1. COORDENADAS
POLARES
LO PRIMERO QUE NECESITAS
SABER
Orlando Mejías
C.I. 22.200.478
SAIA-A

2. CONTENIDOS
INTROCUCCION……………………………….……3
SISTEMA DE COORDENADAS………………..…..4
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES…….....5
CONVERSION DE COORDENADAS……………...7
GRAFICA DE UNA ECUACION POLAR………..…8

3. EN ESTE TEMA VEREMOS QUE LOS PUNTOS DEL PLANO TAMBIÉN SE PUEDEN
REPRESENTAR USANDO OTRO SISTEMA DE REFERENCIA, QUE DENOMINAMOS
COORDENADAS POLARES.
COMO SE PODRÁ OBSERVAR EN ALGUNOS EJEMPLOS DE REPRESENTACIÓN
DE LAS CURVAS EN COORDENADAS POLARES, SÓLO ES PRECISO DEFINIR LAS
MISMAS DE CADA PUNTO: R (DISTANCIA AL POLO) Y T (ÁNGULO CON EL EJE
POLAR), EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS CARTESIANAS X E Y.
EN ESTE TIPO DE REPRESENTACIÓN LOS PUNTOS DEL PLANO TIENEN
ASOCIADOS DOS COORDENADAS: SU DISTANCIA AL POLO Y EL ÁNGULO CON EL
EJE POLAR. A LA DISTANCIA SE LE SUELE LLAMAR RADIO Y SE DESIGNA POR LA
LETRA R O LA LETRA GRIEGA R (RHO), AL ÁNGULO SE LE SUELE DESIGNAR POR
LA LETRA GRIEGA Q (THETA).
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COORDENADAS POLARES………...INTRODUCCION

4. SISTEMA DE COORDENADAS
UN SISTEMA DE COORDENADAS
ES UN CONJUNTO DE VALORES
QUE PERMITEN DEFINIR
UNÍVOCAMENTE LA POSICIÓN DE
CUALQUIER PUNTO DE UN
ESPACIO GEOMÉTRICO RESPECTO
DE UN PUNTO DENOMINADO
ORIGEN. EL CONJUNTO DE EJES,
PUNTOS O PLANOS QUE
CONFLUYEN EN EL ORIGEN Y A
PARTIR DE LOS CUALES SE
CALCULAN LAS COORDENADAS DE
CUALQUIER PUNTO, CONSTITUYEN
LO QUE SE DENOMINA SISTEMA DE
REFERENCIA.
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COORDENADAS POLARES………...SISTEMA DE COORDENADAS

5. SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
SISTEMA DE REFERENCIA CONSTITUIDO POR UN EJE QUE PASA POR
EL ORIGEN. LA PRIMERA COORDENADA ES LA DISTANCIA EXISTENTE
ENTRE EL ORIGEN Y EL PUNTO, MIENTRAS QUE LA SEGUNDA ES EL
ÁNGULO QUE FORMAN EL EJE Y LA RECTA QUE PASA POR AMBOS
PUNTOS.
LAS COORDENADAS POLARES SON UN SISTEMA QUE DEFINEN LA
POSICIÓN DE UN PUNTO EN UN ESPACIO BIDIMENSIONAL CONSISTENTE
EN UN ÁNGULO Y UNA DISTANCIA.
EN MUCHOS CASOS ES ÚTIL UTILIZAR LAS COORDENADAS
CARTESIANAS PARA DEFINIR UNA FUNCIÓN EN EL PLANO O EN EL
ESPACIO. AUNQUE EN MUCHOS OTROS, DEFINIR CIERTAS FUNCIONES
EN DICHAS COORDENADAS PUEDE RESULTAR MUY TEDIOSO Y
COMPLICADO. EN DICHOS CASOS, HACER USO DE LAS COORDENADAS
POLARES O ESFÉRICAS PUEDE SIMPLIFICARNOS LA VIDA.
UN SISTEMA DE COORDENADAS ES UN CONJUNTO DE VALORES QUE
PERMITEN DEFINIR UNÍVOCAMENTE LA POSICIÓN DE CUALQUIER
PUNTO DE UN ESPACIO GEOMÉTRICO RESPECTO DE UN PUNTO
DENOMINADO ORIGEN. EL CONJUNTO DE EJES, PUNTOS O PLANOS QUE
CONFLUYEN EN EL ORIGEN Y A PARTIR DE LOS CUALES SE CALCULAN
LAS COORDENADAS DE CUALQUIER PUNTO CONSTITUYEN LO QUE SE
DENOMINA SISTEMA DE REFERENCIA.
HASTA AQUÍ HEMOS USADO SIEMPRE COORDENADAS CARTESIANAS.
EN OCASIONES ES CONVENIENTE USAR OTROS SISTEMAS DE LAS
MISMAS. POR EJEMPLO, EN EL PLANO PODEMOS USAR LAS
COORDENADAS POLARES, QUE PERMITEN EXPRESAR CIERTAS CURVAS
EN FORMA MUCHO MÁS SIMPLE QUE LAS ECUACIONES QUE LIGAN SUS
COORDENADAS CARTESIANAS. EN EL ESPACIO, EN LUGAR DE USAR LAS
CARTESIANAS, PODEMOS USAR LAS COORDENADAS CILÍNDRICAS
O ESFÉRICAS.
NOTA:
EN GENERAL, ES POSIBLE DEFINIR MUCHOS SISTEMAS DE
COORDENADAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. MÁS ADELANTE
VEREMOS COMO RELACIONAR UNA CURVA O SUPERFICIE EXPRESADA
EN LAS CARTESIANAS, CON EL MISMO OBJETO EXPRESADO EN OTRO
SISTEMA DE LAS MISMAS. A ESTO LO LLAMAMOS TRANSFORMACIÓN
DE COORDENADAS.
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COORDENADAS POLARES………...SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

