EigenValues and Eigenvectors. Valores y vectores propios.

1. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALORES Y EIGENVECTORES)
M.C. Neftalí
Antúnez H.
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA

2. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALUES Y EIGENVECTORS)
En muchos problemas de la Ingeniería se necesitan conocer los valores y vectores
característicos propios de una matriz.
Esto se aplica en rotación de elementos geométricos, modelos de crecimiento
poblaciones, solución de ecuaciones diferenciales, procesos de Markov, diagonalización
de matrices, transformación de imágenes, vibraciones en estructuras, robótica, dinámica
estructural, etc.
El problema de eigenvalores y eigenvectores (valores propios y vectores propios) consiste
en encontrar los vectores que no giran bajo una transformación.
Los vectores propios de A son vectores que no cambian de dirección al ser
transformados por A, sólo cambian su magnitud o su sentido. El valor propio asociado a
un vector propio controla dicho cambio. Por definición, un vector propio x debe ser un
vector columna distinto de cero.

3. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALUES Y EIGENVECTORS)
Si los valores característicos los representamos por 𝜆𝑖, la letra griega Lambda y su vector
característico correspondiente como 𝒙𝒊, entonces para toda matriz cuadrada A de n × n,
su ecuación de eigenvalor que se debe cumplir es la siguiente: 𝑨 𝒙 = 𝝀 𝒙
El número λ, es un eigenvalor o autovalor o valor propio.Mientras que el vector 𝒙 es
el eigenvector o autovector o vector propio asociado a λ.
Si multiplicamos el lado derecho por 1 (La matriz identidad I), se tiene: 𝑨 𝒙 = 𝝀 𝑰 𝒙
Igualando a cero, obtenemos: 𝑨 𝒙 − 𝝀 𝑰 𝒙 = 0
Factorizando la x, obtenemos: 𝒙 𝑨 − 𝝀 𝑰 = 𝟎

4. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALORES Y EIGENVECTORES)
Para obtener soluciones diferentes de la trivial x = 0, necesitamos que se cumpla
que: 𝑫𝒆𝒕 𝑨 − 𝝀 𝑰 = 𝟎
Al desarrollar el determinante anterior obtendremos un polinomio característico de
grado n de la matriz, al cual le hallaremos sus raíces y estos serán los valores propios o
característicos de la matriz. Si A es de n x n, su polinomio característico es de grado n,
de lo que se concluye que A tiene, a lo sumo, n valores propios distintos.
Cada valor característico se sustituirá en la matriz original y resolveremos el sistema
de ecuaciones homogéneas que resulta y al resolverlo hallaremos su vector propio o
característico. La unión de todos los vectores propios o característicos nos dará la
matriz característica S de la matriz original.
Sea A una matriz de n × n, y sean λ1, λ2, …, λn, valores propios distintos de A con
vectores propios correspondientes x1, x2, … , xn. Entonces, x1, x2, … , xn son linealmente
independientes.

5. RESUMIENDO PARA HALLAR LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS:
1. Obtener el determinante de A-λI
• Este determinante es un polinomio de grado n, que comienza con λn
2. Encontrar las raíces de este polinomio
• Las n raíces son los valores propios de A
3. Para cada valor propio λ, resolver la ecuación (A-λI)x = 0. Nos produce un
sistema de ecuaciones lineales homogéneas, que hay que resolver.
• Debido a que el determinante es cero, existen soluciones además de x = 0.
Estas soluciones son los vectores propios buscados.

6. PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS:
Siempre se cumple que la suma de los valores característicos es igual a la
traza de la matriz, que es la suma de los valores de la diagonal principal.
Esto es: tr A = σ 𝝀𝒊 = σ 𝒂𝒊𝒊
tr(A) = λ1 + λ2 + λ3 +--------+ λn = a11 + a22 + a33 +---------+ ann
El producto de los n valores propios es igual al determinante de A
det 𝐴 = λ1 ∙ λ2 ∙ λ𝟑-------- ∙ λn = ෑ
𝑖=1
𝑛
λ𝐢

