Este documento presenta una introducción a la teoría de la combinatoria y el conteo. Explica conceptos como permutaciones, combinaciones, fórmulas matemáticas asociadas y cómo aplicarlas para resolver ecuaciones que involucran estos conceptos. También incluye un ejemplo paso a paso de cómo resolver una ecuación utilizando las fórmulas de permutaciones y combinaciones.

1. Combinatoria
Teoría de
Conteo
M.C. NEFTALÍ ANTÚNEZ H.

2. Siempre que sea y será MULTIPLICACIÓN

3. 1

4. 26 25 10 9 8
2

5. 7 6 4
5 3 2 = 7!
1 7! = 5040 Fotografías
3

6. 4

7. 5 4
3
2
5 5 5 5
1 4 2
2 3 1 1
2
2 5
3
5

8. 8 8 7 5
1
3
5
7
9
9 9 8 7
El 0 no
n = 10 dígitos
6

9. 2 6 5 4
3
4
7

10. 8
9

11. 𝑵𝒐. 𝒅𝒆 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝒏𝑪𝟐 − 𝒏
n = Número de lados del polígono
𝑵𝒐. 𝒅𝒆 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 =
𝒏(𝒏 − 𝟑)
𝟐
=
𝟖(𝟖 − 𝟑)
𝟐
=
𝟒𝟎
𝟐
= 𝟐𝟎
= 𝟖𝑪𝟐 − 𝟖 = 𝟐𝟖 − 𝟖 = 𝟐𝟎
10
11

12. 12

13. Al menos uno = Todos - Ninguno
13
14

14. M o N
Siempre que sea o será SUMA

15. 6 8 = 14 Formas
+
15

16. 3 2 = 6 Maneras
+ 1
+
16

17. Primer ejercicio para exentar: Hallar el valor de n en las
siguientes ecuaciones
1) 3 n+1P3 = 28 n+2C2
2)91 n+2P3 = 60 n+4C5
Cuando se presenta este caso, aplicaremos las fórmulas de
permutaciones y combinaciones que aparezcan y después
multiplicaremos cruzado. Luego aplicaremos varias veces la
propiedad FactorG a los factoriales mayores de ambos lados de la
igualdad, hasta que sean iguales a los factoriales menores y se
cancelen. Después, reduciremos la parte restante hasta que nos quede
una ecuación algebraica, la cual resolveremos por cualquier método
hasta hallar el valor de n positivo y entero.
𝒏𝑷𝒓 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
𝒏𝑪𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
n! = n (n – 1)! FactorG

18. Ejemplo: Hallar el valor de n en la siguiente ecuación
1) 56 n-2C2 = 5 n-3P3
𝒏𝑷𝒓 =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
𝒏𝑪𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
n! = n (n – 1)! FactorG
Aplicando las fórmulas de permutaciones y combinaciones, queda:
𝟓𝟔 ∙
𝒏 − 𝟐 !
𝟐! 𝒏 − 𝟐 − 𝟐 !
= 𝟓 ∙
(𝒏 − 𝟑)!
(𝒏 − 𝟑 − 𝟑)!
𝟓𝟔 ∙
𝒏 − 𝟐 !
𝟐 𝒏 − 𝟒 !
= 𝟓 ∙
(𝒏 − 𝟑)!
(𝒏 − 𝟔)!
𝟓𝟔 ∙ 𝒏 − 𝟐 ! (𝒏 − 𝟔)! = 𝟓 ∙ (𝒏 − 𝟑)! 𝟐 𝒏 − 𝟒 !
Multiplicando cruzado:
𝟓𝟔 ∙ 𝒏 − 𝟐 ! (𝒏 − 𝟔)! = 𝟏𝟎 ∙ (𝒏 − 𝟑)! 𝒏 − 𝟒 !

19. n! = n (n – 1)! FactorG
𝟓𝟔 ∙ 𝒏 − 𝟐 (𝒏 − 𝟑)! (𝒏 − 𝟔)! = 𝟏𝟎 ∙ (𝒏 − 𝟑)! 𝒏 − 𝟒 (𝒏 − 𝟓)!
Aplicando la propiedad FactorG a 𝒏 − 𝟐 ! 𝒚 𝒂 𝒏 − 𝟒 ! (2 veces)
Quitando de ambos lados los factores comunes 𝒏 − 𝟑 ! 𝒚 𝒂 𝒏 − 𝟔 !
𝟓𝟔 ∙ 𝒏 − 𝟐 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒏 − 𝟒 𝒏 − 𝟓
Realizando los productos:
𝟓𝟔𝒏 − 𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒏𝟐
− 𝟓𝒏 − 𝟒𝒏 + 𝟐𝟎
𝟓𝟔𝒏 − 𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒏𝟐 − 𝟗𝒏 + 𝟐𝟎
𝟓𝟔𝒏 − 𝟏𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝒏𝟐
− 𝟗𝟎𝒏 + 𝟐𝟎𝟎
𝟎 = 𝟏𝟎𝒏𝟐 − 𝟗𝟎𝒏 + 𝟐𝟎𝟎 − 𝟓𝟔𝒏 + 𝟏𝟏𝟐
𝟏𝟎𝒏𝟐
− 𝟏𝟒𝟔𝒏 + 𝟑𝟏𝟐 = 𝟎
Resolviendo por la fórmula general
o con calculadora:
𝒏𝟐 =
𝟏𝟑
𝟓
𝒏𝟏 = 𝟏𝟐
Comprobación 𝒏𝟏 = 𝟏𝟐.
56 n-2C2 = 5 n-3P3
56 12-2C2 = 5 12-3P3
56 10C2 = 5 9P3
56 (45) = 5 (504)
2520 = 2520 OK
𝟓𝟔 ∙ 𝒏 − 𝟐 (𝒏 − 𝟑)! (𝒏 − 𝟔)! = 𝟏𝟎 ∙ (𝒏 − 𝟑)! 𝒏 − 𝟒 𝒏 − 𝟓 (𝒏 − 𝟔)!