6. FORMADO POR DOS EJES EN EL PLANO, TRES EN EL ESPACIO,
MUTUAMENTE PERPENDICULARES QUE SE CORTAN EN EL ORIGEN. LAS
COORDENADAS DE UN PUNTO CUALQUIERA VENDRÁN DADAS POR LAS
PROYECCIONES DE LA DISTANCIA ENTRE EL PUNTO Y EL ORIGEN
SOBRE CADA UNO DE LOS EJES.
ESTE SISTEMA DE REFERENCIA ESTÁ CONSTITUIDO POR UN EJE QUE
PASA POR EL ORIGEN. LA PRIMERA COORDENADA ES LA DISTANCIA
EXISTENTE ENTRE EL ORIGEN Y EL PUNTO, MIENTRAS QUE LA
SEGUNDA ES EL ÁNGULO QUE FORMAN EL EJE Y LA RECTA QUE PASA
POR AMBOS PUNTOS.
POR CONVENIENCIA, COMENCEMOS CON UN SISTEMA DADO DE
COORDENADAS X Y, TOMEMOS DESPUÉS EL ORIGEN COMO POLO Y EL
SEMIEJE NO NEGATIVO DE LAS X COMO EJE POLAR. DADO EL POLO O
Y EL EJE POLAR, EL PUNTO P CUYAS COORDENADAS POLARES SO R Y Q
, ESCRITAS COMO PAR ORDENADO ( R, Q ), SE LOCALIZA COMO SIGUE.
ENCUENTRE EL LADO TERMINAL DEL ÁNGULO Q, DADO EN RADIANES,
MEDIDO EN SENTIDO CONTRARIO DE LAS MANECILLAS DEL RELOJ ( SI
Q > 0 ) A PARTIR DEL SEMIEJE POSITIVO DE ABSCISAS ( EJE POLAR)
COMO LADO INICIAL.
SI R ³ 0 , P ESTARÁ EN EL LADO TERMINAL A LA DISTANCIA R DEL
ORIGEN.
SI R < 0, EL PUNTO P ESTARÁ EN EL LADO OPUESTO AL LADO
TERMINAL, A LA DISTANCIA |R| = - R DEL POLO. SE PUEDE DESCRIBIR LA
COORDENADA RADIAL R COMO LA DISTANCIA DIRIGIDA DE P AL POLO,
SOBRE EL LADO TERMINAL DEL ÁNGULO Q.
SI R ES POSITIVO, EL PUNTO P ESTARÁ EN EL MISMO CUADRANTE QUE
Q.
SI R ES NEGATIVO, P ESTARÁ EN EL CUADRANTE OPUESTO.
SI R = 0, NO IMPORTA CUAL SEA EL ÁNGULO Q, LAS COORDENADAS
POLARES ( 0, Q ) REPRESENTAN AL ORIGEN CUALQUIERA QUE SEA LA
COORDENADA ANGULAR Q. POR SUPUESTO, EL ORIGEN O POLO ES EL
ÚNICO PUNTO PARA EL CUAL R = 0 .
NOTA:
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COORDENADAS POLARES………...SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

