Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, incluyendo sistemas de dos ecuaciones lineales, una ecuación lineal y una cuadrática, y dos ecuaciones cuadráticas. Los métodos descritos son graficar, sustitución, igualación y reducción/combinación lineal. El objetivo es encontrar valores de las variables desconocidas que satisfagan simultáneamente todas las ecuaciones en el sistema.

1. Trabajo De Sistemas De Ecuaciones.
Todos las guías posible.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones.
Método de sustitución
1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo
una ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la
incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos
la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3 Resolvemos la ecuación obtenida:
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5 Solución

2. Método de igualación
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las
que aparecía despejada la otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación:
2 Igualamos ambas expresiones:
3 Resolvemos la ecuación:
4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x:
5 Solución:
Método de reducción

3. 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que
convenga.
2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.
3 Se resuelve la ecuación resultante.
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las
ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el
proceso.
Restamos y resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.
Solución:
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas
Método de Gauss

4. Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en
cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación
precedente.
1º Ponemos como prime ra ecuación la que tenga el como coeficiente de x:
1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el
orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término
en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el
resultado de la operación:
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el
término en x.
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción
y eliminar el término en y.
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
Ejemplo
1º Ponemos como prime ra ecuación la que tenga el como coeficiente de x:
1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el
orden de las incógnitas.
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término
en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el
resultado de la operación:
E'2 = E2 − 3E1

5. 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el
término en x.
E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción
y eliminar el término en y.
E''3 = E'3 − 2E'2
5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.
6º Encontrar las soluciones.
z = 1
− y + 4 ·1 = −2 y = 6
x + 6 −1 = 1 x = −4
Sistemas de ecuaciones no lineales

6. La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de
sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente
en la de prime r grado.
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
3º Se resuelve la ecuación resultante.
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se
obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
Ejemplo
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de
sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente
en la de prime r grado.
y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.
x2 + (7 − x)2 = 25
3º Se resuelve la ecuación resultante.
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se
obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3

7. Objetivo de Aprendizaje
Resolver sistemas de ecuaciones lineales, cuadráticas y otras funciones no lineales.
Introducción
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o
más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son
válidos para todas las ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se
intersectan.
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por
combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o
exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.
Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y
cuadráticos con sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser
más grandes y más complejos que estos ejemplos.
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es
el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los
mismos valores de x y de y. Puede haber más de una solución, no solución, o un número
infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:
Una solución No hay solución Soluciones infinitas

8. Si las gráficas de las
ecuaciones se intersectan,
entonces existe una solución
para ambas ecuaciones.
Si las gráficas de dos
ecuaciones no se intersectan
(por ejemplo, si son
paralelas), entonces no
existen soluciones para
ambas ecuaciones.
Si las gráficas de las
ecuaciones son la misma,
entonces hay un número
infinito de soluciones para
ambas ecuaciones.
Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer
lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:
Una solución No hay solución Dos soluciones
Si la parábola y la recta se
tocan en un sólo punto,
Si las gráficas de las
ecuaciones no se
intersectan, entonces no
Si la recta se intersecta con
la parábola en dos lugares,
entonces hay dos

9. entonces existe una solución
para ambas ecuaciones.
existen soluciones para
ambas ecuaciones.
soluciones para ambas
ecuaciones.
No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo
conjunto de puntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa.
Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos
ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas
son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una
ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en un lugar), o 2 (se cruzan en dos
lugares).
Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación
cuadrática.
Ejemplos
Problema Resolverel sistema graficando las ecuaciones
y

10. Graficar cada
ecuación y
localizar los puntos
de intersección
Solución Este sistema tiene dos soluciones, No podemos
determinar la posición exacta de los puntos de
intersección a partir de la gráfica, pero son
aproximadamente (-2,0) y (5,22)
Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas,
es difícil encontrar la posición exacta.
Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por
sustitución, seguimos los siguientes pasos:
Seleccionar una ecuación y despejar una variable. (Escoger una ecuación y una variable que
sea fácil de despejar).
Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta
variable aparezca.

11. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable.
Ejemplo
Problema Resolverel sistema usando el método de sustitución
y
En este caso, ambas ecuaciones
tienen la variable y despejada, por
lo que las podemos igualar
Restar 3x de ambos lados y restar
7 de ambos lados. Ahora queda
una ecuación cuadrática igual a 0
por lo que podemos usar
la fórmula
cuadrática, ,
para encontrar la solución
a = 1, b = -3, y c = -12
Sustituir los valores de a, b, y c en
la fórmula
Simplificar
o
Simplificar un poco más,
recordando evaluar
ambos y .

12. Evaluar cualquiera de las
funciones con cada x para
encontrar el valor
de y correspondiente
Solución
(5.27, 22.82) y (-2.27, 0.18)
Usando sustitución hemos llegado a una respuesta más precisa que cuando lo hicimos
graficando el sistema, sin embargo, si hicieron aproximaciones cuando sacamos la raíz
cuadrada de 57. ¡Esta no es la solución exacta!
Es siempre buena idea comprobar el resultado en las ecuaciones originales.
Aquí hay una prueba con el punto (5.27, 22.82):
Nota que la comprobación no resulta en una igualdad perfecta, pero cercana.
Usar una gráfica para encontrar el número de soluciones del sistema de ecuaciones.
y = -4x – 4 y y = -0.25x2 – 4

13. A) una solución
B) dos soluciones
C) no hay solución
D) soluciones infinitas
Mostrar/Ocultar la Respuesta
Sistemas de Dos Ecuaciones Cuadráticas
Ahora veamos el caso de dos ecuaciones cuadráticas. Imagina por un momento cómo las
gráficas de las dos ecuaciones cuadráticas pueden intersectarse (o no).
Una solución No hay solución
Dos ecuaciones cuadráticas que
tienen sólo un punto en común,
como un vértice compartido, tienen
una solución.
Dos ecuaciones cuadráticas que no
se superponen (no tienen valores
comunes de y) no tienen solución.
Dos soluciones Soluciones infinitas

14. Dos ecuaciones cuadráticas que se
superponen pero tienen ecuaciones
diferentes tienen dos soluciones
Si las gráficas de las ecuaciones son
la misma, entonces hay un número
infinito de soluciones válidas para
ambas ecuaciones.
Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas graficando:
Ejemplo
Problema Resolverel sistema graficando las ecuaciones
y

15. Graficar ambas
ecuaciones y
encontrar los
puntos de
intersección
Aproximar las
coordenadas de los
puntos de
intersección
Solución (-3, 9) y (3, 9)
Una vez más, no podemos estar seguros de que nuestras soluciones gráficas son exactas. Un
método algebraico siempre puede garantizar una solución exacta. Por ejemplo, podemos
resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas por sustitución:
Ejemplo
Problema Resolverel sistema usando el
método de sustitución:
y
En este caso ambas
ecuaciones tienen la
variable y despejada,
por lo que las
podemos igualar

16. Sumar 2x2 y 6 a
ambos lados para traer
todas las variables a
un lado de la ecuación
Aplicar la fórmula
cuadrática. a = 3, b =
0, y c = 10
Simplificar, notando
que la cantidad debajo
de la raíz cuadrada es
un valor negativo -
este es
el [discriminante] - lo
que significa que no
hay solución y las
gráficas no se
intersectan
Solución no hay solución
Como no hay solución, no podemos comprobar nuestra solución algebraicamente, pero
podemos ver ambas gráficas para verificar que no hay solución:

17. También podemos usar combinación lineal para resolver sistemas de ecuaciones, siguiendo
estos pasos:
Re arreglar las ecuaciones de forma que los términos se alineen.
Multiplicar ninguna, o una, o ambas ecuaciones por una constante para que los coeficientes
de una de las variables sean opuestos.
Sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables.
Resolver la ecuación resultante.
Sustituir la solución del paso 4 en la ecuación original para encontrar la otra variable.
¿Listo para intentarlo?

