Ecuaciones empíricas, minimos cuadrados, gravedad

1. UNIVERSIDAD
NACIONAL DE
CAJAMARCA
Informe de práctica nº 1 de
laboratorio
Grupo 1 A - Primer año - Primer ciclo
Integrantes:
Bardales Minchán, Oscar Alexis

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FÍSICA I Página 1
ECUACIONES EMPÍRICAS
1. INTRODUCCION:
Una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de un
fenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información de
las leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichas
leyes puede ser tan complicada que impide construir un modelo analítico
obligando a recurrir aluso de ecuaciones empíricas para su comprensión.
El movimiento periódico es cualquier clase de movimiento que se repite en
intervalos iguales de tiempo, cuyos elementos son: la oscilación sencilla,
oscilación completa, periodo, frecuencia, elongación y amplitud.
En esta práctica, se trabaja en el laboratorio con un movimiento oscilatorio
pendular (movimiento de un masa de un lado a otro de la posición de equilibrio
en virtud de la gravedad y de la inercia) en el cual se observa la relación entre
la longitud del péndulo y su periodo por medio de ecuaciones empíricas y del
ajuste de curvas por método de mínimoscuadrados.
2. OBJETIVO
2.1 Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple que
relaciones el periodo (T) y la masa (M).
2.2 Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple que
relaciones el periodo (T) y la masa (L).
3. FUNDAMENTO TEORICO
Para obtener una ecuación empírica, se procede siguiendo en orden las etapas
siguientes:
Graficar los pares de valores numéricos referidos en un sistema de
coordenadas (X-Y) en un papel milimetrado, designándose el eje de las
abscisas para la variable independiente y el eje de las coordenadas para la
variable dependiente:
Relación lineal: cuando los puntos graficados se ajustan a una recta (fig. N0
01), cuya ecuación general es:
Y=b+mX…………….......................... (ec. 01)
Dónde:
b= intersección de la recta con el eje de las ordenadas.
m=pendiente de la recta.

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Función potencial: cuando los puntos graficados se ajustan a una curva (fig. N0
02), cuya ecuación general es:
Y=aXm…
…………………………………… (ec.02)
Donde:
“a” y “m” =constantes a determinar, ya sea gráficamente o por otros métodos
como de mínimo cuadrados.
Para ello se toma logaritmos a ambos miembros de la ecuación, teniendo:
log Y =log a +mlogX………………… (ec. 03)
Y’= a’+ mX’……………………………… (ec. 04)
LA GRAVEDAD
La gravedad es una fuerza de atracción entre toda la materia. Aunque
exista la gravedad para aún pequeñas cantidades de materia, la fuerza
habitualmente no es lo suficientemente significativa como para ser detectada o
generar atracción. Además de la masa, la gravedad también depende de la
distancia, lo cual es la razón por la que la gravedad de la tierra afecta a los
seres humanos más que los cuerpos con mucha masa, tales como el sol o
Júpiter.
-El efecto de la distancia sobre la gravedad
Debido a que la gravedad depende de la distancia, la fuerza de
gravedad también depende de la altitud. Al tope de una montaña, una persona
experimentará menos gravedad que alguien debajo del nivel del mar; aunque
para los propósitos de las habilidades sensoriales humanas, la diferencia será
indetectable.
-El efecto de la fuerza centrípeta sobre la gravedad
En la Tierra, la atracción gravitacional también depende de la longitud.
Debido a la rotación de la Tierra, existe una fuerza centrípeta que afecta el
peso de los seres humanos y la atracción gravitacional que experimentamos.
Trabaja de tal modo que alguien en el ecuador terrestre, que está “viajando” a
una mayor velocidad que alguien en los polos, pesa menos y por lo tanto
experimenta menos gravedad.
-Gravedad y la atmósfera terrestre
La gravedad juega una parte significativa en el equilibrio de la vida de la
Tierra (es la razón por la cual los seres humanos pueden caminar, construir
edificios y vivir en un ambiente bajo presión controlada).

