Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

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Unidad
Contenido
* Teoría de Conjuntos.
Diagrama de árbol
Espacio muestral
Eventos y operaciones
entre eventos
* Probabilidad
Propiedades o Axiomas
de la probabilidad
Regla de la probabilidad
Esta comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat, Christiaan
Huygens y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas
relacionados con los juegos de azar. Aunque algunos marcan sus
inicios cuando Gerolano Cardano escribió El Libro de los Juegos de
Azar (aunque no fue publicado hasta más de un siglo después de su
muerte) no es hasta entonces que comienza a elaborarse una teoría
aceptable sobre los juegos.
Un profesor desea hacer un experimento y para ello pide la ayuda de tres de sus estudiantes y les plantea
que le dará cinco puntos sobre su nota al ganador del siguiente juego: Se lanza una moneda dos veces al aire:
Si en ambos lanzamientos sale cara gana Pedro; si en ambos lanzamientos sale sello gana Juan,
Pero si una vez sale cara y otra vez sale sello, será María la ganadora. ¿Quién tiene mayor
probabilidad de ganar? Justifica tu respuesta.
Luego en 1812, Pierre Laplace publica la Theorie Analytique Desprobabilités (Teoría analítica de la
probabilidad), siendo este considerado como un tratado clásico sobre la materia, con una exposición
completa y sistemática sobre la teoría matemática de los juegos de azar y con un gran numero de
aplicaciones a cuestiones científicas y practicas.
A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov la Definió de Forma Axiomática y
estableció las bases para la moderna teoría de la probabilidad que en la actualidad es parte de una
teoría más amplia como es la teoría de la medida.
Desde los orígenes la principal dificultad
para poder considerar la probabilidad como
una rama de la matemática fue la
elaboración de una teoría suficientemente
precisa como para que fuese aceptada como
una forma de matemática.
Cátedra: : Probabilidad y Estadística I Prof.: Lcda Depool Xioglennys
Cátedra: : Probabilidad y Estadística I
Prof.: Lcda Depool Xioglennys

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La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las
propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de
objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus
operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
¿Cómo clasificarías
usando un conjunto,
las materias que vez
a lo largo de tu
carrera? ¿Seria
conjunto finito o
conjunto infinito?
Explica tu respuesta
Un conjunto se denota con una letra mayúscula A, B, C y el elemento por una
letra minúscula a, b. A los elementos se les encierra entre llaves {} y se
separan por comas.
Conjuntos Finitos: Son los que tienen un número conocido de
elementos.
Ejemplos:
• El conjunto de números que aparecen al lanzar un dado.
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• El conjunto de días de la semana.
S={lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
• El conjunto de las vocales.
V={a, e, i, o ,u}
• El conjunto de los enteros positivos menores que 10.
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Tipos de Conjuntos
Según la cantidad de elementos que tenga un conjunto, éstos se pueden
clasificar de la siguiente manera:
Conjuntos Infinitos: Son lo que tienen un número ilimitado de
elementos.
Ejemplos:
• El conjunto de los números reales
• El conjunto de los números reales entre 2 y 5
Conjunto vacío : Un conjunto que no tiene elementos y se denota por ∅
ó { }
Ejemplo:
• El conjunto de los meses del año con 27 días.
En matemáticas el
concepto de
conjunto es
considerado
primitivo y ni se da
una definición de
este, sino que se
trabaja con la
notación de
colección y
agrupamiento de
objetos, lo mismo
puede decirse que se
consideren
primitivas las ideas
de elemento y
pertenencia
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Ahora veamos como se representa la unión (aquello cuyos elementos de
sus conjuntos se considera todos los que estén dentro de los mismos) y
la intersección (aquellos cuyos elementos de sus conjuntos se
consideran si y solo si se encuentran en el cruce de los dos conjuntos,
todos los elementos fuera de el no se toman en cuenta) basada en
la teoría de conjuntos desde su representación grafica y representación
analítica.
La representación grafica de los conjuntos se constituye por medio del
Diagrama de Venn
Los diagramas de
Venn que de deben
al filósofo inglés
John Venn (1834-
1883) sirven para
encontrar relaciones
entre conjuntos de
manera gráfica
mediante dibujos ó
diagrama Representación Grafica Representación Analítica
Unión
(O)
Intersección
(Y)
A ∪ B → A o B
S= {3, 6, 5, 4, 7, 6, 5, 0}
A ∩ B → A y B
S= {4, 7}
La primera
representación
gráfica de
deducciones lógicas
se atribuye
comúnmente
a Gottfried Leibniz,
luego por George
Boole y Augustus De
Morgan, pero fue el
gran matemático
suizo Leonhard Euler
quien primero
introdujo una
notación clara y
sencilla.
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4. Un diagrama de árbol se usa para enumerar todos los resultados
posibles de un experimento. Este se construye de izquierda a derecha y
en cada rama conjuntamente se escribe la probabilidad que corresponde
al suceso particular
¿Existe diferencia
entre el diagrama
de árbol vertical y
el diagrama de
árbol horizontal?
Explica tu
respuesta
Son representaciones en esquemas del espacio muestral basados en
combinaciones posibles del caso que se desea estudiar.
¿Como representar un diagrama de árbol?
Parte del evento en estudio y se ramifica o se extiende dependiendo de
las combinaciones que este posea. El mismo puede ser dibujado de forma
Horizontal (a) o de forma vertical (b). Veamos como quedarían de una
forma general cada uno de ellos
El diagrama de
árbol muestra es
el "camino" de
resultados
posibles
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¿Cómo clasificarías
usando un conjunto,
las materias que vez
a lo largo de tu
carrera? ¿Seria
conjunto finito o
conjunto infinito?
Explica tu respuesta
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Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:
Supongamos que en una caja hay dos bolas rojas y dos bolas azules, las
cuales poseen mismo peso y tamaño. Se sacan dos bolas de forma
consecutiva y sin reposición para ello vamos construir un diagrama de
árbol.
Diagrama de árbol Horizontal
Diagrama de árbol Vertical
Como se muestra se debe representar el total de combinaciones no importa
si es vertical u horizontal .
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El diagrama de
árbol es un
esquema de las
posibles
combinaciones de
un experimento y el
espacio muestral es
el resultado final de
todas las
combinaciones
representadas en el
diagrama de árbol
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Es un proceso que admite dos o mas posibles resultados, no se puede
predecir cual de los resultados ocurrirá, pero si podemos describir el
conjunto de resultados posibles
Experimento Aleatorio:
El espacio muestral de un experimento aleatorio, es el conjunto de
todos los resultados posibles. Se denota con una letra en MAYÚSCULA,
y los valores encerrados entre llaves.
Espacio Muestral:
1. Lanzar un dado y observar el numero que cae
2. Extraer una ficha de una caja, donde hay una ficha roja y otra verde
3. El nacimiento de un bebe, observando si es varón o hembra
Ejemplo de un Experimento Aleatorio:
1. Espacio muestral de lanzar un dado: E={1,2,3,4,5,6}
2. Espacio muestral de extraer una ficha de una caja, que contiene
una ficha roja y otra verde: E={ficha roja, ficha verde}
3. Espacio muestra del nacimiento de un bebe: E={varón, hembra}
Ejemplo de Espacio Muestral Para ello vamos a usar los ejemplos de
los Experimentos Aleatorios:
Los espacios muéstrales parten de un conjunto por eso se usan mayúscula
A, B, C y los elemento encierra entre llaves {} y se separan por comas.
Un evento de un experimento aleatorio es cualquier subconjunto de un
espacio muestral. Lo denominamos con cualquier letra MAYÚSCULA: A;
B; C; entre otras.. de la siguiente forma:
Si A= ∅, decimos que A es un evento IMPOSIBLE
Si B= S{} decimos que B es un evento SEGURO
Evento:
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7. ¿Qué otros
eventos usarías
partiendo de l
mismo ejemplo?
Explica tu
respuesta
Cuando se habla de
un EVENTO
IMPOSIBLE, es
porque no existe
dentro del espacio
muestral que ya se a
definido
previamente.
7
1. Lanzar un dado y observar el número que cae, para ello ya hemos
definido su espacio muestral en ejemplo anteriores
E={1, 2,3,4,5,6}
Ejemplo de Eventos. Para ello vamos a usar los ejemplos que venimos
utilizando anteriormente:
- Que salga un numero par: A={2,4,6}
- Que salga un numero mayor a 6: D={∅}
esto es un evento IMPOSIBLE, ya que el ultimo numero del dado es 6
- Que salga un numero menor a 7: A={1,2,3,4,5,6}
esto es un evento SEGURO, ya que el ultimo numero del dado es 6 y este
es menor a 7
Ahora plateamos algunos eventos que pueden ocurrir a partir del espacio
muestral dado
Como Representar un Diagrama de Árbol como Espacio Muestral?
Representemos el espacio muestral y su diagrama de árbol para el
lanzamiento de una moneda 2 veces.
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A mediados del
siglo XIX, un fraile
agustino austríaco,
Gregor Mendel,
inició el estudio de la
herencia, la
genética. Su obra
«La Matemática de
la Herencia» fue una
de las primeras
aplicaciones
importantes de la
teoría de
probabilidad a las
ciencias naturales
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Una probabilidad cercana a 1 indica que el suceso es MUY PROBABLE,
mientras que si es cercana a 0, el suceso es POCO PROBABLE.