18. Ejemplo
Problema Resolverel sistema usando combinación lineal
y
Alinear las ecuaciones
Como ya hay dos variables
que son opuestas (x2 y –x2),
podemos sumar las dos
ecuaciones
y = 5 Despejar y dividiendo ambos
lados de la ecuación entre 2
Sustituir y en una de las
ecuaciones para encontrar los
valores de x.
Solución
y
Resolver el sistema: Encontrar los puntos de intersección, si existen, de las dos
ecuaciones siguientes:
A) no hay solución, no hay puntos de intersección

19. B)
C) (1,-4) y (2, -1)
D) (-2, 13) y (-1, 4)
Mostrar/Ocultar la Respuesta
Las mismas estrategias de graficar, sustitución, o combinación lineal pueden ser aplicadas
para resolver sistemas de ecuaciones de otras funciones no lineales, como círculos, elipses,
y otras funciones coordenadas.
Sumario
La solución de sistemas de ecuaciones no lineales puede hacerse usando las técnicas de
graficar, sustitución y combinación lineal. De la misma forma que con sistemas de
ecuaciones lineales, cuando encontramos soluciones a sistemas de ecuaciones no lineales,
estamos buscando la intersección de sus gráficas o los lugares donde las ecuaciones tienen
los mismos valores de las variables.
Sistemas de ecuaciones
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las
ecuaciones:
Forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
El conjunto de ecuaciones:

20. Forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada
alguna incógnita del sistema.
Por ejemplo,
Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor
exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se
llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas
El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos
los valores están elevados a 1, que no se escribe).
Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con
las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones
lineales
Resolviendo sistemas
Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:
Método de sustitución
Lo que debemos hacer:
1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
3.- Resolver la ecuación resultante.
4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.
Ejemplo:
Resolver
Se despeja x en la segunda ecuación:
x = 8 – 2y
Se sustituyen en la primera ecuación:

21. 3(8 – 2y) – 4y = – 6
Operando:
24 − 6y − 4y = − 6
24 – 10y = – 6
− 10y = − 6 − 24
− 10y = − 30
Se resuelve:
y = 3
Se sustituye este valor en la segunda:
X + 2(3) = 8
X + 6 = 8
x = 8 – 6 = 2
Solución del sistema:
x = 2, y = 3
Método de reducción
Lo que debemos hacer:
1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo
común de ambos.
2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.
3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.
4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del
sistema.
Ejemplo:
Resolver

22. Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x Para hacerlo, amplificamos la primera
ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x
por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos
eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con
la y
Se elimina la x :
Se elimina la y :
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010
Método de igualación
Lo que debemos hacer:
1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía
despejada la otra incógnita.
5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo:
Resolver
Despejamos x en la primera ecuación:

23. Despejamos x en la segunda ecuación:
x = –1 – 2y
Igualamos ambas expresiones:
: Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:
x = 3 + 2(−1)
x = 3 − 2
x = 1
Solución del sistema:
x = 1, y = –1
Otro ejemplo:
Resolver, por el método de igualación, el sistema
Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
Igualamos ambas expresiones:

24. Luego, resolvemos la ecuación:
Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la
x :
Sistema general[editar]
La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la
siguiente:
(1)

25. donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio
euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores
de dicha solución, verifique la ecuación.
Representación gráfica[editar]
Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las
funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una
curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a
partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.
Clasificación de los sistemas[editar]
Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de
soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio un
sistema puede ser:
Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:
Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o
un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación, .
Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones
que forman una variedad continua, .
Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución, .
Sistema lineal general[editar]
Artículo principal: Sistema de ecuaciones lineales
Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A
diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de

26. encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos.
También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un
anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más
complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la
llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices,
de la siguiente forma:
(2)
La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que
acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de
incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas. La tercera
matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término
independiente de la ecuación i-ésima.
Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como
el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la
que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones
lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a una matriz de este tipo:
Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá
con el de la incógnita . Si queda alguna fila del tipo , con , el sistema no
tendrá solución.
Ejemplos:
Un sistema lineal incompatible es , ya que usando el método reducción y sumando
miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.
Un ejemplo de sistema lineal compatible indeterminado es ya que claramente la
segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados
todos los términos por 2.
Un ejemplo de sistema lineal compatible determinado es cuya solución única
es y .

27. Existencia de soluciones[editar]
El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de
solución, de un sistema como (1) con . Si sucede que la función vectorial:
es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su jacobiano no se anula en
ningún punto entonces existe una única solución del sistema (1). En ese caso existirá una
función inversa, y se podrá escribir la solución buscada simplemente como:
Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aun siendo condición suficiente, no
es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las
funciones no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos
en que existe más de una solución, si la función es diferenciable entonces el jacobiano se
anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.
En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el
sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de
la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la
existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las
proporciona en el caso .
Número de soluciones
En un sistema de ecuaciones lineales compatible y determinado la solución es siempre
única. En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede
probarse que dos curvas polinómicas en el plano de grados n y m funcionalmente
independientes tienen como mucho nm soluciones diferentes. Ese resultado se desprende
del siguiente teorema de Bézout:
Dos curvas del plano proyectivo complejo , de grados n y m sin componentes comunes
se cortan exactamente en mn puntos contados con multiplicidad.
Métodos de resolución[editar]
Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra
lineal, para los sistemas de ecuaciones no lineales el problema es técnicamente más difícil.
Métodos analíticos[editar]

28. Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales.
Ni siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo
grado general:
Métodos numéricos
Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten
calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.
Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no lineales es el método
de Newton- Raphson. En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema
de n ecuaciones puede hacerse a partir del conocimiento de una solución
aproximada , siempre y cuando la aplicación anterior sea diferenciable, mediante el
esquema iterativo:
O más explícitamente:
Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no está garantizada y en
casos de soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada.
Métodos gráficos
Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés
práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos
generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.
Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real, suelen aparecer como uno de
los cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número
de soluciones:
Aquellos sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se
intersecan entre sí. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el normal. Suele
tener un número de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas de los punto de
intersección.
Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0. Gráficamente se
representan como un conjunto de líneas que nunca se intersecan entre sí, como líneas
paralelas.

29. Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo, x = 2x -
y o y - x = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las
ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que gráficamente, se
representa como todos los puntos del plano que representa la solución.
Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son
matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada en otra a
través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente la
superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser
desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Generalmente,
esto significa que hay un número infinito de soluciones.
Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad.
Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de la
serie de puntos representados por los demás es una solución de la ecuación de los que hay a
continuación, por lo general un número infinito.
La ecuación x2 + y2 = 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha
reducido a cero , por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una
normal de un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares
muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la
calificación de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo
descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y
| (donde la notación | • | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones de forma
un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solución representa
un rayo.
Sistema De Ecuaciones 2x2
sistemas de ecuaciones de 2x2 son sistemas de agrupación de 2 ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
se llama solución de un sistema 2x2, a cualquier pareja de valores de (x,y) que sea solución de ambas ecuaciones a la vez.
las soluciones de este tipo de sistemas son los puntos de corte de las rectas que representan cada una de las ecuaciones del
sistema,existen diversos métodos parala solución de ecuaciones de 2x2.se encuentra el método por sustitución,
igualación, reducción y un método grafico
1. metodo por sustitución se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2 se sustituye laexpresión de esta incógnita
en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.3 se resuelve la ecuación.4 el valor obtenido se
sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.5 los dos valores obtenidos constituyen la solución del
sistema.
2.método por igualación se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.2 se igualan las expresiones, con lo que
obtenemos una ecuación con una incógnita.3 se resuelve la ecuación.4 el valor obtenido se sustituye en cualquiera de las

30. dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.5 los dos valores obtenidos constituyen la solución del
sistema.
3.método por reducción se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.2 la restamos, y
desaparece una de las incógnitas.3 se resuelve la ecuación resultante.4 el valor obtenido se sustituyeen una de las
ecuaciones iníciales y se resuelve.5 los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema
4.método grafico el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las
siguientes fases:se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.se construye, para cada una de las dos funciones de primer
grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.se representan gráficamente ambas rectas en los ejescoordenados.en
este último paso hay tres posibilidades:si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores
de las incógnitas x e y. sistema compatible determinado.si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas
soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos deesa recta en la que coinciden ambas. sistema
compatible indeterminado.si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. sistema incompatible.
ejercicio 1:
indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones:
a)x2 – 5x + 8 = 2x + 4
b) x2 + 4x + 4 = (x – 2)(x + 3)
c) x2 + 2x – 1
solución:
a) el primer paso es pasar todo a uno de los dos miembros de la igualdad: x2 – 5x + 8 – 2x – 4 = 0.
agrupamos los términos semejantes y nos queda: x2 – 7x + 4 = 0
como el mayor grado de la incógnita es 2 podemos afirmas que es una ecuación de segundo grado.
b) primero operamos los paréntesis:x2 + 4x + 4 = x2 + x – 6.
pasamos, ahora, todo al primer miembro de la ecuación: x2 + 4x + 4 – x2 – x + 6 = 0
agrupando los términos semejantes nos queda: 3x + 10 = 0
como no hay ninguna incógnita elevada al cuadrado podemos afirmar que no es una ecuación de segundo grado.
c) no es una ecuación ya que es un polinomio de segundo grado que no está igualada a nada
ejercicio 2:
dada la ecuación x2 – 2x – 3 = 0, indica si los siguientes valores son solución de la ecuación o no:
x1 = 3; x2 = 2; x3 = –1; x4 = 1
solución:
a) x1 = 3.
sustituimos en la ecuación la incógnita por su valor y operamos:
32 – 2·3 – 3 = 0 ⇒ 9 – 6 – 3 = 0 ⇒ 0 = 0
se cumple la igualdad, por tanto el valor 3 es solución de la ecuación.

31. b) x2 = 2.
igual que antes sustituimos y operamos:
22 – 2·2 – 3 = 0 ⇒ 4 – 4 – 3 = 0 ⇒ – 3 = 0
no se cumple la igualdad, por tanto el valor 2 no es solución de la ecuación.
c) x3 = –1.
igual que antes sustituimos y operamos:
(–1)2 – 2·(–1) – 3 = 0 ⇒ 1 + 2 – 3 = 0 ⇒ 0 = 0
se cumple la igualdad, por tanto el valor –1 es solución de la ecuación.
d) x4 = 1
como yahay dos soluciones a la ecuación este valor no puedeser solución yaque una ecuación de segundo grado tiene
dos
soluciones.
ejercicio 3:
escribe en forma general la siguiente ecuación: x2 + (1 – x)2 = 5 – (2 – x)2
solución:
primero elevamos al cuadrado: x2 + (1 + x2 – 2x) = 5 – (4 + x2 – 4x).
ahora quitamos paréntesis:x2 + 1 + x2 – 2x = 5 – 4 – x2 + 4x
llevamos todo al primer término: x2 + 1 + x2 – 2x – 5 + 4 + x2 – 4x = 0
finalmente agrupamos los términos semejantes: x2 – 6x = 0
ejercicio 8:
resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:
a) 2x2 – 392 = 0
b) 4x2 + 2x = 0
solución:
a) la ecuación es incompleta del tipo b = 0, por tanto lo mejor es despejar x2 , siguiendo los pasos habituales:
x 196
2
2x2 − 392 = 0⇒ 2x2 = 392⇒ x2 = 392 ⇒ 2 =
ahora calculamos la raíz cuadrada y tomamos tanto su valor positivo como negativo paraobtener las dos soluciones:
x = ± 196 ⇒ x = ±16
por tanto las dos soluciones son 16 y –16
b) la ecuación es incompleta del tipo c = 0, por tanto lo mejor es sacar factor común x:
4x2 + 2x = 0⇒ x(4x + 2) = 0
para que el producto de dos números sea cero uno de los dos tiene que ser cero. por tanto:
⎪⎩

32. ⎪⎨
⎧
= −
−
+ = ⇒ = − ⇒ =
=
2
4
4x 2 0 4x 2 x 2
x 0
luego las soluciones son o y –2
ejercicio 10:
resuelve la ecuación 2
x 1
x
x 2
x 4 =
−
−
+
+
solución:
primero tenemos que ponerla de forma general, paraello hay que quitar denominadores (¡cuidado que son expresiones
algebraicas!) y agrupar los términos en un miembro de la ecuación. así obtenemos:
(x + 4)(x – 1) – x(x + 2) = 2(x + 2)(x – 1) ⇒ (x2 – x + 4x – 4) – (x2 + 2x) = 2x2 – 2x + 4x – 4 ⇒
⇒ x2 – x + 4x – 4 – x2 – 2x = 2x2 – 2x + 4x – 4 ⇒ x2 – x + 4x – 4 – x2 – 2x – 2x2 + 2x – 4x + 4 = 0 ⇒
⇒ –2x2 – x = 0
hemos obtenido una ecuación de segundo grado incompleta del tipo c = 0.
por tanto, para resolverla, sacamos factor común x: x(–2x – 1 ) = 0
para que el producto de dos números sea cero uno de los dos tiene que ser cero. por tanto:
ejercicio 11:
calcula el valor del discriminante e indicar que tipo de solución tiene las ecuaciones:
a) x2 – 16 x + 39 = 0
b) 9x2 + 6x + 2 = 0

