Definición de Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números Reales Desigualdades. Definición de Valor Absoluto. Desigualdades con Valor Absoluto Plano numerico (Distancia, Punto Medio) Representacion grafica de las conicas (circunferencia, parabola, elipse, hiperbola)

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación universitaria
Universidad politécnica territorial
Andrés Eloy blanco
Barquisimeto estado Lara
Participante:
Michael Daza
C.I: 27586753
Sección: 0402

2. - Definición de conjunto.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Los objetos que forman un
conjunto se llaman miembros o elementos del conjunto. El mundo está formado por
gran variedad de conjuntos:
A_. El conjunto de los elementos del sistema solar está formado por el Sol, Mercurio,
Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno y Plutón. Siendo cada planeta
y el Sol un elemento del conjunto.
B_. El conjunto de los colores del arcoíris está formado por rojo, anaranjado, amarillo,
verde, azul, añil y violeta.
C_. El conjunto de los números naturales pares y primos tiene como único elemento el
2.
D_. El conjunto de los números naturales está formado por 0, 1, 2, 3, 4, 5..., siendo
cada número "de contar" un elemento del conjunto.
- Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos
permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las
operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia,
diferencia simétrica y complemento.
Unión o reunión de conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es decir,
dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto
formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.
Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se
sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera
la operación de unión.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos
será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:

3. Intersección de conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes
involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de intersección de
los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que
sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa
para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos
será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero,
pero no al segundo. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos
entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El
símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o
sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. - Números reales.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real
y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En
otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real. Se representa con la letra ℜ.
- Desigualdades.
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que
>, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es
igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha,
al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:

5. 3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
- Definición de valor absoluto.
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la Física
y las Matemáticas, por ejemplo, en las nociones de magnitud, distancia, y norma. En
casos más complejos es un concepto muy útil, como en las definiciones de
cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el mismo número, pero
con signo positivo. En otras palabras, es el valor numérico sin tener en cuenta su
signo, ya sea positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto del número −4 se
representa como |−4| y equivale a 4, y el valor absoluto de 4 se representa como |4|, lo
cual también equivale a 4.
- Desigualdades con valor absoluto.
Empecemos con una desigualdad simple.
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se te pide
resolver x, quieres encontrar los valores de x que están a 4 unidades o menos de 0 en
la recta numérica. Podrías empezar imaginando la recta numérica y los valores de x
que satisfacen esta ecuación.
4 y −4 están a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 también son
soluciones porque cada uno de estos valores está a menos de cuatro unidades del 0.
Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un número infinito de valores de x
que satisfacen la desigualdad.
La gráfica de esta desigualdad tendrá dos círculos cerrados, en 4 y en −4. La distancia
entre estos dos círculos en la recta numérica está coloreada de azul porque estos son
los valores que satisfacen la ecuación.
La solución se puede escribir de esta manera: −4 x 4.
La situación es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o
“mayor o igual a.” Considera la desigualdad simple También, podrías pensar en la
recta numérica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y
−3 no están incluidos en la solución, entonces hay dos círculos abiertos en estos
valores. 2 y −2 no serían soluciones porque no están a más de tres unidades del 0.
Pero 5 y −5 si están y también lo están todos los valores extendiéndose a la izquierda
de −3 y a la derecha de 3. La gráfica se vería como la que está abajo.

6. La solución de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3.
- Plano numérico (Distancia, Punto medio)
El Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un
plano.
Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en
que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la
distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de
la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2)
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
La fórmula del punto medio:
En una recta numérica, el número a la mitad entre x 1 y x 2 es
Ejemplo 1:
Encuentre el punto medio entre –1 y 4.
Use la fórmula. El punto medio es
(–1 + 4)/2
= 3/2 o 1.5.

