100408 180 fase 2_trabajo_colaborativo (1)

UNIVERSIDA NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ALGEBRA LINEAL
GRUPO:
100408_180
FASE 2
TRABAJO COLABORATIVO VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES
TUTOR:
HERIBERTO MARTÍNEZ ROA
PRESENTADO POR:
DIANA CAROLINA HERNANDEZ
CODIGO: 1.143.829.501
ANYI CAROLINA MARIN
CODIGO:1.144.173.228
FRAYLEN ALFONSO MARIN
CODIGO:
CARLOS EDUARDO NARANJO
CODIGO: 94.060.599
DAVID SANDOVAL
CODIGO:
SANTIADO DE CALI, OCTUBRE 18 DE 2017
Copyright © 2017 por Carlos Eduardo Naranjo. Todos los derechos
reservados

Tabla de contenido
Introducción.............................................................................................................................. 2
Objetivos ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
Objetivo General.................................................................................................................... 4
Objetivosespecíficos.............................................................................................................. 4
Fase 2 - trabajo colaborativo vectores,matrices y determinantes
Problema 1. ............................................................................... Error! Bookmark not defined.
Problema 2. ........................................................................................................................... 7
Problema 3. ............................................................................... Error! Bookmark not defined.
Problema 4. ..............................................................................Error! Bookmark not defined.1
Problema 5. ......................................................................................................................... 11
Problema 6. ......................................................................................................................... 11
Problema 7. ......................................................................................................................... 13
Problema 8. ......................................................................................................................... 15
Problema 9. ......................................................................................................................... 15
Problema 10. ....................................................................................................................... 16
CONCLUCIONES....................................................................................................................... 17
REFERENCIAS........................................................................................................................... 18

Introducción
En esta actividad el estudiante describe e interpreta analítica y críticamente los diversos tipos de
la Algebra lineal, a través del estudio teórico y el análisis de casos modelos, para que puedan ser
utilizados como herramienta matemática en la solución a situaciones problema de su campo social y
académico.

Objetivos
Objetivo General
 Conocer he identificar el Algebra Lineal
Objetivos específicos
 Plantear alternativas de solución a la Algebra Lineal, y sus propiedades.
 Identificar los fundamentos de Algebra Lineal.
 Explicar y analizar los fundamentos de la Algebra Lineal.

FASE 2 - TRABAJO COLABORATIVO VECTORES, MATRICES Y
DETERMINANTES
1. Encuentre los dos posibles valores de λ en los siguientes casos y grafique los
puntos en el plano cartesiano:
a. De modo que los puntos P y Q se encuentren a √68 unidades de distancia P(5,λ)
y Q(-3,4)
√68 = √(4 − λ)2 + (−3 − 5)2
68 = (4 − λ)2
+ (−3 − 5)2
68 = 16 − 8λ − λ2
+ 64
λ2
− 8λ + 16 + 64 − 68 = 0
λ2
− 8λ + 12 = 0
λ = 8 ± √(−8)2 − 4 ∗ 12
2
8 ± √64 − 48
2
8 ± √16
2
8 ± 4
2
4 ± 2
λ1 = 6 λ2 = 2

b. De modo que los puntos M y N se encuentren a √65 unidades de distancia M(-
1,-4) y Q(-5,λ).
√65 = √(λ − (−4))2 + (−5 − (−1))2
65 = (λ + 4)2
+ (−4)2
65 = λ2
+ 8 λ + 16 + 16
λ2
+ 8 λ + 32 − 65 = 0
λ2
+ 8 λ− 33 = 0
λ = −8 ± √82 − 4(−33)
2
−8 ± √64 + 132
2
−8 ± √196
2
−8 ± 14
2
λ1 = 3 λ2 = −11

2.
1. Grafique en el Plano Cartesiano y luego encuentre la magnitud y dirección de
los siguientes vectores.
a. 𝑢⃗ = (3,−4)
b. El vector 𝑣 tiene un punto inicial (2, 1) y un punto final (4,− 5)
Fórmulas: | 𝒖⃗⃗ | = √𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 y 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒃
𝒂
a. 𝒖⃗⃗ = ( 𝟑, −𝟒)
En este ejercicio ya nos dan la distancia de los catetos, con el cual podemos calcular
la magnitud a través de la siguiente formula.
| 𝒖⃗⃗ | = √ 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
| 𝒖⃗⃗ | = √(𝟑) 𝟐 + (𝟒) 𝟐
|u⃗ | = √9 + 16
|u⃗ | = √25
| 𝒖⃗⃗ | = 𝟐𝟓
Magnitud= 25

