Resolución de problemas .............................................................................................................................................. 10
Comunicación .............................................................................................................................................................. 12
Razonamiento matemático ........................................................................................................................................... 12
La modelación .............................................................................................................................................................. 12
La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos ..................................................................................... 13
Estándares básicos por competencias ........................................................................................................................... 14
Pensamiento numérico y sistemas numéricos ................................................................................................................ 14
Pensamiento espacial y sistemas geométricos ............................................................................................................... 14
Pensamiento métrico y sistemas de medidas ................................................................................................................. 15
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos ................................................................................................................... 15
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos .......................................................................................... 15
Cuadro 0: Fines de la educación matemática bajo la óptica de los estándares .............................................................. 16
Cuadro 1: Pensamiento numérico y sistemas numéricos frente a los estándares ........................................................... 17
Cuadro 2: Pensamiento espacial y sistemas geométricos frente a los estándares .......................................................... 18
Cuadro 3: Pensamiento métrico y sistemas de medidas frente a los estándares ............................................................ 19
Cuadro 4: Pensamiento aleatorio y sistemas de datos frente a los estándares ............................................................... 20
Cuadro 5: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos frente a los estándares ...................................... 21
Estándares de matemáticas grado sexto a séptimo ...................................................................................................... 22
Estándares de matemáticas grados octavo a noveno ................................................................................................... 23
Estándares de matemáticas grados décimo a undécimo ............................................................................................... 24
Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados cuarto a sexto ........................... 25
Planeadores grado sexto ............................................................................................................................................... 27
Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados séptimo, octavo y noveno ......... 29
Planeadores grado séptimo ......................................................................................................................................... 30
Planeadores grado octavo ............................................................................................................................................ 32
Planeadores grado noveno .......................................................................................................................................... 34
Tabla de estándares e indicadores de logros propuestos oficialmente para los grados décimo y undécimo .................. 36
Planeadores grado décimo ........................................................................................................................................... 37
Planeadores grado undécimo ...................................................................................................................................... 39
Procedimiento de evaluación de los logros del estudiante ............................................................................................ 41
Ejemplos de planeamiento de actividades modelo ........................................................................................................ 47

3
Plan de estudios del área de matemáticasPlan de estudios del área de matemáticas
1. El pleno desarrollo de la personalidad sin más limitaciones
que las que le imponen los derechos de los demás y el
orden jurídico, dentro de un proceso de formación integral,
física, psíquica, intelectual, moral, espiritual, social, afecti-
va, ética, cívica y demás valores humanos.
2. La formación en el respeto a la vida y a los demás derechos
humanos, a la paz, a los principios democráticos, de convi-
vencia, pluralismo, justicia, solidaridad y equidad, así como
en el ejercicio de la tolerancia y de la libertad.
3. La formación para facilitar la participación de todos en las
decisiones que los afectan en la vida económica, política,
administrativa y cultural de la nación.
4. La formación en el respeto a la autoridad legítima y a la
ley, a la cultura nacional, a la historia colombiana y a los
símbolos patrios.
5. La adquisición y generación de los conocimientos cientí-
ficos y técnicos más avanzados, humanísticos, históricos,
sociales, geográficos y estéticos, mediante la apropiación
de hábitos intelectuales adecuados para el desarrollo del
saber.
6. El estudio y la comprensión crítica de la cultura nacional y
de la diversidad técnica y cultura del país, como fundamen-
to de la unidad nacional y de su identidad.
7. El acceso al conocimiento, la ciencia, la técnica y demás
bienes y valores de la cultura, el fomento de la investiga-
ción y el estímulo a la creación artística en sus diferentes
manifestaciones.
8. La creación y fomentos de una conciencia de la soberanía
nacional y para la práctica de la solidaridad y la integración
con el mundo, en especial con Latinoamérica y el Caribe.
9. El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica
que fortalezca el avance científico y tecnológico nacional,
orientado con prioridad al mejoramiento cultural y de la
calidad de la vida de la población, a la participación en la
búsqueda de alternativas de solución a los problemas y al
progreso social y económico del país.
10. La adquisición de una conciencia para la conservación, pro-
tección y mejoramiento del medio ambiente, de la calidad
de vida, del uso racional de los recursos naturales, de la
prevención de desastres, dentro de una cultura ecológi-
ca y del riesgo y la defensa del patrimonio cultural de la
nación.
11. La formación en la práctica del trabajo, mediante los cono-
cimientos técnicos y habilidades, así como en la valoración
del mismo como fundamento del desarrollo individual y
social.
12. La formación para la promoción y preservación de la salud
y la higiene, la prevención integral de problemas social-
mente relevantes, la educación física, la recreación, el
deporte y la utilización adecuada del tiempo libre.
13. La promoción en la persona y en la sociedad de la capa-
cidad para crear, investigar, adoptar la tecnología que se
requiere en los procesos de desarrollo del país y que le
permita al educando ingresar al sector productivo.
Fines de la educación
De conformidad con el artículo 67 de la Constitución Política de Colombia,
la educación se desarrollará atendiendo a los siguientes fines:

4
Objetivo general del área
Cualquiera sea el currículo que adopte la institución
dentro de su plan de estudios, así como los meca-
nismos que opte para implementarlo, la enseñanza
de las matemáticas debe propender que cada estu-
diante:
• desarrolle una actitud favorable hacia las matemáticas y
hacia su estudio que le permita lograr una sólida compren-
sión de los conceptos, procesos y estrategias básicas e,
igualmente, la capacidad de utilizar todo ello en la solución
de problemas.
• desarrolle la habilidad para reconocer la presencia de las
matemáticas en diversas situaciones de la vida real.
• aprenda y use el lenguaje apropiado que le permita comu-
nicar de manera eficaz sus ideas y sus experiencias mate-
máticas.
• haga uso creativo de las matemáticas para expresar nue-
vas ideas y descubrimientos, así como para reconocer los
elementos matemáticos presentes en otras actividades
creativas.
• logre un nivel de excelencia que corresponda a su etapa de
desarrollo.
Objetivos específicos
Que el estudiante sea capaz de:
• desarrollar los conocimientos necesarios para proponer y
utilizar cálculos y procedimientos en diferentes situacio-
nes, así como la capacidad para solucionar problemas que
impliquen estos conocimientos.
• desarrollar las capacidades para el razonamiento lógico,
mediante el dominio de los sistemas numéricos, geomé-
tricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos, de
operaciones y de relaciones, así como su utilización en la
interpretación y solución de problemas de la ciencia o de
la vida cotidiana.
• construir sus propios argumentos acerca de hechos mate-
máticos y compartirlos con sus compañeros en un ambien-
te de respeto y tolerancia.
• reconocer regularidades y usarlas en la modelación de
hechos matemáticos.

5
¿Qué son los estándares?
Los estándares son criterios claros y públicos que
permiten conocer cuál es la enseñanza que deben
recibir los estudiantes.
Son el punto de referencia de lo que un estudiante
puede estar en capacidad de saber y saber hacer en
determinada área y en determinado nivel.
Son guía referencial para que todos los colegios del
país, ofrezcan la misma calidad de educación a todos
los estudiantes colombianos.
Lo que no se evalúa no mejora
Los estándares han sido concebidos como guías para
el diseño del proyecto educativo institucional PEI, y
como referentes fundamentales no sólo de las eva-
luaciones que realice la propia institución, sino las
que realice el ICFES como la entidad que efectúa las
evaluaciones en educación básica y media.
aplicar estos conocimientos en su cotidianidad para
la solución de problemas nuevos. Así, los estánda-
res en la educación expresan a los colombianos, lo
que sus estudiantes deben saber y saber hacer. La
competencia, muestra que fuera de la escuela el
niño, el joven o el adulto, aplican este conocimien-
to desempeñándose bien. Se trata de ser compe-
tente y no de competir.
Matemática para la vida
La matemática es fundamental en el desarrollo
intelectual de los estudiantes y es una de las asig-
naturas que en forma especial ayuda a aprender
a aprender y a aprender a pensar. Además, da al
estudiante las competencias básicas e indispensa-
bles para incorporarse en el mercado laboral.
La matemática ya no es un “dolor de cabeza”
Durante muchos años la matemática ha constituido
un “dolor de cabeza”. Por ello, para el MEN ha sido
de particular importancia trabajar en estrategias
que desvirtúen definitivamente el temor que las
matemáticas producen en los estudiantes, lo que,
en muchos casos, provoca un bloqueo en el desa-
rrollo de su vida escolar y, lo que es más grave, un
bloqueo en el logro de las competencias laborales.
La matemática de hoy se puede
aprender con gusto
Es importante lograr que la comunidad educativa
entienda que la matemática es asequible y aún
agradable si su enseñanza se imparte mediante
una adecuada orientación que implique una inte-
racción entre el maestro y sus estudiantes y entre
éstos y sus compañeros, de modo que sean capa-
ces, a través de la exploración, de la abstracción,
de clasificaciones, mediciones y estimaciones, de
llegar a resultados que les permitan comunicarse,
hacer interpretaciones y representaciones; en fin,
descubrir que la matemática está íntimamente
relacionada con la realidad y con las situaciones
que los rodean, no sólo en su institución educativa,
sino también en la vida fuera de ella.
Con base en estos
resultados y teniendo
en cuenta los estándares
que aquí se proponen,
cada colegio debe
preparar un plan
de mejoramiento.
La reflexión sobre lo que los estudiantes deben
saber según los estándares, y lo que en realidad
saben y saben hacer según las evaluaciones, será la
base para promover prácticas pedagógicas que per-
mitan mejorar el aprendizaje de todos los alumnos.
Saber y saber hacer, para ser competente
Ésta es la característica fundamental de los estánda-
res, definidos ahora para la educación colombiana.
Se han definido para que un estudiante no sólo acu-
mule conocimientos, sino para que aprenda lo que
es pertinente para la vida, y de esta manera pueda

6
La matemática en la educación de ciudadanos que piensan,La matemática en la educación de ciudadanos que piensan,
razonan y se insertan responsablemente en la vida nacionalrazonan y se insertan responsablemente en la vida nacional
Es indudable que la matemática se relaciona con el desarrollo del pensamiento racional (razona-
miento lógico, abstracción, rigor y precisión) y es esencial para el desarrollo de la ciencia y la tec-
nología, pero además -y esto no siempre ha sido reconocido-, puede contribuir a la formación
de ciudadanos responsables y diligentes frente a las situaciones y decisiones de orden nacional
o local y, por tanto, al sostenimiento o consolidación de estructuras sociales democráticas.
Introducción a los estándaresIntroducción a los estándares
de matemáticasde matemáticas
Los fines de la educación matemática no pueden
dejar de lado las funciones políticas, sociales y cul-
turales que cumple el proyecto educativo y por lo
tanto, deben considerar la sociedad a la que éste se
orienta. En el caso colombiano es muy importante
adquirir el compromiso de formar para la construc-
ción y desarrollo de la tecnología, con un fuerte
acento hacia el logro de valores sociales y al estable-
cimiento de nexos con el mundo.
Así están organizados los estándares de
matemáticas
Los estándares que se describirán a continuación
tienen en cuenta tres aspectos que deben estar pre-
sentes en la actividad matemática:
• Planteamiento y resolución de problemas.
• Razonamiento matemático. Formulación,
argumentación, demostración.
• Comunicación matemática. Consolidación de
la manera de pensar (coherente, clara, precisa).
• Modelación. Creación de representaciones del entendi-
miento que una persona tiene de una situación, o simple-
mente de las ideas que se tienen acerca de una situación.
• Procedimientos. Estrategias para abordar y solucionar
problemas.
Los estándares están organizados en cinco formas
de pensar en forma matemática:
1. Pensamiento numérico y sistemas numéricos.
2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos.
3. Pensamiento métrico y sistemas de medidas.
4. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
5. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos
y analíticos.
La forma como
se aprende,
se convierte
en la forma
como se vive la
matemática
El compromiso con los ideales democráticos se logra
si en el aula de clase se trabaja como en un espacio
donde son posibles la discusión y la argumentación
sobre las diferentes ideas, lo cual favorece el desa-
rrollo individual de la confianza en la razón como
medio de autonomía intelectual, al tomar conciencia
del proceso constructivo de las matemáticas para
intervenir en la realidad.
En cuanto a los nexos con el mundo externo, es
importante trabajar con miras a preparar ciudada-
nos que puedan desempeñarse en la sociedad, y
que sean aptos para la invención y aplicación de la
tecnología.

