Teoria de conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS 2
Pinceladas históricas
En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las
matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica.
Primero, Georg Boole (1.815-1.864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar
la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1.848-1.925) intentó
mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero,
dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica,
G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética.
Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el
intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de
los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva
disciplina matemática entre 1.874 y 1.897: la teoría de conjuntos.
Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde
entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados,
sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.
Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de
determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados
los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor,
y dio una definición de conjunto similar.
En 1.903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y
cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría
axiomática de Zermelo (1.908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1.922), Skolem
(1.923), von Newman (1.925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual.
Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es
además, la teoría matemática dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías
matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte
de la lógica de predicados.
En esta historia cruzada de la matemática, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría
de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de la matemática; pero por otro
lado la teoría de conjuntos mirada como parte de la matemática proporciona el
metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser
completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas
constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales
que se aplican a cualquier teoría de primer orden.

Teoría intuitiva de conjuntos
La selva de Cantor
La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C
de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento
(que se denominan elementos de C), reunidos en un todo.
Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un
predicado (la colección de objetos que satisface el predicado).
Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes
contradicciones de inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell.
Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte
de los símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de
pertenencia ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal).
Que x es un elemento del conjunto C se expresa “x pertenece a C” o bien x ∈ C. Que x no
es un elemento de C se expresa “x no pertenece a C” (x  C).
Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos
y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de
otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no
sean conjuntos.
¿Cómo se determina una colección?
Listar los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda
definido si es posible describir completamente sus elementos.
El procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, se
llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = {a, b, c}. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos a, b y c.
B = {⊕, , ⊗,,  }. Donde B es el conjunto formado exactamente por esos cinco círculos.
Entonces es cierto que b ∈ A y que b  B.
El inconveniente para este método de listado o enumeración de los elementos del conjunto
es que éstos deben poseer un número finito de elementos y, en la práctica, un número muy
pequeño
¿Qué hacer cuando la colección es infinita, o cuando es finita pero numerosa?
Describir los objetos. Cuando el número de elementos del conjunto es infinito (como el de
los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabras que pueden
formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por intensión, que consiste
en la descripción de un conjunto como la extensión de un predicado, esto es, mediante una
o varias propiedades (el predicado) que caracterizan a los elementos de ese conjunto.

En principio podría tomarse cualquier lengua natural para describir los objetos (español,
inglés, italiano, vasco, catalán, etc), sin embargo es preferible utilizar un lenguaje formal
que ofrezca rigor y precisión. Dicho lenguaje debe ser suficientemente rico; esto es, lo
suficientemente expresivo como para poder describir todas las colecciones matemáticas.
Pero también lo suficientemente restrictivo como para limitarse a sólo las colecciones de
objetos matemáticos. Para expresar predicados utilizaremos el lenguaje formal de la lógica
de predicados de primer orden (el lenguaje de la lógica de proposiciones con los símbolos
lógicos de las conectivas ¬, ∨, ∧, →, ↔ más los cuantificadores universal ∀ y existencial ∃)
al que se añade variables, igualdad y el relator binario de pertenencia.
Este lenguaje puede ser ampliado con los símbolos propios de las operaciones, relaciones
o funciones del lenguaje específico de teoría de conjuntos.
En la primera parte, al presentar la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con frecuencia
el lenguaje natural para describir propiedades. Estas propiedades pueden ser aritméticas
(<, ≤, /, etc.) o matemáticas en general, pero también pueden ser propiedades expresadas
en lenguaje natural (nombres, verbos,...) que describan colecciones no estrictamente
matemática.
Ejemplo:
C = {x ∈ ω/ 0 < x < 230000 ∧ 2/x}, donde ω es el conjunto de los números naturales con la
ordenación habitual, < significa “menor que” y 2/x significa que “2 divide a x”.
D = {x/ x es una palabra de 2 letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas)}
Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja de Russell
Pero la definición intuitiva de conjunto como el de una colección de objetos
‘describible’ por un predicado conduce inevitablemente a ciertas contradicciones que se
llaman paradojas, la más célebre es la conocida como paradoja de Russell:
Consideremos el conjunto A = {x: x  x}, descrito mediante el predicado del lenguaje formal
x  x . Obviamente, para cualquier B, B ∈ A sí y sólo si B  B. Es decir, está en A cuando
verifica las condiciones que definen a A. Pero, ¿qué sucede con el propio A?
Evidentemente, A ∈ A sí y sólo si A  A. Pero este resultado es contradictorio. En vano se
debe intentar descubrir un error en el razonamiento, más bien parece que el problema
proviene de admitir expresiones como A ∈ A (o conjuntos como el conjunto de todos los
conjuntos que produce también paradojas).
Se ha visto claramente que el concepto de conjunto no es tan sencillo y que identificarlo sin
mayor investigación con el de colección resulta problemático.
Para evitar la paradoja de Russell, y otras de esta naturaleza, es necesario tener más
cuidado en la definición de conjunto, lo veremos en lo que sigue.
Otras paradojas, de hecho las primeras en descubrirse, afectaban a colecciones grandes,
como por ejemplo la de los ordinales, o la de todos los conjuntos. Estas colecciones no
podrán ser conjuntos.