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MÍNIMOS CUADRADOS
Consiste en someter un sistema a diferentes condiciones, fijando para ello
distintos valores de la variable independiente X, y anotando en cada caso el
correspondiente valor medido para la variable dependiente Y. De este modo se
dispone de una serie de puntos (X1, Y1),.... (Xn, Yn) que, representados
gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores
experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente
alineados. El método de mínimos cuadrados determina los valores de los
parámetros “m” y “a” de la recta que mejor se ajusta a los datos
experimentales. Utilizando las siguientes ecuaciones:
(Ec. Nº 5)
(Ec. Nº 6)
4. MATERIAL Y EQUIPO
Un péndulo simple, que consta de:
 Soporte universal
 Dos varillas
 Una mordaza
 Juego de pesas (10g, 20g, 50g, 100g)
 Hilo de suspensión (120 cm aprox )
Cronometro (mínima medida centésimas de segundo).
Papel milimetrado.
Regla graduada e centímetros (mínima medida en milímetros).
Wincha (mínima medida milímetros).
Pistoletes.
5. PROCEDIMIENTO

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5.1 Tomamos las medidas del tiempo para 10 oscilaciones manteniendo la
longitud del hilo (constante de 80 cm) haciendo variar la masa (10g,
20g,50g,70g, 100g) para construir la tabla Nº 1.
TABLA Nº 1
MASA (g) Tiempo de 10 oscilaciones (s) Periodo de
oscilación
T1 T2 T3 T
10 10.53 17.70 17.59 1.76
20 17.59 17.55 17.60 1.76
50 17.41 17.47 17.70 1.72
70 17.41 17.78 17.50 1.76
100 17.64 17.78 17.70 1.77
Tabla de sumatorias para el método teórico de mínimos cuadrados.
N M T M*T M*M
1 10 1.76 17.6 100
2 20 1.76 35.2 400
3 50 1.72 86 2500
4 70 1.76 123.2 4900
5 100 1.77 177 10000
Ʃ 250 8.77 439 17900
Graficamos los puntos de la tabla Nº 1 en el papel milimetrado para aplicar el
método geométrico y el método teórico, para hallar la pendiente y el intercepto,
y así determinar la ecuación empírica que relacione el tiempo (T) y la masa
(M). También para saber cómo depende el tiempo con respecto de la masa.
Utilizando los métodos geométrico y teórico con los valores de las tablas
ayudaran a verificar si los datos tomados son correctos.
-Método Geométrico:
Se trazó la línea que pasa por el punto 1.76 en el eje del Tiempo debido
a que se repite ese valor (moda).
a= 1.76
m= 0
De Ec. Nº1->T= 1.76 + (0)L

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-Método analítico
Mínimos cuadrados:
–
–
–
De Ec. Nº 1 -> T= 1.75 + 0.0001 L
Aproximando a la mínima medida en milímetros → T= 1.75 + 0.00 L
5.2.1 Luego de experimentar sin variar la longitud del hilo del péndulo,
esta vez mantendremos constante la masa (50g) y variaremos la longitud del
hilo (10cm, 20cm, 40cm, 60cm, 80 cm, 100cm y 120cm), tomando el tiempo
para 10 oscilaciones. Y asíconstruimos la tabla Nº 2.
TABLA Nº 2
LONGITUD
(cm)
Tiempo de 10 oscilaciones (s) Periodo de
oscilación (s)
T1 T2 T3 T
10 5.98 6.02 6.08 0.60
20 9.22 9.09 9.10 0.91
40 12.71 12.50 12.66 1.26
60 15.55 15.52 15.54 1.55
80 17.64 17.44 17.93 1.76
100 19.75 20.00 20.02 1.99
120 21.55 21.66 21.50 2.16