7
El qué, el cómo y el para quéEl qué, el cómo y el para qué
de las matemáticas y los estándaresde las matemáticas y los estándares
El aprendizaje de la matemática es un buen aliado para el desarrollo de capacidades no
sólo cognitivas (de razonamiento, abstracción, inducción, deducción, reflexión, análisis),
sino también para el desarrollo de actitudes, tales como la confianza de los estudiantes
en sus propios procedimientos y conclusiones, favoreciendo la autonomía de pensamien-
to; la disposición para enfrentar desafíos y situaciones nuevas; la capacidad de plantear
conjeturas y el cultivo de una mirada curiosa frente al mundo que los rodea; la disposi-
ción para cuestionar sus procedimientos, para aceptar que se pueden equivocar y que es
necesario detectar y corregir los errores; la apertura al análisis de sus propias estrategias
de reflexión, de diversidad de procedimientos y de nuevas ideas.
Asimismo, el aprendizaje de la matemática contribuye con el desarrollo de habilidades
comunicativas, que hacen más precisa y rigurosa la expresión de ideas y razonamientos,
incorporando en el lenguaje y argumentaciones habituales las diversas formas de expre-
sión matemática (numérica, gráfica, simbólica, lógica, probabilística y estadística) y com-
prendiendo los elementos matemáticos cuantitativos y cualitativos (datos, estadísticas,
gráficos planos, etc.).
El aprendizaje de la matemática está asociado al
desarrollo de un conjunto de habilidades referidas a:
Procedimientos estandarizables: incluye el desarro-
llo de habilidades que se ponen en juego para el
aprendizaje de diversos procedimientos y métodos
que permiten el uso fluido de instrumentos, la rea-
lización de cálculos y estimaciones, la aplicación de
fórmulas y convenciones que, posteriormente, pasan
a ser procedimientos rutinarios y algorítmicos.
Resolución de problemas: incluye el desarrollo de
habilidades tales como identificación de la incógnita
y estimación de su orden de magnitud, búsqueda y
comparación de caminos o estrategias de solución,
análisis de los datos y de las soluciones, anticipación
y estimación de resultados, sistematización del ensa-
yo y error, aplicación y ajuste de modelos, y formula-
ción de conjeturas.
Estructuración y generalización de los conceptos
matemáticos: incluye el desarrollo de habilidades tales
como particularización, generalización, búsqueda de
patrones y de regularidades, integración y síntesis de
conocimientos, encadenamiento lógico de argumen-
tos, distinción entre supuestos y conclusiones.
La enseñanza de la matemática enfatiza el desarro-
llo del pensamiento creativo, analógico y crítico para
la formulación de conjeturas, exploración de cami-
nos alternativos y discusión de la validez de las con-
clusiones. Esto supone dar espacio a la experimen-
tación y la investigación; incentivar la observación,
descripción y clasificación de situaciones concretas y
la abstracción de propiedades comunes a un conjun-
to de objetos reales o simbólicos. Cobra relevancia,
entonces, el trabajo en equipo, la comunicación y
la confrontación de ideas, la fundamentación de
opiniones y argumentos, el examen de las conexio-
nes lógicas y el apoyo en elementos tecnológicos.
Se fomenta así en los estudiantes una apreciación
equilibrada del valor, función y ámbito de acción de
la matemática.

8
Sobre la nociónSobre la noción
de competencia matemáticade competencia matemática
Sin utilizar todavía la conceptualización y la ter-
minología actual de las competencias, la visión
sobre las matemáticas escolares propuesta en los
Lineamientos Curriculares de Matemáticas prepara-
ba ya la transición hacia el dominio de las compe-
tencias al incorporar una consideración pragmática
e instrumental del conocimiento matemático, en la
cual se utilizaban los conceptos, proposiciones, siste-
mas y estructuras matemáticas como herramientas
eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica
determinados tipos de pensamiento lógico y mate-
mático dentro y fuera de la institución educativa.
También pueden
reinterpretarse como
potentes precursores del
discurso actual sobre las
competencias la teoría del
aprendizaje significativo de
Ausubel, Novak y Gowin,
y la de la enseñanza para
la comprensión de Perkins,
Gardner, Wiske y otros.
En la primera, la significatividad del aprendizaje no
se reduce a un sentido personal de lo aprendido, sino
que se extiende a su inserción en prácticas sociales
con sentido, utilidad y eficacia. En la segunda, la
comprensión se entiende explícitamente como rela-
cionada con los desempeños de comprensión, que
son actuaciones, actividades, tareas y proyectos en
los cuales se muestra la comprensión adquirida y se
consolida y profundiza la misma. En las dimensiones
de la comprensión se incluye no sólo la más usual de
los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se
proponen los aspectos relacionados con los métodos
y técnicas, con las formas de expresar y comunicar
lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesio-
nal o científico-técnica en que se despliegue dicha
comprensión. Todas estas dimensiones se articulan
claramente con una noción amplia de competen-
cia como conjunto de conocimientos, habilidades,
actitudes, comprensiones y disposiciones cogniti-
vas, socioafectivas y psicomotoras apropiadamente
relacionadas entre sí para facilitar el desempeño
flexible, eficaz y con sentido de una actividad en
contextos relativamente nuevos y retadores. Esta
noción supera la más usual y restringida que descri-
be la competencia como saber hacer en contexto en
tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales
se aprendió a responder en el aula de clase.
Con lo dicho se puede hablar del aprendizaje por
competencias como un aprendizaje significativo y
comprensivo. En la enseñanza enfocada a lograr
este tipo de aprendizaje no se puede valorar con
propiedad el progreso en los niveles de una compe-
tencia si se piensa en ella en un sentido dicotómico
(se tiene o no se tiene), sino que tal valoración debe
entenderse como la posibilidad de determinar el
nivel de desarrollo de cada competencia, en progre-
sivo crecimiento y en forma relativa a los contextos
institucionales en donde se desarrolla. Las compe-
tencias matemáticas no se alcanzan por generación
espontánea; requieren de ambientes de aprendizaje
enriquecidos por situaciones problema significativas
y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de
competencia más y más complejos.
La noción general de competencia ha sido objeto de
interés en muchas de las investigaciones y reflexio-
nes que adelanta la comunidad de investigadores en
educación matemática. Una síntesis apretada de los
resultados de éstas permite precisar que -además de
los aspectos que se acaban de mencionar- el sentido
de la expresión ser matemáticamente competente
está íntimamente relacionado con los fines de la
educación matemática de todos los niveles educati-
vos (lo cual ha sido tratado en el apartado anterior)
y con la adopción de un modelo epistemológico
sobre las propias matemáticas. La adopción de un
modelo epistemológico coherente para dar sentido
a la expresión ser matemáticamente competente
requiere que los docentes, con base en las nue-
vas tendencias de la filosofía de las matemáticas,
reflexionen, exploren y se apropien de supuestos
sobre las matemáticas tales como:

9
• Las matemáticas son una actividad humana inserta en
y condicionada por la cultura y por su historia, en la
cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos
para plantear y solucionar problemas tanto internos como
externos a las matemáticas mismas. En la búsqueda de
soluciones y respuestas a estos problemas surgen progre-
sivamente técnicas, reglas y sus respectivas justificaciones,
las cuales son socialmente decantadas y compartidas.
• Las matemáticas son también el resultado acumulado y
sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades
profesionales, resultado que se configura como un cuerpo
de conocimientos (definiciones, axiomas, teoremas)
que están lógicamente estructurados y justificados.
Con base en estos supuestos se pueden distinguir
dos facetas básicas del conocimiento matemático:
• La práctica, que expresa condiciones sociales de relación
de la persona con su entorno, y contribuye a mejorar su
calidad de vida y su desempeño como ciudadano.
• La formal, constituida por los sistemas matemáticos y
sus justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje
propio de las matemáticas en sus diversos registros de
representación.
En el conocimiento matemático también se han
distinguido dos tipos básicos: el conocimiento con-
ceptual y el conocimiento procedimental. El primero
está más cercano a la reflexión y se caracteriza por
ser un conocimiento teórico, producido por la acti-
vidad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus
componentes y con otros conocimientos; tiene un
carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el
saber por qué. Por su parte, el procedimental está
más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas
y las estrategias para representar conceptos y para
transformar dichas representaciones; con las habili-
dades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar
algoritmos y para argumentar convincentemente.
El conocimiento procedimental
ayuda a la construcción
y refinamiento del conocimiento
conceptual y permite el uso eficaz,
flexible y en contexto de los
conceptos, proposiciones, teorías
y modelos matemáticos; por tanto,
está asociado con el saber cómo.
Estas dos facetas (práctica y formal) y estos dos tipos
de conocimiento (conceptual y procedimental) seña-
lan nuevos derroteros para aproximarse a una inter-
pretación enriquecida de la expresión ser matemáti-
camente competente. Esta noción ampliada de com-
petencia está relacionada con el saber qué, el saber
qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo.
Por tanto, la precisión del sentido de estas expresio-
nes implica una noción de competencia estrechamen-
te ligada tanto al hacer como al comprender.
Si bien es cierto que la sociedad reclama y valora el
saber en acción o saber procedimental, también es
cierto que la posibilidad de la acción reflexiva con
carácter flexible, adaptable y generalizable exige estar
acompañada de comprender qué se hace y por qué se
hace y de las disposiciones y actitudes necesarias para
querer hacerlo, sentirse bien haciéndolo y percibir las
ocasiones de hacerlo. Estas argumentaciones permi-
ten precisar algunos procesos generales presentes en
toda la actividad matemática que explicitan lo que
significa ser matemáticamente competente:

10
• Formular, plantear, transformar y resolver problemas
a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras
ciencias y de las matemáticas mismas. Ello requiere anali-
zar la situación; identificar lo relevante en ella; establecer
relaciones entre sus componentes y con situaciones seme-
jantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos
externamente en distintos registros; formular distintos
problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que
surjan a partir de ella. Este proceso general requiere del uso
flexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes
para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para for-
mular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados
a dicha situación. Estas actividades también integran el
razonamiento, en tanto exigen formular argumentos que
justifiquen los análisis y procedimientos realizados y la vali-
dez de las soluciones propuestas.
• Utilizar diferentes registros de representación o sistemas
de notación simbólica para crear, expresar y representar
ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas
representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos
de vista. Es decir dominar con fluidez distintos recursos y
registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes
matemáticos.
• Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejem-
plo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar
conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración.
• Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y
conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible
y eficaz. Así se vincula la habilidad procedimental con la
comprensión conceptual que fundamenta esos procedi-
mientos.
Procesos generales de la actividad matemática
A continuación se enuncian los logros más importantes que
puede desarrollar un estudiante con la implementación de los
estándares. Por cuestiones de fácil manejo y estudio, aquí se
aborda cada aspecto presente en la actividad matemática y
cada uno de los estándares, pero en la realidad del salón de
clase -y en lo posible-, lo ideal es que haya una interacción
permanente entre ellos.
Resolución de problemas
La solución de problemas no debe ser considerada
únicamente como el objetivo principal del aprendi-
zaje de la matemática, pero sí debe servirnos como
la mejor manera de trasmitirla, hacerla, evaluarla y
relacionarla con otros contextos o disciplinas.
Aquí queremos hacer la diferencia entre el término
problema, que es una situación (real o hipotética)
que resulta significativa para el estudiante desde
su punto de vista de la experiencia y que involucra
conceptos, objetos u operaciones matemáticas, y el
término ejercicio, que se refiere a operaciones con
símbolos matemáticos únicamente (sumas, multipli-
caciones, resolución de ecuaciones, etc.).

11
Los problemas que se le plantean al estudiante pueden ser clasificados en:
• Problemas rutinarios: aquellos en cuyo enunciado apare-
ce toda la información necesaria para su resolución y suele,
implícitamente, indicar la estrategia a seguir. El estudiante
no requiere reorganizar los datos ni plantear submetas para
resolverlo sino seguir directamente las instrucciones.
Ejemplo de un problema para sexto
grado: Una baldosa rectangular tiene
5 cm de largo por 4 cm de ancho.
¿Cuál es el área de la baldosa?
• Problemas no rutinarios simples: son problemas
en donde toda la información para resolverlos se
encuentra en el enunciado; sin embargo no se insinúa
una estrategia a seguir sino que el estudiante debe
reorganizar la información.
Ejemplo de un problema para sexto
grado: Se sabe que el peso de un hombre
en la Luna corresponde a la sexta parte
de su peso en la Tierra. Un astronauta y
su equipaje pesan en la Luna 30 kg. Si el
equipaje pesa en la Tierra 80 kg, ¿cuál es
el peso del astronauta en la Tierra?
• Relaciones no directas en problemas no rutinarios
simples: en estos problemas no hay datos estructura-
dos que permitan realizar directamente una modela-
ción, lo que posibilita diferentes formas de abordarlos.
El estudiante debe descubrir en el enunciado relaciones
no explícitas que le posibiliten establecer una estrategia
para encontrar la solución.
Ejemplo de un problema para sexto grado: Ana
le da a Bety tantas canicas como Bety tenía.
Luego Bety le da a Ana tantas canicas como
Ana tenía en ese momento. Ahora cada una
de ellas tiene la misma cantidad de canicas.
¿Cuántas canicas podía tener Ana al principio?
Mediante el aprendizaje de la solución de problemas,
los estudiantes adquieren métodos de pensamiento,
hábitos de persistencia y curiosidad. Ser un buen
solucionador de problemas puede generar grandes
ventajas en el pensamiento estratégico y el potencial
lógico - intelectual. La solución de problemas es una
parte integral del aprendizaje de las matemáticas, así
que no puede ser una parte aislada del currículo de
matemáticas. Los contextos de los problemas pueden
variar desde experiencias que involucren al estudian-
te hasta aplicaciones en las ciencias y en el mundo
laboral. Los buenos problemas integrarán múltiples
tópicos y harán de las matemáticas algo significativo.
Durante la educación básica primaria, secundaria
y media, el currículo de matemáticas debe incluir
experiencias abundantes y diversas con resolución de
problemas como método de indagación y aplicación,
para que los estudiantes logren:
• utilizar enfoques de resolución de problemas para
investigar y entender los contenidos matemáticos.
• construir nuevo conocimiento matemático a través
de la solución de problemas.
• formular problemas a partir de situaciones cotidianas
y matemáticas.
• desarrollar y aplicar estrategias para resolver una
extensa gama de problemas.
• verificar e interpretar resultados en relación a los
problemas originales.
• adquirir confianza en el uso significativo de las
matemáticas.

12
Comunicación
La comunicación ayuda a construir el significa-
do y la permanencia de las ideas y a hacerlas
públicas. Los estudiantes que se involucran
en discusiones en las que justifican sus ideas
con coherencia y claridad, tendrán una mejor
oportunidad de comprensión cuando traten
de convencer a sus compañeros acerca de sus
puntos de vista.
La comunicación también ayuda a desarrollar
un lenguaje adecuado y preciso cuando los
estudiantes intenten expresar sus ideas.
Durante la educación básica primaria, secun-
daria y media, el estudio de las matemáticas
debe incluir la oportunidad de comunicarse
para que los estudiantes logren:
• organizar y consolidar su pensamiento
matemático a través de la comunicación.
• comunicar su pensamiento matemático coherente
y claramente a los compañeros, a los maestros
y a los demás.
• analizar y evaluar el pensamiento matemático
y las estrategias de los demás.
• usar el lenguaje de las matemáticas para
expresar ideas de manera precisa.
Razonamientomatemático
Las personas que razonan y piensan analítica-
mente tienden a descubrir patrones, estructu-
ras o regularidades en situaciones reales o en
los objetos mismos de las matemáticas; esas
personas se preguntan si esos patrones son
accidentales o si ocurren por una razón que
tratan de identificar, de probar y de generali-
zar con argumentos inductivos y deductivos.
El desarrollo de las ideas, la exploración y
reconocimiento de los fenómenos, la justifi-
cación de los resultados y el uso de conjeturas
matemáticas ayudan a los estudiantes a ver
que las matemáticas tienen sentido.
El razonamiento debe impregnar todo el currí-
culo de matemáticas para que los estudiantes
sean capaces de:
• reconocer que el razonamiento y la prueba son
aspectos fundamentales de las matemáticas.
• formular e investigar conjeturas matemáticas.
• desarrollar y evaluar argumentos y pruebas
matemáticas.
• seleccionar y usar varios tipos de razonamiento
y métodos de demostración.
Lamodelación
Un modelo puede entenderse como un siste-
ma figurativo mental, gráfico o tridimensional
que reproduce o representa la realidad en
forma esquemática para hacerla más compren-
sible. Es una construcción o artefacto material
o mental, un sistema -a veces se dice también
“una estructura”- que puede usarse como
referencia para lo que se trata de compren-
der; una imagen analógica que permite volver
cercana y concreta una idea o un concepto
para su apropiación y manejo. Un modelo se
produce para poder operar transformaciones
o procedimientos experimentales sobre un
conjunto de situaciones o un cierto número
de objetos reales o imaginados, sin necesidad
de manipularlos o dañarlos, para apoyar la
formulación de conjeturas y razonamientos y
dar pistas para avanzar hacia las demostra-
ciones. En ese sentido, todo modelo es una
representación, pero no toda representación
es necesariamente un modelo, como sucede
con las representaciones verbales y algebrai-
cas que no son propiamente modelos, aunque
pueden estarse interpretando en un modelo.
Análogamente, todo modelo es un sistema,
pero no todo sistema es un modelo.

13
La modelación busca que los estudiantes
sean capaces de:
• simplificar situaciones y seleccionar una manera
de representarla mentalmente, gestualmente,
gráficamente o por medio de símbolos aritméticos
o algebraicos.
• permitirles buscar distintos caminos de solución,
estimar una solución aproximada o darse cuenta
de si una aparente solución encontrada a través
de cálculos numéricos o algebraicos es plausible
y significativa, o si es imposible o no tiene sentido.
• decidir qué variables y relaciones entre variables
son importantes, lo que posibilita establecer
modelos matemáticos de distintos niveles
de complejidad.
• reducir una situación a una ya conocida, de tal
manera que se pueda detectar fácilmente qué
esquema se le puede aplicar, cómo se relaciona
con otras y qué operaciones matemáticas pueden
ser pertinentes para responder a las preguntas
que suscita dicha situación.
• crear nuevos modelos a partir de otros y de
teorías matemáticas que permitan simular
la evolución de una situación real.
Según Steen, las matemáticas son la ciencia
de los modelos o patrones (“Mathematics
is the science of patterns”). “El matemático
busca modelos o patrones en el número, en
el espacio, en la ciencia, en los ordenadores
y en la imaginación. Las teorías matemáti-
cas explican las relaciones entre modelos o
patrones; las funciones y los mapas, los ope-
radores y los morfismos conectan un tipo de
modelos o patrones con otros para producir
estructuras matemáticas perdurables”.
Laformulación,comparaciónyejercitacióndeprocedimientos
Este proceso implica comprometer a los estudiantes
en la construcción y ejecución segura y rápida de pro-
cedimientos mecánicos o de rutina, también llama-
dos “algoritmos”, procurando que la práctica nece-
saria para aumentar la velocidad y precisión de su
ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter
de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones
y no en otras y que, por lo tanto, pueden modificar-
se, ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas, o aun
hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras.
Para analizar la contribución de la ejecución de pro-
cedimientos rutinarios en el desarrollo significativo y
comprensivo del conocimiento matemático es conve-
niente considerar los mecanismos cognitivos involu-
crados en dichos algoritmos. Uno de estos mecanis-
mos es la alternación de momentos en los que prima
el conocimiento conceptual y otros en los que prima
el procedimental, lo cual requiere atención, control,
planeación, ejecución, verificación e interpretación
intermitente de resultados parciales.
Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización,
que requiere de la práctica repetida para lograr una
rápida, segura y efectiva ejecución de los procedi-
mientos; esta automatización no contribuye directa-
mente al desarrollo significativo y comprensivo del
conocimiento, pero sí contribuye a adquirir destrezas
en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas.
Con este proceso se busca que los estudiantes sean
capaces de:
• adquirir seguridad para afianzar y profundizar el dominio
de los conocimientos.
• reflexionar sobre qué procedimientos y algoritmos conducen
al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior
de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen
a su conceptualización.
• explicar y entender los conceptos sobre los cuales un
procedimiento o algoritmo se apoya, seguir la lógica
que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera fiable
y eficaz y cuándo basta utilizar una técnica particular
para obtener más rápidamente el resultado.
• ensayar algoritmos y compararlos para apreciar las ventajas
y desventajas de unos sobre otros.
• prepararse para el manejo de calculadoras, el uso de
hojas de cálculo, la elaboración de macroinstrucciones
y aun para la programación de computadores.

