Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

1. UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 03
CICLO 02-2015
“Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
PARTE I. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
En los problemas del 1 al 8 compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente
independientes en el intervalo ]−∞, ∞[.
1) 𝑓1(𝑥) = 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑥2
, 𝑓3(𝑥) = 4𝑥 − 3𝑥2
2) 𝑓1(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥
, 𝑓2(𝑥) = 𝑥, 𝑓3(𝑥) = 𝑒 𝑥
3) 𝑓1(𝑥) = 5, 𝑓2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥), 𝑓3(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
4) 𝑓1(𝑥) = cos(2𝑥) , 𝑓2(𝑥) = 1, 𝑓3(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2
(𝑥)
5) 𝑓1(𝑥) = 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 𝑥 − 1, 𝑓3(𝑥) = 𝑥 − 3
6) 𝑓1(𝑥) = −1, 𝑓2(𝑥) = 2 − 𝑥, 𝑓3(𝑥) = 2 + 𝑥
7) 𝑓1(𝑥) = 1 + 𝑥, 𝑓2(𝑥) = 1, 𝑓3(𝑥) = 𝑥2
8) 𝑓1(𝑥) = 𝑒 𝑥
, 𝑓2(𝑥) = 𝑒−𝑥
, 𝑓3(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
PARTE II. SOLUCIÓN DE UNA E.D.L DE ORDEN SUPERIOR.
En los problemas del 9 al 16 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto
fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado y formar la
solución general.
9) 𝑦ʹˈ − 𝑦ʹ − 12𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑒−3𝑥
, 𝑓2(𝑥) = 𝑒4𝑥
, ]−∞, ∞[
10) 𝑦ʹˈ − 4𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = cosh⁡(2x), 𝑓2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑥), ]−∞, ∞[
11) 𝑦ʹˈ − 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑒 𝑥
cos⁡(2𝑥), 𝑓2(𝑥) = 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛(2𝑥), ]−∞, ∞[
12) 4𝑦ʹˈ − 4𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑒
𝑥
2, 𝑓2(𝑥) = 𝑥𝑒
𝑥
2, ]−∞, ∞[
13) 𝑥2
𝑦ʹˈ − 6𝑥𝑦ʹ + 12𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = 𝑥3
, 𝑓2(𝑥) = 𝑥4
, ]0, ∞[
14) 𝑥2
𝑦ʹˈ + 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = cos⁡(ln(x)), 𝑓2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥)), ]0, ∞[
15) 𝑥3
𝑦ʹˈˈ + 6𝑥2
𝑦ʹʹ + 4𝑥𝑦ˈ − 4𝑦 = 0, 𝑓1(𝑥) = x, 𝑓2(𝑥) = 𝑥−2
, 𝑓3(𝑥) = 𝑥−2
ln 𝑥 , ]0, ∞[
16) 𝑦(𝐼𝑉)
+ 𝑦ʹˈ = 0, 𝑓1(𝑥) = 1, 𝑓2(𝑥) = 𝑥, 𝑓3(𝑥) = cos(𝑥) , 𝑓4(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), ]−∞, ∞[

2. PARTE III. REDUCCIÓN DE ORDEN.
En los ejercicios del 17 al 30, 𝑦1 es solución de la E.D homogénea presentada. Utilizar el
método de reducción de orden para encontrar una segunda solución 𝑦2, y formar la solución
general de la E.D: 𝑦𝑔 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2.