Asignar un cierto numero entre 0 y 1 a cada posible resultado que
pueda ocurrir en un evento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
resultados y saber cual suceso es mas probable con respecto a otro.
En ciertos experimentos aleatorios, todos los elementos del espacio
muestral son IGUALMENTE PROBABLES; en este caso, la probabilidad
de que ocurra un suceso aleatorio.
Evento B
Evento A es probable
El resultado se representa también como una fracción propia o en
porcentaje, indistintamente el valor resultante oscila entre 0 y 1
Para calcular la probabilidad, se utiliza el cociente entre el total de
NUMERO DE CASOS FAVORABLES y el total NUMERO DE CASOS POSIBLES.
Este cociente se conoce como la REGLA DE LAPLACE, planteando la
siguiente formula para ello:
𝑃(𝐴) =
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Acrónimo del
Evento dentro del
Espacio Muestral
Total de elementos
dentro del Espacio
Muestral
Acrónimo del
Probabilidad
Total de elementos dentro del
espacio muestral que cumplen
la condición del evento que se
plantea
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Un Axioma, es una
proposición que se
considera
"EVIDENTE" y se
acepta sin requerir
demostración previa
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La probabilidad de un evento negativo o negado (pero no nulo) es igual
a la diferencia del evento positivo o posible
P(𝐴) = 1 - P(A)
Si A es un evento cualquiera de un espacio muestral, entonces:
0≤P(A)≤1
Axioma I:
Axioma II:
La probabilidad del espacio muestral completo es uno (1)
P(S)=1
Axioma III:
La probabilidad del espacio muestral NULO es cero (0)
P(S)= ∅ ∴ P(S)=0
Axioma IV:
Cuando se hable de
UNIÓN estamos
hablando de las
REGLAS ADITIVAS .
Cuando se hable de
INTERSECCIÓN
estamos hablando
de la REGLA
MULTIPLICATIVA
Regla Aditiva General y Sucesos Incompatibles
En algunos experimentos, hay sucesos que no pueden ocurrir a la vez,
denominado sucesos incompatibles.
Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de que ocurra algun
o de ellos o ambas es la suma de cada una de sus probabilidades
Si A y B son incompatibles, P(A o B) = P(A) + P(B)
∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
El símbolo ∅, se lee
como CONJUNTO
VACIO, y significa
que ese evento es
nulo o igual a CERO.
En otras palabras no
EXISTE
Probabilidad de que pase
el evento A o el evento B
Probabilidad individual de cada
uno de los eventos por medio
de la regla de la Laplace
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El símbolo ↔ se lee
"si y solo si"; se
indica que si se
cumple la expresión
que esta a la
izquierda del
símbolo, entonces
también se cumple la
que se encuentra a
la derecha de el y
viceversa. El otro
símbolo ∴ se lee
"por lo tanto",
indicando a modo de
conclusión.
La barra "/" expresa
la condición y pude
leerse como "DADO
QUE" o "SABIENDO
QUE"
Dos sucesos son Independientes cuando el hecho de que ocurra uno d
e ellos no modifica la probabilidad de que ocurra el otro.
Solo cuando dos sucesos son independientes, se debe cumplir que la
probabilidad de que ocurra ambos sucesos, es decir, uno y el otro, es
igual al producto de sus probabilidades. Esto es:
Regla Multiplicativa y Sucesos Independientes
Si A y B son independientes ↔ P(A y B) = P(A) * P(B)
∴ P(A ∩B) = P(A) * P(B)
Regla Condicional o Probabilidad Condicional
Basada en la probabilidad de que ocurra el suceso B "SABIENDO QUE"
o "DADO QUE" ya ocurrió el suceso A; se calcula como el cociente
entre la probabilidad de que ocurra ambos sucesos, (suceso A y
suceso B) y la probabilidad de que ocurra el suceso A. Esto es:
𝑃 𝐵
𝐴 =
(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
Regla Aditiva Especial
P(A o B) = [P(A) + P(B)] - P(A y B)
∴ P(A ∪ B) = [P(A) + P(B)] - P(A ∩B)
Probabilidad de que
pase el evento A o
el evento B
Probabilidad de la
unión de dos
sucesos probables
Probabilidad de la
intersección de dos
sucesos probables
Probabilidad de que pase el
evento A y el evento B al
mismo tiempo
Probabilidad individual de cada
uno de los sucesos probables
Probabilidad de que
pase el evento B
SABIENDO QUE el
evento A ya sucedió
Probabilidad de
que el evento
ya ocurrió
Probabilidad de la
intersección de dos
sucesos probables
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