14
Estándares básicos por competenciasEstándares básicos por competencias
Pensamientonuméricoysistemasnuméricos
Con el estudio de la geometría, los estudiantes
aprenden acerca de las formas geométricas y
sus estructuras y cómo analizar sus caracte-
rísticas y relaciones. La visualización espacial
- entendida como la construcción y la manipu-
lación de representaciones mentales de obje-
tos de dos y tres dimensiones y la percepción
de los objetos desde diferentes perspectivas-
es un aspecto importante del pensamiento
geométrico. La modelización geométrica y
el razonamiento espacial ofrecen formas de
interpretar y resolver problemas.
El estándar de pensamiento espacial y siste-
mas geométricos incluye un énfasis en el desa-
rrollo y prueba de razonamientos, mediante
el uso de definiciones y el establecimiento de
hechos.
Con el desarrollo de este estándar se prepara
a todos los estudiantes para:
• analizar las características y propiedades
de las formas geométricas bidimensionales
y tridimensionales y desarrollar argumentos
acerca de las relaciones geométricas.
• especificar localizaciones y describir relaciones
espaciales usando la geometría coordenada
y otros sistemas de representación.
• aplicar transformaciones y usar la simetría
para analizar situaciones matemáticas.
• usar la visualización, el razonamiento espacial y la
modelización geométrica para resolver problemas.
• Descubrir y describir la congruencia y la
semejanza entre formas y figuras.
• Aplicar los conceptos geométricos en otras
áreas de estudio.
• Aplicar las nociones de perímetro, área
y volumen en situaciones problema.
Este estándar describe la comprensión profun-
da y fundamental del conteo, del concepto y
representación del número y de las relaciones
aritméticas como también de los sistemas
numéricos y sus estructuras.
Involucra los conceptos y algoritmos de la
aritmética elemental así como las propiedades
y las características de las clases de números
que son el comienzo de la teoría de números.
También incluye la proporcionalidad y el con-
cepto y uso de las fracciones.
Lo central de este estándar es el desarrollo del
sentido numérico -la habilidad de descompo-
ner números de manera natural, el uso de las
operaciones matemáticas para resolver pro-
blemas, la comprensión del sistema decimal, la
estimación, el sentido numérico y el reconoci-
miento de las magnitudes relativas y absolutas
de los números.
• comprender los números, las formas de
representarlos, las relaciones entre ellos
y los sistemas numéricos.
• comprender el significado de las operaciones
y cómo se relacionan unas con otras.
• hacer cómputos de manera fluida y hacer
estimaciones o aproximaciones razonables
a partir del uso de diferentes estrategias.
Pensamientoespacialysistemasgeométricos

15
Comprender las características mensurables
de los objetos tangibles y de otros intangibles
como el tiempo, de las unidades y patrones
que permiten hacer las mediciones y de los
instrumentos utilizados para hacerlas, se cons-
tituye en un aspecto de gran importancia de
la matemática escolar.
El estudio de la medida ofrece la oportunidad
de aprender y aplicar las operaciones, las ideas
geométricas, los conceptos de estadística y
las nociones de función. Estas conexiones se
complementan con las relaciones que existen
entre las medidas y las ciencias sociales, la
ciencia, el arte, y la educación física.
• comprender los atributos medibles de los objetos
y las unidades, sistemas y procesos de medición.
• aplicar técnicas apropiadas, herramientas
y fórmulas para determinar medidas.
• seleccionar y usar métodos estadísticos
apropiados para analizar datos.
• desarrollar y evaluar inferencias
y predicciones basadas en datos.
• entender y aplicar los conceptos
básicos de probabilidad.
PensamientométricoysistemasdemedidasPensamientoaleatorioysistemasdedatos
Este estándar recomienda que los estudiantes
formulen a partir de situaciones suscepti-
bles de análisis, preguntas que puedan ser
resueltas usando la recolección sistemática y
organizada de datos y su interpretación. Los
estudiantes podrán aprender a coleccionar
datos, organizar sus propios datos o los de los
demás, y disponerlos en gráficas y diagramas
que sean útiles para responder preguntas,
identificar tendencias y hacer predicciones
o conjeturas. Las nociones de probabilidad
y la relación de la aleatoriedad con el azar y
noción del azar como opuesto a lo deducible,
es posible desarrollarse en conjunto con los
conceptos estadísticos.
• formular preguntas que puedan resolverse
mediante el análisis de datos.
Pensamientovariacionalysistemasalgebraicosyanalíticos
El álgebra tiene sus raíces históricas en el estu-
dio de los métodos generales para resolver
ecuaciones. Este estándar enfatiza las relacio-
nes entre las cantidades, incluyendo las funcio-
nes, las formas de representar relaciones mate-
máticas y el análisis del cambio. Las relaciones
funcionales pueden expresarse mediante sím-
bolos que permiten que las ideas complejas
puedan expresarse de manera eficiente.
Pero el álgebra es mucho más que símbolos.
Los estudiantes necesitan aprender el concep-
to de álgebra, las estructuras y los principios
que gobiernan la manipulación de los sím-
bolos, y la forma como los mismos símbolos
pueden usarse para interpretar ideas.
• entender patrones, relaciones y funciones.
• representar y analizar situaciones y estructuras
matemáticas usando símbolos algebraicos.
• usar modelos matemáticos para representar
y entender relaciones cuantitativas.
• analizar los procesos de cambio y el concepto
de variable en varios contextos.

16
Cuadro 0: fines de la educación matemática bajo la óptica de los estándares
Actitudes
Socialización
Tolerancia
Iniciativa
Respeto
Cortesía
Objetividad
Participación
Creatividad
Pensamiento crítico.
Traducción,
simbolización
y argumentación
desde y hacia distintos
sistemas
de representación.
Construcción de
significados y relaciones.
Permanencia de ideas.
Construcción de un
lenguaje adecuado.
Precisión en el lenguaje.
Evaluación de las
estrategias de otros.
Clarificación, refinación
y consolidación
de pensamiento.
Comunicarse mediante
la matemática.
Adquirir confianza para
hacer matemáticas.
Actitudes
Creatividad
Imaginación
Iniciativa
Autoestima
Flexibilidad
de pensamiento.
Seguridad
Participación
Actitudes
Imaginación
Originalidad
Concentración
Rigurosidad
Persistencia
Curiosidad
Creatividad
Reconocimiento,
diferenciación,
relación
y generalización
de los conceptos
matemáticos.
Selección y uso
de varios tipos
de razonamiento.
Valoración
del razonamiento
y prueba matemática.
Descubrimientos
de patrones,
comportamientos,
estructuras
y regularidades.
Desarrollo y evaluación
de argumentos.
Formulación
e investigación
de conjeturas.
Aprender a razonar
matemáticamente.
Fin de la educación
matemática.
Comprensión de las
matemáticas como
actividad humana.
Conocimiento
y experimentación
de numerosas
experiencias que
generen confianza
propia para hacer
matemáticas y tomar
decisiones.
Desarrollo
de estrategias
de solución en
problemas no
rutinarios y de
relaciones no
directas en forma
individual y grupal.
Construcción
de nuevos
conocimientos.
Investigación
y construcción
de conceptos.
Formulación
y solución
de problemas
cotidianos.
Resolver problemas
matemáticos.
Aprender a valorar
la matemáticas.
Conocimiento
de la evolución
histórica y científica.
Reconocimiento
del papel que
juegan las
matemáticas
en la sociedad.
Comprensión
de la relación entre
las matemáticas
y otras áreas
del saber.
Actitudes
Persistencia
Disciplina
Solidaridad
Independencia
Curiosidad
Creatividad
Originalidad
Imaginación
Participación
Actitudes
Respeto por
el saber, el estudio
y la disciplina.
Valoración del
conocimiento
en cualquiera
de sus formas.
Interés por la
investigación.

17
Cuadro 1: Pensamiento numérico y sistemas numéricos frente a los estándares
Números
Medida
Ordinalidad
Códigos
Secuencia
verbal.
Conteo
Cardinalidad
Pensamiento numérico
y sistemas numéricos
Significado de
las operaciones.
Modelos usuales.
Algoritmos
informales.
Comprensión
de los números
y de la numeración.
Comprensión del
concepto de las
operaciones.
Solución de
problemas.
Numeración
Valor de
posición
Cálculos con
números y
aplicaciones.
Propiedades
Efecto y relaciones
de las operaciones.
Cálculo mental.
Aproximación
Estimación
Calculadora
Agrupar
Contar

18
Cuadro 2: Pensamiento espacial y sistemas geométricos frente a los estándares
Perspectivas
Manipulación de
representaciones.
Representación
mental.
Transformaciones
geométricas.
Rotaciones
Traslaciones
Reflexiones
Aplicaciones
Visualización
espacial.
Teselaciones
Simetría
Imaginación
tridimensional.
Pensamiento espacial y sistemas
geométricos
Exploración
del espacio.
Solución de
problemas.
Modelización
Razonamiento
espacial.
Formulación
y discusión
de conjeturas.
Formas y figuras
geométricas.
Prueba de
razonamiento.

19
Cuadro 3: Pensamiento métrico y sistemas de medidas frente a los estándares
Análisis de las
invariantes.
Conservación
Lo continuo
(magnitudes) y lo
discreto (números
naturales).
Medición objetos
intangibles.
Medición objetos
tangibles.
Medición
Pensamiento métrico y sistemas
de medidas.
Estimación o cálculo
aproximado.
Solución de
problemas.
Rango de las
magnitudes.
Tiempo
Largo, ancho, alto...
Unidades, patrones
e instrumentos.
Asignación
numérica.
Patrón: concreto.
Ejemplo: un
cuadrado de un
cm cuadrado.
Unidad: abstracta.
Ejemplo: el cm
cuadrado.

20
Cuadro 4: Pensamiento aleatorio y sistemas de datos frente a los estándares
Casualidad
Buscar correlaciones.
Recolección sistemática
y organizada de datos.
Ordenación y presentación
de la información
Interpretar gráficas.
Leer entre líneas.
Reinterpretar datos.
Tendencias.
Oscilaciones.
Análisis
Explorar e interpretar
datos.
Pensamiento aleatorio
y sistemas de datos.
Explorar la aleatoriedad.
El azar frente a lo
deducible.
Predicción.
Conjeturas.
Solución de problemas.
Probar hipótesis.
Inferencias cualitativas.
Razonar hipotéticamente

21
Cuadro 5: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos frente a los estándares
Aproximaciones
sucesivas.
Divisibilidad
Procesos infinitos.
Reales
Continuo
numérico.
Sistemas de
representación.
Enunciados, tablas,
gráficas cartesianas,
gráficas sagitales
y representaciones
pictóricas.
Modelos
funcionales.
Dependencia
Función
Pensamiento variacional
y sistemas algebraicos.
Procesos
de cambio.
Construcción
de fórmulas.
Significado
de la variable.
Álgebra
Magnitudes
Solución de
problemas.
Modelos de
variación.
Cambio relativo,
cambio absoluto,
proporcionalidad.