7. Ejemplo: Hallar la matriz característica
de la siguiente matriz: A =
𝟐 𝟏
𝟏 𝟐
𝟐 − l 𝟐 − l − 𝟏(𝟏) = 𝟎
𝟐 − l 𝟏
𝟏 𝟐 − l
= 𝟎
-
𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 = ෍ l𝒊 = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
𝟐 × 𝟐
l𝟐 − 𝟒l + 𝟑 = 𝟎
(l − 𝟏)(l − 𝟑) = 𝟎
+ ×
l − 𝟏 = 𝟎 𝒚 l − 𝟑 = 𝟎
l𝟏 = 𝟏 𝒚 l𝟐 = 𝟑
Polinomio Característico
Mode EQuatioN
ax𝟐 + 𝒃x + 𝒄 = 𝟎
Polynomial 2
1 + 3 = 4 OK
Cada uno de estos eigenvalores tiene un conjunto de
eigenvectores correspondientes. Sustituyendo los valores
propios o valores característicos, tenemos:
Sustituyendo l𝟏= 1
𝟐 − 1 𝟏
𝟏 𝟐 − 1
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
1 𝟏
𝟏 1
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas a
resolver es:
𝟏𝒙𝟏 +𝟏𝒙𝟐 = 𝟎
𝟏𝒙𝟏 +1𝒙𝟐 = 𝟎
𝑬𝟏
𝑬𝟐
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma
Despejando 𝒙𝟏 de E1, queda:
El primer vector característico es:
𝒙𝟏 = −𝒙𝟐
Asignando el valor 1 a 𝒙𝟐
𝒙𝟏 = −𝟏
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
−𝟏
𝟏
Como se trata de una matriz 2x2, el eigenvector propuesto tiene que
tener dimensiones 2x1. Si x es un eigenvector de una matriz A
correspondiente a un eigenvalor l, también los es kx con cualquier k ≠ 0.

8. Sustituyendo los valores propios o valores
característicos, tenemos: Sustituyendo l𝟐= 3
𝟐 − 3 𝟏
𝟏 𝟐 − 𝟑
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
−1 𝟏
𝟏 −1
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
El sistema de ecuaciones lineales
homogéneas a resolver es:
−𝟏𝒙𝟏 +𝟏𝒙𝟐 = 𝟎
𝟏𝒙𝟏 −1𝒙𝟐 = 𝟎
𝑬𝟏
𝑬𝟐
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma E2 = E1 (-1)
Despejando 𝒙𝟏 de E1, queda:
El segundo vector característico es:
− 𝒙𝟏 = −𝒙𝟐
Asignando el valor 1 a 𝒙𝟐
𝒙𝟏 = 𝟏
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟏
𝟏
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐
Finalmente, la matriz característica es:
S =
−𝟏 𝟏
𝟏 𝟏

9. Ejemplo 2: Hallar la matriz característica
de la siguiente matriz: A =
𝟒 −𝟓
𝟐 −𝟑
𝟒 − l −𝟑 − l − 𝟐(−𝟓) = 𝟎
𝟒 − l −𝟓
𝟐 −𝟑 − l
= 𝟎
-
𝑻𝒓𝒂𝒛𝒂 = ෍ l𝒊 = 𝟒 − 𝟑 = 𝟏
𝟐 × 𝟐
l𝟐 − l − 𝟐 = 𝟎
(l − 𝟐)(l + 𝟏) = 𝟎
+ ×
l − 𝟐 = 𝟎 𝒚 l + 𝟏 = 𝟎
l𝟏 = 𝟐 𝒚 l𝟐 = −𝟏
Polinomio Característico
Mode EQuatioN
ax𝟐 + 𝒃x + 𝒄 = 𝟎
Polynomial 2
2 – 1 = 1 OK
Sustituyendo los valores propios o valores característicos,
tenemos: Sustituyendo l𝟏= 2
𝟒 − 2 −𝟓
𝟐 −𝟑 − 2
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
2 −𝟓
𝟐 −5
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas a
resolver es:
𝟐𝒙𝟏 −𝟓𝒙𝟐 = 𝟎
𝟐𝒙𝟏 −5𝒙𝟐 = 𝟎
𝑬𝟏
𝑬𝟐
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma
Despejando 𝒙𝟏 de E1, queda:
El primer vector característico es:
𝟐𝒙𝟏 = 𝟓𝒙𝟐
Asignando el valor 2 a 𝒙𝟐
𝒙𝟏 =
𝟓
𝟐
𝟐 = 𝟓
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟓
𝟐
−𝟏𝟐 − 𝟒l + 𝟑l + l𝟐 + 𝟏𝟎 = 𝟎
𝒙𝟏 =
𝟓
𝟐
𝒙𝟐

10. Sustituyendo los valores propios o valores
característicos, tenemos: Sustituyendo l𝟐= -1
𝟒 − −1 −𝟓
𝟐 −𝟑 − −𝟏
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
5 −𝟓
𝟐 −2
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟎
𝟎
El sistema de ecuaciones lineales
homogéneas a resolver es:
𝟓𝒙𝟏 −𝟓𝒙𝟐 = 𝟎
𝟐𝒙𝟏 −2𝒙𝟐 = 𝟎
𝑬𝟏
𝑬𝟐
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma
Despejando 𝒙𝟏 de E1, queda:
El segundo vector característico es:
𝟓 𝒙𝟏 = 𝟓𝒙𝟐
Asignando el valor 1 a 𝒙𝟐
𝒙𝟏 = 𝟏
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝟏
𝟏
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐
Finalmente, la matriz característica es:
S =
𝟓 𝟏
𝟐 𝟏

11. Ejercicio: Hallar la matriz característica para la siguiente matriz.
Siendo N tu número de lista.
A =
𝟒 𝑵
𝑵 − 𝟐 𝟐