CONJUNTOS
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de la matemática.
Intuitivamente, un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos
que, como se verá en los ejemplos, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras,
ríos, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto
Ejemplos
1. Los números 1, 3, 7 y 10
2. Las soluciones de la ecuación x2
– 3x – 2 = 0
3. Las vocales del alfabeto: a, e, i, o, u
4. Las personas que habitan la Tierra
5. Las ciudades capitales de Sudamérica
NOTACIÓN
Es usual denotar los conjuntos por letras mayúsculas A, B, X, Y,………………… los
elementos de los conjuntos se representan por letras minúsculas a, b, x, y,…………. Al
definir un conjunto por la efectiva enumeración de sus elementos, por ejemplo, el conjunto
A, que consiste en los números 1, 3, 7, y 10, se escribe A = {1, 3, 7, 10}, separando los
elementos por comas y encerrándolas entre llaves { }. Esta es la llamada forma tabular de
un conjunto, pero si se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus
elementos como, por ejemplo, el B, conjunto de todos los números pares, entonces se
emplea una letra, por lo general x, para representar un elemento cualquiera y se escribe
B = {x /x es par} lo que se lee “B es el conjunto de los números x tales que x es par”, se dice
que ésta es la forma de definición por comprensión de un conjunto.
Ejemplo:
A = {1, 3, 7, 10}
B = {x / x2
– 3x – 2 = 0}
C = {a, e, i, o, u}
D = {x / x es una persona que habita la tierra}
E = {x / x es una ciudad capital y x está en Sudamérica}
Si un objeto x es elemento de un conjunto A, es decir, si A contiene a x como uno de sus
elementos, se escribe x  A qué se puede leer también “x pertenece a A”, si A por el
contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, es decir, si A no contiene a x entre
sus elementos, se escribe x  A

CONJUNTOS POR EXTENSIÓN y POR COMPRENSIÓN
Un Conjunto está descrito por extensión cuando exhibimos a todos sus elementos
encerrados en un paréntesis de llave, así por ejemplo, A = {2, 3, 4}
Un conjunto está descrito por comprensión cuando declaramos una propiedad que la
cumplen sólo y sólo los elementos del conjunto, por ejemplo, el conjunto
A = {2, 3, 4} escrito por comprensión es. A = {x / x  ℕ / 1 < x < 5}
Naturalmente que también podemos anotarlo:
A = }4x2/INx/x{  ,
A = }4x1/INx/x{  ó
A = }5x2/INx/x{ 
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Intuitivamente, un conjunto es finito si consta
de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos
del conjunto el proceso de contar puede acabar, si no, el conjunto es infinito.
Ejemplos
a. Si M es el conjunto de los de la semana, entonces M es finito
b. Si N = {2, 4, 6, 8,…………..} N es infinito
c. Si P {x/ x es un río de la Tierra}, P es también finito aunque sea difícil contar los ríos del
mundo
IGUALDAD DE CONJUNTOS
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada
elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B
pertenece también a A. se denota la igualdad de los conjuntos A y B como A = B
Ejemplo
Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 1, 4, 2}. Entonces A = B, es decir,
{1, 2, 3, 4} = {3, 1, 4, 2}
Sean C = {5, 6, 5, 7} y D = {7, 5, 7, 6}. Entonces C = D, es decir
{5, 6, 5, 7} = {7, 5, 7, 6} ya que cada elemento de C pertenece a D y que cada elemento de
D pertenece a C. Nótese que un conjunto no cambia si se repiten sus elementos. Así que
el conjunto {5, 6, 7} es igual al C y al D

CONJUNTO VACÍO
Conviene introducir el concepto de conjunto vacío, es decir, de un conjunto que carece de
elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto nulo. Aquí diremos de un conjunto
semejante que es vacío y se le denotará por el símbolo 
Ejemplo
Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años. A es vacío según las
estadísticas conocidas
Si B = { x / x2
= 4, x impar}. B es entonces un conjunto vacío
SUBCONJUNTOS
Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice
que A es un subconjunto de B. Más claro: A es un subconjunto de B si x  A implica x  B.
Se denota esta relación escribiendo A  B que también se puede leer “A está contenido
en B”
Ejemplo
a. El conjunto C = {1, 3, 5} es un subconjunto del D = {5, 4, 3, 2, 1}, ya que todo número de
C pertenece también a D
b. El conjunto E = {2, 4, 6} es un subconjunto del F = {6, 2, 4}, pues cada número 2, 4 y 6
que pertenece a E pertenece también a F. Obsérvese en particular que E = F. de la misma
manera se puede mostrar que todo conjunto es subconjunto de sí mismo
Definición: Dos conjuntos A y B son iguales A = B, si y solo si, A  B y B  A. Si A es un
conjunto de B, se puede escribir también B  A qué se lee “B es un superconjunto de A” o
“B contiene a A”
SUBCONJUNTO PROPIO
Puesto que todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, se dirá que B es un subconjunto
propio de A si, en primer lugar, B es un subconjunto de A y, en segundo lugar, B no es igual
a A. Más brevemente, B es un subconjunto propio de A si B  A y B ≠ A
CONJUNTO UNIVERSAL
En toda aplicación de la teoría de conjuntos los conjuntos que se consideran serán muy
probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado. Este conjunto se llamará
conjunto universal y se denotará por U
CONJUNTO POTENCIA
La familia de todos los subconjuntos de un conjunto A se llama conjunto potencia de S. se
le designa por 2S
Ejemplo
M = {a, b}, entonces 2M
= {{a, b}, {a}, {b},  }
Nota: Si un conjunto S es finito, digamos que S tiene n elementos, entonces el conjunto
potencia de S tendrá 2n
elementos

CONJUNTOS DISJUNTOS
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si ningún elemento de A
está en B y si ningún elemento de B está en A, se dice que A y B son disjuntos
Ejemplo:
a. Sea A el conjunto de los números positivos y B el de los números negativos. Entonces A
y B son disjuntos, pues ningún número es positivo y negativo
b. Si E = {x, y, z} y F = {r, s, t}. E y F son disjuntos
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Se logra ilustrar de manera sencilla e instructiva las relaciones entre conjuntos mediante
los llamados diagramas de Venn-Euler, o de Venn, simplemente, que representan un
conjunto con un área plana, por lo general delimitada por un círculo
Ejemplo: Suponga que A  B y A ≠ B. Entonces A y B se describen con uno de los
diagramas
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A
o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por A U B
Ejemplo: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S U T = {a, b, c, d, f, g}
La unión A y B se puede definir también así: A U B = {x / x  A  x  B}
NMxNxMx
QxPxQPx


BA 
U
A B

Propiedades
)(,,),()()
)(,)
)()
dadAsociativiUCBACBACBA
idadConmutativUBAABBA
iaIdempotencUAAAA



3
2
1
4) A = A, A  U = U,
BBABA )5
INTERSECCIÓN
La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a
A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B.
se denota la intersección de A y B por A ∩ B que se lee “A intersección B”
NMxNxMx
QxPXQPx


Propiedades
)(,,),()()
)(,,)
)(,)
dadAsociativiUCBACBACBA
idadConmutativUBAABBA
iaIdempotencUAAAA



3
2
1
4) A ∩  = , A ∩ U = A,
ABABA )5
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Sean A y B conjuntos en U, definimos la diferencia de A con B, denotada A – B, que se lee
“A menos B” como el conjunto tal que B}xA{x/xBA 
U
BA 
A
B
U
BA 
A B

NMxNxMx
QxPxQPx


En general, la diferencia no es idempotente, es decir, A – A ≠ A
En general, la diferencia no es conmutativa, es decir, A – B ≠ B – A
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
Sea A un conjunto en U, definimos el complemento de A, denotado C
A , que se lee
“complemento de A”, como el conjunto tal que C
A {x / x A x U}   
En un diagrama de Venn – Euler tenemos
Propiedades
UAAA CC
 ,)()1
2) C
U =
3) C
= U
CC
ABBA )4
Propiedades combinadas
1) C
BABA 
2)  C
AA 
3) UAA C

Distributividad
)()()(
)()()(
CABACBA
CABACBA


Leyes de De Morgan
CCC
CCC
BABA
BABA


)(
)(
A
U
Ac

RESUMEN DE PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS
En este caso, las llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las
siguientes propiedades:
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia A  A = A A  A = A
2.- Conmutativa A  B = B A A  B = B A
3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A B )  C A ( B  C ) = ( A  B )  C
4.- Absorción A  ( A B ) = A A ( A B ) = A
5.- Distributiva A ( B  C) = (A  B) (A C) A ( B C) = (A B)  (AC)
6.- Complementariedad A  A' = U A A' =
Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga
una estructura de álgebra de Boole.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
 A  = A , A   =  (elemento nulo ).
 A U = U, A  U = A (elemento universal).
 (A B) C
= AC
 B C
, (A  B) C
= AC
 B C
(leyes de De Morgan).
 (A C
) C
= A , ( U) C
= , () C
= U
CARDINALIDAD
La teoría de conjuntos es la base teórica para explicar algunos fenómenos, en particular los
aleatorios y allí nos interesa contar la cantidad de elementos en un subconjunto
determinado.
Aceptaremos la siguiente afirmación, “si A y B son conjuntos disjuntos entonces la cantidad
de elementos que tiene la unión de tales conjuntos es igual a la suma de la cantidad de
elementos de los conjuntos”
Simbólicamente, si denotamos por n(M) la cantidad de elementos del conjunto M entonces
A ∩ B = entonces n(A  B) = n(A) + n(B)
Nota:
B)n(An(A))Bn(Ab.
B)n(An(B)n(A)B)n(A.a
C



Ejemplo: En una escuela, 150 alumnos han rendido 3 exámenes. De ellos, 60 aprobaron
el primero, 70 el segundo y 50 alumnos el tercer examen; 30 aprobaron los dos primeros,
25 el primero y el tercero, 15 el segundo y el tercero, además 10 alumnos aprobaron los
3 exámenes. ¿Cuántos alumnos
a. Aprobaron ningún examen
b. Aprobaron sólo el primer examen
c. Aprobaron sólo dos exámenes
d. Aprobaron sólo un examen?
Solución:
A = {alumnos que aprueben el primer examen}
B = {alumnos que aprueben el segundo examen}
C = {alumnos que aprueben el tercer examen}
Usando un diagrama de Venn-Euler podemos solucionar el problema planteado
El diagrama se construyó, iniciando el “llenado" desde el centro, es decir, desde n(A ∩ B
∩ C). Notemos que se puede leer inmediatamente que n (B ∩ C
A ∩ C
B ) = 35.
Entonces los datos se pueden expresar como sigue:
}{,)(,)(
(,)(,)(,)(,)(,)(
examenrindieronquealumnosUconUnademásCBAn
CBnCAnBAnCnBnAn


15010
152530507060
a. Se pide
)()(])[()().( CBAnUnCBAnCBAnComoCBAn CCCCCCC
 y además:
120
10152530507060
)CBA(n)CB(n)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n



Entonces 30120150  CCC
CBAn(
U
C
B
A
30
20
10
5
35
20
1515

b. Se pide )( CC
CBAn 
15
10253060






)(
)]()()([)(
)]()[()(
)]([)(
])([
CBAnCAnBAnAn
CABAnAn
CBAnAn
CBAn C
Ejemplo 2. Una farmacia rebajó el precio de una loción y el de una crema. La contabilidad
al final de un día indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y
21 ambos productos.
a. ¿Cuántas personas aprovecharon la oferta?
b. ¿Cuántas compraron solamente la loción?
c. ¿Cuántas compraron solamente la crema?
Solución
Consideremos los siguientes conjuntos:
C = {x/x compró crema}
L = {x/x compró loción}
De acuerdo al problema tenemos que: 21L)n(C 
Este será nuestro elemento clave para resolver el problema, para ello la herramienta más
práctica para solucionar el ejercicio es mediante el uso de los diagramas de Venn-Euler.
Cabe anotar que dentro del total de personas que adquirieron las cremas (66) se están
contabilizando las que compraron cremas y lociones (12), de esta manera se tiene que,
para saber cuántas personas compraron SOLAMENTE cremas realizamos el siguiente
cálculo:
n(Solamente Crema) = n(C) – n(C L)
n(Solamente Crema) = 66 – 12 = 54

De la misma manera, para conocer la cantidad de personas que adquirieron SOLAMENTE
lociones:
n(Solamente Lociones) = n(L) – n(C L)
n(Solamente Crema) = 21 – 12 = 9
De esta forma, ¿cuántas personas aprovecharon la oferta?
n(C  L)= n(C) + n(L) – n(C L).
n(C  L)= 66 + 21 – 12
n(C  L)= 75
Gráficamente se observa la solución del ejercicio planteado:
Ejemplo 3. Una encuesta realizada a un grupo de empleados reveló que 277 tenían casa
propia; 233 poseían automóvil; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y
casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor.
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
b. ¿Cuántas personas tienen solamente casa propia?
c. ¿Cuántas personas tienen solamente casa y televisor?
Solución
Consideremos los siguientes conjuntos:
C = {x/x tiene casa propia}
T = {x/x tiene televisor}
A = {x/x tiene automóvil}
De acuerdo al problema tenemos que n(C T A) = 105
Es decir, el número de empleados que poseen los tres servicios corresponde a la
intersección de los tres conjuntos. A partir de este cardinal, se encuentran los otros
cardinales que corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de
conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación:
n(C T) = 190 – n(C T  A) = 190 – 105 = 85
n(C A) = 120 – n(C T  A) = 120 – 105 = 15
n(A T) = 165 – n(C T A) = 165 – 105 = 60

De esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Venn-
Euler, así:
Observe que la suma de los números que se encuentran en la región sombreada de
corresponde al cardinal del conjunto; por ejemplo,
n(C) = 277
n(C) = x + n(CA T) + n(CA) + n(CT)
277= x + 15 +105 + 85, de donde
x = 72
Siguiendo el anterior raciocinio se llega a:

a. Para saber cuántas personas fueron encuestadas, calculamos el cardinal de la unión de
los tres conjuntos:
n(C A T) = n(C) + n(A) + n(T) – n(C A) – n(C T) – n(A T) + n(C A T)
n(C A T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105
n(C A T) = 545
b) La región sombreada representa el número de personas que tienen solamente tienen
casa propia, es decir, 72
c) La región sombreada en la siguiente figura corresponde al número de personas que
solamente tienen casa y televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de:
n(C  T) = n(C) + n(T) – n(C T)
n(C  T) = n(C) + n(T) – n(C T)
n(C  T) = 277 + 405 – 492
n(C  T) = 190

Ejemplo 4. Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por
alguna radio F.M. de la región, señaló que:
277 preferían Carolina
233 preferían Manquehue
405 preferían Tiempo
165 preferían Manquehue y Tiempo
120 preferían Manquehue y Carolina
190 preferían Carolina y Tiempo
105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas
Determine:
a. ¿Cuántos jóvenes fueron encuestados?
b. ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina?
c. ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Carolina y Tiempo?
Solo C= 277 – 120 + 105 – 190 + 105 – 105
Solo M= 233 – 120 + 105 – 105 – 165 + 105
Solo C= 72 jóvenes
Solo M= 53 jóvenes
Solo C y M= 120 – 105 = 15 Jóvenes
Solo C y T= 190 – 105 = 85 jóvenes
Solo M y T= 165 – 105 = 60 jóvenes
Sólo T= 405 – 190 + 105 – 165 + 105 – 105 = 545 jóvenes
Total jóvenes encuestados= 72 + 53 + 15 + 85 + 60 + 155 + 105 = 545 jóvenes
a. Fueron encuestados 545 jóvenes
b. Sólo Carolina prefieren 72 jóvenes
c. Solo Carolina y Tiempo prefieren 85 jóvenes
Demuestre:
Ejemplo 5. – ( – B)    
(A  Bc
)  B = 
A (Bc
 B) = 
    