22
Estándares de matemáticas grado sexto a séptimoEstándares de matemáticas grado sexto a séptimo
Pensamiento numérico
y sistemas numéricos
Pensamiento
espacial y sistemas
geométricos
Pensamiento
métrico
y sistemas
de medidas
Pensamiento
aleatorio
y sistemas de datos
Pensamiento
variacional
y sistemas algebrai-
cos y analíticos
1. Utilizar números para
resolver problemas en
contextos de medida.
2. Justificar la representación
polinomial de los números
racionales utilizando las
propiedades del sistema
de numeración decimal.
3. Generalizar propiedades
y relaciones de los números
naturales (ser par, impar,
múltiplo de, divisible por,
conmutativa, etc.).
4. Resolver y formular
problemas utilizando
propiedades de la teoría de
números.
5. Justificar operaciones
utilizando las relaciones
y propiedades de las
operaciones.
6. Formular y resolver
problemas aplicando
conceptos de la teoría
de números.
problemas cuya solución
requiere de la potenciación
o radicación.
8. Justificar el uso de
representaciones y
procedimientos
en situaciones de
proporcionalidad.
9. Justificar la pertinencia
de un cálculo exacto
o aproximado en la
solución de un problema
y lo razonable o no de las
respuestas obtenidas.
10. Hacer conjeturas sobre
propiedades y relaciones
de los números,
utilizando calculadoras o
computadores.
11. Justificar la elección
de métodos e instrumentos
de cálculo en la resolución
de problemas.
12. Utilizar argumentos
combinatorios (tablas,
diagramas arbóreo,
listas) como herramienta
para interpretación de
situaciones diversas de
conteo.
1. Representar objetos
tridimensionales
desde diferentes
posiciones y vistas.
2. Identificar y escribir
figuras y cuerpos
generados por
cortes rectos
y transversales
de objetos
tridimensionales.
3. Clasificar polígonos
en relación con sus
propiedades.
4. Predecir y comparar
los resultados
de aplicar
transformaciones
geométricas
(traslaciones,
rotaciones,
reflexiones)
y homotecias
sobre figuras
bidimensionales
en matemáticas
y en el arte.
problemas que
involucren relaciones
y propiedades
de semejanza
y congruencia
usando
representaciones
visuales.
problemas
usando modelos
geométricos.
7. Identificar
características
de localización
de objetos en
sistemas de
representación
cartesiana y
geográfica.
1. Utilizar técnicas
y herramientas
para la
construcción
de figuras
planas y cuerpos
con medidas
dadas.
2. Resolver
y formular
problemas
que involucren
factores escalares
(diseño de
maquetas,
mapas).
3. Calcular áreas
y volúmenes
a través de
composición
y descomposición
de figuras
y cuerpos.
4. Identificar
relaciones entre
unidades para
medir diferentes
magnitudes.
5. Resolver
y formular
problemas que
requieren técnicas
de estimación.
1. Comparar e
interpretar datos
provenientes de
diversas fuentes
(prensa, revistas,
televisión).
2. Reconocer la relación
entre un conjunto
de datos y su
representación.
3. Usar
representaciones
para presentar
diversos tipos de
datos (diagramas
de barras, diagramas
circulares).
4. Usar medidas
de tendencia
central (media,
mediana, moda)
para interpretar el
comportamiento
de un conjunto de
datos.
5. Usar modelos
(diagramas de árbol,
por ejemplo) para
discutir y predecir
la posibilidad de
ocurrencia
de un evento.
6. Hacer conjeturas
sobre el resultado
de un experimento
aleatorio usando
proporcionalidad
y nociones básicas
de probabilidad.
problemas a partir
de un conjunto de
datos presentados
en tablas, diagramas
de barras, diagramas
circulares.
8. Predecir y justificar
razonamientos
y conclusiones
usando información
estadística.
1. Describir
y representar
situaciones
de variación
relacionando
diferentes
representaciones
(diagramas,
expresiones
verbales
generalizadas
y tablas).
2. Reconocer
el conjunto
de valores
de una variable
en situaciones
concretas
de cambio
(variación).
3. Analizar las
propiedades
de variación
lineal e inversa
en contextos
aritméticos y
geométricos.
4. Utilizar métodos
informales
(ensayo - error,
complementación)
en la solución
de ecuaciones.
5. Identificar las
características
de las diversas
gráficas
cartesianas (de
puntos, continuas,
formadas por
segmentos, etc.),
en relación con
la situación que
representan.

23
Estándares de matemáticas grados octavo a novenoEstándares de matemáticas grados octavo a noveno
Pensamiento
numérico
y sistemas
numéricos
Pensamiento
espacial
y sistemas
geométricos
Pensamiento
métrico
y sistemas
de medidas
y sistemas de datos
Pensamiento variacional
y sistemas algebraicos
y analíticos
1. Utilizar números
reales en
sus diferentes
representaciones
en diversos
contextos.
2. Simplificar
cálculos usando
relaciones
inversas entre
operaciones.
3. Utilizar la
notación
científica para
representar
cantidades
y medidas.
4. Identificar la
potenciación
y la radicación
para representar
situaciones
matemáticas y
no matemáticas.
1. Hacer conjeturas
y verificar
propiedades
de congruencias
y semejanzas
entre figuras
bidimensionales
y entre objetos
tridimensionales
en la solución
de problemas.
2. Reconocer
y contrastar
propiedades
y relaciones
geométricas
utilizadas en
demostración
de teoremas
básicos
(Pitágoras
y Tales).
3. Aplicar y
justificar criterios
de congruencia
y semejanza
entre triángulos
en la resolución
y formulación
de problemas.
1. Generalizar
procedimientos
de cálculo válidos
para encontrar
el área
de regiones
planas y volumen
de sólidos.
2. Seleccionar
y usar técnicas
e instrumentos
para medir
longitudes, áreas
de superficies,
volúmenes
y ángulos
con niveles
de precisión
apropiados.
3. Justificar
la pertinencia
de utilizar
unidades
de medida
específicas
en las ciencias.
1. Reconocer que diferentes
maneras de presentar
la información pueden
dar origen a distintas
interpretaciones.
2. Interpretar analítica
y críticamente
información estadística
proveniente de diversas
fuentes (prensa, revistas,
televisión).
3. Interpretar conceptos de
media, mediana y moda.
4. Seleccionar y usar
métodos estadísticos
adecuados según el tipo
de información.
5. Comparar resultados
experimentales con la
probabilidad esperada.
problemas seleccionando
información relevante
en conjuntos de datos
provenientes de fuentes
diversas (prensa, revistas,
televisión).
7. Reconocer tendencias
que se presentan en
conjuntos de variables
relacionadas.
8. Calcular probabilidad
de eventos simples
usando métodos diversos
(listados, diagramas
de árbol, técnicas de
conteo).
9. Usar conceptos básicos
de probabilidad (espacio
muestral, evento.).
1. Identificar relaciones entre
propiedades de las gráficas
y propiedades de las
ecuaciones algebraicas.
2. Construir expresiones
algebraicas equivalentes
a una expresión algebraica
dada.
3. Usar procesos inductivos
y lenguaje algebraico
para verificar conjeturas.
4. Modelar situaciones
de variación con funciones
polinómicas.
5. Identificar diferentes métodos
para solucionar sistemas
de ecuaciones lineales.
6. Analizar los procesos
infinitos que subyacen
en las notaciones decimales.
7. Interpretar los diferentes
significados de la pendiente
en situaciones de variación.
8. Interpretar la relación entre
el parámetro de funciones
con la familia de funciones
que genera.
9. Analizar en representaciones
gráficas cartesianas los
comportamientos de cambio
de funciones polinómicas,
racionales y exponenciales.

24
Estándares de matemáticas grados décimo a undécimoEstándares de matemáticas grados décimo a undécimo
Pensamiento
numérico
y sistemas
numéricos
Pensamiento
espacial y sistemas
geométricos
Pensamiento
métrico
y sistemas
de medidas
y sistemas de datos
Pensamiento
variacional y sistemas
algebraicos y analíticos
1. Analizar
representaciones
decimales de los
números reales
para diferenciar
entre racionales
e irracionales.
2. Reconocer
la densidad
e incompletitud
de los números
racionales
a través de
métodos
numéricos,
geométricos
y algebraicos.
3. Comparar
y contrastar
las propiedades
de los números
(enteros,
racionales,
reales) sus
relaciones
y operaciones.
4. Utilizar
argumentos
de la teoría
de números
para justificar
relaciones
que involucran
números
naturales.
5. Establecer
relaciones
y diferencias
entre diferentes
notaciones de
números reales
para decidir
sobre su uso
en una situación
dada.
1. Identificar las
propiedades de
las curvas en los
bordes obtenidos
mediante cortes
(longitudinales
y transversales)
en un cono
y un cilindro.
2. Identificar
características
de localización
de objetos
geométricos
en sistemas de
representación
cartesiana y
otros (polares,
esféricos,...).
3. Resolver problemas
en los que se usen
las propiedades
geométricas de
figuras cónicas de
manera algebraica.
4. Usar argumentos
geométricos
para resolver
y formular
problemas
en contextos
matemáticos
y en otras ciencias.
5. Describir y modelar
fenómenos
periódicos
del mundo real
usando relaciones
y funciones
trigonométricas.
6. Reconocer
y describir curvas
o lugares
geométricos.
1. Diseñar
estrategias
para abordar
situaciones de
medición que
requieran grados
de precisión
específicos.
2. Resolver y
formular
problemas
que involucran
mediciones
derivadas para
atributos tales
como velocidad
y densidad.
3. Justificar
resultados
obtenidos
mediante
procesos de
aproximación
sucesiva, rangos
de variación
y límites en
situaciones
de medición.
1. Comparar estudios
provenientes de medios
de comunicación.
2. Justificar inferencias
provenientes de los medios
o de estudios diseñados
en el ámbito escolar.
3. Diseñar experimentos
aleatorios para estudiar
un problema o pregunta.
4. Describir tendencias que
se observan en conjuntos
de variables relacionadas.
5. Interpretar nociones
básicas relacionadas
con el manejo de
información (población,
muestra, variable).
6. Usar algunas medidas
de centralización,
localización, dispersión
y correlación (percentiles,
cuartiles, centralidad,
distancia).
7. Interpretar conceptos
de probabilidad
condicional e
independencia de eventos.
problemas usando
conceptos básicos
de conteo y probabilidad
combinaciones,
permutaciones, espacio
muestral, muestreo
aleatorio, muestreo
con remplazo).
9. Proponer inferencias a partir
del estudio de muestras
probabilísticas.
1. Utilizar las técnicas
de aproximación
en procesos infinitos
numéricos.
2. Interpretar la noción
de derivada como
razón de cambio
instantánea en
contextos matemáticos
y no matemáticos.
3. Analizar las relaciones
y propiedades entre las
expresiones algebraicas
y las gráficas de
funciones polinómicas
y racionales.
4. Modelar situaciones
de variación periódica
con funciones
trigonométricas.

