Pendulo Simple

2.  Definiciones
 Objetivos de un péndulo simple
 Modelo de Newton
 Ecuaciones de un péndulo simple ( Método de
Newton)
 Ecuaciones de un péndulo simple ( Método de
Lagrange)
 Oscilaciones pequeñas

3.  Oscilaciones de mayor amplitud
 Aplicabilidad de un péndulo
 Ejercicios de un péndulo simple
 Conclusión

4. Un pendulo simple es un sistema mecánico que se
mueve en un movimiento oscilatorio.
Un péndulo simple se compone de una masa
puntual (m) suspendida por una cuerda ligera
supuestamente inextensible de longitud (L) ,
donde el extremo superior de la cuerda está fijo.

5.  Su objetivo es
estudiar el
comportamiento
del período en
función:
• El ángulo de
oscilación
• La masa de
oscilación

6.  Consideremos un péndulo simple,
como el representado en la Figura. Si
desplazamos la partícula desde la
posición de equilibrio hasta que el hilo
forme un ángulo Θ con la vertical, y
luego la abandonamos partiendo del
reposo, el péndulo oscilará en un plano
vertical bajo la acción de la gravedad.
Las oscilaciones tendrán lugar entre las
posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas
respecto a la vertical, a lo largo de un
arco de circunferencia cuyo radio es la
longitud, ℓ , del hilo. El movimiento es
periódico, pero no podemos asegurar
que sea armónico.

7. La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la
acción de dos fuerzas: Su propio peso (mg) y la tensión del hilo
(N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
F = - mg.sin Θ = ma
siendo a ,la aceleración tangencial y donde hemos incluido el
signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene
siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza
recuperadora).
t
t
t

8. t
¨
¨
¨¨

9. El lagrangiano del sistema es :
Donde θ , es la elongación angular (ángulo que forma el hilo
con la vertical) y l , es la longitud del hilo. Aplicando las
ecuaciones de Lagrange se sigue
Y obtenemos la ecuación del movimiento es :
De modo que la masa no interviene en el movimiento de un
péndulo.

10. Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de
modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño,
entonces el valor del sen θ será muy próximo al valor de θ
expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente
pequeño) y la ec. dif. del movimiento se reduce a :
Que es idéntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refiriéndose
ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento
rectilíneo, cuya solución es:

11. siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de
la cual determinamos el período de las mismas:
Las magnitudes Θ y ϕ son dos constantes "arbitrarias"
(determinadas por las condiciones iniciales) correspondientes
a la amplitud angular y a la fase inicial del movimiento.
Ambas tienen dimensiones de ángulo plano.

12. La integración de la ecuación del movimiento, sin la
aproximación de pequeñas oscilaciones, es
considerablemente más complicada e involucra
integrales elípticas de primera especie, por lo que
omitimos el desarrollo que llevaría a la siguiente
solución:
Donde θ , es la amplitud angular. Así pues, el periodo es
función de la amplitud de las oscilaciones.

14. donde θ se expresará en
radianes. Esta aproximación
resulta apropiada en gran parte
de las situaciones que
encontramos en la práctica; de
hecho, la corrección que
introduce el término θ2/16
representa menos de 0.2% para
amplitudes inferiores a 10°.

16. En virtud del sincronismo de las oscilaciones, el péndulo tiene como
aplicación inmediata la medida del tiempo por medio de la
construcción de relojes de péndulo, tan conocidos en todos los
lugares.
Otra de las aplicaciones útiles del péndulo se relaciona con la
facilidad que ofrece para la determinación de la gravedad en
cualquier lugar, tomando como base experimental la
determinación previa del tiempo que gasta (período) para hacer
una oscilación y la longitud exacta del péndulo que oscila.

17. Finalmente, el péndulo nos permite demostrar el movimiento de
rotación de la Tierra, gracias al célebre experimento de FOUCAULT
realizado en el Panteón de París. El experimento fue el siguiente:
de un alambre de unos 80 metros de longitud, se suspendió una
bola metálica de unos 25 kilogramos de peso, provista la bola en
su parte inferior de una aguja o estilete que dibujaba una raya en
el suelo, a medida que el péndulo oscilaba.
Se hace oscilar el péndulo, según un diámetro AB, pero al cabo de
cierto tiempo estará oscilando según un diámetro diferente. Como
está plenamente comprobado que el plano de oscilación es
invariable, debe aceptarse, que el cambio de diámetro en la
oscilación se debe a la rotación de la Tierra.

18. Experimento de FOUCAULT.

20. 2

21. 2

22. =3m

23. 2
2
=2m

24. Para finalizar podemos decir que el movimiento
de un péndulo simple, es un movimiento
armónico simple, es un movimiento vibratorio
bajo la acción de una fuerza recuperadora
elástica, proporcional al desplazamiento y en
ausencia de todo rozamiento. El período de un
péndulo sólo depende de la longitud de la
cuerda y el valor de la gravedad