Para hallar la dirección debemos calcular el ángulo, invirtiendo los valores de los
puntos dados, (3,-4), a través de la siguiente formula
𝜶 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏
𝒃
𝒂
𝛼 = tan−1
−4
3
𝛼 = tan−1
−1.33
𝜶 = −𝟓𝟑. 𝟎𝟔°
Este vector al tener su trayectoria final en el cuadrante 4, se debe realizar la
siguiente operación.
α = −360° − (−53.06°)
α = −306.94°
Dirección del vector = -306.94°
Gráfica.
b. El vector 𝒗⃗⃗ tiene un punto inicial ( 𝟐, 𝟏) y un punto final ( 𝟒,− 𝟓)
Al tener un punto inicial y uno final, con ellos debemos hallar la distancia del cateto
opuesto, con el cual podremos calcular la magnitud.

𝑣 = 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (2,1), 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 (4,−5)
Restamos las x y las y de cada punto
X= 4-2 = 2
Y= -5-1 = -6
𝒗⃗⃗ = (𝟐, −𝟔)
Teniendo el punto de los catetos podemos encontrar la magnitud del vector.
| 𝒖⃗⃗ | = √ 𝟐 𝟐 + (−𝟔) 𝟐
| 𝒖⃗⃗ | = √𝟒 + 𝟑𝟔
| 𝒖⃗⃗ | = √𝟒𝟎
| 𝒖⃗⃗ | = 𝟔. 𝟑𝟐
Magnitud del vector = 6.32
Para hallar la dirección del vector primero debemos halla su ángulo. Invirtiendo el
punto del cateto opuesto (2,-6)
𝜶 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏
𝒃
𝒂
𝛼 = tan−1
−6
2
𝛼 = tan−1
−3
𝜶 = −𝟕𝟏. 𝟓𝟕
Al estar ubicado en el cuadrante 4 debemos realizar la siguiente operación.
-360-(-71.57)= -288.43
𝜶 = −𝟐𝟖𝟖. 𝟒𝟑
La distancia del vector es de -288.43°
Grafica

3. Sean 𝑢 = 𝑖 − 5𝑗 𝑦 𝑣 = −𝛼𝑖 + 3𝑗 Encuentre 𝛼 tal que:
a. 𝑢 𝑦 𝑣 sean ortogonales.
𝑢 = 𝑡 ∗ 𝑣
( 𝑖 − 5𝑗) = 𝑡 ∗ (−𝑎𝑖 + 3𝑗)
𝑖 − 5𝑗 = −𝑎𝑖 + 3𝑗𝑡
𝑖 = −𝑎𝑖𝑡
1 = −𝑎𝑡
−5𝑗 = 3𝑗𝑡
−5 = 3𝑡
𝑡 =
−5
3
1 = −𝑎 ∗ (
−5
3
)
1 = −
5
3
𝑎
𝑎 =
5
3

b. 𝑢 𝑦 𝑣 sean paralelos.
𝑢 ∗ 𝑣 = 0
(1,−5) ∗ (−𝑎 + 3)
1 ∗ (−𝑎) + (−5) ∗ (3)
−𝑎 − 15 = 0
𝑎 = −15
4- Calcule la proyección vectorial y la proyección escalar indicada en cada caso,
con los vectores dados:
a. Proyección de 𝑢 en 𝑣, para 𝑢 = 2𝑖 − 3𝑗; 𝑣 = −𝑖 + 4𝑗
𝑢⃗ = (2,3)
𝑣 = (−1,4)
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑣⃗ ( 𝑢⃗ ) =
𝑣. 𝑢⃗
𝑣. 𝑣
. 𝑣
=
(−2+12)
1+16
(−1,4)
=
(10)
17
(−1,4)
= (
−10
17
,
40
17
)
La proyección escalar será:
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑣⃗ ( 𝑢⃗ ) = √(
−10
17
)
2
+ (
40
17
)
2
=
10√17
17
= 2.425
b. Proyección de 𝑣 en 𝑢 para 𝑢 = −3𝑖 + 5𝑗; 𝑣 = 2𝑖 − 3𝑗
𝒖 = (−𝟑, 𝟓)
𝒗 = ( 𝟐,−𝟑)
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑢 ( 𝑣) =
𝑢⃗⃗ . 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣⃗ . 𝑢⃗⃗
. 𝑢⃗
=
(2 ,−3).(−3 ,5)
(−3 ,5).(−3 ,5)
= (−3 ,5)