25
Tabla de estándares e indicadores de logros propuestosTabla de estándares e indicadores de logros propuestos
oficialmente para los grados cuarto a sextooficialmente para los grados cuarto a sexto
Pensamiento/
sistemas
Numérico/
numéricos
Espacial/
geometría
Métrico/
de medidas
Aleatorio/
de datos
Variacional/
algebraicos
y analíticos
Indicadores
de logros
de cuarto
a sexto
• Identifica los
números naturales
y los racionales
positivos en su
expresión decimal
y fraccionaria, los
usa en diferentes
contextos y los
representa de
distintas formas.
• Construye y utiliza
significativamente
las operaciones
con números
naturales y
con números
racionales
positivos,
establece
relaciones entre
estas operaciones
y usa sus
propiedades para
la elaboración del
cálculo mental
y escrito.
• Reconoce las
características
de sólidos, figuras
planas y líneas,
los utiliza en su
vida cotidiana
en mediciones,
elaboración
de dibujos
y construcción
de modelos.
• Aplica
movimientos
rígidos
en el plano.
• Identifica las
propiedades
que se conservan
en cada
movimiento
y visualiza
transformaciones
simples para
descubrir reglas
de combinación
que permitan
crear patrones.
• Identifica
en objetos
y situaciones
de su
entorno las
magnitudes
de longitud,
área,
volumen,
capacidad,
peso, masa,
amplitud
de ángulos
y duración.
• Reconoce
procesos de
conservación
y desarrolla
procesos de
medición y
estimación
de dichas
magnitudes
y las utiliza en
situaciones
de la vida
diaria.
• Interpreta datos
presentados
en tablas y en
diagramas,
comprende
y usa la media,
la mediana
y la moda en
un conjunto
de datos y saca
conclusiones
estadísticas.
• Reconoce la
importancia
de averiguar
datos y procesar
información
para tomar
decisiones,
y de conocer
y evaluar sus
características
en relación con
las decisiones
que se tomen.
• Expresa relaciones
matemáticas
por medio de
ecuaciones o
inecuaciones.
• Investiga casos
en los que el
cambio de una
cantidad variable
se relaciona con
el cambio de otra
y describe ese
hecho mediante
tablas, gráficas
en el plano
cartesiano,
palabras o
ecuaciones.
• Comprende
y usa el concepto
de conjunto.
• Comprende
y usa el concepto
de pareja
ordenada.
Procesos
Grupo de
grados
Planteamiento
y resolución de
problemas
Razonamiento
matemático
Comunicación
matemática
Modelación Procedimientos
Indicadores
de logros
cuarto a sexto
• Formula
y resuelve
problemas
derivados
de situaciones
cotidianas
y matemáticas.
• Examina
y valora
resultados
teniendo
en cuenta el
planteamiento
original del
problema.
• Explora y descubre
propiedades y
regularidades
de los números.
• Formula, argumenta
y somete a prueba
conjeturas y elabora
conclusiones.
• Explica sus
ideas y justifica
respuestas
mediante el
empleo de
modelos, la
interpretación
de hechos
conocidos
y la aplicación
de propiedades
y relaciones
matemáticas.
• Reduce una
situación a una
ya conocida, de
tal manera que
puede detectar
qué operaciones
matemáticas
pueden ser
pertinentes para
responder a las
preguntas que
suscita dicha
situación.
• Reflexiona
sobre los
procedimientos
que conducen al
reconocimiento
de patrones
y regularidades
en el interior
de determinado
sistema
simbólico.

26
NotaNota
importanteimportante
Los enlaces recomendados para su búsqueda en Google deben
ser digitados tal y como se indica en cada recurso propuesto en los
planeadores que se presentan en las siguientes páginas. En los sitios reco-
mendados podrá encontrar desde teoría hasta actividades interactivas que
sirven de apoyo para su trabajo y el de los estudiantes. Es muy fácil: ingrese el
término sugerido y luego haga clic en búsqueda. La primera página que aparezca
de referencia le posibilita el apoyo que usted necesita.

27
Grado: //Sexto// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________
Contenidos Recursos propuestos Metodología propuesta
Unidad 1: Lógica y conjuntos
1. Proposiciones y sus negaciones.
2. Cuantificadores.
3. Proposiciones abiertas y cerradas.
4. Conjuntos y subconjuntos.
5. Disyunción y unión entre conjuntos.
6. Conjunción e intersección.
7. Diferencia y diferencia simétrica.
Unidad 2: Números naturales
1. El conjunto de los naturales.
2. Orden de los naturales.
3. Adición y sustracción.
4. Propiedades de la adición.
5. Ecuaciones y problemas.
6. Multiplicación y división.
7. Propiedades de la multiplicación.
8. Ecuaciones y problemas.
9. Ejercicios adicionales de operaciones y ecuaciones.
10. Potenciación de números naturales y sus propiedades.
11. Radicación y logaritmación.
• Textos en los que se identifiquen
conectores lógicos y proposiciones
asociadas con hechos familiares
para los estudiantes.
Google: Logica proposicional -
wikillerato.
• Ejercicios con los primeros
términos de algunas series
numéricas para continuarlas
y descubrir sus propiedades.
Google: Marcia levitus.
(Recurso argentino con actividades
de series y secuencias)
• Problemas variados de aplicación
de las operaciones con naturales.
Google: mi ayudante 6 grado.
Google: aaaknow 7 grade
• Ejercicios para hallar el valor
numérico de expresiones
y en pasar proposiciones
verbales a ecuaciones.
Google: grado 6 aaa matematicas.
• El uso del lenguaje lógico
puede evidenciarse en
artículos sencillos que
sean del interés de
los estudiantes para
que posteriormente se
encarguen de hacer
pequeños artículos en
donde usen de manera
significativa los conectores
lógicos.
• Completar sucesiones
numéricas cuidadosamente
elegidas para desarrollar
el pensamiento inductivo
de los estudiantes.
• Los juegos numéricos en
los que hay que encontrar
un número desconocido,
puede convertirse en un
motivo para formalizar el
concepto de ecuación.
Unidad 3: Sistemas de numeración
y números enteros negativos.
1. Sistemas de numeración.
2. Sistema de numeración romano.
3. Sistema de numeración decimal.
4. Sistema binario.
5. Sistemas de numeración con otras bases numéricas.
6. Números enteros negativos.
7. Adición y sustracción de enteros.
Unidad 4: Teoría de números
1. Múltiplos y divisores.
2. Números primos y compuestos.
3. Criterios de divisibilidad.
4. Descomposición factorial.
5. Mínimo común múltiplo.
6. Máximo común divisor.
• Consultas hechas por los
estudiantes acerca de los
diferentes sistemas numéricos
en el mundo.
Google : sistemas de numeración
thales.
• Consulta sobre los logros de los
antiguos griegos: tales de Mileto,
Pitágoras, descubrimiento de los
intervalos musicales, números
triangulares, números cuadrados,
gnomon y oblongos.
• Consulta acerca de los orígenes
y evolución de las calculadoras.
• El estudio de otros
sistemas de numeración
(Asia occidental, China
y mesoamérica) debe
constituirse en un elemento
de reflexión por parte
de los estudiantes para
descubrir regularidades
en cada sistema y para
dar argumentos plausibles
a favor o en contra
de su uso y practicidad.
• Identificar los números
que utilizamos en nuestras
actividades diarias (pago
de cuentas, compras,
balances, entre otros).

28
Unidad 5: Números fraccionarios
1. Significado de las fracciones.
2. Representación de las fracciones.
3. Fracciones equivalentes.
4. Comparación de fracciones.
6. y 7. Multiplicación y división.
8. Problemas.
9. Operaciones combinadas.
10. Ecuaciones con fracciones.
11. Potenciación y radicación.
Unidad 6: Expresiones decimales.
1. Fracciones y expresiones decimales.
2. Clasificación de los decimales.
3. Ubicación de decimales en la recta.
4. Comparación de números decimales.
5. Adición y sustracción de decimales.
6. Problemas.
7. Multiplicación de decimales.
8. División de expresiones decimales.
9. Problemas.
• Lectura “el hombre que calculaba”
cuento de la repartición
de camellos.
Google : el hombre que calculaba.
• Ilustraciones en las que se puedan
representar fracciones, ya sea
como parte de una unidad
o de una colección de objetos.
Google : para tus tareas astromía.
• Información estadística de los
países del mundo que pueda
ser susceptible de ser representada
por fracciones, considerando
la unidad como la población
total del país consultado.
• Página económica y deportiva de
diarios locales para ser analizada.
• La visión que se tiene
de las fracciones como
parte de una unidad
debe ampliarse cuando
se considera un grupo de
objetos o de personas,
por eso la información
estadística es útil para
afianzar la idea de fracción.
• La elaboración de recetas
o mezclas con datos dados
en proporción puede
acercar al estudiante a un
contexto real de la utilidad
de las matemáticas.
• La conversión de medidas
de longitud puede apoyar
el proceso de operaciones
básicas con decimales.
Unidad 7: Geometría y proporcionalidad
1. Elementos básicos de la geometría.
2. Ángulos.
3. Rectas paralelas y perpendiculares.
4. Polígonos.
5. El plano cartesiano.
6. y 7. Concepto de proporción.
8. Porcentaje y tanto por ciento.
Unidad 8: Medición
1. Medidas de longitud.
2. Medidas de área.
3. Áreas de polígonos y círculo.
4. Volumen, masa y capacidad.
5. Unidades de tiempo.
Unidad 9: Estadística
1. Recolección de información.
2. Medidas de tendencia central.
3. Diagramas de barras.
4. y 5. Diagrama lineal y circular.
• Modelos de figuras para hacer
en papel (origami).
Google: cientec matematica.
Un Club de origami.
• Lectura sobre elementos
de geometría euclideana
y no euclideana.
Google: educarchile geometría
interactiva.
• Fotografías para analizar su escala
y proporción.
• Extractos bancarios donde
se muestre los intereses cobrados
por el banco o los que ganan
los clientes.
• Gráficas estadísticas.
• Encuestas realizadas por
los estudiantes.
• El origami puede ayudar
a los estudiantes a
descubrir las propiedades
de las figuras planas.
• Construcción de entes
geométricos con regla
y compás.
• El geoplano ayuda
a interpretar hechos
geométricos y a describir
propiedades de las figuras
bidimensionales.
• Problemas que impliquen
la estimación de tiempos
de recorrido de un viaje,
conocidos la velocidad
y la distancia, apoya
la contextualización
de la proporcionalidad.