7. CONVERSIÓN DE COORDENADAS.
LA REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO O EL ESPACIO, SE
PUEDE HACER MEDIANTE DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS.
EN ESTOS MOMENTOS NOS OCUPAN LOS SISTEMAS DE COORDENADAS
RECTANGULARES Y POLARES.
ES LÓGICO PENSAR QUE EXISTE UNA EQUIVALENCIA ENTRE LOS
DIFERENTES SISTEMAS, EN ESTE CASO NOS OCUPAREMOS DE LA
CONVERSIÓN DEL RECTANGULAR AL POLAR Y VICEVERSA.
EN ESTE TÓPICO SE INCLUYEN ALGUNAS GRÁFICAS PARA MOSTRAR
LA UBICACIÓN DE UN PUNTO EN CADA UNO DE LOS SISTEMAS
RESPECTIVOS.
LAS CALCULADORAS DIBUJAN GRÁFICAS DE R = F (Θ) AL HALLAR EL
VALOR DE F (Θ) PARA NUMEROSOS VALORES DE Θ A INTERVALOS
ESPACIADOS REGULARMENTE, Y DIBUJANDO LUEGO LOS PUNTOS
RESULTANTES (X,Y).
USTED DEBE SER CONSCIENTE DE QUE LA APARIENCIA DE LA
GRÁFICA EN CALCULADORA DEPENDE DE LA VENTANA DE
GRAFICACIÓN ESPECIFICADA X-Y, Y TAMBIÉN DEL RANGO DE LOS
VALORES MOSTRADOS DE Θ.
CUANDO SE DIBUJAN GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES, DEBE
IDENTIFICARSE ALGUNOS VALORES MOSTRADOS DE Θ
CORRESPONDIENTES A R = 0 O DONDE R ALCANZA UN MÁXIMO O UN
MÍNIMO. ADEMÁS, DEBE IDENTIFICAR EL RANGO DE VALORES DE Θ
QUE PRODUCEN UNA COPIA DE LA CURVA POLAR, CUANDO ÉSTA ES
APROPIADA. SE DEDUCE QUE MUCHAS CURVAS FAMILIARES TIENEN
ECUACIONES POLARES SENCILLAS.
NOTA:
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COORDENADAS POLARES………...CONVERSION DE COORDENADAS

8. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR.
LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR R = F(Θ) ES EL CONJUNTO DE
PUNTOS (X,Y) PARA LOS CUALES X = R COS Θ , Y = R SEN Θ Y R = F (Θ). EN
OTROS TÉRMINOS, LA GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN POLAR ES UNA
GRÁFICA EN EL PLANO XY DE TODOS LOS PUNTOS CUYAS
COORDENADAS POLARES SATISFACEN LA ECUACIÓN DADA.
COMIENCE POR DIBUJAR DOS GRÁFICAS SENCILLAS ( Y
FAMILIARES). LA CLAVE PARA DIBUJAR LAS MISMAS DE UNA
ECUACIÓN POLAR, ES MANTENER SIEMPRE PRESENTE QUE
REPRESENTAN LAS COORDENADAS POLARES.
CON ESTOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN
EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES, PODEMOS GRAFICAR
FUNCIONES Y NO SÓLO PUNTOS. EN ESTE TIPO DE FUNCIONES LA
VARIABLE INDEPENDIENTE ES Θ Y LA DEPENDIENTE ES R, ASÍ QUE LAS
FUNCIONES SON DEL TIPO R = R(Θ). EL MÉTODO PARA GRAFICAR ESTAS
FUNCIONES ES EL SIGUIENTE, PRIMERO GRAFICAMOS LA FUNCIÓN R =
R(Θ) EN COORDENADAS RECTANGULARES Y A PARTIR DE ESA GRÁFICA
TRAZAMOS LA CORRESPONDIENTE EN POLARES. GUIÁNDONOS CON LA
DEPENDENCIA DE R CON RESPECTO A Θ.
AHORA QUE YA CONOCES LAS COORDENADAS POLARES Y OBSERVÓ
UNA VARIEDAD DE GRÁFICAS DE LAS MISMAS, EL PRÓXIMO PASO
CONSISTE EN EXTENDER LAS TÉCNICAS DEL CÁLCULO AL CASO DE
INTERSECCIÓN DE ECUACIONES EN DICHAS COORDENADAS POLARES,
CON EL PROPÓSITO DE BUSCAR TODOS LOS PUNTOS DE DICHA
INTERSECCIÓN.
NOTA:
RECORDEMOS QUE Θ ES LA VARIABLE INDEPENDIENTE Y
GENERALMENTE VA DE 0 A 2Π.
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COORDENADAS POLARES………...GRAFICA DE UNA ECUACION POLAR

