en la siguiente presentación veremos los métodos de conteo.

1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE
TORREON.
ESTADISTICA
Lic. Mata Ortiz.
METODOS DE CONTEO.
RAFAEL GOMEZ CAMPOS.
PROCESOS INDUSTRIALES.
2°“A”

2. METODOS DE CONTEO.
En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus
elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se
van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de
algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son
diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si
alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.
PERMUTACION.
Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos
considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo
entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es
importante resaltar que el orden es una característica importante en
la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que
permutamos dichos elementos.
El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, se
designa por:

3. Permutación lineal con elementos diferentes
El número de permutaciones de “n” objetos diferentes, tomados
en grupos de k elementos (siendo k n) y denotado por , estará dado
por:
Donde: n, k N y 0 k n
EJEMPLO:
En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuantas
formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con
medalla de oro, plata y bronce?
Solución:
Método 1: Empleando el principio de multiplicación

4. Oro Plata Bronce
10 x 9 x 8
# Maneras = 720
PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS.
Frecuentemente queremos encontrar el número de
permutaciones de objetos donde algunos son similares. La fórmula
general para esto, es la siguiente:
TEOREMA: el número de permutaciones de n objetos de los
[1]
cuales n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra
manera, …. , nr son similares aún de otra manera, es
de otra forma; el número de permutaciones (P) distintas de “n”
elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer grupo de
n1objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo
tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último
tipo, entonces:

5. Donde: n1 + n2 + n3......+ nk = n
PARTICIONES
EJEMPLO:
¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes
figuras?
SOLUCIÓN:
Como entran todos los elementos del conjunto y estos se
repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres
círculos), n2 = 2 (dos cuadrados), n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1 (un
rombo), luego:
=

6. COMBINACIONES:
Combinación simple:
Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o
con todos los elementos de un conjunto dado sin que ninguno se repita y sin
importar el orden de ellos. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por
los elementos que las conforman.
El número de combinaciones de n objetos tomando r a la vez se
denota C(n,r).
La formula general para hallar el número de combinaciones es:
EJEMPLO:
Si disponemos de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo
número
de triángulos que se podrán formar?
SOLUCIÓN:
Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano,
luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5).
Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA;
por lo tanto se trata de una combinación.

7. OBSERVACIÓN
1) En las permutaciones interesa el orden, se
buscan ordenaciones
2) En las combinaciones no interesa el orden, se
busca agrupaciones

8. ORDENACIONES.
ORDENACIÓN SIMPLE:
Son ordenaciones simples todas las agrupaciones
de k elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a
partir de n elementos distintos ( k n ), sin que ninguno se repita.
Estas agrupaciones se diferencian entre sí, por los elementos que las
componen o por su orden.
El número de variaciones de k elementos que pueden formarse
a partir de n elementos distintos ( Vkn ) , es:
Ordenación con repetición
Son ordenaciones con repetición, todas las agrupaciones de k
elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir
de n elementos distintos, donde cada uno de los elementos puede
formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible.
El número de variaciones con repetición de k elementos, que
pueden formarse a partir de n elementos distintos ( Vkkn ) , es:

9. DIAGRAMA DE ARBOL.
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el
número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la
construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el
cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras
de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las
posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta ramas se conoce como rama de
primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del
siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de
ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de
probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles
para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas
adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se
trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
 La 1ª con el 50% de estudiantes.
 La 2ª con el 25% de estudiantes.
 La 3ª con el 25% de estudiantes.
Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

10. ¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

11. Pero
también podría ser lo contrario.
 Por ejemplo podemos identificar el 0,6 que encotramos en la rama que va de 1ª facultad a
mujer como la siguiente probabilidad condicionada:
También esta herramienta se relaciona con algunos teoremas de la probabilidad
condicionada
 El segundo cálculo que hemos realizado, se corresponde con la aplicación
del teorema de la Probabilidad Total
Dado que las tres facultades forman una partición del espacio maestral podemos indicar
este cálculo como:

12. Otro ejemplo sencillo de las posibles combinaciones
en el siguiente diagrama de árbol de primaria: