Algebra lineal unidad 4_1_2

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-2
0
2
4
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
X
Y
Z
UNIVERSIDAD JUAREZ AUTONOMA DE TABASCO
DIVISIÓN ACADÉMICA DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ALGEBRA LINEAL
Catedrático: Adolfo Cornelio Palacio
Cunduacán, Tabasco: Ciclo: Febrero – Agosto 2020
Contacto: E-mail: copal69.acp@gmail.com
Celular: 9932 10 6744

UNIDAD IV: Sistema de Ecuaciones Lineales
Matrices y Determinantes
4.1.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Por Algoritmos Gauss y Gauss Jordan
Eliminación Gaussiana:
i) Se divide la primera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑥 igual a 1.
ii) Se “eliminan” los términos de 𝑥 de la segunda y tercera ecuación.
iii) Se divide la segunda ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑦 igual a 1 y se usa la segunda ecuación para “eliminar” el término de
𝑦 de la tercera ecuación.
iv) Se divide la tercera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑧 igual a 1, obteniendo el valor de 𝑧.
v) Después se usa la sustitución hacia atrás para despejar primero 𝑦 y después 𝑥.
2

Matriz de los coeficientes y matriz aumentada
Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, una matriz de un sistema
equivalente resulta si:
(1) Se intercambian dos renglones.
(2) se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.
(3) un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.
Sistema
Matriz de los
coeficientes
Matriz aumentada
3𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = −1
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 6
4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 13
3 −2 −3
2 3 4
4 3 −2
3 − 2 − 3 − 1
2 3 4 6
4 3 − 2 13
3

Transformaciones elementales de renglón de una matriz
Símbolo Significado
𝑅𝑖 ↔ 𝑅𝑗 Intercambia renglón 𝑖 y 𝑗
𝑘𝑅𝑖 → 𝑅𝑖 Multiplica renglón 𝑖 por 𝑘
𝑘𝑅𝑖 + 𝑅𝑗 → 𝑅𝑗 Suma 𝑘 veces el renglón 𝑖 a el renglón 𝑗
Eliminación Gaussiana:
Ejercicio 4.1.7 Resolver el sistema
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = −3
−3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
4𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 4
4

1 −
3
2
1 −
3
2
-3 2 1 1 3𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2
4 1 -3 4 −4𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3
Se escribe el sistema en forma de matriz aumentada, para que el elemento 𝑎11 sea
unitario se divide el renglón 1 entre 2:
2 -3 2 -3
1
2
𝑅1 → 𝑅1
-3 2 1 1
4 1 -3 4
1 −
3
2
1 −
3
2
0 −
5
2
4 −
7
2
−
2
5
𝑅2 → 𝑅2
0 7 -7 10
Se escribe el nuevo sistema y para que los elementos 𝑎21 y 𝑎31 sean cero, se multiplica el
renglón 1 por 3 y se suma al renglón 2, se multiplica el renglón 1 por -4 y se suma al
renglón 3:
3𝑅1 = 3 -
9
2
+ 3 −
9
2
+𝑅2 = -3 + 2 + 1 1
0 -
5
2
+ 4 −
7
2
→ 𝑅2
−4𝑅1
=
-4 + 6 - 4 6
+𝑅3 = 4 + 1 - 3 4
0 + 7 - 7 10 → 𝑅3
5

Se escribe el nuevo sistema y se multiplica el renglón 2 por −
2
5
para que el elemento 𝑎22
se unitario :
Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎32 se cero, se multiplica el renglón 2
por -7 y se suma al renglón 3:
1 −
3
2
1 −
3
2
0 −
5
2
4 −
7
2
−
2
5
𝑅2 → 𝑅2
0 7 -7 10
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 7 -7 10 −7𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 0
21
5
1
5
5
21
𝑅3 → 𝑅3
−7𝑅2
=
0 - 7 +
56
5
−
49
5
+𝑅3 = 0 + 7 - 7 10
0 0 +
21
5
1
5
→ 𝑅3 6

Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎33 se unitario, se multiplica el
renglón 3 por
5
21
:
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 0
21
5
1
5
5
21
𝑅3 → 𝑅3
1 −
3
2
1 −
3
2
0 1 −
8
5
7
5
0 0 1
1
21
Finalmente el sistema queda como una matriz escalonada por renglones. Del renglón 3 se
deduce que:
𝑧 =
1
21
Después se usa la sustitución hacia atrás para despejar primero y, finalmente x.
7

Del segundo renglón se
deduce que:
𝑦 −
8
5
𝑧 =
7
5
𝑦 −
8
5
1
21
=
7
5
𝑦 −
8
105
=
7
5
𝑦 =
7
5
+
8
105
𝑦 =
147 + 8
105
𝑦 =
155
105
=
31
21
Del primer renglón se
deduce que:
𝑥 −
3
2
𝑦 + 𝑧 = −
3
2
𝑥 −
3
2
31
21
+
1
21
= −
3
2
𝑥 −
93
42
+
1
21
= −
3
2
𝑥 = −
3
2
+
93
42
−
1
21
𝑥 =
−63 + 93 − 2
42
𝑥 =
28
42
=
2
3
Solución:
2
3
,
31
21
,
1
21
8