29
Tabla de estándares e indicadores de logros propuestosTabla de estándares e indicadores de logros propuestos
oficialmente para los grados séptimo, octavo y novenooficialmente para los grados séptimo, octavo y noveno
Pensamiento/
sistemas
Numérico/
numéricos
Espacial/
geometría
Métrico/
de medidas
Aleatorio/
de datos
Variacional/ alge-
braicos y analíticos
Indicadores
de logros
de séptimo
a noveno.
• Identifica y usa
los números
enteros y los
racionales
en diferentes
contextos,
los representa
de diversas
formas y
establece
relaciones
entre ellos.
• Redefine las
operaciones
con racionales
y establece
conexiones
entre ellas.
• Comprende
y usa la
proporcionalidad
directa e inversa
de magnitudes,
en distintos
contextos de
la vida cotidiana.
• Construye modelos
geométricos,
esquemas, planos
y maquetas
utilizando escalas,
instrumentos
y técnicas
apropiadas,
además visualiza,
interpreta
y efectúa
representaciones
de objetos
tridimensionales
en el plano.
• Visualiza,
reconoce y efectúa
transformaciones
de polígonos
en el plano y
las utiliza para
establecer
congruencia,
semejanza
y simetría
entre figuras.
• Halla la
circunferencia
y el área de un
círculo.
• Deduce y aplica
las fórmulas
para el área
de triángulos
y paralelogramos,
el área de
superficie
y el volumen
de conos, prismas
y pirámides.
• Deduce y aplica
la fórmula para
la distancia entre
dos puntos del
plano cartesiano.
• Conoce y aplica
las fórmulas
para el área
de la superficie
y el volumen
de una esfera.
• Formula
inferencias y
argumentos
coherentes,
utilizando
medidas
de tendencia
central y de
dispersión
para el
análisis
de datos,
interpreta
informes
estadísticos
y elabora
críticamente
conclusiones
o conjeturas.
• Elabora modelos de
fenómenos
del mundo real
y de las
matemáticas
a través de
sucesiones, de series
de las funciones
lineal, constante,
idéntica, opuesta de
gráfica lineal
y cúbica.
• Construye e
interpreta fórmulas,
ecuaciones e
inecuaciones
para representar
situaciones
que requieren
variables, opera
con cualquiera
de ellas y halla
procedimientos para
resolver ecuaciones
e inecuaciones.
Procesos
Grupo de
grados
Planteamiento
y resolución
de problemas
Razonamiento
matemático
Comunicación
matemática
Modelación Procedimientos
Indicadores
de logros
séptimo
a noveno.
• Investiga y
comprende
contenidos
y procedimientos,
a partir de enfoques
de tratamiento
y resolución
de problemas y
generaliza soluciones
y estrategias para
nuevas situaciones.
• Formula problemas
a partir de
situaciones dentro
de las matemáticas
y en otras disciplinas.
• Desarrolla y aplica
estrategias para
resolver, verificar
e interpretar
los resultados
de un problema.
• Formula, argumenta
y pone a prueba
hipótesis, las
modifica o las
descarta y reconoce
las condiciones para
que una propiedad
matemática se
cumpla; aplica estos
procedimientos
en la formulación,
análisis y resolución
de problemas.
• Hace estimaciones
sobre numerosidad,
resultados de
cálculos y medición
de magnitudes
concretas y las
utiliza para verificar
resultados.
• Representa y
analiza funciones
utilizando para ello
tablas, expresiones
orales, expresiones
algebraicas,
ecuaciones
y gráficas y hace
traducciones
sobre estas
representaciones.
• Interpreta
expresiones
algebraicas
y diagramas
operacionales
y de flujo, traduce
de unos a otros
y opera con
ellos utilizando
diferentes tipos
de números.
• Reduce una
situación
a una ya
conocida,
de tal
manera
que puede
detectar qué
operaciones
matemáticas
pueden ser
pertinentes
para
responder a
las preguntas
que suscita
dicha
situación.
• Reflexiona
sobre los
procedimientos
que
conducen al
reconocimiento
de patrones
y regularidades
en el interior
de determinado
sistema
simbólico.

30
Grado: //Septimo// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________
Unidad 1: Lógica y conjuntos
1. Las proposiciones.
2. Conjunción e intersección.
3. Disyunción y unión.
4. Complemento y negación.
5. Diferencia de conjuntos.
6. Diferencia simétrica.
7. Cuantificadores.
Unidad 2: Enteros
1. Números relativos y enteros.
2. Orden y valor absoluto.
3. Adición de enteros.
4. Sustracción de enteros.
5. y 6. Ecuaciones y problemas.
7. Multiplicación de enteros.
8. Problemas.
10. División de enteros.
11. y 12. Ecuaciones y problemas.
13. Polinomios aritméticos.
• Ejercicios de lógica cuyo enunciado
puede interpretarse a partir de tablas.
Google:Lógica proposicional - wikillerato.
• Fragmentos de textos que permita
evidenciar en una primera lectura hechos
carentes de lógica o falsos.
• Textos para reescribir haciendo uso
de la negación de las proposiciones
que se identifiquen en ellos.
• Ejercicios con operaciones incompletas
y cuya solución sean números naturales
o enteros.
• Juegos de posiciones sobre tableros
numéricos.
• Tablas de conversión de unidades de
temperatura (Celsius, Fahrenheit, Kelvin).
• Problemas propuestos y resueltos con
ecuaciones.
Google: Vamos a resolver problemas.
Recurso argentino con problemas
con ecuaciones.
• Explicar la incidencia
de los cuantificadores
y de las negaciones en diversos
textos, afianza la necesidad
de manejar una comunicación
sin ambigüedades.
• Muchos problemas cuya
solución a simple vista es
compleja, resultan sencillos
cuando se usan esquemas de
conjuntos en su interpretación.
• El uso adecuado de la
representación de ideas
matemáticas, clarifica hechos
y relaciones entre los números,
un buen manejo de la recta
numérica es un ejemplo de ello.
• El uso de las operaciones
incompletas, desarrolla
en los estudiantes la idea
de reversibilidad de las
operaciones.
Grado: //Séptimo// Período: < 02 > Tiempo previsto: _______________________________
Unidad 3: Racionales
1. Fracciones equivalentes.
2. Ubicación en la recta numérica
y orden.
3. Adición y sustracción de racionales.
4. Propiedades de la suma de racionales.
5. Multiplicación de racionales.
6. División de racionales.
7. Ecuaciones.
8. Problemas.
Unidad 4: Decimales
1. Expresiones decimales y orden.
3. Multiplicación y división de decimales.
4. Problemas.
5. Fracción generatriz de un decimal.
• Ilustraciones en las que se puedan
representar fracciones, ya sea como parte
de una unidad o de una colección de datos.
• Mategramas (cuadros con operaciones
y números que deben cumplir ciertas
condiciones).
• Problemas variados cuya interpretación
conduzca al planteamiento de una ecuación.
Se pueden remitir al cálculo de la edad de
Diofanto a partir de lo que reza su epitafio.
• Avisos de prensa en los que se sugieran
ofertas.
• Páginas económica y deportiva de diarios.
• Monedas y billetes de distintos países
y su valor con referencia al dólar.
• Lectura sobre el número Pi y el número
de oro.
Google: comenius unidad 1
• La representación
y la comunicación de ideas
matemáticas de manera
adecuada, hace que los
estudiantes busquen no
solamente los términos sino
las representaciones más
fieles a la realidad.
• Otro de los procesos propios
de las matemáticas son las
conexiones, y los medios
de comunicación ofrecen
abundantes recursos
y situaciones que pueden
ser aprovechadas al máximo.

31
Unidad 5: Razones y proporciones
1. Razones
2. Proporciones
3. Propiedades de las proporciones.
4. Correlación
5. Regla de tres simple directa.
6. Porcentaje
7. Regla de tres simple inversa.
8. Regla de tres compuesta directa o inversa.
9. Repartos proporcionales.
10. Matemática financiera.
Unidad 6: Geometría
1. Plano cartesiano.
2. Usos del plano cartesiano.
3. simetría y reflexión en el plano cartesiano.
4. Traslación
5. Rotación
6. Composición de transformaciones.
7. Homotecias
8. Congruencia y semejanza de figuras.
• Planos o mapas.
• Resortes.
• Maquetas construidas por los
estudiantes.
• Gráficas estadísticas para inferir
o concluir sobre un determinado
comportamiento.
• Datos acerca de las distancias medias
de los planetas al Sol para elaborar
representaciones a escala.
• Recetas para analizar la variación
en la cantidad de ingredientes cuando
se va a preparar un número mayor
de porciones.
• Lectura sobre impuestos y gravámenes.
Google: Las matematicas y el iva.
• Demostración dinámica de
transformaciones isométricas.
Google: Geolay movimientos.
Recurso para geometría interactiva.
• El uso de representaciones
de objetos reales ayuda
a los estudiantes a hacer
uso de la proporcionalidad.
De otro lado, otro tipo de
representación igualmente
importante es la que expresa
el cambio de una magnitud con
respecto a otra y que puede
hacerse evidente sobre un
plano cartesiano.
• Los ejemplos para analizar la
forma cómo se relacionan dos
magnitudes, son abundantes
y variados: el precio de un
artículo y el número de ellos
que se pueden comprar con
cierta cantidad de dinero,
la velocidad de un auto y la
distancia que consigue en un
período de tiempo, entre otras.
Unidad 7: Medición
1. Medidas de longitud.
2. Perímetro de figuras planas.
3. Teorema de Pitágoras.
4. Circunferencia
5. Medidas de área.
6. Área de figuras planas.
7. Área del círculo.
8. Áreas sombreadas.
Unidad 8: Estadística y probabilidad.
1. Tablas y gráficas de barras.
2. Gráficas circulares.
3. Medidas de tendencia central.
4. Combinación de elementos de un conjunto.
• Cuadriculas para reproducir a escala
ilustraciones.
• Diseños artísticos para teselar el plano.
• Demostraciones del teorema
de Pitágoras a partir de Bhaskara
y el rompecabezas de Ozanam.
Google: actividades teorema popular
de la matematica.
• Representación de un tablero de billar
para analizar los efectos de una bola
cuando choca contra una banda.
• Encuestas hechas por los estudiantes
a partir de las cuales puedan
determinarse las medidas de
tendencia central.
• Actividades de probabilidad.
Google: actividades para clase
de matematicas.
• Tablas y gráficas de barras.
Google: that quiz
• Construir figuras que tengan
un perímetro o un área dada,
es muy útil cuando se busca un
indicador de que el concepto
de longitud y de área están
bien aprehendidos y que
hay claridad en cuanto a sus
diferencias.
• En los procesos de medición,
ayudas como el plano
cartesiano o el geoplano son
prácticamente indispensables.
En otros donde la medida
que se hace es estadística, las
encuestas y su análisis son la
herramienta necesaria.
• Por último, los ejercicios
de combinatoria pueden
plantearse a partir de
situaciones reales como
la codificación de las placas
de los automóviles, entre otros.