 = 

Ejemplo 6. (A – B) – C) = A – (B C)
(A c
) Cc
 = A – (B C)
A (Bc
  Cc
= A – (B C)
(A ) c
 Cc
) = A – (B C)
A    Cc
= A – (B C)
A – (B  C) = A – (B C)
Ejemplo 7. n[ABC    n + n + n(C) – n(A  B) – n(AC) – n(BC) + n[A(C)]
n[A   B C  = n(A) + n(BC) – n[A(BC)]
= n(A) + n(B) + n(C) – n(BC) – n[(AB)(AC)]
= n(A) + n(B) + n(C) – n(BC) – n(AB) – n(AC) + [ n(A  B)
 (AC)]
= n + n + n(C) – n(A B) – n(AC) – n(BC) + n[A(C)]
Ejemplo 8. (A  A)  (A  Bc
) = A
A  (A  Bc
) = A
A = A
A = A
Ejemplo 9. (B  C)  A = (B  A)  (C  A)
A  (B  C) = (B  A)  (C  A)
(A  B)  (A  C) = (B  A)  (C  A)
(BA)(CA) = (BA)(CA)

Simplificar:
Ejemplo 10. A  [ (B  (A  B) )  (A  (A  B) ) ]
A  [ (B  A)  (B  B) ] (A  A)  (AB)
A  [ (B  A)  (B  B) ]  A  (A  B)
A  [B  A]  B= B
(A  B)  (A  A)
(A  B)  (A)
A
Ejemplo 11. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:
i. 68 se comportan bien.
ii. 138 son inteligentes.
iii. 160 son habladores.
iv. 120 son habladores e inteligentes.
v. 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes.
vi. 13 se comportan bien y no son habladores.
vii. 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes.
¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y
no son inteligentes?.
Solución: El problema da como datos
n(B) = 68 n(I) = 138 n(H) = 160
n(H  I) = 120 n(B  I’) = 20
n(B  H’) = 13 n(B  H  I’) = 15
Se pide hallar: n(B’ H’ I’) = ?
B H
5 15 25
40
8 80
9 17
I

Primero se ubica en el diagrama de Venn n(B  H  I’) = 15 luego n(B  I’) = 20, después
n(BH’) = 13, como se sabe n(B) = 68 se puede saber (restando) n(B  H  I) = 40. Se
puede ubicar después n(H  I) = 120, y por último se saca el número de personas que son
únicamente inteligentes y únicamente habladores teniendo n(I) = 138 y n(H) = 160
(restando).
Ahora bien si hay 200 estudiantes (se resta a esta cantidad (todo) las demás del diagrama
de Venn).
n(B’ H’ I’) = 17
Otra forma:
n(B’ H’ I’) = n(B U H U I)’
n(B U H U I) = n(B) + n(H) + n(I) – n(B  H) – n(B  I) – n(H  I) + n(B  H  I)
n(B U H U I) = 68 + 160 + 138 – 55 – 48 – 120 + 40 = 183
n(B U H U I)’ = 200 – 183 = 17
Ejemplo 12. Se hace una encuesta a 600 varones respecto del uso de tres marcas de
camisas: Arrow, Van Heusen y McGregor. Se obtuvo la siguiente información:
180 varones usan Arrow pero no McGregor.
200 usan McGregor y Van Heusen.
160 usan Van Heusen pero nunca usan Arrow.
100 usan Arrow y Van Heusen pero nunca han usado McGregor.
290 nunca han usado McGregor.
50 sólo usan Van Heusen.
200 han usado sólo una (cualquiera) de estas tres marcas.
a. Distribuya la información en un diagrama adecuado a la situación.
b. Determine: i. ¿Cuántos encuestados no usan de estas camisas?
ii. ¿Cuántos encuestados sólo usan McGregor y Arrow?
Resp: i. son 10 los encuestados que no usan de estas camisas.
ii. son 100 los encuestados que usan sólo McGregor y Arrow.