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5.2.2 graficamos los puntos de la tabla Nº 2 en el papel milimetrado para
aplicar el método geométrico y el método teórico y así encontrar la ecuación
empírica que relaciones el Periodo (T) y la Longitud (L).
5.2.3 Al observar que el trazo de la gráfica es una curva no se podrá
calcular la pendiente, ni el intercepto para lo cual construiremos una tabla
adicional (tabla Nº 3 ) aplicando los logaritmos a los datos la tabla Nº 2.
TABLA Nº3
T L Log T Log L
0.06 10 -0.22 1.00
0.91 20 -0.04 1.30
1.26 40 0.10 1.60
1.55 60 0.19 1.77
1.76 80 0.24 1.90
1.99 100 0.29 2.00
2.16 120 0.33 2.07
Tabla de sumatorias para el método teórico de mínimos cuadrados.
nº Log T Log L Log T * Log L Log L* log L
1 -0,22 1,00 -0,22 1,00
2 -0,04 1,30 -0,052 1,69
3 0,10 1,60 0,16 2,56
4 0,19 1,77 0,3363 3,13
5 0,24 1,90 0,456 3,61
6 0,29 2,00 0,58 4,00
7 0,33 2,07 0,6831 4,28
Ʃ 0,89 11,64 1,9434 20,2778
5.2.4 Construimos la gráfica Nº 3, realizando esto obtendremos un trazo
recto en el cual podremos obtener la pendiente y el intercepto con ayuda del
método geométrico como del teórico (mínimos cuadrados).
-Método Geométrico:
a= -0.76
m= = 0.51
De Ec. Nº 4 -> T= -0.76 x L0.51

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-Método analítico
Mínimos cuadrados:
De Ec. Nº 4 → T= -0.71 x L0.50
5.2.5 Después de calcular la ecuación de la gráfica Nº 3. Aplicamos el
antilogaritmo al valor de a’ y así obtenemos el intercepto para la ecuación de la
gráfica Nº 2, logrado encontrar una ecuación empírica que relaciones el periodo
(T) y la masa (M).
Anti-log a’ = a
Anti-log a’ = 0.197
a= 0.197
De Ec. Nº 2 → T=0.197 x L0.50
6. La gravedad en Cajamarca.
Tenemos que:
T= ^ T= 0.197 x L0.50
entonces;
= 0.197 x L0.50
Despejando la gravedad

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7. CONCLUSIONES
-El periodo es independiente a la masa del péndulo.
En la gráfica 1 se puede apreciar que el tiempo en segundos no varía, se
mantiene constante, y si lo hace la cantidad es ínfima, por el contrario la masa
en gramos varía debido a que se puso a prueba diferentes pesos en el sistema
de péndulo simple.
-El periodo es dependiente de la longitud de la cuerda del péndulo.
Esto se debe a que el peso se encuentra en el extremo de la cuerda si es el
tamaño de la cuerda es más pequeño, el periodo también será corto, por el
contrario, si el tamaño de la cuerda aumenta, también lo hará el periodo, ya
que la masa recorre en el extremo una mayor longitud por ser el radio de
curvatura más grande.
-Con el procedimiento para encontrar la gravedad de Cajamarca resultó
aproximadamente 9.86 m/s2
, ya que utilizando la ecuación del periodo (T) que
son:
T= ^ T= 0.197 x L0.50
Igualando sus equivalentes, despejamos la gravedad y obtuvimos el resultado
de la gravedad que depende de la altitud con respecto al nivel sobre el nivel del
mar y la latitud con respecto al ecuador terrestre.
-La ecuación empírica del periodo (T) y masa (M) del péndulo es
aproximadamente:
T= 1.75 + 0.0001M
Esta ecuación se obtiene del método analítico de la tabla Nº1; La pendiente por
ser tan pequeña se tomaría como despreciable, es decir tiende a ser cero.
-La ecuación empírica del periodo (T) y la longitud (L) del péndulo es
aproximadamente:
T= 0,197 x L 0,50

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Esta ecuación es obtenida por medio del método analítico de la tabla Nº 2,
donde el intercepto es igual a 0,197 y la pendiente 0,50.
8. SUGERENCIAS
-La longitud del hilo debe ser adecuada para poder tomar el tiempo de
oscilación y no tener un margen de error grande, pues ello dificultará para
realizar los cálculos tanto del tiempo como de los datos de las tablas.
-Utilizar un hilo delgado no muy grueso, para que los efectos del aire no
intervengan a la hora de realizar el experimento y habrá un cálculo más
preciso.
-Hacer un nudo para que la oscilación se dé de manera correcta con la longitud
exacta con respecto del centro y no se desvíe a la hora del movimiento, es
decir no se altere la longitud del hilo.
9. BIBLIOGRAFIA
-“Teoría de la gravitación universal"
- Guia de ciencias, Dr. Félix Aucallanchi V.
- Wanwisa Baker
-FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS, Walter Pérez Terrel.