7. Ejemplo 2:
Si 0.5 es el punto medio de y la coordenada de P es -4, encuentre la coordenada de R
.
Use la fórmula.
Para comenzar a resolver, multiplique ambos lados por 2.
Enseguida, sume 4 en ambos lados.
Así, la coordenada de R es 5.
En dos dimensiones
Suponga que se le dan dos puntos en el plano ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ), y se le pide
encontrar el punto a la mitad entre ellos. Las coordenadas de este punto medio serán:
Una forma fácil para pensar en esto es que la coordenada en x del punto medio es el
promedio de las coordenadas en x de los dos puntos, y de la misma forma con la
coordenada en y.
Ejemplo 1:
Encuentre el punto medio entre (–2, 5) y (7, 7).
Use la fórmula. Las coordenadas del punto medio son:

8. Simplifique.
En tres dimensiones
Es bastante fácil predecirlo basado en la fórmula para dos dimensiones
En el espacio tridimensional, el punto medio entre ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) es
- Representación gráfica de las cónicas (circunferencia, parábola,
elipse, hipérbola).
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta , que llamamos
generatriz, alrededor de otra recta , eje, con el cual se corta en un punto , vértice.
 = la generatriz
 = el eje
 = el vértice

9. Elipse.
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo
mayor que el que forman eje y generatriz.
La elipse es una curva cerrada.
Circunferencia.
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
La circunferencia es un caso particular de elipse.

10. Parábola.
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un
plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
Hipérbola.
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un
plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz,
por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos
ramas separadas.

11. Ejercicios resueltos de inecuaciones y su conjunto de solución.
x(x-1)-6>x(5-x) (x>0)
desarrollas ambos lados de la desigualdad
x^2-x-6>5x-x^2
Despejamos la desigualdad
2x^2-6x-6>0
Aplicamos la fórmula general cuadrática para factorizar la expresión
[x-(3+sqrt{21})/2][x-(3-sqrt{21})/2]>0
donde sqrt{} representa la raiz cuadrada
De esta forma ese tienen tres intervalos
(-infinito, (3-sqrt{21})/2), ((3-sqrt{21})/2, (3+sqrt{21})/2) y ((3+sqrt{21})/2, infinito).
Se requiere verificar en cuales intervalos se cumple la desigualdad, resultando ser
(-infinito, (3-sqrt{21})/2) y ((3-sqrt{21})/2, infinito) los que satisfacen la inecuación.
Como además tienes la condición x>0, la respuesta a tu problema es:
((3-sqrt{21})/2, infinito).
JUAN TIENE 12 AÑOS MENOS QUE MARÍA, DENTRO DE 4 AÑOS MARÍA
TENDRÁ EL TRIPLE DE LA EDAD DE JUAN ¿CUANTOS AÑOS TIENEN
AHORA?
vamos a notar con x la edad de María y con x – 12 la edad de Juan.
María = x
Juan = x – 12
La proporción de sus edades debe de ser igual a 3/1 donde 3 representa la edad
de María y 1 la edad de Juan para cumplir con lo que nos pide el problema (MARÍA
TENDRÁ EL TRIPLE DE LA EDAD DE JUAN). Hacemos el cálculo:
x/(x-12) = 3/1
3(x – 12) = x · 1
3x – 36 = x
3x – x = 36

12. 2x = 36
x = 36/2
x = 18
Dentro de 4 años, María tendrá 18 años, y Juan (18 – 12 = 6) 6 años.
Ahora tienen:
María : 18 – 4 = 14
Juan: 14 – 12 = 2

13. Bibliografía:
GRAN ENCICLOPEDIA ESTUDIANTIL TOMO II, editorial Zamora, contenido de
Matemáticas.
https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-
OperacionesConjuntos.php#:~:text=Las%20operaciones%20con%20conjuntos%20tam
bi%C3%A9n,diferencia%2C%20diferencia%20sim%C3%A9trica%20y%20complement
o.
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html
http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/34_Valor_Absoluto_html/index.html
https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-
14_RESOURCE/U10_L3_T2_text_final_es.html
https://www.ecured.cu/Distancia_entre_dos_puntos
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/midpoint-formula