33. c) 4x2 – 20x + 25 = 0
solución:
sabemos que el discriminante es δ = b2 – 4ac.
a) los coeficientes son a = 1; b = –16; c = 39. por tanto el discriminante vale:
δ = (-16)2 – 4·1·39 = 256 – 156 = 100 > 0
como el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
b) en este caso los coeficientes son: a = 9; b = 6; c = 2. por tanto el discriminante vale:
δ = 62 – 4·9·2 = 36 – 72 = –36 < 0
como el discriminante es menor que cero, la ecuación no tiene soluciones reales.
c) en estaecuación los coeficientes son a = 4; b = –20; c = 25. por tanto el discriminante vale:
δ =(–20)2 – 4·4·25 = 400 – 400 = 0
ahora el discriminante vale 0, por tanto la ecuación tiene una solución doble.
ejercicio 16:
encuentra una ecuación de segundo grado sabiendo que tiene la raíz doble 5
solución:
como tiene una solución doble, tenemos que:
suma = 5 + 5 = 10; producto = 5 · 5 = 25
aplicando la fórmula de la suma y el producto obtenemos la ecuación pedida:
x2 – 10x + 25 = 0
determinar el largo de cada auto.
soluci´on: sea x el largo de cada auto.
de acuerdo a la figura, la ecuaci´on que modela este problema es:
3x + 4 = 2x + 7
resolviendo esta ecuaci´on se obtiene que x = 3.
respuesta:cada auto mide 3 metros.
un farmac´eutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma.
la soluci´on debe tener 2% de ingrediente activo, pero s´olo tiene disponibles
soluciones al 10% y al 1%. ¿qu´e cantidad de cada soluci´on debe usar para completar
la receta?
soluci´on: sea x = cantidad de ml de la soluci´on al 10%
para ayudar a entender el problema, se trazaun esquema, como el siguiente.
a b c
cantidad de ml en cada caso x 15 − x 15

34. cantidad de ingrediente activo
en cada caso
0.1x 0.01(15 − x) 0.02 · 15
luego,
luego, la ecuaci´on que modela esteproblema es:
0.1x + 0.01(15 − x) = 0.02 · 15
resolviendo esta ecuaci´on (lineal) se obtiene que x = 5
3 1.7.
respuesta:se deben usar 1.7ml de la soluci´on al 10% y 8.3ml de la soluci´on al
1%, para obtener 15ml al 2%.
un corredor inicia en el principio de una pistay corre a velocidad constantede 10
km/h. cinco minutos despu´es, un segundo corredor comienza en el mismo punto,
y su velocidad es de 13 km/h, siguiendo por la misma pista. ¿cu´anto tiempo
tardar´a el segundo corredor en alcanzar al primero?
soluci´on: sea t el n´umero de horas que recorre el primer corredor. como el
segundo corredor sale 5 minutos ( 1
12 horas) despu´es que el primero, el tiempo que
recorre el segundo es (t − 1
12) horas. esto conduce a la siguiente tabla.
velocidad tiempo distancia
corredores km/h horas km.
primero 10 t 10t
segundo 13 t − 1
12 13(t − 112)
luego, como en el momento en que el segundo corredor alcanza al primero, ambos
han recorrido la misma distancia, la ecuaci´on que modela esteproblema es:
10t = 13(t −
1
12
)
resolviendo esta ecuaci´on (lineal) se obtiene que t = 13
36 0.36horas = 21.6min.
respuesta:el segundo corredor alcanza al primero en 21.6min, aproximadamente

35. una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $6 por unidad y
costos fijos de $80. cada unidad tiene un precio de venta de $10. determinar el
n´umero de unidades que deben vender para que la compa˜n´ıa obtenga utilidades de
$60 y calcular el margen por unidad.
soluci´on: se tiene que
utilidades = ingresos totales − costos totales
ingresos totales = cantidad vendida × precio de venta
costos totales = costos variables + costos fijos
sea q = n´umero de unidades que deben ser vendidas.
luego el modelo para el problema es:
10q − (6q + 80) = 60
resolviendo esta
luego el modelo para el problema es:
10q − (6q + 80) = 60
resolviendo esta ecuaci´on lineal se tiene que:
10q − (6q + 80) = 60
4q − 80 = 60
4q = 140
de donde se obtiene q = 35
respuesta:es necesario vender 35 unidades paraobtener utilidades de $60.
un grupo de j´ovenes decide pagar por partes iguales el arriendo de $14.000 de un
bote. a ´ultima hora, tres de los j´ovenes se arrepintieron, con lo cual la cuota de
cada uno de los restantes j´ovenes subi´o en $1.500.
(a) ¿cu´antos j´ovenes hab´ıa en el grupo original?
(b) ¿cu´anto pag´o cada uno de los j´ovenes del grupo final?
soluci´on: sea n el n´umero inicial de j´ovenes. ordenemos la informaci´on del
problema en la siguiente tabla.
n´umero de j´ovenes valor cuota de c/u
situaci´on inicial n 14000
n
situaci´on posterior n − 3 14000
n−3

