1. 1
Universidad Estatal de Milagro
Sistema Nacional de Nivelación y
Admisión
Curso de nivelacion
2013
Proyecto de Aula Matemàticas
Integrantes:
>Narcisa Martinez >Raùl Lopez
>Merly Sacoto >Angelica Alvarado
>Jessica Martinez
MILAGRO - ECUADOR
Lcda:
Paulina Verzosi

2. 2
Índice
INTRODUCCIÓN.....................................................................................................................3
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A PRIMER
GRADO ....................................................................................................................................4
ECUACIONES CON RADICALES CON DENOMINADORES............................................7
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS ................................10
SUMA ALGEBRAICA DE MONOMIOS...............................................................................13
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CON MONOMIOS...............................................14
CONCLUSION.......................................................................................................................16
BIBLIOGRAFÍAS:..................................................................................................................17

3. 3
INTRODUCCIÓN
Hemos procurado que la presentación de este manual pueda constituir por si solo
una fuente de información para la motivación del trabajo estudiantil, queriendo
obtener un mejor aprendizaje vital y eficaz.
Generalmente, la factorización es un paso previo para cualquier operación
algebraica.
Esto también aplica a los conocimientos avanzados que obtengamos, donde este
material sea utilizado por muchos maestros y estudiantes, situándonos en otro
nivel de conocimiento.
El aprendizaje de Matemática contribuye al desarrollo de habilidades
comunicativas, que hacen más precisa y rigurosa la expresión de ideas y
razonamientos, las diversas formas de expresión Matemática son (numérica,
gráfica, simbólica, lógica, probabilística y estadística).
Matemática está asociada específicamente, al desarrollo de un conjunto de
habilidades referidas a: procedimientos, resolución de problemas, estructuración y
generalización de los conceptos matemáticos.
Las Matemáticas están divididas en numerosas ramas muy interrelacionadas
entre sí, algunos objetos de estudio son: teoría de los conjuntos, lógica
matemática, investigación operativa, números enteros, racionales, irracionales,
natural, complejo, cálculo, ecuaciones, álgebra, geometría.

4. 4
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON RADICALES QUE
SE REDUCEN A PRIMER GRADO
Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo
radical.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad,
involucrando una o más variables a la primera.
Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes
pasos:
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro
los demás términos.
2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida
y se igualan entre sí (depende del índice de la raíz involucrada).
3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por
el contrario, contiene uno o más radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener
una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta última ecuación.
4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y
se determinan las raíces extrañas. El proceso de liberar la ecuación de radicales
se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.
Resolución: 𝑥 + 𝑥 + 7 =7
Aislando un radical: 𝑥 + 7 = 7− 𝑥
Elevando al cuadrado: ( 𝑥 + 7 )2
= (7− 𝑥)2
O sea x +7 = (7)2
-2 (7) ( 𝑥) + ( 𝑥)2
Efectuando: x+7=49-14 𝑥+ x

5. 5
Reduciendo en semejantes: x-x+7-49= -14 𝑥
Dividiendo por 7: -42 = -14 𝑥
Elevando al cuadrado (-6)2
=(-2 𝑥)2
36=4x
X=
36
4
X=9 R//
2.- EJERCICIO x − 4 + x + 4 = 2 𝑥 − 1
x − 4
2
= (2 x − 1 – x + 4)
2
X-4 = (2 𝑥 − 1)
2
− 2(2 𝑥 − 1) ( 𝑥 − 4) + ( 𝑥 + 4)
2
X-4 =4x-4-4 x2 + 3x − 4 + x+4
X-4 -4x +4-x-4 =-4 x2 + 3x − 4
(-1) -4x-4=-4 x2 + 3x − 4
4x-4=4 x2 + 3x − 4÷ 4
(x+1)2
= ( x2 + 3x − 4 ) 2
X2
+2x+1 = x2
+3x -4
X2
+2x- x2
-3x = -4 -1
-x = -5
X=-5/-1
X=5 R//

6. 6
3.-EJERCICIO 7+ 5x − 2
3
= 9
5x − 2
3
= 9 – 7
( 5x − 2)3 3
= (2)3
5x − 2 = 8
5x = 8 +2
5x = 10
X =
10
5
X =2 R//
4.-EJERCICIO x − 2 + 5 = x + 53
( x − 2 + 5)2
=( x + 53 )2
( x − 2 )2
+ 2 ( x − 2 ) (5) + (5)2
= X + 53
X – 2 + 10 x − 2 + 25 = X + 53
10 x − 2 = X + 53 – X + 2 – 25
10 x − 2 = 30 ÷ 10
( x − 2 )2
= (3)2
X -2 = 9
X= 9 + 2
X= 11 R//