EJERCICIOS.
1. Sean },,.........,,,{ 124321U conjunto universo, },,,,,{},,,,{ 10984328741  BA ,
},,,,,{ 1076543C subconjuntos de U. Determine:
C
C
CAd
BAc
BAb
CBAa
)()
)()
)()
)()




2. Sean },........,,,,{ 144321U conjunto universo, ,7,10,11}{1,2,4,5,6A  ,
},,,,,{ 121110974B , },,,,,,{ 131197643C subconjunto de U
a. Determine por extensión:
C
CC
CC
CBBAiii
CBCAii
CBAi
)()()
)()()
)()



b. Determine la(s) operaciones a realizar con los conjuntos A, B, C para obtener
},,{)
},,{)
},,,{)
521
1174
131293
iii
ii
i
3. Considere: }15,.......,4,3,2,1{U  conjunto universo, }12,10,9,7,6,5,4,2,1{A  ,
}13,12,11,9,7,6,4,3{C},12,11,10,9,8,7,4,3{B  subconjuntos de U
a. Determine las operaciones que hay que realizar con estos conjuntos para obtener
},,,,,,,,{)
},,,,,,{)
},,,{)
1312111087643
11865321
12974
iii
ii
i
b. Determine por extensión
BCUBAiii
CBCAii
CBAi
C
C



]))([()
)()()
)()
4. Dado el conjunto universal }12,.......,4,3,2,1{U  y los conjuntos }9,8,7,6,1{A  ,
}11,8,4,3,1{C},10,8,6,5,4{B 
a. Determine por extensión
CCC
CC
ABCUiii
CBAii
CABi



])([)
)()
)()

b. Qué operaciones se deben realizar con los conjuntos A, B, C para que resulte
},,,,,{)
},,{)
987641
1131
ii
i
5. Determine por extensión los conjuntos U (universal), A y B que satisfacen,
simultáneamente, las siguientes condiciones:
},{)()
},,,,,{)()
},,,,{)()
)
31
876431
74321
33




C
CC
BAiv
BAiii
BAii
ByAi
6. Determine por extensión los conjuntos A y B que satisfacen, simultáneamente, las
siguientes condiciones:
 BbByAa },,{)) 32177 ∅ )() BAc 4
},,,{)()}{)()},,,,,,{)() 532167654321  BAfABeBAd
7. Usando el álgebra de conjuntos simplifique:
]])[([)]])()[([)
]()[())]([)]()[()
])()[()]([)])([)
CCCCCCC
CCCC
CCC
ABABfABBAAe
ABABAdBAAABBAc
BAABBABbBBABa



8. Si se sabe que 50452018  )(,)(,)(,)( UnBAnAnBAn CCC
, determine:
)())())())() BAndABncBAnbBna 
9. Si se sabe que n(A) = 20, n(C) = 11, n(C – B) = 4, n(C – A) = 2, 12 )( BAn ,
58  ))((),(,)( CABnBACCBAn C
a) Haga un diagrama adecuado a la situación planteada.
b) Calcule el número de elementos del conjunto universo
c) Calcule el número de elementos que no pertenecen al conjunto C)BA( 
10. Si se sabe que n(U) = 30, n(A) = 14, n(B – A) = 5, n(A – B) = 5, 9)AC(n  ,
15)C(n C
 , 1]C)BA[(n,3)]BA(C[n  , calcule
a) n(A) b) n(B) c) n(C) d) )BA(n  e) C
)]CB(A[n  )]CB(A[n 
11. En un universo de 200 elementos se tienen los conjuntos A, B, C y se sabe que:
40)A(n,80)CA(n,30)BC(n,50)AB(n,10)CBA(n,BA C
 ,
usando un diagrama adecuado, determine:
)]CA(B[n)c)BC(n)b)BA(n)a C


12. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a, b, c, d, e, f, g, h}; A = {3, 5, 7, c, d}, B = {2, 3, 4, 5, b, c,
e}, C = {2, 6,7, a, b, g}. Determine
}e,d,c,5,4,3{)iii
}7{)ii
}b,2,6{)i
:obtenerparasoperacioneLas)c
)AB()CA()b
)AC()BA()a
CC
CC


13. Demuestre
CCC
C
BA)BA()c
)cA()BA()CB(A)b
BABA)a



14. En un universo de 30 elementos se consideran dos conjuntos, A y B tales que:
5)AB(n,18)B(n,10)BA(n C
 Determine:
)BA(n)c
)A(n)b
)AB(n)a
CC


Respuestas: a) 8 b) 15 c) 7
15. En un universo U se consideran tres conjuntos A, B, C tales que:  CA ,
27)CBA(n,9)CB(n,15)AB(n,13)C(n,25)A(n,5)BA(n C

Determine:
)U(n)c
)A(n)b
)B(n)a
Respuestas: a) 20 b) 8 c) 33
16. En un universo de 45 elementos se consideran tres conjuntos A, B, C tales que:
 CA ,  CB , 16])CBA[(n,10)BC(n,4)BA(n C

12)CB(n  Calcule
]C)AB[(n)d
)AB(n)c
)B(n)b
)A(n)a


Respuestas: a) 11 b) 12 c) 8 d) 8

17. Una encuesta acerca de las preferencias de 80 personas sobre tres marcas A, B, C
arrojó los siguientes resultados:
50)BA(n,175])C)BA([((n,15)BA(n,25]A)CB[(n C