32
Grado: //Octavo// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________
Unidad 1: Conjuntos
1. Conjunción y disyunción.
2. Implicación y doble implicación.
3. Reglas de inferencia.
Unidad 2: Los números reales
1. y 2. Expresiones decimales.
3. Números irracionales.
4. Operaciones con reales.
5. Notación científica.
Unidad 3: Ecuaciones e inecuaciones
lineales.
1. Ecuaciones con una sola operación.
2. Ecuaciones con mas operaciones.
3. Solución de ecuaciones.
4. Problemas de aplicación.
5. Desigualdades e inecuaciones.
• Juegos de posiciones.
• Secuencias de objetos que pueden
describirse de manera numérica.
• Construcciones con regla y compás
de números reales.
• Situaciones de crecimiento
de poblaciones.
• Situaciones que involucren notación
científica como son las distancias
orbitales y de los planetas.
Google: Scientific notation janus.
• Problemas que involucren ecuaciones.
Google: Problemas sencillos ecuaciones.
• Ejercicios propuestos de ecuaciones.
Google: sos math.
• El pensamiento inductivo
puede desarrollarse a partir
del estudio de sucesiones
numéricas, sustentado
en la argumentación y
en las leyes de inferencia.
• En cuanto al manejo de
los números reales, puede
destacarse el concepto de
conmensurabilidad, a partir
del cual se hace la distinción
entre racionales e irracionales.
• La comunicación efectiva en
matemáticas puede mejorarse
cuando se interpretan
enunciados que conducen
al planteamiento de ecuaciones
e inecuaciones.
Contenidos Recursos propuestos
Metodología
propuesta
Unidad 4: Polinomios
1. Expresiones algebraicas.
2. Polinomios.
3. Adición de polinomios.
4. Sustracción de polinomios.
5. Multiplicación de polinomios.
6. Cuadrado de un binomio.
7. Suma por diferencia de un binomio.
8. Producto de dos binomios que tienen un término común.
9. Cubo de la suma y la diferencia de un binomio.
10. Triángulo de Pascal.
11. y 12. División de polinomios.
13. División sintética.
14. Cocientes notables.
Unidad 5: Factorización
1. Factor común.
2. Agrupación de términos.
3. Trinomios cuadrados perfectos.
4. Trinomios x2+bx+c.
5. y 6. Trinomios ax2+bx+c.
7. Diferencia de cuadrados perfectos.
8. Potencias iguales.
9. Miscelánea de factorización.
• Situaciones en las que las
descripciones de algunas
propiedades de las figuras como
su área o su volumen, llevan al
uso de las variables.
• Ejercicios variados para calcular áreas
de regiones sombreadas.
• Ejercicios de factorización.
Google: fisicanet matematicas
Recurso argentino con ejercicios
propuestos de factorización álgebra.
• Lecciones de álgebra y precálculo.
Google: coolmath
Recurso norteamericano con
lecciones de repaso.
• Descomposición de figuras planas
en otras cuyas áreas sumadas sean
la figura original.
• Triángulo de pascal.
Google: eduteka triángulo de pascal.
• Problemas que involucren el cálculo
de áreas que se han quitado de una
superficie mayor o de volúmenes
extraídos de un sólido mayor.
• La primera
aproximación a
los polinomios puede
lograrse a partir
de la generalización
mediante el uso de
las variables de
hechos matemáticos.
• El necesario manejo
algebraico de las
operaciones con
polinomios cobra
relevancia cuando
se les emplea
en la solución
de problemas.
• El trabajo con áreas
y volúmenes
de figuras pueden
llenar de sentido
la factorización
de polinomios.

33
Unidad 6: Fracciones algebraicas
1. Fracciones algebraicas y su simplificación.
2. Multiplicación y división de fracciones algebraicas.
3. Adición y sustracción de fracciones algebraicas.
4. Ecuaciones fraccionarias.
Unidad 7: El plano cartesiano
y las funciones de gráfica lineal
1. Plano cartesiano.
2. Relaciones
3. Funciones
4. Representación gráfica de funciones.
5. Funciones compuestas.
6. Función de gráfica lineal.
7. Ecuación de una recta.
8. Rectas paralelas y perpendiculares.
9. Aplicación de la función lineal.
10. Introducción a la probabilidad.
• Problemas que conduzcan
a modelos que incluyan los
recíprocos de ciertas cantidades.
• Calculadora graficadora
o la computadora.
• Representaciones sobre el plano
cartesiano que describan, de forma
aproximada, la variación
de dos magnitudes.
• Representación grafica
de funciones.
Google: eduteka funciones
más complicadas.
• Problemas variados a partir
de los cuales pueda hacerse
una descripción analítica y
funcional de la relación y la
variación de dos magnitudes.
• Descripciones orales de hechos
cotidianos susceptibles
de ser representados, en forma
aproximada, sobre un plano
cartesiano.
• Lectura sobre ingresos, costos
y punto de equilibrio económico.
• La sección de solución
de problemas muestra
situaciones en las que el uso
de fracciones algebraicas se
hace útil en la solución de
problemas reales.
• Muchas situaciones diarias
y cercanas a los estudiantes,
involucran la relación
entre dos magnitudes,
que con la ayuda de los
ejes coordenados señalan
una aproximación
al concepto de función.
• La solución de múltiples
problemas que involucran
de manera tácita o implícita
funciones de gráfica lineal,
le dan una connotación
diferente al manejo
rutinario de este concepto,
a la par que promueve una
comunicación efectiva
de ideas matemáticas
Unidad 8: Geometría plana
1. Conceptos básicos.
2. Líneas y planos paralelos.
3. Propiedades de las rectas paralelas.
4. Los triángulos y las rectas paralelas.
5. Congruencia triangular.
6. Usos de la congruencia triangular.
7. Simetría.
Unidad 9: Las medidas de los sólidos
1. y 2. Área y volumen de prismas y pirámi-
des, cilindros y conos.
3. Área y volumen de la esfera.
Unidad 10: Estadística y probabilidad
1. Población y datos.
2. Frecuencia absoluta y relativa.
3. Gráficas estadísticas.
4. Medidas de tendencia central
y de dispersión.
• Construcciones con regla y compás.
• Teoremas sencillos para que sean demostrados
por los estudiantes.
Google: los elementos de Euclides.
Recurso español con teoría y actividades
para realizar en el aula.
Google: activities shodor.
Recurso norteamericano con propuesta
de distintas actividades de geometría.
• Desarrollar la teoría de grafos a partir
de las teorías de Euler y Hamilton.
Google: Problemas de geometría 2.
En él podrá encontrar el famoso problema
de los puentes de Konigsberg y su desarrollo.
• Situaciones variadas de estudios estadísticos
en las que puedan evidenciarse la importancia
de tener una técnica de muestreo adecuada.
• Resultados de encuestas tomadas de revistas
o de Internet que permitan evidenciar
la importancia de las medidas de tendencia
central.
• En la unidad de geometría
se recobra la posibilidad
de argumentar de manera
formal con base en los
postulados y los teoremas
clásicos de la geometría.
• En cuanto al manejo
de volúmenes se refiere,
puede darse un cambio
de óptica, al considerar
como elemento
fundamental la solución
de problemas y como
secundario la aplicación
de una fórmula.
• La estadística y la
probabilidad deben proveer
al estudiante de elementos
para interpretar su realidad.

34
Grado: //Noveno// Período: < 01 > Tiempo previsto: _______________________________
Unidad 1: Números reales
1. Números reales.
2. y 3. Expresiones decimales de un número
real.
4. Ubicación de reales en la recta.
5. Valor absoluto.
6. Exponentes enteros.
7. a 11 Radicales y operaciones.
12. Racionalización.
13. Ecuaciones con radicales simples.
Unidad 2: Funciones
1. Definición y notación de funciones.
2. y 3. Función constante y lineal.
4. Función inversa.
5. Función cuadrática.
6. y 7. Funciones crecientes y decrecientes.
8. y 9. Traslación de gráficas.
• Elementos de geometría para
determinar el punto que corresponde
a algunos números irracionales sobre
la recta real.
• Ejemplos variados que muestren
las clasificaciones que pueden hacerse
con las funciones.
• Modelos reales de situaciones
que pueden corresponder a un tipo
de función en particular.
• Conceptos de las funciones cuadráticas
en el tiro parabólico.
Google: x.edu funcion cuadratica.
Recurso uruguayo que ofrece la teoría
sobre cuadráticas.
• Desarrollar el concepto de interés
simple e interés compuesto como
una introducción a la función lineal
y exponencial con relación al número
de Euler.
• El uso de la calculadora
puede ayudar a descubrir
regularidades numéricas
de los números decimales
y de su expresión fraccionaria.
• Un buen manejo del concepto
de función y en particular,
del de función de gráfica lineal,
puede ser el punto de partida
a partir del cual se aborden
otro tipo de funciones.
• Es necesario hacer énfasis
en los modelos que pueden
generarse a partir del manejo
de diferentes tipos de función.
• La traslación de gráficas,
es un buen recurso para
hacer bosquejos de gráficas
de funciones a partir
una gráfica de base.
Grado: //Noveno// Período: < 02 > Tiempo previsto: _______________________________
Unidad 3: Funciones exponenciales
y logarítmicas
1. Función exponencial.
2. Función logarítmica.
3. Propiedades de las funciones exponencial
y logarítmica.
4. Propiedades de los logaritmos.
5. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Unidad 4: Sistemas de ecuaciones
1. Coordenadas cartesianas.
2. Ecuaciones lineales con dos variables.
3. Pendiente de una recta.
4. y 5 Ecuación de una recta. Rectas parale-
las
y perpendiculares.
6. a 9 Métodos para solucionar sistemas
2 x 2.
10. Matrices y determinantes.
11. Solución de problemas con sistemas 2 x 2.
• Problemas de crecimiento de
poblaciones, a partir de los cuales
pueda conjeturarse acerca del número
de habitantes de una comunidad
en un tiempo dado.
• Ejercicios de interpolación y
extrapolación para la cuantificación
de cantidades.
• Trabajo interactivo con tutoriales de
internet y calculadoras graficadoras.
Google: logarithm function wtamu.
Recurso norteamericano para identificar
y trabajar las funciones logarítmicas.
Google: ematematicas.net
Recurso español con ejercicios
interactivos de sistemas
de ecuaciones lineales.
• Ejercicios de economía que estén
referidos al cálculo de valores futuros
y anualidades como una introducción
a las sucesiones y progresiones.
• Existen múltiples hechos
reales que se ajustan
a modelos funcionales como
el exponencial y el logarítmico,
el crecimiento poblacional
y la intensidad del sonido
son solamente dos de ellos.
• Los sistemas de ecuaciones,
pueden abordarse a partir
de su representación gráfica
superponiendo dos acetatos,
en cada uno de los cuales se
representa cada recta, pero
una calculadora graficadora
o la misma computadora
son recursos que hoy por
hoy facilitan mucho más
la interpretación de un sistema
de ecuaciones y de lo que
hay más allá de conocer
y reproducir métodos
para solucionarlos.

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