7. 7
5.-EJERCICIO: 15 - 7x − 1
3
= 12
− 7x − 1
3
= 12 – 15
(-1) − 7x − 1
3
= -3
( 7x − 1
3
)3
= (3)3
7X -1 = 27
7X = 27+1
7X = 28
X =
28
7
X = 4 R//
ECUACIONES CON RADICALES CON DENOMINADORES
Son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.
1. Se busca el m.c.m y se divide para cada uno de los términos.
2. Se aísla un radical en uno de los miembros pasando al otro miembro al
resto de los términos, aunque tengan también radicales.
3. Se elevaran al cuadrado los dos miembros.
4. Se resuelve la ecuación obtenida.
5. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay
que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene las
mismas soluciones y además las de la ecuación que se obtiene
combinando el signo de unos de los miembros de la ecuación.
6. Si la ecuación tiene varios radicales se repite las dos primeras fases del
proceso hasta eliminarlos todos.
1.- EJERCICIO:
5
5
− 3𝑥 + 1 = 0

8. 8
5 − 5 3𝑥 + 1 = 0
5 − 5 3𝑥 + 1 = 0
52
= ( 5 3𝑥 + 1 )2
25 = ( 15𝑥 + 5 )2
25 = 15𝑥 + 5
25 − 5 = 15𝑥
20 = 15𝑥
20
15
= 𝑥
𝟒
𝟑
= 𝑿 R//
2.-EJERCICIO
𝑋 + 𝑋 + 5 =
10
𝑋
𝑋. 𝑋 + 𝑋. 𝑋 + 5 = 10
( 𝑋)2
+ 𝑋(𝑋 + 5) = 10
𝑋 + 𝑋 𝑋 + 5 = 10
( 𝑋2 + 5𝑋)2
= ( 10 − 𝑋)2
𝑋2
+ 5𝑋 = 100 − 20𝑋 + 𝑋2
𝑋2
− 𝑋2
+ 5𝑋 + 20𝑋 = 100
25𝑋 = 100
𝑋 =
100
25
𝑋 = 4

9. 9
3.- EJERCICIO
𝑋 − 3 +
8
𝑋 + 9
= 𝑋 + 9
8 = 𝑋 + 9 . 𝑋 + 9 − 𝑋 + 9 . 𝑋 − 3
8 = ( 𝑋 + 9)2
− 𝑋 + 9(𝑋 − 3)
8 = 𝑋 + 9 − 𝑋2 + 6𝑋 − 27
8 − 𝑋 − 9 = − 𝑋2 + 6𝑋 − 27
(−1 − 𝑋)2
= −( 𝑋2 + 6𝑋 − 27)2
1 + 2𝑋 + 𝑋2
= 𝑋2
+ 6𝑋 − 27
𝑋2
− 𝑋2
+ 2𝑋 − 6𝑋 = −27 − 1
−4𝑋 = −28
𝑋 =
−28
−4
𝑋 = 7
4.- EJERCICIO 𝑋 + 4 − 𝑋 − 1 =
2
𝑋−1
𝑋 − 1 . 𝑋 − 4 − 𝑋 − 1 . 𝑋 − 1 = 2
𝑋 − 1(𝑋 − 4) − ( 𝑋 − 1)2
= 2
𝑋2 + 3𝑋 − 4 − 𝑋 + 1 = 2
𝑋2 + 3𝑋 − 4 = 2 − 1 + 𝑋
( 𝑋2 + 3𝑋 − 4)2
= (1 + 𝑋)2

10. 10
𝑋2
+ 3𝑋 − 4 = 1 + 2𝑋 + 𝑋2
𝑋2
− 𝑋2
+ 3𝑋 − 2𝑋 = 4 + 1
𝑋 = 5
5.- EJERCICIO
𝑋 +
6
2
= 10
2 𝑋 + 6 = 20
2𝑋 = 20 − 6
( 2𝑋)2
= (14)2
2𝑋 = 196
𝑋 =
196
2
𝑋 = 98
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LITERALES
FRACCIONARIAS
Una ecuación literal fraccionaria es aquella cuyos coeficientes y términos
independientes pueden ser números racionales (fracción).
El método para resolver es semejante al de las ecuaciones literales enteras.
Si es posible quitamos los denominadores multiplicando la ecuación por dicho
denominador, y se resuelve la ecuación como entera ejemplo:

11. 11
Resolver:
𝐚−𝟏
𝐱−𝐚
−
𝟐𝐚 𝐚−𝟏
𝐱 𝟐−𝐚 𝟐 = −
𝟐𝐚
𝐱+𝐚
El m.cm.de los denominadores es x2
-a2
= (x+a) (x-a).
Dividiendo x2
-a2
entre cada denominador y multiplicando cada coeficiente por el
numerador respectivo, tendremos:
(a-1) (x+a)-2a (a-1)=-2a (x-a)
Efectuando las operaciones indicadas:
ax-x+a2
-a-2a2
+2a = -2ax+2a2
Transponiendo:
ax-x+2ax = -a2
+a+2a2
-2a+2a2
Reduciendo:
3ax –x = 3a2
-a
Factorando ambos miembros:
X(3a-1) = a(3a-1)
Dividiendo ambos miembros por (3a-1) queda, finalmente:
x = a R//
2.-EJERCICIO mcm (mx)
𝐦
𝐱
−
𝟏
𝐦
=
𝟐
𝐦
𝑚 𝑚 − 1 𝑥 = 2(𝑥)
m2
- x= 2x
−x − 2x = −m2
−3x = −m2
𝒙 =
𝒎 𝟐
𝟑
𝑹//

12. 12
3.-EJERCICIO mcm (2ax)
𝐚 − 𝟏
𝐚
+
𝟏
𝟐
=
𝟑𝐚 − 𝟐
𝐱
2𝑥 𝑎 − 1 + 1 𝑎𝑥 = 2𝑎 3𝑎 − 2
2𝑎𝑥 − 2𝑥 + 𝑎𝑥 = 6𝑎2
− 4𝑎
3𝑎𝑥 − 2𝑥 = 2𝑎 3𝑎 − 2
𝑥 =
2𝑎 3𝑎−2
3𝑎−2
𝒙 = 𝟐𝒂 𝑹//
4.-EJERCICIO mcm (x-n) (m+x)
𝒙 + 𝒎
𝒙 − 𝒏
=
𝒏 + 𝒙
𝒎 + 𝒙
𝑥2
+ 2𝑚𝑥 + 𝑚2
= 𝑥2
− 𝑛2
𝑥2
+ 2𝑚𝑥 − 𝑥2
= −𝑚2
− 𝑛2
2𝑚𝑥 = −𝑚2
− 𝑛2
𝒙 =
−𝒎 𝟐
− 𝒏 𝟐
𝟐𝒎
𝑹//
5.-EJERCICIO mcm (x+a) (4x+a)
𝟐𝒂 + 𝟑𝒙
𝒙 + 𝒂
=
𝟐 𝟔𝒂 − 𝒂
𝟒𝒙 + 𝒂
4𝑥 + 𝑎 2𝑎 + 3𝑥 = 12𝑥 − 2𝑎 𝑥 + 𝑎
11𝑎𝑥 + 2𝑎2
+ 12𝑥2
= 12𝑥2
+ 10𝑎𝑥 − 2𝑎2
11𝑎𝑥 + 12𝑥2
− 12𝑥2
− 10𝑎𝑥 = −2𝑎2
− 2𝑎2
𝑎𝑥 = −4𝑎2
𝑥 =
−4𝑎2
𝑎
𝒙 = −𝟒𝒂 𝑹//

13. 13
SUMA ALGEBRAICA DE MONOMIOS
Una suma algebraica es una operación matemática donde intervienen la suma y
la resta, cada número de la suma es separado por un signo más o un signo
menos, Los términos precedidos por el signo más se llaman términos positivos y
los términos precedidos por el signo menos (-4, -2, -6) se llaman términos
negativos.
1.- EJERCICIO:

Sumar:-x2
y2
,-5xy3
,-4y4
, 7xy3
,-8, x2
y2

Cuando algún sumando es NEGATIVO suele incluirse dentro de un
paréntesis, para indicar la suma.
-x2
y2
+ (-5xy3
) + (-4y4
)+7xy3
+ (-8)+ x2
y2
 tendremos:
-x2
y2
-5xy3
-4y4
+7xy3
-8 + x2
y2
 la suma será:
2xy3
-4y4
- 8 R//
2.- EJERCICIO: 6 a2
,-7b2
,-11,-5ab, 9a2
-8 b2
6 a2
(-
7b2
) + (-11) + (-5ab) + 9a2
+ (-8 b2
)
6 a2
-7b2
-11 -5ab + 9 a2
-8b2
15a2
-5ab -15b2
-11 R//
3. - EJERCICIO: -8 a2
b, 5ab2
, - a2
b,- 11 a b2
-7b3
-8 a2
b + 5ab2
+ (-a2
b) + (-11 ab2
)+ (-7b3
)
-8 a2
b + 5ab2
- a2
b - 11 a b2
-7b3
-9 a2
b - 6ab2
- 7b3
R//

14. 14
4. - EJERCICIO: m3
, -8m2
n, 7mn2
, -n3
, 7m2
n
m3
+ (-8m2
n) + 7mn2
+ (-n3
) + 7 m2
n
m3
-8m2
n + 7mn2
-n3
+ 7 m2
n
m3
- m2
n+ 7mn2
-n3
R//
5. - EJERCICIO: 9x, -11y, -x, -6y, 4z, -6z
9x + (-11y) + (-x) + (-6y) + 4z + (-6z)
9x -11y- x- 6y + 4z - 6z
8x – 17y -2z R//
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CON MONOMIOS
Simplificar una fracción Algebraica es convertirla en una fracción equivalente
cuyos términos sean primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es
irreducible y entonces la fracción esta reducida a su más simple expresión o a su
mínima expresión.
Regla
Se dividen el numerador y el denominador y el denominador por sus factores
comunes hasta que sean primos entre sí.
1.-EJERCICIO
72x4y3
48x2y5
=
72𝑥𝑥𝑥𝑥.𝑦𝑦𝑦
48𝑥𝑥.𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦
=
𝟑𝐱 𝟐
𝟐𝐲 𝟐
R//

15. 15
2.-EJERCICIO
8a5b3c2
6a2b9c2 =
8𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎 .𝑏𝑏𝑏 .𝑐𝑐
6𝑎𝑎.𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 .𝑐𝑐
=
𝟒𝐚 𝟑
𝟑𝐛 𝟔 R//
3.-EJERCICIO
42a2c3n
26a4c5m
=
42𝑎𝑎 .𝑐𝑐𝑐 .𝑛
26𝑎𝑎 𝑎𝑎.𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐.𝑚
=
𝟐𝟏 𝒏
𝟑𝐚 𝟐 𝐜 𝟐 𝐦
R//
4.-EJERCICIO
a7b2c2
a3b2c4 =
𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 .𝑏𝑏 .𝑐𝑐
𝑎𝑎𝑎 .𝑏𝑏 .𝑐𝑐𝑐𝑐
=
𝐚 𝟒
𝐜 𝟐 R//
5.-EJERCICIO
a4b7n3
b9x6y
=
𝑎𝑎𝑎𝑎 .𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 .𝑛𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏.𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 .𝑦
=
𝒂 𝟒 𝒏 𝟑
𝐛 𝟐 𝐱 𝟔 𝐲
R//

16. 16
CONCLUSION
A lo largo de este trabajo nos hemos podido dar cuenta que el gran número de
actividades realizadas fue con la ayuda de la factorización, permitiéndonos
conocer más sobre las ideas de las matemáticas que nos llevaron afrontar un
pensamiento más avanzado.
Aunque este trabajo se vio enmarcado por la dificultad, y ciertas inquietudes, en la
cual al finalizarlo, nos dimos cuenta que la capacidad del alumno por captar las
matemáticas es algo asombroso, aunque este caminar haya sido algo dificultoso,
realmente hemos podido resolver todos estos problemas a la hora de realizarlo y
poner todo nuestro empeño y ganas en el mismo.

17. 17
BIBLIOGRAFÍAS:
 Libro de baldor
 http://www.eva.com.mx/sia/materias/mat_053/podi/U5_liga3.html
 http://www.vitutor.net/2/7/ecuaciones_fraccionarias.html
 Biografía: Prof. Waldo Martínez González Pág. 1
(MISDEBERES.es>matemáticas>bachillerato
 Aurelio BaldorBaldor, A.]
 Libro de Repetto.