40])CBA[(n,20]B)CA[(n,35)]BA(C[n C
 Determine el número de
personas que:
a. compran sólo B (respuesta 15)
b. compran sólo dos marcas (respuesta 50)
c. no compran de las marcas consultadas (respuesta 40)
18. Se encuesto a 100 personas sobre preferencias televisivas en relación a los canales A
y B. Los resultados fueron: 65 no ven el canal A, 45 no ven el canal B y 50 de ellos ven el
canal A o B pero no ambos. Determine la cantidad de encuestados que ven ambos canales
Respuesta 20
19. Defina por extensión cada uno de los siguientes conjuntos, usando la notación ′… .”
cuando sea necesario:
a. {x / x es entero y −3 < x < 4}
b. {x / x es entero positivo y x es múltiplo de 3}
c. {x / (3x − 1)(x + 2) = 0}
d. {x / x es un entero y (3x − 1)(x + 2) = 0}
20. Enumere cinco elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:
a. {n / n es natural y n es divisible por 5}
b. {
n
1
n
1
/ n es primo}
c. {2n / n es natural}
d. {r / r es racional y 0 < r < 1}
21. Describa por extensión cada uno de los siguientes conjuntos o escribe ∅ si son vacíos:
a. {n / n  ℕ y n2
= 9}
b. {x / x  ℝ y x2
= 9}
c. {x / x  ℝ, x < 1 y x ≥ 2}
e. {x / x  ℚ, x2
= 3}
f. {3n + 1 / n  ℕ y n ≤ 6}.
22. Describa por comprensión los siguientes conjuntos:
a. El conjunto de todos los enteros que pueden ser escritos como suma de cuadrados de
dos enteros.
b. El conjunto de todos los enteros menores que 1000 que son cuadrados perfectos.
c. El conjunto de todos los números que son múltiplos enteros de 13.
d. {a, e, i, o, u}

23. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el conjunto universal y A = {1, 4, 7, 10},
B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {2, 4, 6, 8}, defina por extensión los siguientes conjuntos:
a. A  B
b. A − B
c. Ac
d. Uc
e. B ∩ U
f. Bc
∩ (C − A)
g. (A ∩ B)c
 C
h. B ∩ C
i. A ∪ 
j. A ∩ (B  C)
k. (A ∩ B)  C
l. A ∩ B) − C
m. (A  B) − (C − B)
24. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 12}, A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 3, 5, 7, 11},
C = {2, 3, 6, 12} y D = {2, 4, 8}. Determine los conjuntos
a. A  B
b. A ∩ C
c. (A  B) ∩ C
C
d. A − B
e. C − D
f. (B − D)  (D − B)
25. A una conferencia internacional sobre contaminación del medio ambiente, asisten cien
especialistas, de los cuales cincuenta hablan inglés, sesenta portugués y cincuenta
español; de ellos treinta hablan portugués e inglés; veinte inglés y español; veinte portugués
y español. ¿Cuántos asistentes hablan los tres idiomas?
26. Una ensambladora de autos recibió una orden de fabricación de 38 automóviles tipo
sedán, con las siguientes características: 18 con aire acondicionado; 23 con vidrios
eléctricos y 29 con cojinería de lujo. De estos, 3 deben tener solamente vidrios eléctricos,
8 deben tener solamente cojinería de lujo; 9 de los vehículos deben tener solamente vidrios
eléctricos y cojinería de lujo, 5 de los vehículos deben tener los tres aditamentos.
Determinar:
a. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y cojinería de lujo, solamente?
b. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado solamente?
c. ¿Cuántos vehículos llevan aire acondicionado y vidrios eléctricos solamente?

27. En un inventario minero realizado en algunas regiones del país acerca de la producción
futura de recursos no renovables, se encontró que: 8 poseen petróleo, 15 poseen carbón y
13 poseen oro; 6 poseen solamente carbón y oro; 4 solo poseen oro, 3 poseen los tres
recursos; petróleo y carbón solamente, ninguna de las regiones.
Determinar:
a. ¿Cuántas regiones intervinieron en el inventario?
b. ¿Cuántas regiones poseen solamente petróleo?
c. ¿Cuántas regiones poseen solamente carbón?
28. Los siguientes son los datos que muestran las preferencias de algunos aspirantes a
ingresar a la universidad por ciertos programas:
50 prefieren medicina.
47 prefieren ingeniería.
35 prefieren biología.
16 prefieren ingeniería y biología.
11 prefieren medicina e ingeniería.
15 prefieren medicina y biología.
9 prefieren las tres.
Determinar:
a. ¿Cuántos aspirantes fueron encuestados.
b. ¿Cuántos aspirantes prefieren únicamente medicina?
c. ¿Cuántos aspirantes no prefieren biología?
d. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o biología pero no ingeniería?
e. ¿Cuántos aspirantes prefieren medicina o ingeniería?
29. La secretaría de educación municipal requiere la provisión de veintinueve cargos
docentes en las siguientes áreas: 13 profesores de matemática, 13 profesores de física, y
15 profesores de Sistemas. Para el cubrimiento de los cargos se requiere que: 6 profesores
dicten matemática y física, 4 profesores dicten física y sistemas y 5 profesores dicten
matemática y sistemas.
Determinar:
a. ¿Cuántos profesores se requiere que dicten las tres áreas?
b. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemática únicamente?
c. ¿Cuántos profesores se requiere para dictar matemática y sistemas pero no física?