9. PUESTO QUE UN PUNTO PUEDE REPRESENTARSE DE FORMAS
DIFERENTES EN COORDENADAS POLARES, DEBE TENERSE ESPECIAL
CUIDADO AL DETERMINAR LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE DOS
GRÁFICAS POLARES, POR LO QUE SE SUGIERE REALIZAR EL DIBUJO DE
LAS ECUACIONES, INCLUSIVE CUANDO MÁS ADELANTE CALCULEMOS
EL ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR.
DE IGUAL FORMA EL PROBLEMA DE HALLAR LOS PUNTOS DE
INTERSECCIÓN DE DOS GRÁFICAS POLARES CON EL DE ENCONTRAR
LOS PUNTOS DE COLISIÓN DE DOS SATÉLITES EN ÓRBITA ALREDEDOR
DE LA TIERRA, DICHOS SATÉLITES NO ENTRARÍAN EN COLISIÓN EN
TANTO LLEGUEN A LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN EN TIEMPOS
DIFERENTES (VALORES DE Q).
LA COLISIÓN SE PRODUCIRÁ SOLAMENTE EN AQUELLOS PUNTOS DE
INTERSECCIÓN QUE SEAN "PUNTOS SIMULTÁNEOS", AQUELLOS A LOS
QUE SE LLEGA EN EL MISMO INSTANTE (VALOR DE Q).
EL DESARROLLO DE UNA FÓRMULA PARA EL ÁREA DE UNA REGIÓN
POLAR VA PARALELO AL DE ZONAS EN SISTEMA DE COORDENADAS
RECTANGULARES, PERO CON SECTORES DE UN CÍRCULO EN LUGAR DE
RECTÁNGULOS COMO ELEMENTOS BÁSICOS DE DICHA ÁREA.
CONSIDEREMOS LA FUNCIÓN DADA POR R= F(Q), DONDE F ES
CONTINUA Y NO NEGATIVA EN EL INTERVALO [ A , B ] . LA REGIÓN
LIMITADA POR LA GRÁFICA PARA HALLAR EL ÁREA DE ESTA REGIÓN,
PARTIMOS EL INTERVALO [ A , B ] EN N SUBINTERVALOS IGUALES
A = Q < Q < Q <........< Q < Q = B
A CONTINUACIÓN APROXIMAMOS EL ÁREA DE LA REGIÓN POR LA
SUMA DE LAS MISMAS DE LOS N SECTORES,
LUEGO DE HABER NOTADO EL TEOREMA ANTERIOR, PODEMOS
DECIR QUE USAR LA FÓRMULA PARA HALLAR EL ÁREA DE UNA REGIÓN
LIMITADA POR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CONTINUA NO NEGATIVA.
SIN EMBARGO, NO ES NECESARIAMENTE VÁLIDA SI F TOMA VALORES
POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL INTERVALO [ A , B ] .
NOTA:
ALGUNAS VECES LO MÁS DIFÍCIL A LA HORA DE HALLAR EL ÁREA
DE UNA REGIÓN POLAR ES DETERMINAR LOS LÍMITES DE
INTEGRACIÓN. UN BUEN DIBUJO DE LA REGIÓN PUEDE AYUDAR
MUCHO EN ESTOS CASOS.
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COORDENADAS POLARES………...GRAFICA DE UNA ECUACION POLAR

10. INFORMACION.
ALUMNO:
ORLANDO JOSE MEJIAS MONTESINOS
CEDULA DE IDENTIDAD:
22.200.478
PROFESOR:
DOMINGO MENDEZ
SECCION:
SAIA-A