Eliminación de Gauss-Jordan:
i) Se divide la primera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑥 igual a 1.
ii) Se “eliminan” los términos de 𝑥 de la segunda y tercera ecuación.
iii) Se divide la segunda ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑦 igual a 1 y se usa la segunda ecuación para “eliminar” los términos de
𝑦 de la primera y tercera ecuación.
iv) Se divide la tercera ecuación si es necesario, entre una constante para hacer el
coeficiente de 𝑧 igual a 1, y se usa la tercera ecuación para “eliminar” los términos de
𝑧 de la primera y segunda ecuación.
9

1
3
2
1
2
1
2
3 -2 -4 -3 −3𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2
5 -1 -1 4 −5𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3
Eliminación de Gauss-Jordan:
Ejercicio 4.1.8 Resolver el sistema
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −3
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
Se escribe el sistema en forma de matriz aumentada, se divide el renglón 1 entre 2 para
que el elemento 𝑎11 sea unitario:
2 3 1 1
1
2
𝑅1 → 𝑅1
3 -2 -4 -3
5 -1 -1 4
10

Se escribe el nuevo sistema y se multiplica el renglón 1 por -3 y se suma al renglón 2, se
multiplica el renglón 1 por -5 y se suma al renglón 3 para que los elementos 𝑎21 y 𝑎31 sean
cero:
1
3
2
1
2
1
2
3 -2 -4 -3 −3𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2
5 -1 -1 4 −5𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3
−3𝑅1 = -3 -
9
2
-
3
2
−
3
2
+𝑅2 = 3 - 2 - 4 -3
0 -
13
2
-
11
2
−
9
2
→ 𝑅2
−5𝑅1
=
-5 -
15
2
-
5
2
−
5
2
+𝑅3 = 5 - 1 - 1 4
0 -
17
2
-
7
2
3
2
→ 𝑅3
1
3
2
1
2
1
2
0 −
13
2
−
11
2
−
9
2
−
2
13
𝑅2 → 𝑅2
0 −
17
2
−
7
2
3
2
11

Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎22 se unitario se multiplica el renglón
2 por −
2
13
:
Se escribe el nuevo sistema y para que los elementos 𝑎12 y 𝑎32 sean cero, se multiplica el
renglón 2 por −
3
2
y se suma al renglón 1, se multiplica el renglón 2 por
17
2
y se suma al
renglón 3:
1
3
2
1
2
1
2
0 −
13
2
−
11
2
−
9
2
−
2
13
𝑅2 → 𝑅2
0 −
17
2
−
7
2
3
2
1
3
2
1
2
1
2
−
3
2
𝑅2 + 𝑅1 → 𝑅1
0 1
11
13
9
13
0 −
17
2
−
7
2
3
2
17
2
𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3
12

−
3
2
𝑅2 = 0 -
3
2
-
33
26
−
27
26
+𝑅1 = 1 +
3
2
+
1
2
1
2
1 0 -
10
13
−
7
13
→ 𝑅1
17
2
𝑅2 = 0 +
17
2
+
187
26
153
26
+𝑅3 = 0 -
17
2
-
7
2
3
2
0 0 +
48
13
96
13
→ 𝑅3
Se escribe el nuevo sistema y para que el elemento 𝑎33 se unitario se multiplica el renglón
3 por
13
48
:
−
3
2
𝑅2 + 𝑅1 → 𝑅1 1 0 −
10
13
−
7
13
0 1
11
13
9
13
17
2
𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3 0 0
48
13
96
13
13
48
𝑅3 → 𝑅3
1 0 −
10
13
−
7
13
10
13
𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1
0 1
11
13
9
13
−
11
13
𝑅3 + 𝑅2 → 𝑅2
0 0 1 2
13

Se escribe el nuevo sistema y se multiplica el renglón 3 por
10
13
y se suma al renglón 1, se
multiplica el renglón 3 por −
11
13
y se suma al renglón 2 para que los elementos 𝑎13 y 𝑎23
sean cero. Finalmente el sistema queda como una matriz escalonada reducida.
1 0 −
10
13
−
7
13
10
13
𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1
0 1
11
13
9
13
−
11
13
𝑅3 + 𝑅2 → 𝑅2
0 0 1 2
1 0 0 1
0 1 0 -1
0 0 1 2
10
13
𝑅3 = 0 + 0 +
10
13
20
13
+𝑅1 = 1 + 0 -
10
13
−
7
13
1 0 0 1 → 𝑅1
−
11
13
𝑅3 = 0 + 0 -
11
13
−
22
13
+𝑅2 = 0 + 1 +
11
13
9
13
0 1 0 −1 → 𝑅2
Del renglón 1 se deduce que:
𝑥 = 1, del renglón 2: 𝑦 = −1 y
del renglón 3: 𝑧 = 2.
Solución: 1, −1, 2
14

Algebra lineal unidad 4_1_2

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