30. Con relación al problema 6.
En respuesta a la solicitud de trabajo, se seleccionaron veintinueve aspirantes cuyas
solicitudes presentan la siguiente información:
15 pueden dictar física.
16 pueden dictar sistemas.
6 pueden dictar matemática y física.
5 pueden dictar física y sistemas.
1 puede dictar las tres áreas.
7 pueden dictar solamente sistemas.
Determinar
a. ¿Cuántos aspirantes seleccionados se presentaron para dictar matemática?
b. ¿Qué puestos no pueden cubrirse?
c. ¿Cuántos solicitantes y en qué áreas no pueden ser finalmente admitidos
31. De un total de 60 alumnos de un colegio:
15 estudian francés solamente,
11 estudian francés e inglés;
12 estudian alemán solamente;
8 estudian francés y alemán;
10 estudian ingles solamente;
5 estudian inglés y alemán; y
3 los tres idiomas.
Determine:
a. ¿Cuántos no estudian ningún idioma?
b. ¿Cuántos estudian alemán?
c. ¿Cuántos estudian alemán e inglés solamente?
d. ¿Cuántos estudian francés?

EJERCICIOS DE OPCIÓN MÚLTIPLE
1. Si A = {conjunto de los números primos}, B = {conjunto de los números pares menores
que 10}. Entonces A ∩ B es igual a:
A) 
B) {2}
C) {2, 4, 6, 8}
D) {2, 4}
E) Ninguna de las anteriores
2. Si A  B y C  B, entonces puede decirse que:
ACIII
CAII
CAI



)
)
)
Son verdaderas
A) Solo I
B) II y III
C) I, II y III
D) Solo II
3. Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 3}. Entonces P(A ∩ B) =
A) {{2,3}, }
B) {{2}, {3}, }
C) {{2}, {3}, {2, 3}, {}}
D) {{2}, {3}, {2, 3}, }
4. Si A tiene menos elementos que B, entonces puede decirse que:
BdeosubconjuntesAIII
BBAII
BBAI
)
)()
)()


Son verdaderas:
A) II y III
B) Solo I
C) Solo III
D) I, II y III
E) Faltan datos

5. Si A = {2, 4, 6, 8, 10} y B = {2, 3, 5, 6, 7, 9} entonces A – B =
A) 
B) {4, 8, 10}
C) {2, 6}
D) {5, 7, 9}
6. Si A es subconjunto de B, entonces:
UABAIII
ABAII
BABAI
C



)()
)
)()
Son verdaderas
A) Solo I
B) I y II
C) II
D) III
E) I, II y III
7. La parte achurada de la figura corresponde a:
C
CC
CC
BAD
BAUC
BAB
BAA
)()
)()
)
)




8. Sean dos conjuntos A y B, entonces:
ABBAIII
BBABAII
BABAI
CC



)
)
)()
Son verdaderas
A) Solo I
B) Solo II
C) I y II
D) I, II y III

9. En la figura, la parte achurada corresponde a:
VWD
VVWC
WVB
VWA
CC




)
)()
)
)
10. La parte achurada de la figura corresponde a:
ACD
BACC
CBAB
CBAA
C




)
)()
)
)()
11. Si U = {letras vocales} y B = {a, e}, entonces C
B =
A) {a, e}
B) 
C) {i, o, u}
D) {a, e, i, o, u}
12. Si A = {x/ –4 ≤ x ≤ 8} y B = {x/ 3 < x < 6}. Entonces BA
A) [3, 6]
B) [–4, 8]
C) ]3, 6[
D) [–4, 3[
E) [3, 8]
13. Si A = {x/ 4 ≤ x ≤ 5} y B = {x/ 5 < x < 6}. Entonces BA
A) [4, 6[
B) [5, 6[
C) [5, 6]
D) 

14. dados los conjuntos: M = {2, 4, 8, 16, 32} y N = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32}, la
cardinalidad de NM 
A) 6
B) 4
C) 8
D) 13
E) 3
15. El número de subconjuntos del conjunto S = {5, 10, 15, 20} es:
A) 4
B) 8
C) 16
D) 14
E) 7
16. Dadas las afirmaciones:
I) El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos
II) El conjunto universal unido con el conjunto vacío es el conjunto vacío
III) El conjunto vacío intersectado con un conjunto cualquiera es el conjunto vacío. Es o son
verdaderas
A) Solo I
B) Solo I y III
C) Solo I y II
D) I, II y III
E) Ninguna
17. Sea U = {1, 2, 3, 4, a, b, c, *, #}, A = {1, 2, 3, a, #}, B = {2, 3, 4, b, c, *, #},
C = {1, 2, b, c,*}. Entonces C
)CB()BA(  =
A) {1, 2, 3, 4, b, c, *, #}
B) {2, b, c, #, 1}
C) {1, 2, 3, 4, c, #}
D) {1}
E) {2, c, b, *}
18. Determinar cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera
A) {x/ x es divisor de 12}  {x /x es un divisor de 36}
B) {x/ x es un número par positivo} ∩ {x/x es un número primo} =
C) {x/ x es par  0 < x < 4} ∩ {x/ x es un número primo} =
D) {x/ x es múltiplo de 12}  {x/ x es un múltiplo de 4}
E) {x / x es un número complejo} ∩ {x / x es un número real} = 

19. la figura siguiente representa
)()
)()()
])[()()
)()]([)
)()
CBAE
CBCAD
ACBBAC
CBBAAB
CBAAA






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