36. como la cuota inicial sube en $1500, se tiene que la ecuaci´on que modela este
problema es:
14000
n − 3
=
14000
n
+ 1500
desarrollando esta ecuaci´on se obtiene que ella se reduce a:
n2 − 3n − 28 = 0
resolviendo esta ecuaci´on (cuadr´atica) se obtiene que sus soluciones son: n = 7 y
n = −4
claramente, la soluci´on n = −4, no puededar una soluci´on a este problema.
luego,
respuesta:
(a) en el grupo inicial hab´ıan 7 j´ovenes.
(b) cada j´oven del grupo final pag´o $3500 (= 14000
juan tiene un perro. actualmente su perro tiene 12 a˜nos menos que ´el. dentro de
4 a˜nos, juan tendr´a el triple de la edad de su perro.¿cu´al es la edad de alex y su
perro?
soluci´on: sea x la edad actual de juan.
ordenemos la informaci´on entregada en este problema en la siguiente tabla:
hoy en 4 a˜nos
juan x x + 4
su perro x − 12 (x − 12) + 4 = x − 8
luego, la ecuaci´on que modela esteproblema es:
x + 4 = 3(x − 8)
resolvamos estaecuaci´on:
x + 4 = 3(x − 8)
x + 4 = 3x − 24
−2x = −28
x =
resolvamos estaecuaci´on:
x + 4 = 3(x − 8)

37. x + 4 = 3x − 24
−2x = −28
x = 14
respuesta:la edad de juan es 14 a˜nos y la edad de su perro es 2 a˜nos.
la familia verdana tiene una huerta con 90 plantas de tomates. el n´umero de
plantas de cada fila excede en 3 al doble del n´umero de filas. determinar el n´umero
de filas y el n´umero de plantas por fila.
soluci´on:
(a) sea x = n´umero filas.
(b) datos:
n de filas n de plantas en c/fila total de plantas
x 2x + 3 x(2x + 3)
(c) ecuaci´on: x(2x + 3) = 90
equivalente a: 2x2 + 3x − 90 = 0
(d) resolviendo la ecuaci´on, se obtiene: x = 6 o x = −
15
2
respuesta:yaque, el n´umero de filas debe ser un n´umero entero positivo, luego:
en la huerta hay 6 filas, y en cada fila hay 2 · 6 + 3 = 15 plantas de tomates
hay que repartir $60.000 entre cierto n´umero de amigos, presentes en una reuni´on,
en partes iguales. alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le
corresponder´ıa $2.500 m´as. cu´antos son los amigos presentes y cu´anto le corresponde
a cada uno?
soluci´on:
(a) sea x = n´umero de amigos del grupo original.
(b) organizando los datos en una tabla:
n´umero de amigos cantidad a pagar, por persona
x
60000
x
x − 2
60000
x − 2
(c) se obtiene la ecuaci´on:

38. 60000
x − 2
=
60000
x
+ 2500
(d) resolviendo la ecuaci´on:
60000
x − 2
=
60000
x
+ 2500
60000x = 60000(x − 2) + 2500x(x − 2)
2500x2 + 11000x + 12000 = 0
las soluciones de esta ecuaci´on son: x = 8 o x = −6. se puede verificar que
tambi´en lo son de la ecuaci´on original.
respuesta:yaque, el n´umero de amigos debe ser un n´umero no negativo, se
encuentra que, el grupo original estaba conformado por 8 amigos
dos trabajadores a y b realizan juntos una tarea en 10 d´ıas. trabajando por
separado, el trabajador a tardar´ıa 5 d´ıas m´as que b. determinar el n´umero de
d´ıas que tardar´ıa en realizar la tarea cada uno de ellos trabajando por separado.
soluci´on:
(a) sea t = tiempo requerido por a en efectuar la tarea, en d´ıas.
luego, el trabajador b demora t − 5 d´ıas.
(b) datos:
trabajador tiempo que demora cantidad de la tarea
en hacer la tarea (en d´ıas) que realiza en 1 d´ıa
a t
1
t
b t − 5
1

