1. Nombre: Caraguay Cumbicus Xavier Vinicio
Fecha: 18/12/2013
Capítulo 5
Trigonometría Analítica
Nos sorprende que, en s esfuerzo por estimar las poblaciones de la fauna, los naturalistas deban
adquirir una buena comprensión de geometría (que literalmente significa “medir la tierra”). En
este capítulo aprenderá que la trigonometría, con sus múltiples conexiones con triángulos y
círculos, nos permite ampliar de manera significativa el repertorio de herramientas para resolver
problemas de geometría. Aplicaremos un resultado denominado fórmula de Herón (la cual demostramos
con trigonometría) para estimar la densidad local de una población de ciervos.
IDENTIDADES
Como quizá ya se haya dado cuenta, el símbolo “_” tiene varios
significados en matemáticas.
1. 1 _ 1 _ 2 significa igualdad de números reales. Es una proposición
verdadera.
2. 2(x _ 3) _ 2x _ 6 significa expresiones equivalentes. Es una proposición
verdadera.
3. x2 _ 3 _ 7 es una proposición abierta, ya que puede ser verdadera o
falsa, dependiendo de si x es una solución para la ecuación.
4. (x2 _1)/(x _ 1) _ x _ 1 es una identidad. Es una proposición verdadera
(muy parecida a la del punto 2), pero con un requisito importante: x debe
estar en el dominio de ambas expresiones. Si alguno de los lados de la
igualdad no está definido, la proposición carece de sentido. Al sustituir _1
en ambos lados de la ecuación, en el punto 3, se obtiene una proposición
que matemáticamente es falsa (por ejemplo, 4 _ 7), mientras que al
sustituir _1 en ambos lados de la identidad, en el punto 4, se obtiene una
proposición que carece de significado.
Enunciados como “tan _ _ sen _/cos _ ” y csc _ _ 1/sen _ ” son identidades
trigonométricas, son verdaderas para todos los valores de la variable para
los cuales ambos lados de la ecuación están definidas. El conjunto de
todos los valores se denomina dominio de validez de la identidad.
Empleamos gran parte de este capítulo en explorar las identidades

2. trigonométricas,
aplicaciones.
sus
demostraciones,
sus
simplificaciones
y
sus
IDENTIDADES DE COFUNCIONES
Si C es el ángulo recto de un triángulo rectángulo ABC, entonces A y B son
complementarios.
Observe lo que sucede si utilizamos las razones usuales de los triángulos
para definir las seis funciones trigonométricas de los ángulos A y B
IDENTIDADES IMPAR-PAR
Hemos visto que toda función trigonométrica básica es impar o par. En
cualquier caso, la relación funcional usual lleva a otra identidad
fundamental.
COSENO DE UNA DIFERENCIA
En todos nosotros existe un poderoso instinto para creer que todas las
funciones cumplen la siguiente ley de aditividad:
f (u + v) = f (u) +f (v).
De hecho muy pocas lo cumplen. Si hubiese un Salón de la Fama para
errores algebraicos, quizá los primeros inducidos en él serían:
(u + v)2 = u2 + v2
=√ + √
√

3. Así, antes de deducir las verdaderas fórmulas de suma para seno y coseno,
aclararemos el panorama con la exploración siguiente:
IDENTIDADES DE ÁNGULO DOBLE
Las fórmulas que resultan de hacer u = v en las identidades de la suma de
ángulos se denominan identidades de ángulo doble. Las estableceremos, y
demostremos una, dejando el resto de las demostraciones como
ejercicios.
Existen tres identidades para cos 2u. Esto no es raro; en realidad existe
una gran cantidad de identidades que también podríamos proporcionar
para sen 2u tales como 2 sen u sen(π/2 – u). Listamos las tres identidades
para cos 2u ya que todas son útiles en diferentes contextos y, por lo tanto,
es bueno memorizarlas.

4. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE LOS SENOS
De sus estudios de geometría, recuerde que un triángulo tiene seis partes
(tres lados (L), tres ángulos (A)), pero que su tamaño y forma pueden
determinarse por completo fijando sólo tres de esas partes, siempre que
las tres sean correctas. Estos tres elementos que determinan congruencia
de triángulos se conocen por sus acrónimos: AAL, ALA, LAL y LLL. Los otros
dos acrónimos representan correspondencias que no funcionan bien; AAA
sólo determina semejanza, mientras que LLA ni siquiera determina
semejanza.
Una vez que se establece la congruencia, mediante trigonometría
podemos determinar las otras partes del triángulo. Las herramientas que
necesitamos son la ley de los senos y la ley de los cosenos, los temas de
nuestras últimas dos secciones de trigonometría.
La ley de los senos establece que la razón del seno de un ángulo a la
longitud de su lado opuesto es la misma para los tres ángulos de cualquier
triángulo.
Figura 1
Figura 2
Figura 3

5. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE LOS COSENOS
Habiendo visto la ley de los senos, quizá no le sorprenderá aprender que
existe una ley de los cosenos. En matemáticas existen muchos de tales
paralelismos. Lo que podría encontrar sorprendente es que la ley de los
cosenos no se parece en absoluto a la ley de los senos, sino al teorema de
Pitágoras. De hecho, la ley de los cosenos con frecuencia se denomina
“teorema de Pitágoras generalizado”, ya que tiene como caso especial a
ese teorema clásico.
Deduciremos sólo la primera de las tres ecuaciones, ya que las otras dos
se deducen exactamente de la misma manera. Colocamos el triángulo en
un plano coordenado de modo que el ángulo que aparece en la fórmula
(en este caso, A) esté en el origen en la posición estándar, con el lado c a
lo largo de la parte positiva del eje x.
Dependiendo de si el ángulo A es recto (figura 1), agudo (figura 2) u
obtuso (figura 3), el punto C estará en el eje y, en el primer cuadrante o en
el segundo cuadrante.
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 3

6. CONCLUSIONES
 Se ha aprendido mucho sobre la trigonometría la cual nos ayuda
mucho para la resolución de problemas de triángulos y círculos.
 Nos habla sobre las leyes y funciones de los senos y cosenos con los
teoremas de resolución.
 Nos ayuda mucho en el aprendizaje del teorema de Pitágoras que
nos da a conocer muchas aplicaciones.