=
(2 ,−3).(−3 ,5)
(−3 .−3).(5 ,5)
= (−3 ,5)
=
−6−15
9+25
= (−3 ,5)
=
−21
34
. (−3,5)
=
63
34
,
−105
34
Proyección Escalar.
𝑃𝑟𝑜𝑦 𝑢 ( 𝑣) = √(
63
34
)
2
+ (−
105
34
)
2
= √
3969
1156
+
11025
1156
= √
441
34
=
21
√34
=
21√34
34
= 3.60147
5.Determine las siguientes matrices:
Matriz 2 × 2, 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] para la cual 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗 + 2
Tenemos que:
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
]
[ 𝑎11 = 1 + 1 + 2 = 4]
[ 𝑎12 = 1 + 2 + 2 = 5]
[ 𝑎21 = 2 + 1 + 2 = 5]
[ 𝑎22 = 2 + 2 + 2 = 6]
Finalmente
𝐴 = [
4 5
5 6
]
Matriz 4 × 3 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗] para la cual 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗

La matriz solución es:
Recordemos que:
𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
B11 = 0
B12 = 3
B13 = 4
B21 = 3
B22 = 0
B23 = 5
B31 = 4
B32 = 5
B33 = 0
B41 = 5
B42 = 6
B43 = 7

14
Organizando se tiene que:
B = (
0 3 4
3 0 5
4 5 0
5 6 7
)
6.Exprese la matriz 𝑨 = (
𝟏 −𝟐 𝟒
𝟐 𝟎 𝟑
𝟏 𝟏 𝟓
) como una matriz triangular superior,
haciendo uso únicamente de operaciones elementales.
Recordemos que la matriz triangular superior se consigue de la siguiente manera
En una matriz triangular superior loselementossituadospordebajode ladiagonal
principal sonceros1
Empezamosoperandolaprimeracolumnavolviéndolacerodebajodel uno
Realizamoslassiguientesoperaciones
𝑓2 = 𝑓2 − 2𝑓1
𝑓3 = 𝑓3 − 𝑓1
[
1 −2 4
0 4 −5
0 3 1
]
Ahora se realizan las siguientes operaciones
𝑓3 = 𝑓3 −
3
4
𝑓2
𝑓3 =
4
19
𝑓3
[
1 −2 4
0 4 −5
0 0 1
]
Se cumple con el criterio de los elementos situados por debajo de la diagonal principal
son ceros2
1 https://www.ditutor.com/matrices/triangular_superior.html
2 https://www.ditutor.com/matrices/triangular_superior.html

15
7. Dadas las siguientes matrices, calcular las operaciones
a. 2𝐴𝐵
b. 𝐶2
𝐵
𝐴 = |
1 −3 2
−4 5 −2
| 𝐵 = |
2
4
6
| 𝐶 = |
3 5 3
1 6 7
2 8 9
|
Solución
a. 2𝐴𝐵
Multiplicamos 2*A
2𝐴 = |
2 −6 4
−8 10 −4
|
Multiplicamos A * B
2𝐴 ∗ 𝐵 = |
2 −6 4
−8 10 −4
| ∗ |
2
4
6
|
2𝐴 ∗ 𝐵 = |
(2∗ 2) + (−6 ∗ 4) + (4∗ 6)
(−8 ∗ 2) + (10 ∗ 4) + (−4 ∗ 6)
|
2𝐴 ∗ 𝐵 = |
4 + (−24) + 24
(−16) + 40 + (−24)
|
2𝐴𝐵 = |
4
0
|
b. 𝐶2 𝐵
Elevamos c al cuadrado
𝐶 = |
3 5 3
1 6 7
2 8 9
|^2
𝐶2 = |
3 5 3
1 6 7
2 8 9
| ∗ |
3 5 3
1 6 7
2 8 9
|