17) 𝑦ʹˈ − 4𝑦ʹ + 4𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑒2𝑥
18) 𝑦ʹˈ + 16𝑦 = 0, 𝑦1 = cos⁡(4𝑥)
19) 𝑦ʹˈ − 𝑦 = 0, 𝑦1 = cosh⁡( 𝑥)
20) 9𝑦ʹˈ − 12𝑦ʹ + 4𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑒
2𝑥
3
21) 𝑥2
𝑦ʹˈ − 7𝑥𝑦ʹ + 16𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥4
22) 𝑥𝑦ʹˈ + 𝑦ʹ = 0, 𝑦1 = ln⁡( 𝑥)
23) 𝑥2
𝑦ʹˈ − 𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(ln⁡( 𝑥))
24) (1 − 𝑥2
)𝑦ʹˈ − 2𝑥𝑦ʹ = 0, 𝑦1 = 1
25) 𝑥2
𝑦ʹˈ − 3𝑥𝑦ʹ + 5𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥2
cos⁡(ln(𝑥))
26) (1 − 2𝑥 − 𝑥2)𝑦ʹˈ + 2(1 + 𝑥)𝑦ʹ − 2𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥 + 1
27) 𝑥2
𝑦ʹˈ − 20𝑦 = 0, 𝑦1 = 𝑥−4
28) 𝑥2
𝑦ʹˈ + 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑦1 = cos⁡(ln⁡( 𝑥))
29) 𝑦ʹˈ − 4𝑦 = 2, 𝑦1 = 𝑒−2𝑥
, E.D no Homogénea.
30) 𝑦ʹˈ − 3𝑦ʹ + 2𝑦 = 5𝑒3𝑥
, 𝑦1 = 𝑒 𝑥
, E.D no Homogénea.
PARTE IV. ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES.
En los problemas del 31 al 44, determinar la solución general de cada E.D.
31) 𝑦ʹˈ − 𝑦ʹ − 6𝑦 = 0
32) 𝑦ʹˈ + 8𝑦ʹ + 16𝑦 = 0
33) 12𝑦ʹˈ − 5𝑦ʹ − 2𝑦 = 0
34) 𝑦ʹˈ + 9𝑦 = 0
35) 𝑦ʹˈ − 4𝑦ʹ + 5𝑦 = 0
36) 3𝑦ʹˈ + 2𝑦ʹ + 𝑦 = 0
37) 𝑦ʹʹʹ − 4𝑦ʹˈ − 5𝑦ʹ = 0
38) 𝑦ʹʹʹ − 5𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 9𝑦 = 0
39)
𝑑3 𝑢
𝑑𝑡3
+
𝑑2 𝑢
𝑑𝑡2
− 2𝑢 = 0
40) 𝑦ʹʹʹ + 3𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 𝑦 = 0
41) 𝑦(𝐼𝑉)
+ 𝑦ʹʹʹ + 𝑦ʹʹ = 0
42)
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥4
+ 24
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
+ 9𝑦 = 0
43)
𝑑5 𝑢
𝑑𝑟5
+ 5
𝑑4 𝑢
𝑑𝑟4
− 2
𝑑3 𝑢
𝑑𝑟3
− 10
𝑑2 𝑢
𝑑𝑟2
+
𝑑𝑢
𝑑𝑟
+ 5𝑢 = 0
44)
𝑑5 𝑥
𝑑𝑠5
− 7
𝑑4 𝑥
𝑑𝑠4
+ 12
𝑑3 𝑥
𝑑𝑠3
+ 8
𝑑2 𝑥
𝑑𝑠2
= 0

3. En los ejercicios del 45 al 52 resuelva la E.D dada, sujeta a las condiciones iniciales
indicadas.
45) 𝑦ʹʹ + 16𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦ʹ(0) = −2
46) 4𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ − 3𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦ʹ(0) = 5
47) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ + 2𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦ʹ(0) = 0
48) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 𝑦 = 0, 𝑦(0) = 5, 𝑦ʹ(0) = 10
49) 𝑦ʹʹʹ + 12𝑦ʹʹ + 36𝑦ʹ = 0, 𝑦(0) =, 𝑦ʹ(0) = 1, 𝑦ʹʹ(0) = −7
50) 𝑦ʹʹʹ + 2𝑦ʹʹ − 5𝑦ʹ − 6𝑦 = 0, 𝑦(0) = 𝑦ʹ(0) = 0, 𝑦ʹʹ(0) = 1
51)
𝑑2 𝑦
𝑑𝜃2
+ 𝑦 = 0, 𝑦 (
𝜋
3
) = 0, 𝑦ʹ (
𝜋
3
) = 2
52)
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡2 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
− 5𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0, 𝑦ʹ(1) = 2
53) Las raíces de la ecuación característica son 𝑚1 = −
1
2
, 𝑚2 = 3 + 𝑖, 𝑚3 = 3 − 𝑖.
¿Cuál es la ecuación diferencial correspondiente?
54) Determinar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes que tenga las
soluciones: 4𝑒6𝑥
⁡𝑦⁡3𝑒−3𝑥
.
55) Obtener la solución general de las ecuaciones diferenciales que a continuación se
presentan.
i) 𝑚6
+ 2𝑚4
+ 𝑚2
= 0
ii) 𝑠(𝐼𝑉)
(𝑡) + 2𝑠ʹʹ(𝑡) − 8𝑠(𝑡) = 0
iii) 𝑦ʹʹʹ = 𝑦ʹʹ
iv) 𝑚3
− 1 = 0
v) 4
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3) + 2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) + 3
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4
PARTE V. MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
En los problemas del 56 al 75 resuelva las ecuaciones diferenciales usando el método CI.
56) 𝑦ʹʹ − 9𝑦 = 54
57) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ = 3
58) 𝑦ʹʹ + 4𝑦ʹ + 4𝑦 = 2𝑥 + 6
59) 𝑦ʹʹʹ + 𝑦ʹʹ = 8𝑥2
60) 𝑦ʹʹ − 𝑦ʹ − 12𝑦 = 𝑒4𝑥
61) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ − 3𝑦 = 4𝑒 𝑥
− 9
62) 𝑦ʹʹ + 25𝑦 = 6𝑠𝑒𝑛(𝑥)
63) 𝑦ʹʹ + 6𝑦ʹ + 9𝑦 = −𝑥𝑒4𝑥
64) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑥2
𝑒 𝑥
+ 5
65) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 5𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)

4. 66) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ +
1
4
𝑦 = 𝑒 𝑥
(𝑠𝑒𝑛(3𝑥) − cos⁡(3𝑥))
67) 𝑦ʹʹ + 25𝑦 = 20𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
68) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)
69) 𝑦ʹʹʹ + 8𝑦ʹʹ = −6𝑥2
+ 9𝑥 + 2
70) 𝑦ʹʹʹ − 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ − 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥
− 𝑒−𝑥
+ 7
71) 𝑦ʹʹʹ − 3𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ − 𝑦 = 𝑒 𝑥
− 𝑥 + 16
72) 2𝑦ʹʹʹ − 3𝑦ʹʹ − 3𝑦ʹ + 2𝑦 = (𝑒 𝑥
+ 𝑒−𝑥
)2
73) 𝑦(𝐼𝑉)
− 2𝑦ʹʹʹ + 𝑦ʹʹ = 𝑒 𝑥
+ 1
74) 𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
75) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠3
(𝑥)
PARTE VI. MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS.
Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales en los problemas del 76 al 95, por el
método VP.
76) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = tan⁡( 𝑥)
77) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = sec(𝑥) tan⁡( 𝑥)
78) 𝑦ʹʹ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)
79) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑥)
80) 𝑦ʹʹ − 9𝑦 =
9𝑥
𝑒3𝑥
81) 𝑦ʹʹ − 3𝑦ʹ + 2𝑦 =
𝑒3𝑥
1+𝑒 𝑥
82) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒 𝑥
𝑡𝑎𝑛−1
(𝑥)
83) 𝑦ʹʹ − 2𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒 𝑥
sec(𝑥)
84) 𝑦ʹʹ + 10𝑦ʹ + 25𝑦 =
𝑒−10𝑥
𝑥2
85) 4𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒
𝑥
2√1 − 𝑥2
86) 𝑦ʹʹʹ + 4𝑦ʹ = sec⁡(2𝑥)
87) 2𝑦ʹʹʹ − 6𝑦ʹʹ = 𝑥2
88) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑒 𝑥
89) 𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 2𝑦 = 3𝑒−2𝑥
+ 𝑥
90) 2𝑦ʹʹ + 3𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑒−3𝑥
91) 4𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑥𝑒
𝑥
2
92) 2𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ − 𝑦 = 𝑥 + 1
93) 𝑦ʹʹ + 2𝑦ʹ − 8𝑦 = 2𝑒−2𝑥
− 𝑒−𝑥
94) 𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ + 4𝑦 = (12𝑥2
− 6𝑥)𝑒2𝑥
95) 𝑦ʹʹ − 𝑦 = 𝑥2
𝑒 𝑥

5. PARTE VII. MÉTODO DE COUCHY-EULER
En los ejercicios del 96 al 110 resuelva la E.D homogénea dada, por la ecuación de Couchy
Euler.
96) 4𝑥2
𝑦ʹʹ + 𝑦 = 0
97) 𝑥𝑦ʹʹ − 𝑦ʹ = 0
98) 𝑥2
𝑦ʹʹ + 5𝑥𝑦ʹ + 3𝑦 = 0
99) 𝑥2
𝑦ʹʹ + 3𝑥𝑦ʹ − 4𝑦 = 0
100) 4𝑥2
𝑦ʹʹ + 4𝑥𝑦ʹ − 3𝑦 = 0
101) 𝑥2
𝑦ʹʹ + 8𝑥𝑦ʹ + 6𝑦 = 0
102) 𝑥2
𝑦ʹʹ + 5𝑥𝑦ʹ + 3𝑦 = 0
103) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 7𝑥𝑦ʹ + 41𝑦 = 0
104) 2𝑥2
𝑦ʹʹ + 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0
105) 𝑥3
𝑦ʹʹʹ + 𝑥𝑦ʹ − 𝑦 = 0
106) 𝑥3
𝑦ʹʹʹ − 2𝑥2
𝑦ʹʹ + 4𝑥𝑦ʹ − 4𝑦 = 0
107) 𝑥4
𝑦(𝐼𝑉)
+ 6𝑥3
𝑦ʹʹʹ + 9𝑥2
𝑦ʹʹ + 3𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 0
108) 𝑥3
𝑦ʹʹʹ − 2𝑥2
𝑦ʹʹ − 2𝑥𝑦 + 8𝑦 = 0
109) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 5𝑥𝑦ʹ + 8𝑦 = 0, 𝑦(2) = 32, 𝑦ʹ(2) = 0
110) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 3𝑥𝑦ʹ + 4𝑦 = 0, 𝑦(1) = 5, 𝑦ʹ(1) = 3
En los ejercicios del 111 al 121 resuelva la E.D no homogénea dada, por la ecuación de
Couchy Euler.
111) 𝑥𝑦ʹʹ − 4𝑦ʹ = 𝑥4
112) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 2𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = 𝑥4
𝑒 𝑥
113) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 2𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = 𝑥3
ln⁡( 𝑥)
114) 𝑥2
𝑦ʹʹ = 𝑥 + 2𝑦
115) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 𝑥𝑦ʹ + 2𝑦 = ln⁡( 𝑥)
116) 𝑥2
𝑦ʹʹ + 2𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥)
117) 𝑥2
𝑦ʹʹʹ − 2𝑥𝑦ʹ = 2 ln(3) ∗ 𝑙𝑜𝑔9 𝑥5
118) 𝑥2
𝑦ʹʹ − 𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 2𝑥
119) 2𝑥2
𝑦ʹʹ + 5𝑥𝑦ʹ + 𝑦 = 𝑥2
− 𝑥
120) 𝑥𝑦ʹʹ + 𝑦ʹ = 𝑥
121) 𝑥2
𝑦ʹʹ + 10𝑥𝑦ʹ + 8𝑦 = 𝑥2