39. t − 5
juntos a y b 10 1 /10
la corriente de un r´ıo tiene una velocidad de 3km/h. un bote recorre 40km contra
la corriente y 40km con la corriente en un totalde 14 horas. determinar la velocidad
del boteen aguas tranquilas.
soluci´on:
(a) datos:
distancia recorrida en contra: 40 km con la corriente
distancia recorrida a favor: 40 km en contra corriente
tiempo total (ida y vuelta): 14 hrs
un comerciante reh´usa vender en 15000 pesos un cierto n´umero de pacas de algod
´on. dos meses m´as tarde, cuando el precio ha subido 5 pesos por paca, las
vende en 15190 pesos. si en el curso de los dos meses se destruyeron dos pacas,
encontrar el precio por paca de la primera oferta y el n´umero original de ellas.
soluci´on:
(a) sean:
y = cantidad de pacas de algod´on
x = costo de cada paca en pesos
(b) organizando los datos:
cant. de pacas precio unitario precio total
antes y x x y
despu´es y − 2 x + 5 (x + 5)(y − 2)
de 2 meses
(c) ecuaciones:
(1) xy = 15000
(2) (x + 5)(y − 2) = 15190
despejando y en la ecuaci´on (1), se obtiene: y =
15000
x
(c) ecuaciones:
(1) xy = 15000
(2) (x + 5)(y − 2) = 15190
despejando y en la ecuaci´on (1), se obtiene: y =
15000

40. x
.
sustituyendo y en la ecuacin (2) se obtiene una ecuaci´on en x:
(x + 5)
15000
x
− 2
= 15190
(d) resolviendo la ecuacion en x:
(x + 5)
15000
x
− 2
= 15190
(x + 5)
15000 − 2x
x
= 15190
x2 + 100x − 37500 = 0
soluciones de la ecuación : x1 = 150 _ x2 = −300
las soluciones son: x1 = 150, x2 = 300.
respuesta:para esteproblema sirve x = 150. por lo tanto cada paca costaba
150 pesos en la primera oferta y originalmente habia un totalde 100 pacas
Un terreno deportivo tiene forma rectangular, de tal manera que la medida de su
ancho es a cm, y la medida de su largo es el triplede la medida de su ancho. El terreno
se encuentra rodeado de una pistacuyo borde exterior tambien es rectangular,
de lados paralelos a los del terreno y separados del terreno a la misma distancia.
Determinar el ancho de la pistaen términos de la medida del ancho del terreno,

41. para que el Área de la pistay la del terreno sean iguales.
Solución
(a) sea x = ancho de la pistaque rodea el terreno deportivo.
(b) estableciendo relaciones:
(1) medida del largo del terreno = 3a cm
(2) Área del terreno = 3a2 cm2
(3) dimensiones del rectángulo que rodea
la pista(exterior): ancho = 2x + a; largo = 2x + 3a
(3) Área de la pista= (2x + a)(2x + 3a) − 3a2
(c) se obtiene la ecuación en x:
(2x + a)(2x + 3a) − 3a2 = 3a2
(d) resolviendo la ecuación :
(2x + a)(2x + 3a) − 3a2 = 3a2
4x2 + 8ax + 3a2 − 3a2 = 3a2
4x2 + 8ax − 3a2 = 0
x =
−8a ± 4a
p
7
8
a > 0
x = a
p
7 − 2
2
!
0.3228 a _ x = a
−
p
7 − 2
2
−2.3228 a
respuesta:por las condiciones del problema, x > 0. Luego , la medida del ancho

42. de la pista, en términos de a es:
x =
p
7 − 2
2
!
a 0.3228 a
MUCHAS GRACIAS POR ATENCION.
NOS VEREMOS PRONTO Y ESPERO QUE TE ALLA SERVIDO Y ALLAS
ENTENDIDO TODO
FELIZ EJERCICIOS.
ALUMNO: STIVER SALAZAR.
GRADO – 11,01.