16
𝐶2
= |
((3 ∗ 3) + (5 ∗ 1) + (3 ∗ 2)) + ((3 ∗ 5) + (5 ∗ 6) + (3 ∗ 8)) + ((3 ∗ 3) + (5 ∗ 7) + (3 ∗ 9))
((1 ∗ 3) + (6 ∗ 1) + (7 ∗ 2)) + ((1 ∗ 5) + (6 ∗ 6) + (7 ∗ 8)) + ((1 ∗ 3) + (6 ∗ 7) + (7 ∗ 9))
((2 ∗ 3) + (8 ∗ 1) + (9 ∗ 2)) + ((2 ∗ 5) + (8 ∗ 6) + (9 ∗ 8)) + ((2 ∗ 3) + 8 ∗ 7) + (9 ∗ 9))
|
𝐶2 = |
20 69 71
23 97 108
32 130 9
|
Multiplicamos 𝑪 𝟐 ∗ 𝑩
𝐶2 𝐵 = |
20 69 71
23 97 108
32 130 9
| ∗ |
2
4
6
|
𝐶2 𝐵 = |
271 1082 1182
382 1561 1720
244 1012 1087
|
8. Calcular el valor de la matriz 𝑋 en las siguientes operaciones:
Solución
a.
1
2
𝑋 − [
−1 10
2 4
3 1
] = [
2 4
3 6
−1 5
]
1
2
𝑋 = [
2 4
3 6
−1 5
] + [
−1 10
2 4
3 1
]
1
2
𝑋 = [
(2 − 1) (4 + 10)
(3 + 2) (6 + 4)
(−1 + 3) (5 + 1)
]
1
2
𝑋 = [
1 14
5 10
2 6
]
Aplico método de Gauss
1
2
𝑋 = [
𝟏 14
5 10
2 6
] *(-5) F2−5*F1→F2

17
1
2
𝑋 = [
𝟏 14
0 −60
2 6
] *(-2) F3−2*F1→F3
1
2
𝑋 = [
𝟏 14
0 −60
0 −22
] *(-11/30) F3−(11/30)×F2→F
1
2
𝑋 = [
𝟏 14
0 −60
0 −22
]
1
2
𝑋 = 2
El fraccionario
𝟏
𝟐
pasa a dividir
𝑋 = 2/(1/2)
𝑋 = 4
b.
1
3
𝑋 + [
2 −4
−3 −1
−7 10
] = [
2 −4
5 −6
−1 12
]
1
3
𝑋 = [
2 −4
5 −6
−1 12
] − [
2 −4
−3 −1
−7 10
]
1
3
𝑋 = [
(2 − 2) ((−4) − (−4))
((5) − (−3)) ((−6) − (−1))
((−1) − (−7)) ((12) − (10))
]
1
3
𝑋 = [
0 0
8 −5
6 2
]
Aplico método de Gauss
1
3
𝑋 = [
0 0
8 −5
6 2
] F2↔F1
1
3
𝑋 = [
8 −5
0 0
6 2
] *(-3/4) F3 − (3/4)*F1→F3

18
𝟏
𝟑
𝑿 = [
𝟖 −𝟓
𝟎 𝟎
𝟎 𝟐𝟑/𝟒
] F3↔F2
𝟏
𝟑
𝑿 = [
𝟖 −𝟓
𝟎 𝟐𝟑/𝟒
𝟎 𝟎
]
1
3
𝑋 = 2
El fraccionario
𝟏
𝟑
pasa a dividir
𝑋 = 2/(1/3)
𝑋 = 6
10- Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes (Recuerde: 𝐴−1
=
1
𝐷𝑒𝑡𝐴
∗ 𝐴𝑑𝑗𝐴)
𝐴 = [
−5 −2 −1
3 0 5
−8 1 −5
]
Se halla el Determinante;
det( 𝐴) = [
−5 −2 −1
3 0 5
−8 1 −5
]
−5 −2
3 0
−8 1
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = ((−5∗ 0 ∗ −5) + (−2 ∗ 5 ∗ −8) + (−1 ∗ 3 ∗ 1)) − ((−8 ∗ 0 ∗ −1) + (1 ∗ 5
∗ −5) + (−5 ∗ 3 ∗ −2))
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (0 + 80 − 3) − (0 − 25 + 30)
𝑑𝑒𝑡( 𝐴) = 77 − 5
𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝟕𝟐
𝐴−1
=
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡
)
Se halla Matriz transversal.
𝐴 = [
−5 −2 −1
3 0 5
−8 1 −5
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
]

19
Hallar la adjunta
𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
]
𝐴
11= [
0 1
5 −5
] = 𝑨 𝟏𝟏
𝒕 = −𝟓
𝑡
𝐴
12= [
−2 1
−1 −5
] = 𝑨 𝟏𝟐
𝒕 = 𝟏𝟏
𝑡
𝐴
13= [
−2 0
−1 5
] = 𝑨 𝟏𝟑
𝒕 = −𝟏𝟎
𝑡
𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
]
𝐴
21= [
3 −8
5 −5
] = 𝑨 𝟐𝟏
𝒕 = 𝟐𝟓
𝑡
𝐴
22= [
−5 −8
−1 −5
] = 𝑨 𝟐𝟐
𝒕 = 𝟏𝟕
𝑡
𝐴
23= [
−5 3
−1 5
] = 𝑨 𝟐𝟑
𝒕 = −𝟐𝟐
𝑡
𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
] 𝑨 𝒕
= [
−𝟓 𝟑 −𝟖
−𝟐 𝟎 𝟏
−𝟏 𝟓 −𝟓
]
𝐴
31= [
3 −8
0 1
] = 𝑨 𝟑𝟏
𝒕 =𝟑
𝑡
𝐴
32= [
−5 −8
−2 1
] = 𝑨 𝟑𝟐
𝒕 = −𝟐𝟏
𝑡
𝐴
33= [
−5 3
−2 0
] = 𝑨 𝟑𝟑
𝒕 =𝟔
𝑡
Cambia signo el del número de adjunta impar.
𝐴11
𝑡
= −5 𝐴12
𝑡
= −(11) 𝐴13
𝑡
= −10
𝐴21
𝑡
= −(25) 𝐴22
𝑡
= 17 𝐴23
𝑡
= −(−22)
𝐴31
𝑡
= 3 𝐴32
𝑡
= −(−21) 𝐴33
𝑡
= 6
𝐴𝑑𝑗( 𝐴𝑡)(
−5 −11 −10
−25 17 22
3 21 6
)
Remplazamos valores en la formula
𝐴−1
=
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
∗ 𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡
)
𝐴−1
=
1
72
*(
−5 −11 −10
−25 17 22
3 21 6
) =
−5
72
−11
72
−10
72
−25
72
17
72
22
72
3
72
21
72
6
72
=
−𝟓
𝟕𝟐
−𝟏𝟏
𝟕𝟐
−𝟓
𝟑𝟔
−𝟐𝟓
𝟕𝟐
𝟏𝟕
𝟕𝟐
𝟏𝟏
𝟑𝟔
𝟏
𝟐𝟒
𝟕
𝟐𝟒
𝟏
𝟏𝟐

20
Conclusiones
Se pudo describir e interpretar analítica y críticamente diversos
tipos de la Algebra lineal a través del estudio teórico y el análisis de casos
y modelos.
Los conocimientos obtenidos durante el desarrollo de este taller
pueden ser utilizados como herramienta matemática para la solución a
situaciones problema en el campo social y académico.

21
Referencias
Amaya Cocunubo, I. (02, 03,2017). Álgebra lineal. [Archivo de
video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11546
Temática: Vectores, matrices y determinantes
Vargas, Juan (2015). Coordenadas polares.
[Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7196
Vargas, Juan (2015). Operaciones entre vectores y ángulo.
Temática: Vectores
Martínez, Heriberto. (2015). Matrices: Operaciones básicas.
Ramos, Ruberney. (2015). Tipos de matrices especiales.
Gutierrez, Manuel. (2015). Matriz Escalonada.
Vargas, Juan. (2015). Cálculo de matrices inversas:
Operaciones básicas. [Video]. Universidad Nacional Abierta
y a Distancia. Recuperado
de http://hdl.handle.net/10596/7186
Temática: Matrices
Vargas, Juan. (2015). Determinante de una Matriz.
López, Armando. (2016). Ejemplo determinante de una matriz
2x2 y 2x3. [Video] Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. Recuperado
de http://hdl.handle.net/10596/7201
Temática: Determinantes

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